1. Сложность пропозициональных доказательств
Эдуард Алексеевич Гирш
http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch
ПОМИ РАН
30 сентября 2010 г.
1 / 6

2. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Представление линейных неравенств
побитное кодирование чисел формулами;
неравенства вида t ctyt ≥ c,
где ct, c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt или yt = ¬xt).
2 / 6

3. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Представление линейных неравенств
побитное кодирование чисел формулами;
неравенства вида t ctyt ≥ c,
где ct, c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt или yt = ¬xt).
ct · yt — это (Y0, . . . , Yk),
где Yi = yt, если (ct)i = 1; иначе Yi = False.
2 / 6

4. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Представление линейных неравенств
побитное кодирование чисел формулами;
неравенства вида t ctyt ≥ c,
где ct, c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt или yt = ¬xt).
ct · yt — это (Y0, . . . , Yk),
где Yi = yt, если (ct)i = 1; иначе Yi = False.
надо вычислить сумму t ctyt для yt ∈ {0, 1} и сравнить с c.
2 / 6

5. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Представление линейных неравенств
побитное кодирование чисел формулами;
неравенства вида t ctyt ≥ c,
где ct, c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt или yt = ¬xt).
ct · yt — это (Y0, . . . , Yk),
где Yi = yt, если (ct)i = 1; иначе Yi = False.
надо вычислить сумму t ctyt для yt ∈ {0, 1} и сравнить с c.
Add((F0, . . . , Fk), (G0, . . . , Gk))i =
Fi ⊕ Gi ⊕
0≤j<i
(Fj ∧ Gj ∧
j<l<i
(Fl ⊕ Gl )).
2 / 6

6. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Представление линейных неравенств
побитное кодирование чисел формулами;
неравенства вида t ctyt ≥ c,
где ct, c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt или yt = ¬xt).
ct · yt — это (Y0, . . . , Yk),
где Yi = yt, если (ct)i = 1; иначе Yi = False.
надо вычислить сумму t ctyt для yt ∈ {0, 1} и сравнить с c.
Add((F0, . . . , Fk), (G0, . . . , Gk))i =
Fi ⊕ Gi ⊕
0≤j<i
(Fj ∧ Gj ∧
j<l<i
(Fl ⊕ Gl )).
SAdd(F, G, H)i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .
CAdd(F, G, H)i+1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).
2 / 6

7. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Представление линейных неравенств
побитное кодирование чисел формулами;
неравенства вида t ctyt ≥ c,
где ct, c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt или yt = ¬xt).
ct · yt — это (Y0, . . . , Yk),
где Yi = yt, если (ct)i = 1; иначе Yi = False.
надо вычислить сумму t ctyt для yt ∈ {0, 1} и сравнить с c.
Add((F0, . . . , Fk), (G0, . . . , Gk))i =
Fi ⊕ Gi ⊕
0≤j<i
(Fj ∧ Gj ∧
j<l<i
(Fl ⊕ Gl )).
SAdd(F, G, H)i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .
CAdd(F, G, H)i+1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).
SUM(c1y1, . . . , cnyn): складываем SAdd, CAdd, последние — Add.
2 / 6

8. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Представление линейных неравенств
побитное кодирование чисел формулами;
неравенства вида t ctyt ≥ c,
где ct, c ≥ 0, yt ∈ {0, 1} (yt = xt или yt = ¬xt).
ct · yt — это (Y0, . . . , Yk),
где Yi = yt, если (ct)i = 1; иначе Yi = False.
надо вычислить сумму t ctyt для yt ∈ {0, 1} и сравнить с c.
Add((F0, . . . , Fk), (G0, . . . , Gk))i =
Fi ⊕ Gi ⊕
0≤j<i
(Fj ∧ Gj ∧
j<l<i
(Fl ⊕ Gl )).
SAdd(F, G, H)i = Fi ⊕ Gi ⊕ Hi .
CAdd(F, G, H)i+1 = (Fi ∧ Gi ) ∨ (Fi ∧ Hi ) ∨ (Gi ∧ Hi ).
SUM(c1y1, . . . , cnyn): складываем SAdd, CAdd, последние — Add.
F > G представляется как
i
(Fi ∧ ¬Gi ∧
j>i
(Fj ≡ Gj )).
2 / 6

9. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Моделирование правил
просуммируем ctyt ≥ c и dtyt ≥ d:
3 / 6

10. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Моделирование правил
просуммируем ctyt ≥ c и dtyt ≥ d:
докажем по индукции, что
Add(SUM(. . . , ctyt, . . .), SUM(. . . , dtyt, . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt, . . .
3 / 6

11. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Моделирование правил
просуммируем ctyt ≥ c и dtyt ≥ d:
докажем по индукции, что
Add(SUM(. . . , ctyt, . . .), SUM(. . . , dtyt, . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt, . . .
равенство Add(ct yt , dt yt )i ≡ (ct + dt )i yt – разбор случаев.
3 / 6

12. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Моделирование правил
просуммируем ctyt ≥ c и dtyt ≥ d:
докажем по индукции, что
Add(SUM(. . . , ctyt, . . .), SUM(. . . , dtyt, . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt, . . .
равенство Add(ct yt , dt yt )i ≡ (ct + dt )i yt – разбор случаев.
yt + ¬yt — аналогично.
3 / 6

13. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Моделирование правил
просуммируем ctyt ≥ c и dtyt ≥ d:
докажем по индукции, что
Add(SUM(. . . , ctyt, . . .), SUM(. . . , dtyt, . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt, . . .
равенство Add(ct yt , dt yt )i ≡ (ct + dt )i yt – разбор случаев.
yt + ¬yt — аналогично.
докажем F ≥ G ∧ F ≥ G ⊃ Add(F, F ) ≥ Add(G, G ).
3 / 6

14. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Моделирование правил
просуммируем ctyt ≥ c и dtyt ≥ d:
докажем по индукции, что
Add(SUM(. . . , ctyt, . . .), SUM(. . . , dtyt, . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt, . . .
равенство Add(ct yt , dt yt )i ≡ (ct + dt )i yt – разбор случаев.
yt + ¬yt — аналогично.
докажем F ≥ G ∧ F ≥ G ⊃ Add(F, F ) ≥ Add(G, G ).
умножение (деление) на константу. . .
3 / 6

15. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Моделирование правил
просуммируем ctyt ≥ c и dtyt ≥ d:
докажем по индукции, что
Add(SUM(. . . , ctyt, . . .), SUM(. . . , dtyt, . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt, . . .
равенство Add(ct yt , dt yt )i ≡ (ct + dt )i yt – разбор случаев.
yt + ¬yt — аналогично.
докажем F ≥ G ∧ F ≥ G ⊃ Add(F, F ) ≥ Add(G, G ).
умножение (деление) на константу. . .
округление
(act)yt ≥ ac + r
ctyt ≥ c + 1
(r < a)
3 / 6

16. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Моделирование правил
просуммируем ctyt ≥ c и dtyt ≥ d:
докажем по индукции, что
Add(SUM(. . . , ctyt, . . .), SUM(. . . , dtyt, . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt, . . .
равенство Add(ct yt , dt yt )i ≡ (ct + dt )i yt – разбор случаев.
yt + ¬yt — аналогично.
докажем F ≥ G ∧ F ≥ G ⊃ Add(F, F ) ≥ Add(G, G ).
умножение (деление) на константу. . .
округление
(act)yt ≥ ac + r
ctyt ≥ c + 1
(r < a)
— разбор случаев (т.е. док-во от противного):
SUM(. . . , ctyt, . . .) ≥ c + 1 ∨ ¬(SUM(. . . , ctyt, . . .) ≥ c + 1),
из второго следует ≤ c, умножим обратно на a. . . .
3 / 6

17. Моделирование секущих плоскостей в системах Фреге
Моделирование правил
просуммируем ctyt ≥ c и dtyt ≥ d:
докажем по индукции, что
Add(SUM(. . . , ctyt, . . .), SUM(. . . , dtyt, . . .)) ≡ SUM(. . . , (ct + dt)yt, . . .
равенство Add(ct yt , dt yt )i ≡ (ct + dt )i yt – разбор случаев.
yt + ¬yt — аналогично.
докажем F ≥ G ∧ F ≥ G ⊃ Add(F, F ) ≥ Add(G, G ).
умножение (деление) на константу. . .
округление
(act)yt ≥ ac + r
ctyt ≥ c + 1
(r < a)
— разбор случаев (т.е. док-во от противного):
SUM(. . . , ctyt, . . .) ≥ c + 1 ∨ ¬(SUM(. . . , ctyt, . . .) ≥ c + 1),
из второго следует ≤ c, умножим обратно на a. . . .
свойства нуля: Add(F, 0)i ≡ Fi и 0 < 1.
SUM(0y1, . . . , 0yn) ≥ 1, очевидно, ложно.
3 / 6

18. Оптимальные полуалгоритмы
Определение
A — оптимальный полуалгоритм для L ⇐⇒
для всякого A имеется полином p, т.ч. ∀x ∈ L
timeA(x) ≤ p(timeA (x) + |x|).
4 / 6

19. Оптимальные полуалгоритмы
Определение
A — оптимальный полуалгоритм для L ⇐⇒
для всякого A имеется полином p, т.ч. ∀x ∈ L
timeA(x) ≤ p(timeA (x) + |x|).
Левинский оптимальный алгоритм для решения задачи поиска SAT:
запустить “параллельно” все возможные алгоритмы, проверить
выданный “выполняющий” набор, если верен — выдать.
4 / 6

20. Оптимальные полуалгоритмы
Определение
A — оптимальный полуалгоритм для L ⇐⇒
для всякого A имеется полином p, т.ч. ∀x ∈ L
timeA(x) ≤ p(timeA (x) + |x|).
Левинский оптимальный алгоритм для решения задачи поиска SAT:
запустить “параллельно” все возможные алгоритмы, проверить
выданный “выполняющий” набор, если верен — выдать.
Замечание
Левинский алгоритм не для языка TAUT.
4 / 6

21. Оптимальные полуалгоритмы
Определение
A — оптимальный полуалгоритм для L ⇐⇒
для всякого A имеется полином p, т.ч. ∀x ∈ L
timeA(x) ≤ p(timeA (x) + |x|).
Левинский оптимальный алгоритм для решения задачи поиска SAT:
запустить “параллельно” все возможные алгоритмы, проверить
выданный “выполняющий” набор, если верен — выдать.
Замечание
Левинский алгоритм не для языка TAUT.
. . . и не для языка SAT.
4 / 6

22. Оптимальные полуалгоритмы vs системы доказательств
Теорема (Kraj´ıˇcek, Pudl´ak, 1989)
∃ p-оптимальная система док-в ⇐⇒
∃ оптимальный полуалгоритм для TAUT.
5 / 6

23. Оптимальные полуалгоритмы vs системы доказательств
Теорема (Kraj´ıˇcek, Pudl´ak, 1989)
∃ p-оптимальная система док-в ⇐⇒
∃ оптимальный полуалгоритм для TAUT.
⇐=:
Оптимальное док-во формулы F размера n:
Номер системы Π;
Π-доказательство формулы F.
5 / 6

24. Оптимальные полуалгоритмы vs системы доказательств
Теорема (Kraj´ıˇcek, Pudl´ak, 1989)
∃ p-оптимальная система док-в ⇐⇒
∃ оптимальный полуалгоритм для TAUT.
⇐=:
Оптимальный полуалгоритм O работает полиномиальное время
на любом подмножестве тавтологий из P.
5 / 6

25. Оптимальные полуалгоритмы vs системы доказательств
Теорема (Kraj´ıˇcek, Pudl´ak, 1989)
∃ p-оптимальная система док-в ⇐⇒
∃ оптимальный полуалгоритм для TAUT.
⇐=:
Оптимальный полуалгоритм O работает полиномиальное время
на любом подмножестве тавтологий из P.
Для любой системы доказательств Π, легко (за полиномиальное
время) записать тавтологию ConΠ,n, означающую “Π корректна
для формул размера n”.
5 / 6

26. Оптимальные полуалгоритмы vs системы доказательств
Теорема (Kraj´ıˇcek, Pudl´ak, 1989)
∃ p-оптимальная система док-в ⇐⇒
∃ оптимальный полуалгоритм для TAUT.
⇐=:
Оптимальный полуалгоритм O работает полиномиальное время
на любом подмножестве тавтологий из P.
Для любой системы доказательств Π, легко (за полиномиальное
время) записать тавтологию ConΠ,n, означающую “Π корректна
для формул размера n”.
Значит, O полиномиален на CΠ = {ConΠ,n}n∈N.
5 / 6

27. Оптимальные полуалгоритмы vs системы доказательств
Теорема (Kraj´ıˇcek, Pudl´ak, 1989)
∃ p-оптимальная система док-в ⇐⇒
∃ оптимальный полуалгоритм для TAUT.
⇐=:
Оптимальный полуалгоритм O работает полиномиальное время
на любом подмножестве тавтологий из P.
Для любой системы доказательств Π, легко (за полиномиальное
время) записать тавтологию ConΠ,n, означающую “Π корректна
для формул размера n”.
Значит, O полиномиален на CΠ = {ConΠ,n}n∈N.
Оптимальное док-во формулы F размера n:
Номер системы Π;
Протокол работы O на ConΠ,n;
Π-доказательство формулы F.
5 / 6

28. Оптимальные полуалгоритмы vs системы доказательств
Теорема (Kraj´ıˇcek, Pudl´ak, 1989)
∃ p-оптимальная система док-в ⇐⇒
∃ оптимальный полуалгоритм для TAUT.
=⇒:
Пусть Π — p-оптимальная.
5 / 6

29. Оптимальные полуалгоритмы vs системы доказательств
Теорема (Kraj´ıˇcek, Pudl´ak, 1989)
∃ p-оптимальная система док-в ⇐⇒
∃ оптимальный полуалгоритм для TAUT.
=⇒:
Пусть Π — p-оптимальная.
Оптимальный полуалгоритм: “параллельный” запуск всех Oi ,
претендующих на выдачу Π-доказательств.
Выданное Oi “док-во” проверяется Π;
если правильное — вернуть “1”.
5 / 6

30. Оптимальные полуалгоритмы vs системы доказательств
Теорема (Kraj´ıˇcek, Pudl´ak, 1989)
∃ p-оптимальная система док-в ⇐⇒
∃ оптимальный полуалгоритм для TAUT.
=⇒:
Пусть Π — p-оптимальная.
Оптимальный полуалгоритм: “параллельный” запуск всех Oi ,
претендующих на выдачу Π-доказательств.
Выданное Oi “док-во” проверяется Π;
если правильное — вернуть “1”.
По p-оптимальности Π для любого алгоритма A его протокол
может быть за полиномиальное время преобразован в Π-док-во
некоторым f . Композиция A и f имеется в {Oi }i .
5 / 6

31. p-Optimal proof system from optimal acceptor
for any paddable language [Messner, 99]
Definition
L is paddable if there is an injective non-length-decreasing polynomial-time
padding function padL : {0, 1}∗ × {0, 1}∗ → {0, 1}∗ that is polynomial-time
invertible on its image and such that ∀x, w (x ∈ L ⇐⇒ padL(x, w) ∈ L).
Optimal proof:
description of proof system Π;
Π-proof π of F;
1t (for how long can we work?).
Verification:
run optimal acceptor on padL(x, π);
for a correct proof, it accepts in a polynomial time because for a
correct system Π, the set {padL(x, π) | x ∈ L, Π(x, π) = 1} ⊆ L can
be accepted in a polynomial time.
6 / 6