Документ содержит задачи и решения по логарифмическим неравенствам, включая неравенства вида log_a f(x) > log_a g(x), где a ≠ 1 и a > 0. Рассматриваются методы решения, а также отдельно анализируются области допустимых значений и условия для каждой шахматной задачи. В результате предоставляются окончательные решения для различных систем неравенств.

1. Решение заданийРешение заданий 3С3С
по материалампо материалам
2012-2013ЕГЭ гг2012-2013ЕГЭ гг
МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья иМБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и
развития»развития»
: . .Автор учитель математики Е Ю: . .Автор учитель математики Е Ю

2. Логарифмические неравенства
Неравенства вида loga f(x) > logа g(х), где а ≠ 1, a > 0
называют логарифмическими неравенствами
loga f(x) > logа g(х)
0 < а < 1а > 1
или
( ) ( )
( )
( )




>
>
<
.xg
,xf
,xgxf
0
0
( ) ( )
( )
( )




>
>
>
.xg
,xf
,xgxf
0
0
( )( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )






>
>
>
>−−
.xa
,xg
,xf
,xgxfxa
0
0
0
01
( ) ( ) ( ) ( ) ⇔> xglogxflog xaxa

3. 1.1. Решите неравенство ( ) ( )
9
1
4983
3
11
2
11
+
−
+≤−+
х
х
logхxlog
Решение. ОДЗ: ⇔ .( )





>
+
−
>−+
;
x
x
,xx
0
9
1
098
3
2
( ) ( )∞+∪−∞−∈ ;;x 19
C учетом ОДЗ:
[ ) ( ]21920 ;;;x −−∈
( ) ( )
9
1
4983
3
11
2
11
+
−
+≤−+
х
х
logхxlog
( )
( )
4
1
9
98 311
32
11 ≤
−
+
+−+
х
х
logхxlog
( ) ( ) ( )
( )
4
1
919
3
33
11 ≤
−
+−+
х
ххх
log
( ) 4
11
4
11 119 logхlog ≤+
( ) 44
119 ≤+х
-20 х2
-20 1-9 х2
119 ≤+х
11911 ≤+≤− х
220 ≤≤− х

4. 2.2. Решите систему
неравенств





−
+
−≤





+
−
≤−
++
+
.
х
x
log
x
x
log
,
xx
xx
7
1
1
1
7
21294
8
2
8
7
Решение.
ОДЗ:
⇔







≠+
>
−
+
>+
;x
,
x
x
,x
18
0
7
1
08
( ) ( ) ( ).;;;x ∞+∪−−∪−−∈ 71778
7
21294 +
≤− xx
012921284 ≤−⋅− xx
тогда,t,tПусть x
02 >=
01291282
≤−⋅− tt
( )( ) 01291 ≤−+ tt
1291 ≤≤− t
имеем,tчто,Учитывая 0>
1290 ≤< t
1)
переменнойисходнойкВернемся
12920 ≤< x
1292
22 logx
≤
1292logx ≤
имеем,ОДЗучетомC
1287129 22 loglog =>
( ) ( ) ( ].log;;;x 12971778 2∪−−∪−−∈
2)

5. 7
1
1
1
7
8
2
8
−
+
−≤





+
−
++
х
x
log
x
x
log xx
2.2. Решите систему
неравенств





−
+
−≤





+
−
≤−
++
+
.
х
x
log
x
x
log
,
xx
xx
7
1
1
1
7
21294
8
2
8
7
3)
( )8
7
1
1
7
88
2
8 +≤
−
+
+





+
−
+++ хlog
х
x
log
x
х
log xxx
( ) ( )22
abba −=−
( )8
7
1
1
7
8
2
8 +≤








−
+
⋅





+
−
++ хlog
х
x
x
х
log xx
( )8
1
7
88 +≤





+
−
++ хlog
х
x
log xx
( ) ( ) 08
1
7
18 ≤





+−
+
−
−+ х
х
x
x
( ) 0
1
897
7
2
≤





+
−−−−
+
х
xxx
x
( ) 0
1
158
7
2
≤





+
−−−
+
х
xx
x
( ) 0
1
158
7
2
≥





+
++
+
х
xx
x
( )( )( ) 0
1
537
≥
+
+++
х
xxx
-7 -3-5 х-1
+++ −−
( ] [ ] ( )∞+−∪−−∪−∞−∈ ;;;x 1357
имеем,ОДЗучетомC
( ) [ ] ( ).;;;x ∞+∪−−∪−−∈ 73578
(продолжение)

6. 2.2. Решите систему
неравенств





−
+
−≤





+
−
≤−
++
+
.
х
x
log
x
x
log
,
xx
xx
7
1
1
1
7
21294
8
2
8
7
4) Общее решение:
( ) ( ) ( ]12971778 2log;;;x ∪−−∪−−∈
( ) [ ] ( )∞+∪−−∪−−∈ ;;;x 73578
и
( ) [ ] ( ]12973578 2log;;;x ∪−−∪−−∈
( ) [ ] ( ].log;;;:Ответ 12973578 2∪−−∪−−
-7 -3-5
х
-1-8 7 log2129
(продолжение)

7. 3.3. Решите неравенство ( ) 150919 3250 ≥⋅− − ,logxlog x,
Решение. ОДЗ: ⇔ .





≠−
>−
>−
;x
,x
,x
13
03
0919
( ) 





∪∞−∈
9
19
22 ;;x
( ) 150919 3250 ≥⋅− − ,logxlog x,
( )( ) ( ) ( )( ) 0391913
2
≥−−−−− xxx
( )( ) 01032 2
≥−+− xxx
( ) ( ) 052
2
≥+− xx
( )( ) 03102 2
≥−−− xxx
-5 2
++− х
C учетом ОДЗ:
[ ) 





−∈
9
19
225 ;;;x
-5
2 х
19
9
( ) 150919 2503 ≥⋅−− ,logxlog ,x
( ) 29193 ≥−− xlog x
( ) ( )2
33 3919 xlogxlog xx −≥− −−
dlogblogdlogblog acca ⋅=⋅
[ ) 





−
9
19
225 ;;;:Ответ

8. x
x
xx
≤
−
+−
5
6102 2
4.4. Решите систему
неравенств
( ) ( )




−≤−+
≤
−
+−
.xlogxlog
,x
x
xx
2
66
2
1641
5
6102
Решение.
ОДЗ:
⇔




≠−
>−
>−
;x
,x
,x
05
016
04
2
( ).;x 44−∈
1)
2)
0
5
6102 2
≤−
−
+−
х
x
xx
0
5
56102 22
≤
−
+−+−
x
xxxx
0
5
652
≤
−
+−
x
xx
( )( ) 0
5
32
≤
−
−−
x
xx
2 53
+−+−
х
( ] [ )532 ;;x ∪∞−∈
имеем,ОДЗучетомC
( ] [ )4324 ;;x ∪−∈

9. 4.4. Решите систему
неравенств
( ) ( )




−≤−+
≤
−
+−
.xlogxlog
,x
x
xx
2
66
2
1641
5
6102
3) ( ) ( )2
66 1641 xlogxlog −≤−+
( ) ( )2
666 1646 xlogxloglog −≤−+
( ) ( )2
66 16624 xlogxlog −≤−
2
16624 xx −≤−
то,а.к.т 16 >=
0862
≤+− xx
( )( ) 042 ≤−− xx
42 ≤≤ x
4) Общее решение:
имеем,ОДЗучетомC
42 <≤ x
( ] [ )4324 ;;x ∪−∈
42 <≤ x
и
-4 32 х4
{ } [ )432 ;x ∪∈
{ } [ ).;:Ответ 432 ∪
(продолжение)

10. 5.5. Решите неравенство 12
2
3
2
2
2
−≤
+
xlog
xlog
xlog
Решение.
ОДЗ:



≠
>
;,x
,x
250
0
( ) ( ).;,,;x ∞+∪∈ 2502500⇔
12
2
3
2
2
2
−≤
+
xlog
xlog
xlog
тогда,t,txlogПусть 22 −≠=
12
2
3
−≤
+
t
t
t
012
2
3
≤+−
+
t
t
t
0
2
2243 2
≤
+
++−−
t
tttt
0
2
22 2
≤
+
+−
t
t
( )( ) 0
2
112
≤
+
+−−
t
tt
( )( ) 0
2
11
≥
+
+−
t
tt
-2 1-1
+−+−
t
( ] [ )∞+∪−−∈ ;;t 112

11. 5.5. Решите неравенство 12
2
3
2
2
2
−≤
+
xlog
xlog
xlog
Решение. (продолжение)



≥
−≤<−
;xlog
,xlog
перменнойисходнойкВернемся
1
12
2
2



≥
≤<
;logxlog
,,logxlog,log
2
50250
22
222
то,а.к.т 12 >=



≥
≤<
;x
,,x,
2
50250
имеем,ОДЗучетомC
0 0,50,25 х2
( ] [ )∞+∪∈ ;,;,х 250250
( ] [ ).;,;,:Ответ ∞+∪ 250250

12. 6.6. Решите систему
неравенств
( )
( )



+⋅≥+
+⋅≤++
.xlogx
,xlogx
x
x
34464
34446
5
5
2
Решение.
ОДЗ: 03 >+x ( ).;x ∞+−∈ 3⇔
( ) xx
xxlogx 6434446 5
2
+≤+⋅≤++
Перепишем систему в виде:
Откуда получим неравенство:
xx
xx 64462
+≤++
0442
≤+− хx
( ) 02
2
≤−x
2=х
Выполним проверку системы:
( )
( )



+⋅≥+⋅
+⋅≤++
.log
,log
3244624
3244462
5
2
5
22
− верно
.:Ответ 2
− удовлетворяет ОДЗ

13. 7.7. Решите неравенство 1
14
224 2
16
25 2 >
−+
−
xx
log x
Решение.
ОДЗ:





≠−
>−+
>−
;x
,xх
,x
1625
0224
025
2
2
2
( ) ( ) ( ).;;;x 533334 ∪−∪−−∈⇔
1
14
224 2
16
25 2 >
−+
−
xx
log x
16
25
14
224 2
16
25
2
16
25 22
x
log
xx
log xx
−
>
−+
−−
0
16
25
14
224
1
16
25 222
>




 −
−
−+






−
− xxxx
( ) ( ) ( )( ) 025722489 222
>−−−+− xxxx
( )( ) 016179 22
>−+− xxx

14. 7.7. Решите неравенство 1
14
224 2
16
25 2 >
−+
−
xx
log x
( )( ) 017169 22
>−−− xxx
( )( )( )( ) 017133 >−++− xxхx
(продолжение)
-3 3-1
+−+−
х17
+
имеем,ОДЗучетомC
( ) ( ) ( ).;;;x ∞+∪−∪−∞−∈ 17313
( ) ( ).;;x 3134 −∪−−∈
-3 3-1 х17-4
( ) ( ).;;:Ответ 3134 −∪−−

15. 8.8. Решите систему неравенств ( ) ( )



≤+
≤+⋅−+
.xlogxlog
,
x
xx
8
042174
2
2
22
1
2)
( ) ( ) ( ) ( ).;;;;x 41100114 ∪∪−∪−−∈
( ) ( ) 82
2
22
≤+ xlogxlog x
( ) 822 2
2
≤+ xlogxlog x
824 2 ≤+ xlog
42 2 ≤xlog
22 ≤xlog
422 logxlog ≤
то,а.к.т 12 >=
4≤x
44 ≤≤− x
Решение.
ОДЗ:





−≠
≠
≠
;x
,x
,x
1
1
0
( ) ( ) ( ) ( ).;;;;x ∞+∪∪−∪−∞−∈ 110011⇔
1)
имеем,ОДЗучетомC

16. 042174 1
≤+⋅−+ xx
8.8. Решите систему неравенств ( ) ( )



≤+
≤+⋅−+
.xlogxlog
,
x
xx
8
042174
2
2
22
1
3) 4)
0421724 2
≤+⋅−⋅ xx
тогда,t,tПусть x
02 >=
04174 2
≤+⋅−⋅ tt
( ) 0
4
1
44 ≤





−− tt
4
4
1
≤≤ t 0>− tусловиюяетудовлетвор
переменнойисходнойкВернемся
42
4
1
≤≤ x
22
222 ≤≤− x
22 ≤≤− x
то,а.к.т 12 >=
[ ) ( ) ( ) ( ].;;;;x 21100112 ∪∪−∪−−∈
(продолжение) Общее решение:
( ) ( ) ( ) ( ).;;;;x 41100114 ∪∪−∪−−∈
22 ≤≤− x
и
-1 10 х4-4 2-2
[ ) ( ) ( ) ( ].;;;;:Ответ 21100112 ∪∪−∪−−

17. ( ) ( )2
2
22
2 1636163218 xxlogxlog xx −+≤+− ++
9.9. Решите неравенство
( ) ( ).xxlogxlog xx
2
2
22
2 1636163218 −+≤+− ++
Решение.
ОДЗ:





>−+
≠+
>+
;xx
,x
,x
01636
12
02
2
( ) ( ).;;x 18112 −∪−−∈⇔
( )( )xxlogxlog xx −+≤+− ++ 1821632184 2
2
2
имеем,ОДЗучетомC
( ) ( ) ( )( )xlogxlogxlog xxx −++≤+− +++ 1821632184 22
2
2
( ) ( ) 0161816184 2
2
2 ≤+−−− ++ xlogxlog xx
( ) ( ) 0418418 2
2
2 ≤+−−− ++ xlogxlog xx
( )( ) 0218
2
2 ≤−−+ xlogx
( ) 2182 =−+ xlogx

18. 9.9. Решите неравенство
( ) ( ).xxlogxlog xx
2
2
22
2 1636163218 −+≤+− ++
( ) ( )2
22 218 +=− ++ xlogxlog xx
( )2
218 +=− xx
01452
=−+ xx



=
−=
.х
,x
2
7 ОДЗяетудовлетворне−
.:Ответ 2
(продолжение)

19. 10.10. Решите неравенство ( ) ( ) 032 32 ≤−⋅+ +− xlogxlog xx
Решение.
ОДЗ:










>−
≠+
>+
>+
≠−
>−
;x
,x
,x
,x
,x
,x
03
13
03
02
12
02
( ) ( ).;;x 2112 ∪−∈⇔
( ) ( ) 032 32 ≤−⋅+ +− xlogxlog xx
( ) ( )
( ) ( )
0
32
32
22
22
≤
+⋅−
−⋅+
xlogxlog
xlogxlog
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
0
1312
1312
≤
−+⋅−−
−−⋅−+
xx
xx
( ) ( )
( ) ( )
0
21
21
≤
+⋅−
−⋅+
xx
xx
( ) ( )
( ) ( )
0
21
21
≤
+⋅−
−⋅+
xx
xx
-2 1-1
+−+−
х
+
2
имеем,ОДЗучетомC
-2 1-1 х2
( ] ( ).;;x 2112 ∪−−∈
( ] ( ).;;:Ответ 2112 ∪−−