Esimerkkejä siitä, miten mobiilisti kuvattua ja muokattua videota voi hyödyntää ammatillisessa oppimisessa, opitun näkyväksi tekemisessä ja opetuksessa materiaalina.
ICT e per la Gestione soccorso integrato nelle maxi emergenzePaolo Nesi
ICT e per la Gestione
Corso per il Master di I Livello, “ Il soccorso integrato nelle maxi emergenze: il management sanitario”, AA. 2012‐2013
Paolo Nesi, Ivan Bruno
Distributed and Internet Technology Lab, Dipartimento di Ingegneria dell’informazione
Paolo.nesi@unifi.it, Http://www.disit.dinfo.unifi.it
Parti: Le reti di calcolatori, Protocolli ed Internet, WEB, Architetture Client Server, Pagine HTML, Comunicazioni Wireless e protocolli, Reti WiFi e Cellulari, Esercitazioni varie, Comunicazioni in condizioni di emergenza, Sistemi di Comunicazione Satellitari, Sistemi Operativi per Sistemi Mobili, Sensori dei Sistemi Mobili, La proposta di Mobile Emergency
اللقاء التعريفي للدورة الالكترونية مهارات التفكير كورت
المحاور العامة التي سوف نتدارسها معا ان شاء الله ..والاستراتيجية المتبعة كل يوم خميس لدراسة مهارة في كل لاسبوع
Esimerkkejä siitä, miten mobiilisti kuvattua ja muokattua videota voi hyödyntää ammatillisessa oppimisessa, opitun näkyväksi tekemisessä ja opetuksessa materiaalina.
ICT e per la Gestione soccorso integrato nelle maxi emergenzePaolo Nesi
ICT e per la Gestione
Corso per il Master di I Livello, “ Il soccorso integrato nelle maxi emergenze: il management sanitario”, AA. 2012‐2013
Paolo Nesi, Ivan Bruno
Distributed and Internet Technology Lab, Dipartimento di Ingegneria dell’informazione
Paolo.nesi@unifi.it, Http://www.disit.dinfo.unifi.it
Parti: Le reti di calcolatori, Protocolli ed Internet, WEB, Architetture Client Server, Pagine HTML, Comunicazioni Wireless e protocolli, Reti WiFi e Cellulari, Esercitazioni varie, Comunicazioni in condizioni di emergenza, Sistemi di Comunicazione Satellitari, Sistemi Operativi per Sistemi Mobili, Sensori dei Sistemi Mobili, La proposta di Mobile Emergency
اللقاء التعريفي للدورة الالكترونية مهارات التفكير كورت
المحاور العامة التي سوف نتدارسها معا ان شاء الله ..والاستراتيجية المتبعة كل يوم خميس لدراسة مهارة في كل لاسبوع
Исследование внешних характеристик потерь и КПД трансформатора.Nick535
Содержание работы:
Внешняя характеристика трансформатора.
Построение графиков зависимости от коэффициента нагрузки (∆U = ( )) для различных нагрузок трансформатора с номинальной мощностью 100 кВА.
Потери и КПД трансформатора.
Построение графика зависимости КПД от нагрузки 3-х фазного трансформатора с полной мощностью 100 кВА.
2100. 4 класс Урок 2.23. Сложение и вычитание многозначных чиселavtatuzova
Презентация к уроку математики в 4-м классе Образовательной системы «Школа 2100» (учебники «Моя Математика» авторы Т.Е.Демидова, С.А.Козлова, А.П.Тонких).
Математика. 4 класс Урок 2.23. Сложение и вычитание многозначных чисел
Эту презентацию можно посмотреть по адресу:
http://avtatuzova.ru/publ/4_klass_shkola_2100/matematika_2100_4_klass_urok_2_23_slozhenie_i_vychitanie_mnogoznachnykh_chisel/57-1-0-416
Остальные презентации расположены:
http://avtatuzova.ru
1. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
2. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
3. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Третья лекция
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
6. Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
7. Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m
и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим
их «в столбик»;
8. Теорема Куммера
m + n
m
= Cm
m+n
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа m
и n в позиционной системе счисления с основанием p и сложим
их «в столбик»; αp(m, n) равно количеству переносов из
разряда в разряд при этом сложении.
9. Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
14. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p
15. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p
16. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p
Имеется
k
p2
чисел кратных p2
: p2
, 2p2
, 3p2
, . . . ,
k
p2
p2
17. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p
Имеется
k
p2
чисел кратных p2
: p2
, 2p2
, 3p2
, . . . ,
k
p2
p2
Имеется
k
p3
чисел кратных p3
: p3
, 2p3
, 3p3
, . . . ,
k
p3
p3
18. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p
Имеется
k
p2
чисел кратных p2
: p2
, 2p2
, 3p2
, . . . ,
k
p2
p2
Имеется
k
p3
чисел кратных p3
: p3
, 2p3
, 3p3
, . . . ,
k
p3
p3
...
19. Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
Имеется
k
p
чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
k
p
p
Имеется
k
p2
чисел кратных p2
: p2
, 2p2
, 3p2
, . . . ,
k
p2
p2
Имеется
k
p3
чисел кратных p3
: p3
, 2p3
, 3p3
, . . . ,
k
p3
p3
...
βp(k) =
k
p
+
k
p2
+
k
p3
+ . . .
20. Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
24. Теорема Куммера
m + n
m
=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)
3α3(m,n)
. . . pαp(m,n)
. . .
k! = 2β2(k)
3β3(k)
. . . pβp(k)
. . .
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−
n
p
−
n
p2
−
n
p3
− . . .
25. Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−
n
p
−
n
p2
−
n
p3
− . . .
26. Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−
n
p
−
n
p2
−
n
p3
− . . .
=
m + n
p
−
m
p
−
n
p
+
m + n
p2
−
m
p2
−
n
p2
+
+
m + n
p3
−
m
p3
−
n
p3
+ . . .
27. Теорема Куммера
m + n
pk
−
m
pk
−
n
pk
=
1, если есть перенос
0, если нет переноса
28. Теорема Куммера
m + n
pk
−
m
pk
−
n
pk
=
1, если есть перенос
0, если нет переноса
m = r
j=0 mj pj = mr . . . mk mk−1 . . . m0
n = r
j=0 nj pj = nr . . . nk nk−1 . . . n0
m + n = r
j=0 j pj = r . . . k k−1 . . . 0
m/pk = mr . . . mk
n/pk = nr . . . nk
(m + n)/pk = r . . . k
29. Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−
n
p
−
n
p2
−
n
p3
− . . .
30. Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n) − βp(m) − βp(n)
=
m + n
p
+
m + n
p2
+
m + n
p3
+ . . .
−
m
p
−
m
p2
−
m
p3
− . . .
−
n
p
−
n
p2
−
n
p3
− . . .
=
m + n
p
−
m
p
−
n
p
+
m + n
p2
−
m
p2
−
n
p2
+
+
m + n
p3
−
m
p3
−
n
p3
+ . . .
32. Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
a явлется нечетным
33. Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
a явлется нечетным, то есть существует натуральное число
d такое, что
a + b
a
= 2d + 1.
34. Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
a явлется нечетным, то есть существует натуральное число
d такое, что
a + b
a
= 2d + 1.
Лемма. Биномиальный коэффициент a
b явлется нечетным
тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a не
меньше соответствующего двоичного разряда числа b:
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
ak ≥ bk
35. Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системе
счисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разряд
в том и только том случае, когда биномиальный коэффициент
a+b
a явлется нечетным, то есть существует натуральное число
d такое, что
a + b
a
= 2d + 1.
Лемма. Биномиальный коэффициент a
b явлется нечетным
тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a не
меньше соответствующего двоичного разряда числа b:
a =
∞
k=0
ak2k
b =
∞
k=0
bk2k
ak ≥ bk
a
b
=
b + (a − b)
b
48. Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m
=
m
m
um
+
m
m − 1
um−1
+
m
m − 2
um−2
+
+ · · · +
m
n
un
+ · · · +
m
1
u +
m
0
2m
=
m
0
+ · · · +
m
n
+ · · · +
m
m
49. Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m
=
m
m
um
+
m
m − 1
um−1
+
m
m − 2
um−2
+
+ · · · +
m
n
un
+ · · · +
m
1
u +
m
0
2m
=
m
0
+ · · · +
m
n
+ · · · +
m
m
c =
m
n
⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m
= pun+1
+ cun
+ q ∧
c < u ∧ q < un−1
∧ u > 2m
}
50. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
51. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое
перечислимое множество M имеет экспоненциально
диофантово представление
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒
⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm) =
= ER(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm)}
52. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое
перечислимое множество M имеет экспоненциально
диофантово представление
a1, . . . , an ∈ M ⇐⇒
⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm) =
= ER(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm)}
a = bc
⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a, b, c, x1, . . . , xm) = 0}
91. Характеристическое уравнение
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1, то найдется число n такое, что
x = αb(n + 1)
y = αb(n)
или же
x = αb(n)
y = αb(n + 1)
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
92. Индукция по y: случай y = 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
93. Индукция по y: случай y = 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
x2 = 1
94. Индукция по y: случай y = 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
x2 = 1, следовательно x = 1.
95. Индукция по y: случай y = 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
x2 = 1, следовательно x = 1. Полагая n = 0, имеем
x = 1 = αb(1) = αb(n + 1)
y = 0 = αb(0) = αb(n)
96. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
97. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
y − 1
98. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
99. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
100. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
y = αb(n), x = αb(n + 1)
101. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
102. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
103. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n) − αb(n + 1)
104. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n) − αb(n + 1)
105. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
106. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x
?
≥ 0
107. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x
?
≥ 0
x = by +
1 − y2
x
108. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x
?
≥ 0
x = by +
1 − y2
x
≤ by z = by − x
109. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x
?
≥ 0
x = by +
1 − y2
x
≤ by z = by − x
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x
110. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
111. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z
?
≤ y
112. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z
?
≤ y
x = by +
1
x
−
y2
x
113. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z
?
≤ y
x = by +
1
x
−
y2
x
> by −
y2
y
= by − y
114. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z
?
≤ y
x = by +
1
x
−
y2
x
> by −
y2
y
= by − y
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y
115. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
116. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2
− byz + z2 ?
= 1
117. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2
− byz + z2 ?
= 1
y2
− byz + z2
118. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2
− byz + z2 ?
= 1
y2
− byz + z2
= y2
− by(by − x) + (by − x)2
119. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2
− byz + z2 ?
= 1
y2
− byz + z2
= y2
− by(by − x) + (by − x)2
= x2
− bxy + y2
120. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2
− byz + z2 ?
= 1
y2
− byz + z2
= y2
− by(by − x) + (by − x)2
= x2
− bxy + y2
= 1
121. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2
− byz + z2 ?
= 1
y2
− byz + z2
= y2
− by(by − x) + (by − x)2
= x2
− bxy + y2
= 1
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1
122. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1
123. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1
По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb(m + 1), z = αb(m)
124. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1
По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb(m + 1), z = αb(m)
x = by − z = bαb(m + 1) − αb(m) = αb(m + 2)
125. Индукция по y: случай y > 0
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n
такое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, что
z = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y, y2 − byz + z2 = 1
По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb(m + 1), z = αb(m)
x = by − z = bαb(m + 1) − αb(m) = αb(m + 2)
n = m + 1
133. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
134. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ψm
b
135. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ψm
b
= Ψn+k
b
136. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ψm
b
= Ψn+k
b
= Ψn
b(Ψk
b)
137. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ψm
b
= Ψn+k
b
= Ψn
b(Ψk
b)
= Ab(n)Ab(k)
138. Свойства делимости
Лемма. α2
b(k) | αb(m) ⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k , 0 ≤ n < k
Ab(m) =
αb(m + 1) −αb(m)
αb(m) −αb(m − 1)
= Ψm
b
= Ψn+k
b
= Ψn
b(Ψk
b)
= Ab(n)Ab(k)
=
αb(n + 1) −αb(n)
αb(n) −αb(n − 1)
αb(k + 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)