تتناول الوثيقة موضوع الاتصال في الدوال الرياضية، حيث تشرح متى تكون الدالة متصلة أو غير متصلة. كما تشمل الوثيقة أمثلة توضيحية حول كيفية التحقق من الاتصال عند النقاط المحددة. تُعتبر الحدود النهائية للدوال وتحليل سلوكها خلال الاقتراب من النقاط المحددة جزءًا أساسيًا من الفهم.

1. 3-1

2. ‫واآلن‬:‫المفردات‬

3. ‫نبضة‬‫القل‬‫ب‬
‫الموجات‬‫المستعرضة‬
‫الماء‬ ‫وموجات‬ ‫الضوء‬ ‫مثل‬
‫الجسور‬

5. ‫الدوال‬ ‫أنواع‬
‫معرفه‬
‫موجودة‬ ‫النهاية‬‫النهاية‬‫موجودة‬ ‫غير‬
‫معرفه‬ ‫غير‬
Lim f(c) = f(c)
‫متصلة‬ ‫الدالة‬
Lim f(c) ≠ f(c)
‫عدم‬‫ا‬‫نقطي‬ ‫تصال‬
‫ال‬ ‫اليمين‬ ‫من‬ ‫النهاية‬
‫اليس‬ ‫من‬ ‫النهاية‬ ‫تساوي‬‫ار‬
‫اتصال‬ ‫عدم‬‫قفزي‬
‫موجودة‬ ‫غير‬ ‫النهاية‬ ‫النهاية‬‫موجودة‬
‫عدم‬
‫ا‬‫تصال‬
‫نقطي‬
‫اتصال‬ ‫عدم‬
‫النهائي‬

6. ‫االتصال‬ ‫عدم‬‫القفز‬‫ي‬
‫االتصال‬ ‫وعدم‬
‫الالنهائي‬
‫لإلزالة‬ ‫قابل‬ ‫غير‬ ‫اتصال‬ ‫عدم‬
‫قي‬ ‫من‬ ‫تقترب‬ ‫الدالة‬ ‫قيم‬ ‫ألن‬‫م‬
‫عدم‬ ‫نقطة‬ ‫يمين‬ ‫إلى‬ ‫مختلفة‬
‫أن‬ ‫أو‬ ، ‫يسارها‬ ‫وإلى‬ ‫االتصال‬
‫قيمة‬ ‫من‬ ‫تقترب‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫قيم‬
‫أي‬ ، ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫عند‬ ‫محددة‬
‫حدود‬ ‫بال‬ ‫تتناقص‬ ‫أو‬ ‫تزداد‬.
‫النقط‬ ‫االتصال‬ ‫عدم‬‫ي‬
‫أل‬ ‫لإلزالة‬ ‫قابل‬ ‫اتصال‬ ‫عدم‬‫نه‬
‫الدالة‬ ‫تعريف‬ ‫إعادة‬ ‫يمكن‬
‫تلك‬ ‫عند‬ ‫متصلة‬ ‫لتصبح‬
‫النقطة‬.

7. ‫االتصال‬ ‫اختبار‬

8. ‫مثال‬:
‫الثالثة‬ ‫االتصال‬ ‫شروط‬ ‫من‬ ‫تحقق‬
f(2) = 2(2)2 – 3(2) – 1
= 8 – 6 – 1
R∍= 1
‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أي‬x=2

9. 2
1

10. ‫أن‬ ‫بما‬
lim
𝒙 →𝟐
𝒇(𝟐) = 𝟏
‫و‬
f(2) =1
‫أن‬ ‫نستنتج‬
𝒍𝒊𝒎
𝒙 →𝟐
𝒇(𝟐) = 𝒇(𝟐)
‫عند‬ ‫متصلة‬ ‫الدالة‬ ‫إذن‬x = 2

11. ‫صــــــ‬ ‫فهمك‬ ‫من‬ ‫تحقق‬29‫ـــــــــ‬(1A: )
‫الثالثة‬ ‫االتصال‬ ‫شروط‬ ‫من‬ ‫تحقق‬
1)‫هل‬f(0)‫؟‬ ‫موجودة‬
f(0) = 03
= 0 ∍ R
‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أي‬x= 0

12. ‫؟‬ ‫موجودة‬ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒇 𝒙 ‫هل‬ 
‫قيم‬ ‫يبين‬ ‫ا‬‫جدوال‬ ‫كون‬f(x)‫عندما‬‫تقترب‬x‫من‬0‫واليمين‬ ‫اليسار‬ ‫من‬
0. 50.050.0050- 0.005- 0.05- 0. 5x
0.1250.0001250.0000001250-0.000000125-0.000125-0. 125f(x)
‫قيم‬ ‫تقترب‬ ‫عندما‬ ‫أنه‬ ‫الجدول‬ ‫يبين‬x‫من‬0‫واليمين‬ ‫اليسار‬ ‫من‬,‫قيمة‬ ‫فإن‬f(x)‫من‬ ‫تقترب‬0,‫أن‬ ‫أي‬
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒇 𝒙 = 𝟎
(0,0)

13. ‫أن‬ ‫بما‬
lim
𝒙 →𝟎
𝒇(𝒙) = 𝟎
‫و‬
f(0) =0
‫أن‬ ‫نستنتج‬
𝒍𝒊𝒎
𝒙 →𝟎
𝒇(𝟎) = 𝒇(𝟎)
‫عند‬ ‫متصلة‬ ‫الدالة‬ ‫إذن‬x = 0
3)‫؟‬ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒇 𝒙 = 𝒇(𝟎) ‫هل‬

14. ‫فهمك‬ ‫من‬ ‫تحقق‬1B
‫عند‬ ‫متصلة‬ ‫التالية‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫ما‬ ‫حدد‬.‫اخت‬ ‫باستعمال‬ ‫إجابتك‬ ‫برر‬‫بار‬
‫االتصال‬.
0x 
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙 , 𝒙 <𝟎
𝒙, 𝒙 ≥ 𝟎
‫الحل‬:
1)، 𝒇 𝟎 = 𝟎‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أي‬𝒙 = 𝟎
2)
0.10.010.0010-0.001-0.01-0.1
0.10.010.001-1000-100-10
‫أن‬ ‫الجدول‬ ‫يبين‬𝑓 𝑥‫من‬ ‫تقترب‬0‫تقترب‬ ‫عندما‬x‫بال‬ ‫وتتناقص‬ ‫اليمين‬ ‫جهة‬ ‫من‬ ‫الصفر‬ ‫من‬
‫تقترب‬ ‫عندما‬ ‫حدود‬x‫من‬0‫اليسار‬ ‫جهة‬ ‫من‬
‫أن‬ ‫أي‬:‫موجودة‬ ‫غير‬.
0
lim ( )
x
f x

‫عند‬ ‫متصلة‬ ‫غير‬ ‫الدالة‬ ‫إذن‬0x 
‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫اتصال‬ ‫عدم‬ ‫المجاور‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الدالة‬ ‫منحنى‬ ‫ويوضح‬𝒙 = 𝟎
‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬
x=0‫أن‬ ‫تعني‬
f(0)‫موجودة‬

16. ‫مثال‬:
‫الثال‬ ‫االتصال‬ ‫ط‬‫و‬‫شر‬ ‫من‬ ‫تحقق‬‫ثة‬
-3
3x - 22 - x
1)‫هل‬f(-3)‫؟‬ ‫موجودة‬
f(-3) = 2 – (- 3)
= 2 + 3
R∍= 5
‫عند‬‫معرفة‬‫الدالة‬‫أن‬‫أي‬x= -3

17. ‫؟‬ ‫موجودة‬ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟑
𝒇 𝒙 ‫هل‬ 
‫قيم‬ ‫يبين‬ ‫ا‬‫جدوال‬ ‫كون‬f(x)‫عندما‬‫تقترب‬x‫من‬-3‫واليمين‬ ‫اليسار‬ ‫من‬
- 2.9- 2.99-2.999- 3-3.001-3.01-3.1x
- 10.7-10.97-10.9975.0015.015.1f(x)
‫قيم‬ ‫أن‬ ‫وبما‬f(x)‫تقترب‬ ‫عندما‬ ‫مختلفتين‬ ‫قيمتين‬ ‫من‬ ‫تقترب‬x‫من‬-3
‫موجودة‬ ‫غير‬‫النهاية‬ ‫فإن‬
3x - 22 - x
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟑
𝒇 𝟑𝒙 − 𝟐 = −𝟏𝟏𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟑
𝒇 𝟐 − 𝒙 = 𝟓
‫اليمين‬ ‫من‬ ‫النهاية‬‫اليسار‬ ‫من‬ ‫النهاية‬
‫من‬ ‫إذا‬‫و‬
‫الدالة‬ ‫فإن‬f(x)‫عند‬‫ي‬‫قفز‬‫اتصال‬ ‫عدم‬x = -3

18. -3

19. ‫صــــــ‬ ‫فهمك‬ ‫من‬ ‫تحقق‬30‫ـــــــــ‬(2A( )2B: )
‫الثال‬ ‫االتصال‬ ‫ط‬‫و‬‫شر‬ ‫من‬ ‫تحقق‬‫ثة‬
1)‫هل‬f(0)‫؟‬ ‫موجودة‬
f(0) =
𝟏
𝟎
‫معرفه‬ ‫غير‬
‫متصلة‬ ‫غير‬ ‫الدالة‬ ‫إذا‬

20. ‫؟‬ ‫موجودة‬ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒇 𝒙 ‫هل‬ 
‫قيم‬ ‫يبين‬ ‫ا‬‫جدوال‬ ‫كون‬f(x)‫عندما‬‫تقترب‬x‫من‬0‫واليمين‬ ‫اليسار‬ ‫من‬
0.10.010.00100.001-0.01--0.1x
100100001000000100000010000100f(x)
‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫بما‬x = 0‫معرفه‬ ‫غير‬
‫موجودة‬‫غير‬ ‫والنهاية‬
‫النهائي‬ ‫اتصال‬ ‫عدم‬ ‫إذا‬
𝒍𝒊𝒎
𝒙→0 +
𝒇 𝒙 = ∞
‫اليمين‬ ‫من‬ ‫النهاية‬‫اليسار‬ ‫من‬ ‫النهاية‬
𝒍𝒊𝒎
𝒙→0 −
𝒇 𝒙 = ∞

21. ∞

22. ‫الثال‬ ‫االتصال‬ ‫ط‬‫و‬‫شر‬ ‫من‬ ‫تحقق‬‫ثة‬
2 5x + 42 - x
1)‫هل‬f(2)‫؟‬ ‫موجودة‬
f(2) = 2 – (2)
= 0
‫عند‬‫معرفة‬‫الدالة‬‫أن‬‫أي‬x= 2

23. ‫؟‬ ‫موجودة‬ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒇 𝒙 ‫هل‬ 
‫قيم‬ ‫يبين‬ ‫ا‬‫جدوال‬ ‫كون‬f(x)‫عندما‬‫تقترب‬x‫من‬2‫واليمين‬ ‫اليسار‬ ‫من‬
2.12.012.00121.9991.991.9x
14.514.0514.0050.0010.010.1f(x)
‫قيم‬ ‫أن‬ ‫وبما‬f(x)‫تقترب‬ ‫عندما‬ ‫مختلفتين‬ ‫قيمتين‬ ‫من‬ ‫تقترب‬x‫من‬2
‫النهاية‬ ‫فإن‬‫غيرموجودة‬
5x + 42 - x
𝐥𝐢𝐦
𝒙→2+
𝒇 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟏𝟒𝐥𝐢𝐦
𝒙→2−
𝒇 𝟐 − 𝒙 = 𝟎
‫اليمين‬ ‫من‬ ‫النهاية‬‫اليسار‬ ‫من‬ ‫النهاية‬
‫من‬ ‫إذا‬‫و‬
‫الدالة‬ ‫فإن‬f(x)‫عند‬‫ي‬‫قفز‬‫اتصال‬ ‫عدم‬x = 2

24. 2

26. [ -3 , -2 ]
[ 0 , 1 ]
[ 1 , 2 ]

27. ‫صــــــ‬ ‫فهمك‬ ‫من‬ ‫تحقق‬31‫ـــــــــ‬(3A: )
43210-1-2-3-4-5-6x
67243-231219183-32-93f(x)
[ -5 , -4 ]
[ 0 , 1 ]
[ 1 , 2 ]

29. ‫مثال‬:

30. ‫صــــــ‬ ‫فهمك‬ ‫من‬ ‫تحقق‬32‫ـــــــــ‬(5A( )5B: )
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒇 𝒙 = ∞𝒍𝒊𝒎
𝒙→−∞
𝒇 𝒙 = −∞

31. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒇 𝒙 = −∞𝒍𝒊𝒎
𝒙→−∞
𝒇 𝒙 = ∞

32. ‫البسط‬ ‫درجة‬
‫من‬ ‫أكبر‬
‫المقام‬ ‫درجة‬
‫النهاية‬
‫تساوي‬
‫النهاية‬ ‫ما‬
‫البسط‬ ‫درجة‬
‫من‬ ‫أصغر‬
‫المقام‬ ‫درجة‬
‫النهاية‬
‫تساوي‬
‫صفر‬
‫البسط‬ ‫درجة‬
‫تساوي‬
‫المقام‬ ‫درجة‬
‫النهاية‬
‫تساوي‬
‫معامل‬
‫على‬ ‫البسط‬
‫المقام‬ ‫معامل‬

33. ‫مثال‬:

34. ‫صــــــ‬ ‫فهمك‬ ‫من‬ ‫تحقق‬33‫ـــــــــ‬(6A( )6B: )
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒇 𝒙 = 𝟑𝒍𝒊𝒎
𝒙→−∞
𝒇 𝒙 = 𝟑

35. 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
𝒇 𝒙 = −𝟑𝒍𝒊𝒎
𝒙→−∞
𝒇 𝒙 = −𝟑

36. ‫تمرين‬5:
𝒉 𝒙 =
𝒙 − 𝟒
𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒‫عند‬𝒙 = 𝟒, 𝒙 = 𝟏
‫الحل‬:
1)𝒉 𝟒 = 𝟎
𝟎
،𝒉 𝟏 = −𝟑
𝟎‫أ‬ ‫أي‬ ، ‫معرفتين‬ ‫غير‬ ‫القيمتان‬‫ن‬, 𝒉 𝟒𝒉 𝟏‫موجودتين‬ ‫غير‬
‫عن‬ ‫متصلة‬ ‫غير‬ ‫تكون‬ ‫وعليه‬‫د‬ 𝒉 𝒙𝒙 = 𝟒, 𝒙 = 𝟏
2)‫االتصال‬ ‫عدم‬ ‫نوع‬ ‫لتحديد‬:
4.14.014.00143.9993.993.9𝒙
0.3225810.3322260.3332220.3334440.3344480.344828ℎ(𝑥)
‫من‬ ‫تقترب‬ ‫الدالة‬ ‫قيم‬ ‫أن‬ ‫الجدول‬ ‫يظهر‬0.333‫من‬ ‫تقترب‬ ‫عندما‬4‫أن‬ ‫أي‬ ، ‫الجهتين‬ ‫من‬: 𝒉 𝒙𝒙
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟒
𝒉 𝒙 ≈ 𝟎. 𝟑𝟑𝟑 ≈
𝟏
𝟑
‫لإلزالة‬ ‫قابل‬ ‫االتصال‬ ‫عدم‬ ‫فإن‬ ، ‫موجودة‬ ، ‫عند‬ ‫متصلة‬ ‫غير‬ ‫أن‬ ‫حيث‬
‫عند‬
𝒉 𝒙𝒙 = 𝟒𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟒
𝒉 𝒙
𝒙 = 𝟒
𝒙 •‫من‬ ‫تقترب‬ ‫عندما‬ ‫الدالة‬ ‫قيم‬ ‫في‬ ‫ابحث‬4

37. 𝒙 •‫من‬ ‫تقترب‬ ‫عندما‬ ‫الدالة‬ ‫قيم‬ ‫في‬ ‫ابحث‬1
1.11.011.00110.9990.990.9𝒙
101001000-1000-100-10ℎ(𝑥)
‫حدود‬ ‫بال‬ ‫تتزايد‬‫حدو‬ ‫بال‬ ‫تتناقص‬‫د‬
‫من‬ ‫تقترب‬ ‫عندما‬ ‫حدود‬ ‫بال‬ ‫تتزايد‬ ‫قيم‬ ‫أن‬ ‫الجدول‬ ‫يظهر‬1‫حدود‬ ‫بال‬ ‫وتتناقص‬ ، ‫اليمين‬ ‫من‬
‫من‬ ‫تقترب‬ ‫عندما‬1‫عند‬ ‫نهائي‬ ‫ال‬ ‫اتصال‬ ‫عدم‬ ‫للدالة‬ ‫فإن‬ ‫لذلك‬ ، ‫اليسار‬ ‫من‬.
𝒉 𝒙
𝒙 = 𝟏
𝒙
𝒙