16580568 trigonometri

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

Diketahui segitiga ABC yang siku-siku di B.
C Pada segitiga tersebut didefinisikan perbandingan-
perbandingan trigonometri dasar untuk sudut A sbb :

1. Sinus A. 4. Sekan A
a b 1
b sin A  sec A  
b c cos A
a 2. Cosinus A 5. Cosecan A
c b 1
cos A  csc A  
b a sin A
3. Tangen A 6. Cotangen A
a c 1
tan A  cot A  
A c B c a tan A

1 CONTOH
Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B. Jika sin A =
,
3
tentukan perbandingan trigonometri dari sudut A yang lainnya !

JAWAB

Perhatikan gambar !
Diperoleh :
C 2 2
cos A  csc A  3
3

3 1 tan A 
1

2
cot A  2 2
2 2 4

3 3 2
A B sec A  
2 2 4

1
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com

Matematika Kelas X Semester 2 Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

LATIHAN 1
1 . Diketahui tan B = , tentukan nilai dari cos B , sin B, sec B, cosec B, dan cotan B !

2 . Perhatikan gambar

A . Misal DB = x , lengkapi isian berikut :
C AD = AB - …
= ….. - ….
B . Pada segitiga ACD, CD2 = AC2 – AD2
4 8 Lengkapi isian berikut :
CD2 = …………… - ……………..
= …………………………….. ….. 1)
Pada segitiga BCD, CD2 = BC2 – BD2
Lengkapi isian berikut :
A D B CD2 = …………… - ……………..
10 = …………………………….. ….. 2)
Karena 1) = 2), tentukan nilai x dengan menggunakan
kesamaan tersebut !. Kemudian tentukan juga panjang AD dan panjang BD !
C . Tentukan nilai dari sin B, cos B, dan tan B.
D . Tentukan nilai dari sin A, cos A, dan tan A.

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

Berikut ini adalah tabel perbandingan trigonometri dari sudut-sudut istimewa :


sin α 0 1

cos α 1 0

tan α 0 1

Info

Kita dapat memanfaatkan jari-jari tangan untuk menghafalkan nilai perbandingan trigonometri
dari sudut-sudut istimewa. Perhatikan diagram berikut :

Kosinus

2


Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B. Jika panjang AB = 6 cm, CONTOH
dan  A = 30°, hitunglah panjang sisi BC, dan AC !

JAWAB

Panjang sisi BC dapat dihitung dengan menggunakan
C perbandingan trigonometri berikut :
BC BC
tan A   tan 30 
AB 6
1
Jadi : BC  6  tan 30  6  3  2 3 cm
3
30° Untuk menghitung panjang AC dapat menggunakan

B 6 cm A perbandingan trigonometri sin A , cos A, atau menggunakan
teorema Pytagoras.
Jika digunakan teorema Pytagoras, maka diperoleh :

 
AC 2  62  2 3
2
 AC 2  48  AC  4 3 cm

LATIHAN 2
2 1
1. Jika diketahui sin   dan tan  3 . Hitunglah :
3 2
a. cos  d. cos 
b. tan  sin   cos 
e.
c. sin  tan   cos 

2 Tentukan nilai dari :
Sin 2 30  Sin 2 60 Sin 60
a. Sin 2 60  Cos 2 60 b. c.
Cos 2 30  Cos 2 60 1  Cos 60

3. Perhatikan gambar !
C
Hitunglah :
a. Panjang AC.
b. Panjang CD.
c. Besar sudut ABC.
d. Panjang BD.
60° e. Panjang BC.

A 8 cm D B

3


PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT DI BERBAGAI KUADRAN

Pengertian Kuadran.

y
Sistem koordinat bidang dimensi dua terdiri
dari dua buah sumbu yang membagi
Kuadran II Kuadran I
bidang menjadi empat bagian. Tiap bagian
bidang tersebut dinamakan kuadran.

x
O

Kuadran III Kuadran IV

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SECARA UMUM.
Jika diketahui sudut XOP = α , dengan titik P ( x , y ) adalah sembarang titik pada bidang, maka
perbandingan trigonometri berikut berlaku secara umum :

1. Sinus . 2 . Cosinus. 3 . Tangen .

Sudut α terletak di kuadran pertama, jika :
Sudut di Kuadran Pertama
0° ≤ α ≤ 90°.
Perbandingan trigonometri sudut di kuadran
y pertama :
( bernilai positif )
P(x,y )

x
O
O

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Pertama.
y

P(x,y)

y r

x
x

4


Sudut di Kuadran Kedua

y
Sudut α terletak di kuadran kedua, jika :
90° ≤ α ≤ 180°.
P ( -x , y )
Perbandingan trigonometri sudut di
kuadran
kedua :
x ( bernilai positif )
O
( bernilai negatif )


Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Kedua.
y
Jika α sudut di kuadran pertama, maka :

P ( -x , y
)
r

x
O

Isilah tabel berikut :

 120o 135o 150o 180o

Sin  ……………… ……………… ……………… ………………

cos 
……………… ……………… ……………… ………………

Tan 
……………… ……………… ……………… ………………

5


Sudut di Kuadran Ketiga
Sudut di Kuadran Ketiga
y
Sudut α terletak di kuadran ketiga, jika :
180° ≤ α ≤ 270°.

O x Perbandingan trigonometri sudut di
kuadran ketiga :
P ( –x , –y )


Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi di Kuadran Ketiga.
y Jika α sudut di kuadran ketiga, maka :

O x

r
P ( –x , –y )


 210o 225o 240o 270o

Sin  ……………… ……………… ……………… ………………

cos 
……………… ……………… ……………… ………………

Tan 
……………… ……………… ……………… ………………

6


Sudut di Kuadran Keempat

y
Sudut α terletak di kuadran keempat, jika :
270° < α ≤ 360°.
x Perbandingan trigonometri sudut di
O
kuadran keempat :

P ( x , –y )


Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut yang Berelasi di Kuadran Keempat.
y Jika α sudut di kuadran keempat, maka :

x
O

r P ( x , –y )

Sudut Negatif

y Sudut α bernilai negatif jika arah
perputarannya searah dengan arah perputaran
jarum jam.

x
O

y

x
O
Untuk Sudut Negatif Berlaku :
r
Jika α sudut di kuadran pertama, maka : P ( x , –y )

7



 300o 315o 330o 360o

Sin  ……………… ……………… ……………… ………………

cos 
……………… ……………… ……………… ………………

Tan 
……………… ……………… ……………… ………………

Sudut α > 360°

Untuk sudut α > 360° , berlaku :

Pengembangan

Perbandingan Trigonometri Antara α° dan ( 90 + α )°

Perbandingan Trigonometri Antara α° dan (270 – α )°

Perbandingan Trigonometri Antara α° dan (270 + α )°

2 CONTOH
 tan 225  sin 2 60 
1 . Hitunglah : 


 sec 315 
1 1
2 . Diketahui sin  = dengan  sudut tumpul, dan cos  = dengan  sudut di kuadran
3 6
tan  . tan 
keempat. Tentukan nilai dari
cos 

JAWAB

 2 2  2 2
2  tan 180  45   1 3  
   tan 45   1 3  
 
 tan 225  sin 2 60   2    2  
1.      
 sec 315  1 1
     
 cos 360  315   cos 45 
   
 3 2
 1  2 2

  4    7  2    7 2   98  49
   
 2  4 2   8  64 32
     
 2 

8


1
2. Diketahui : sin  = dengan  sudut tumpul, berarti  sudut di kuadran kedua.
4
1
Dan cos  = dengan  sudut di kuadran keempat
6
2 2
Maka : cos  = 
3
1 1 5
1
3 tan  =   2
2 2 4
2 6
 sin  =  
5
tan  =  2 6

tan  . tan 

1
4

2 . 2 6 3 6
Jadi,  
cos  2 2 4

3

LATIHAN 3
1. Hitunglah nilai dari :
sin 135 . cos 225 tan 840 . sec 300
a. b.
cot  330  sin 2 240
2. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini.
sin (90 -  ) sin (90 -  ) tan (90 - p) cot 99 cos 378
a. b. c. d. 
cos (90 -  ) sec (180 -  ) cosec (180  p) cos 198 cos 81
3. Diketahui sin    4 dan cos    12 ,   dan   dikuadran I. Hitunglah :
5 13
a. cos  e. sin  cos   cos  sin 
b. tan  f. sin  sin   cos  cos 
c. sin  tan   tan 
g.
d. tan  1  tan  . tan 
2 3
4. Jika tan  = dengan  sudut di kuadran ketiga, dan sin  =  dengan  sudut di
5 7
kuadran keempat, hitunglah sin  . tan   2 cos  .
5. Jika A, B , dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, tunjukkan bahwa :
1 1
a . cos B  C    cos A b . sin B  C   cos A
2 2

9


SISTEM KOORDINAT BIDANG

1 . SISTEM KOORDINAT KARTESIUS.

y Sistem koordinat kartesius terbentuk dari dua
buah garis sumbu yang saling tegaklurus.
P(a,b) Kedua sumbu tersebut diberi nama sumbu x
yang arahnya mendatar, dan sumbu y yang
arahnya tegaklurus.

x Setiap titik P pada bidang kartesius dinyatakan
sebagai pasangan bilangan ( a , b ) , dengan a (
O disebut absis ) menyatakan jarak titik terhadap
sumbu y, dan b ( disebut ordinat ) menyatakan
jarak titik terhadap sumbu x .

Bentuk ( a , b ) dinamakan koordinat.

2 . SISTEM KOORDINAT KUTUB ( POLAR ).
P ( r , α° ) Setiap titik P pada koordinat kutub
dinyatakan sebagai pasangan bilangan (
r , b ) , dengan r menyatakan jarak antara
r titik P dengan titik O, dan α menyatakan
sudut yang dibentuk oleh OX dan OP.
x
O

HUBUNGAN ANTARA SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DAN SISTEM
KOORDINAT KUTUB.
Sebuah titik yang dinyatakan dalam sistem koordinat kartesius dapat diubah ke dalam
koordinat kutub, dengan menggunakan hubungan berikut :

y
r  x 2  y 2 , dan tan   y
x
P(x,y)
Untuk menentukan nilai α perlu diperhatikan letak kuadran dari titik P.
r
Untuk mengubah titik dari sistem koordinat kutub ke sistem koordinat
kartesius, dapat digunakan hubungan berikut : x

x  r cos  dan y  r sin  O

10


CONTOH

1. Ubahlah titik (  3 , 3 ) dari bentuk koordinat kartesius menjadi bentuk koordinat kutub !

2. Ubahlah titik ( 6 , 330° ) ke bentuk koordinat kutub menjadi bentuk koordinat kartesius !

JAWAB

1. r  x2  y2   32  3 2 2 3
y 3
tan     1
x 3
  135 ( α di kuadran kedua )

Jadi koordinat kutubnya adalah ( 2 3 , 135 ).
1 
2. x  r cos   x  6 cos 330  x  6 .  3  x  3 3
 2 
 1
y  r sin   y  6 . sin 330  y  6 .     y  3
 2
Jadi koordinat kartesiusnya adalah ( 3 3 ,  3 ).

LATIHAN 4
1. Ubahlah ke dalam koordinat kutub :
a. 5 , 5 3  c.  4, 4 
b.  2 , 2  d.  3 ,1 
2. Ubahlah ke dalam koordinat kartesius :
a .  8 , 30  c.  6 , 240 
b.  4 , 135  d.  12 , 330 

11


PENGUKURAN SUDUT

Besar/nilai suatu sudut dapat ditentukan dengan menggunakan ukuran-ukuran sudut sbb :

1 . Ukuran Derajat.

Satu derajat didefinisikan sebagai besar sudut sudut pusat

satu lingkaran penuh

2 . Ukuran Radian.
Perhatikan juring OAB, OA’B’, dan OA’’B’’.
Ketiga juring tersebut sebangun, jadi :
B’
B
B AB = A’B’ = A’’B’’
O A A A’ OA O’A’ O’’A’’
Nilai dari perbandingan tersebut hanya ditentukan oleh besar sudut
AOB. Nilai perbandingan tersebut adalah nilai ukuran sudut AOB
dalam satuan radian.

r
Satu radian adalah besar sudut pusat yang menghadap busur yang
panjangnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran
r

Hubungan Antara Ukuran Derajat dan Ukuran Radian.

Perhatikan gambar di samping.

Besar sudut AOB : B r A
O

Dalam satuan derajat :

 AOB = 180° …………………….. 1)
Dalam satuan radian :

AB …………………….. 2)
AOB = = = radian
OA

Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh : 180   radian , jadi :

dan

1. Ubahlah ke dalam ukuran radian : 3. Hitunglah : CONTOH
a . 15 b . 60
  
 Cos - 1 
6 
Sin 4 
3


2

2. Ubahlah ke dalam ukuran derajat : 
 Sin 5 

Cot 5 
1 3  6 4 
a.  radian b.  radian
9 2

12


JAWAB

15 1 1 1
1. a. 15   radian =  radian 2. a.  radian = 180 = 20
180 12 9 9
60 1 3 3
b. 60   radian =  radian b.  radian = 180  270
180 3 2 2

  
 Cos - 1  Sin 4  

2 1
 3 
1 2
3 2
   1 3  3
3. 
6  3
  2  2  
 Sin 5 Cot 5    1 1  2  4
 6 4   
 2 

LATIHAN 5
1. Nyatakan sudut-sudut berikut ini dalam ukuran radian :
a . 40. d . 75. g. 210.
b . 30. e . 120. h. 250.
c . 80. f . 134. i. 315.

2. Nyatakan sudut-sudut berikut ini dalam ukuran derajat :
2 7 7
a.  radian. c.  radian. e.   radian.
3 4 6
1 3 4
b .   radian. d.  radian. f.  radian.
5 10 9

3. Sederhanakan :
sec    A  1 
a. b. tan      . cos     
cot    A  2 

4. Hitunglah :
 1 1  2 7   
2
a .  sin   sec   tan   cos   1 1
 sec  csc  
 3 6  3 6   4  3 
c.
7 4  7 1 
b. 2
cot   tan 2   tan  sin  
4 3  6 6 

13


HUBUNGAN ANTAR PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

Diketahui :

r
y

x

1. Hubungan Antara Sinus dan Kosinus.
y2 x2
Diketahui : sin 2   dan cos 2   , jadi :
r2 r2

y2 x2 r2
sin 2   cos 2     1
r2 r2 r2

2. Hubungan Antara Sinus , Kosinus , dan Tangen.
y
sin  y
 r   tan 
cos  x x
r

3. Hubungan Antara Tangen, dan Secan.
y 2 x2 r 2
tan 2 x  1  2
 2  2  sec2 x
x x x

4. Hubungan Antara Tangen, dan Secan.

x2 y2 r2
cot 2 x  1     csc 2 x
y2 y2 y2

14


IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang bernilai benar untuk semua nilai
variabel.
Ada dua cara untuk membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri, yaitu :
1 . Ambil salah satu ruas kemudian dibuktikan sama dengan ruas yang lain.
2 . Ambil kedua ruas, masing-masing ruas disederhanakan, dan dibuktikan bahwa kedua ruas
hasilnya sama.

Buktikan identitas trigonometri berikut : CONTOH
1  2 cos 2 A 1 1 2
1.  tan A  cot A 2.  
sin A . cos A 1  sin A 1  sin A cos 2 A

JAWAB

1. Rkanan = tan A  cot A 1 1
2. Rkiri = 
sin A cos A 1  sin A 1  sin A
= 
cos A sin A 1  sin A  1  sin A
=
sin 2 A  cos 2 A  1  sin A  1  sin A 
=
cos A . sin A 2
=
(1  cos 2 A)  cos 2 A 1  sin 2 A
= 2
sin A . cos A
1  2 cos 2 A
=

1  1  cos 2 A 
= 2
sin A . cos A =
= Rkiri cos 2 A
= Rkanan

LATIHAN 6
Buktikan identitas trigonometri berikut :

1.
sin 2 x
 1  cos x 7.
 sec 2
x  1 cot x   sin x
1  cos x tan x . sin x  cos x
2 . tan   cot   csc  . sec  sec A  csc A sin A  cos A
8. 
3. 2
sin x . csc x  sin x  cos x 2 sec A  csc A sin A  cos A
4.  cot 2
x1 1  cos x   1
2
9.
1

1
 2 sec2 x
1 1  sin x 1  sin x
5.   sec   tan  sec 
1  sin  2 cos 2   1
10 . cot   tan  
6. cos   sin  . tan   sec  sin  . cos 

15


GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

1 . GRAFIK FUNGSI Y = SIN X°

Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = sin x °, terlebih dahulu perlu dihitung nilai
fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb :

Sudut 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

y 0 1 0

Sudut 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

y 1 0

Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = sin x° , sebagai berikut :
y

x

0° 30° 45° 60° 90° 120°135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

Nilai maksimum dari fungsi y = sin x° samadengan 1 dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama
dengan 1.

Info

Fungsi trigonometri termasuk fungsi yang periodik, maksudnya nilai-nilai dari fungsi tersebut
akan berulang dalam suatu interval tertentu yang dinamakan periode.

Periode dari fungsi y = sin x dan y = cos x samadengan 360 atau 2 radian .

16


2 . GRAFIK FUNGSI Y = COS X°

Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = cos x °, terlebih dahulu dihitung nilai fungsi
tersebut pada sudut istimewa, sbb :

Sudut 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

y 0 1 0

Sudut 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

y 1 0

Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = cos x° , sebagai berikut :
y

x
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

Nilai maksimum dari fungsi y = cos x° samadengan 1 dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama
dengan 1.

17


3 . GRAFIK FUNGSI Y = TAN X°

Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri y = tan x °, terlebih dahulu perlu dihitung nilai
fungsi tersebut pada sudut istimewa, sbb :

Sudut 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

y 0 1 ∞ 1 0

Sudut 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

y 1 ∞ 1 0

Dari tabel tersebut dapat digambar grafik dari fungsi y = tan x° , sebagai berikut :

y

x
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
asimtot

asimtot

Nilai maksimum dari fungsi y = tan x° samadengan  dan nilai minimum dari fungsi tersebut sama
dengan . Periode dari fungsi ini samadengan 180 atau  radian.

LATIHAN 7
1 . Isilah tabel berikut :

x 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
2 sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

x 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
2 sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

a . Dengan menggunakan bantuan tabel di atas, gambarlah grafik fungsi y = 2 sin x°
b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut !

18


2 . Isilah tabel berikut :

x 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
cos 2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

x 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
cos 2x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

a . Dengan menggunakan bantuan tabel di atas, gambarlah grafik fungsi y = cos 2x°
b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut !

PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA

Bentuk umum dari persamaan trigonometri sederhana adalah :

1. Persamaan sinus : 2. Persamaan cosinus 3. Persamaan tangen
sin x  sin   cos x  cos   tan x  tan  
Penyelesaian : Penyelesaian :
x     k.360 x     k.360 Penyelesaian :
atau atau x     k.180
x  180     k.360 x      k.360

Dengan k bilangan bulat .

Catatan : jika tanda derajat ( “ ° ” ) tidak dicantumkan, maka ukuran sudut yang dipakai
adalah ukuran radian.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut :
1 CONTOH
1 . sin x   , untuk 0  x  360
2
2. 2 cos 3x  3 , untuk 0  x  360
 1 
3. 3  3 tan  x     0 , untuk 0  x  2
 4 
JAWAB
1
1. sin x   , untuk 0  x  360
2
Sin x° berharga negatif di kuadran ketiga atau keempat, misal diambil pada kuadran ketiga
( jika diambil pada kuadran keempat akan diperoleh hasil akhir yang sama ).
Jadi :
Sin x° = sin ( 180 + 30 )°  Sin x° = sin 210°
Penyelesaian :
x  210  k.360
Untuk k = 0 diperoleh : x  210  0.360  210
atau
x  180  210  k.360  30  k.360
Untuk k = 1 diperoleh : x  30  1.360  330
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah :
HP = { 210° , 330° }

19


2. 2 cos 3x  3 , untuk 0  x  360
Persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk umum, sbb :
3
cos 3x  , diperoleh :
2
cos 3x  cos 30
Penyelesaian :
3x  30  k.360  x  10  k.120 3x   30  k.360  x   10  k.120
Untuk k = 0 , diperoleh x  10 Untuk k = 1 , diperoleh x  110
atau

HP = { 10° , 110°, 130°, 230°, 250°, 350° }
 1 
3. 3  3 tan  x     0 , untuk 0  x  2
 4 
Bentuk umum dari persamaan tersebut, adalah :
 1  1
tan  x      3.
 4  3
Karena lambang derajat tidak dicantumkan, maka ukuran sudut yang dipakai adalah
radian, sehingga diperoleh :
 1  5
tan  x     tan 
 4  6
Penyelesaian :
1 5 5 1 13
x      k.  x      k.  x    k.
4 6 6 4 12
1
Untuk k = 1 , diperoleh x 
12
13
Untuk k = 0 , diperoleh x 
12
1 13
HP = { , }
12 12

LATIHAN 8
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut :
1
1 . sin x  =  3 , untuk 0 ≤ x ≤ 360.
2
2 . 2 cos 2x  = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360.
3 . tan ( 15  x )  = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 360.
4. 2 sin 3x  1 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2.
5. sin ( 3x  30 )  = sin 2 x , untuk 0 ≤ x ≤ 360.
1
6 . cos x = 1 , untuk 0 ≤ x ≤ 2.
2
1
7 . 1+ 3 tan ( x   ) = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2.
3
8 . sin 3x  = cos( x – 45 ) , untuk 0 ≤ x ≤ 360 ( Petunjuk : ingat cos x = sin ( 90 – x ) ).
2
9 . cos (  x ) = sin x , untuk 0 ≤ x ≤ 2.
3
10 . cot 4 x + 1 = 0 , untuk 0 ≤ x ≤ 2.

20


RUMUS-RUMUS SEGITIGA

ATURAN SINUS

C
Pada segitiga ABC berlaku aturan sinus sbb :
b a a b c
 
sin A sin B sin C

A c B

Info

Aturan sinus dapat diterapkan, jika pada segitiga diketahui :
1 . sisi  sudut  sudut 2 . sudut  sisi  sudut 3 . sisi  sisi  sudut

1. Diketahui segitiga ABC dengan  A = 45° ,  B = 60° , dan a = 12 cm. CONTOH
Hitunglah panjang b !
2. Diketahui segitiga KLM, dengan panjang sisi KL = 4 cm,
panjang sisi LM = 3 cm, dan  M = 30°. Hitunglah cosinus  K .

JAWAB

1. Panjang b adalah :

b a a . sin B
  b C
sin B sin A sin A

Jadi : b a = 12 cm
12 . sin 60
b
sin 45
45° 60°
1
12 . 3 A B
 b 2  6 6 cm
1
2
2
L
2. Nilai sinus dari  K adalah :
k m k . sin M
  sin K 
sin K sin M m 4 cm 3 cm
1
3.
3 . sin 30 2 3
sin K  
4 4 8 30
K M
Untuk menentukan nilai cosinus dari sudut K , digambar
sketsa berikut :

21


8 Jadi :
3
55
cos K 
K 8

LATIHAN 9
2
1 . Diketahui segitiga ABC, dengan panjang sisi AC = 3 5 cm ,  C = 60. Jika sin B =
3
hitunglah panjang sisi AB ! .
1
2 . Diketahui segitiga PQR, dengan panjang sisi PQ = 3 cm, QR = 4 6 cm, dan  R =
2
30. Hitunglah cosinus  P !
3 . Pada segitiga KLM, diketahui m = 12 cm ,  K = 45, dan  C = 30.
Hitunglah panjang l !
4 . Pada segitiga RST, panjang sisi RT = 5 C
cm, panjang sisi ST = 5 2 cm.
a . Hitunglah besar  S
b . Hitunglah besar  T
5 . Dua orang pada saat yang sama
berangkat menuju titik C. Salah seorang
berangkat dari titik B dengan kecepatan
2 km/jam. Temannya berangkat dari 120
titik A. Jika mereka sampai di titik C 30
dalam waktu yang sama, hitunglah A B
kecepatan temannya tersebut !

ATURAN KOSINUS

C Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus sbb :

b a 2  b 2  c 2  2bc cos A
a
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cos C

A c B

Bentuk lain dari aturan kosinus adalah :

b2  c2  a2 a2  c2  b2 a2  b2  c2
cos A  cos B  cos C 
2bc 2ac 2ab

22


Info

Aturan cosinus dapat diterapkan, jika pada segitiga diketahui :
1 . sisi  sudut  sisi 2 . sisi  sisi  sisi

1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 4 cm, CONTOH
panjang BC= 6 cm , dan sudut C = 120. Hitunglah panjang sisi AB !
2. Segitiga PQR mempunyai panjang sisi PQ = 5 cm , PR = 7 cm, dan QR = 9 cm. Hitunglah
cosinus sudut QPR !

JAWAB
1. Panjang sisi AB, adalah :
B

AB 2  AC 2  BC 2  2 . AC . BC . cos C
 AB 2  4 2  6 2  2 . 4 . 6 . cos 120
 AB 2  16  36  24  76 6 cm

120
Jadi : AB  76  2 19 cm
A 4 cm C

2. Cosinus sudut QPR adalah : P
PQ  PR  QR
2 2 2
cos QPR 
2 . PQ . PR
5 cm 7 cm
52  7 2  92 7 1
 cos QPR   
2.5.7 70 10

Cosinus sudut QPR bernilai negatif,
Q R
berarti sudut QPR merupakan sudut 9 cm
tumpul.

Info

Dalam navigasi, ukuran dan arah suatu sudut
dinyatakan dalam bentuk jurusan tiga angka U
Hal-hal yang perlu diketahui :
1 . Sebagai arah patokan adalah arah utara.
2 . Sudut berputar searah jarum jam. 060
3 . Ukuran sudut dinyatakan dengan menggunakan
tiga angka .
Sebagai contoh adalah jurusan 060 pada gambar di
samping.

23


LATIHAN 10
1. Diketahui segitiga ABC , dengan panjang AB = 2 3 cm, panjang BC = 5 2 cm,
dan  B = 135 . Hitung panjang sisi AC !
2. Diketahui segitiga PQR , dengan panjang PQ = 4 cm, panjang QR = 3 cm, dan
panjang PR = 3 cm. Hitung nilai cosinus dari  P,  Q, dan  R !
3. Sebuah kapal berlayar dari kota A ke kota B dengan jurusan 045 sejauh 60 km
dari kota A, kemudian kembali berlayar dengan jurusan 135 menuju ke kota C
sejauh 120 km dari kota B .Hitunglah jarak dari kota A ke kota C.
4. Dua buah kapal berangkat bersama dari tempat yang sama dan
membentuk sudut 60. Kapal pertama berkecepatan 12 km/jam,
dan kapal kedua berkecepatan 15 km/jam. Hitunglah jarak 60
kedua kapal sesudah bergerak selama 2 jam !
5. Sebuah pesawat terbang dari kota A ke kota B sejauh 14 km
dengan jurusan 045, kemudian terbang ke kota C dengan
jurusan 135 sejauh 48 km. Hitunglah besar ABC,  ACB, dan jarak AC.
Kemudian tentukan jurusan A dari C !.

LUAS SEGITIGA

Luas dari segitiga ABC dapat dihitung dengan menggunakan C
rumus :
b a
1 1 1
L = a b sin C , atau L = a c sin B , atau L = b c sin A
2 2 2

A c B
Info

1 . Jika sebuah segitiga diketahui besar dua buah sudutnya beserta sisi yang diapit
kedua sudut tersebut, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus
sebagai berikut :
C
Jika segitiga ABC diketahui besar  B ,  C, dan
sisi a , maka luasnya samadengan :

a
L=

Besar  A = ( 180 -  B -  C )°
A B

2 . Jika segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya, maka luas dari segitiga
tersebut dapat dihitung dengan rumus :

L=
C

Dengan .
b a
Rumus ini dikenal dengan nama Rumus Heron.

A c B

24


Hitunglah luas segitiga berikut : CONTOH
1 . Segitiga ABC, panjang AB = 16 cm, AC = 12 cm, dan  A = 150.
2 . Segitiga PQR, panjang QR = 8 cm,  Q = 30 , dan  R = 120.
3 . Segitiga KLM, panjang k = 10 cm , l = 6 cm , dan m = 12 cm.

JAWAB

1 . Luas segitiga ABC adalah :
1
B L = AC . AB . sin 150
2
1 1
= 12 . 16 .  48 cm 2
16 cm 2 2
150
C
A 12 cm

2 . Besar sudut P = ( 180  120  30 ) = 30
P
Jadi luas segitiga PQR, adalah :

QR 2 . sin Q . sin R
L =
2 sin P
8 2 . sin 30 . sin 120
=
2 sin 30 120
30
1 Q R
64 . 3
2 8 cm
= = 16 3 cm 2
2

3. Karena diketahui panjang ketiga sisinya, K
maka dapat dipakai rumus Heron, sbb :

12 cm
6  10  12
s  14
2 6 cm

Jadi : L = 14 . 14  6 . 14  8 . 14  12
L
M
= 14 . 8 . 6 . 2  1344 10 cm

= 64 21  8 21 cm2.

25


LATIHAN 11
Hitunglah luas segitiga berikut :
1 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 10 cm, b = 2 7 cm, dan  C = 60
2 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 8 3 cm ,  B = 45, dan  C = 150.
3 . Segitiga ABC dengan panjang sisi a = 6 cm , b = 7 cm, dan c = 4 cm.
4 . Hitunglah luas segienam beraturan yang panjang sisi-
sisinya 20 cm !

5 . Diketahui segitiga ABC samakaki, dengan AB = BC. Jika
AC = 6 cm, dan
C
luas segitiga 20 cm
tersebut 3 7 cm²,
6 cm hitunglah panjang AB !

A B

26


I . PILIHAN GANDA

1. Jika A dan B sudut lancip dengan tan 4. Suatu segitiga ABC diketahui A = 150,
7 1 sisi a = 12 cm dan sisi c = 5 cm, maka
A = dan sin B = , nilai dari luas segitiga AMC = …
3 3
( cos A . tan B ) ² sama dengan … A. 12 cm²
1 B. 13 cm²
A. 2 C. 14 cm²
4
D. 15 cm²
3
B. 2 E. 16 cm²
16 5. Ditentukan segitiga ABC dengan
128 panjang sisi-sisinya AB = 9 cm, AC = 8
C.
9 cm dan BC = 7 cm. Nilai sin A adalah
9 …
D.
128 2
3 A.
E. 3
4 1
2 7 B. 5
sec   sin  3
2. Nilai dari 3 6  ... 2
1 5 C. 5
cot   cos  5
3 6
1 1
A. D. 5
2 2
1 3
B. 2 E. 5
2 5
1 ( Ebtanas 1997 )
C. 3 6. Diketahui segitiga KLM siku-siku di L.
2
15 cos K  sin K
D. 3 Jika cot K = , nilai  ...
8 sin L  cos L
E.  3
7
A.
17
15
B.
3. Perhatikan gambar ! 17
7
C.
R 23
23
D.
17 cm 17
13 cm 23
E.
7
7. Ditentukan segitiga ABC dengan
Q panjang sisi BC = 3 cm,sisi AC = 4 cm
P 27 cm
1
Nilai cot Q = … dan sin A = . Nilai cos B = …
2
5
A. 2
7 A. 5
5
1
B. 1
3 B. 5
3
5
C. 1
13 C. 3
5 2
D. 2
12 D.
27 3
E. 1
13 E.
2

27


8 . Diketahui segitiga ABC dengan B. 3 cm
panjang AB = 6 cm, besar A = 30dan C. 2 cm
C = 120. Luas segitiga ABCadalah … 3
A. 18 cm² D. 3 cm
2
B. 9 cm²
C. 6√3 cm² E. 2 3 cm
D. 3√3 cm² ( Ebtanas 2002 )
E. 2√3 cm² 13 . Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga
( Ebtanas 1998 ) yang sisinya 5cm, 6 cm dan √21 cm
9 . Pada segitiga ABC, diketahui panjang adalah …
sisi AB = 15 cm, BC = 14 cm, dan AC = 1
A. 21
13 cm. Nilai tan C = … 5
5 1
A. B. 21
13 6
5 1
B. C. 5
12 5
12 1
C. D. 5
13 6
2 1
D. E. 5
3 3
13 ( Ebtanas 2003 )
E.
5 14 . Pada segitiga ABC diketahui sisi AB =
( Ebtanas 1999 ) 6 cm, AC = 10 cm dan sudut A = 60.
3 Panjang sisi BC = …
10 . Jika sin A = , dengan 90 ≤ A ≤
5 A. 2√19 cm
180, maka nilai cos A = … B. 3√19 cm
3 C. 4√19 cm
A.  D. 2√29 cm
5
E. 3√29 cm
3
B. ( UAN 2004 )
5
15 . Diketahui segitiga ABC dengan AB = 4
4
C.  cm, AC = 6 cm, BC = 8 cm dan  ABC
5 = α. Nilai cos α = …
4
D. A. 
1
5 4
3
E.  B.
11
4 24
11
11 . Diketahui Δ PQR dengan PQ = 3 cm, C.
18
PR = 5 cm dan QPR = 60. Jika PS
garis bagi QPR, panjang PS = …
18
D.
20 24
A. 3 21
9 E.
24
20
B. ( UN 2005 )
9 3 16 . Diketahui segitiga BAC dengan AB = 7
45
C. 3 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai
4
20 sin BAC = ....
D. 3
3 5
20 A.
E. 3 7
6 2
( Ebtanas 2001 ) B. 6
7
12 . Diketahui Δ ABC dengan panjang sisi
24
AB = 3 cm, AC = 4 cm dan CAB = 60. C.
CD adalah tinggi Δ ABC. Panjang CD = 49
… D.
2
2 7
A. 3 cm
3 1
E. 6 ( UN 2005 )
7

28


D . 10 71
17 . Diketahui A dan B adalah titik – titik
ujung sebuah terowongan yang dilihat E . 10 61

dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika ( UN 2006 )
19 . Nilai dari sin 315 + cos 315 +
jarak CB = p meter dan CA = 2p√2 tan(60) = …
meter, maka panjang terowongan itu A. 3
adalah … meter. B.  3
1
A .p 5 C.  2
2
1
B.p 17 D. 3
3
C.3 2 1
E.  3
3
D . 4p 20 . Sebuah kapal berlayar ke arah timur
E . 5p sejauh 30 mil Kemudian melanjutkan
( UN 2007 ) perjalanan dengan arah 030° sejauh 60
18 . Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan
mil. Jarak kapal terhadap posisi saat
A dengan arah 044° sejauh 50 Km.
kapal berangkat adalah … mil.
Kemudian berlayar lagi dengan arah
A . 10 37
104° sejauh 40 km ke pelabuhan C .
Jarak pelabuhan A ke C adalah ... km. B . 30 7

A . 10 95 C . 30 52 2

B . 10 91 D . 30 52 3

C . 10 85
E . 30 52 3

( UN 2005 kurikulum 2004 )

II . URAIAN

1 . Seseorang yang tingginya 1,6 m akan mengukur tinggi tiang bendera. Dari sebelah kiri, dia
mengamati ujung tiang bendera dengan
sudut elevasi 15, dan dari sebelah kanan
dia mengamati dengan sudut elevasi 30.
Jika jarak tempat pengamatan pertama
dan kedua adalah 80 m, hitunglah tinggi
tiang bendera tersebut
15 30 ( ket : sin 15  0,259 , cos 15  0,696 ,
tan 15  0,268 )
1,6 m

80 m

2 . Jika   sudut lancip, tentukan perbandingan trigonometri sudut   yang lain, untuk :
3 5
a . Sin   = b. Cos   = c. Tan   = p
5 7

3 . Tentukan nilai dari :
Sin 2 30  Sin 2 60 Sin 60
a. Sin 2 60  Cos 2 60 b. c.
2 2
Cos 30  Cos 60 1  Cos 60

29


4. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam ukuran derajat.
 5 5
a. rad b.   rad c. rad
2 6 3
7 3 13
d.  rad e. rad f. rad
9 4 5
2 2
catatan :  rad  rad
3 3

7. Tentukan Koordinat Cartesius dari titik-titik berikut.
a. A5, 30 b. 
B 4 3 , 60  c. P3, 123
d. R8, 65 e. M10, 330

8 . Tentukan koordinat kutub dari titik-titik berikut.
a. K-4, 3 b. 
L 1, - 3  c. M- 2, - 7 

2
 
d. N 5 , 2 e. S- 2, 3

9 . Lengkapi tabel berikut :

x 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
1 + sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

x 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….
1 + sin x ……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …….

a . Gambarlah grafik fungsi y = 1 + sin x .
b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut.

10 . Lengkapi tabel berikut :

x 0° 30° 60° 90° 120° 150°
( x + 30 ) ……. ……. ……. ……. ……. …….
cos( x + 30 ) ……. ……. ……. ……. ……. …….

x 180° 210° 240° 270° 300° 330°
( x + 30 ) ……. ……. ……. ……. ……. …….
cos( x + 30 ) ……. ……. ……. ……. ……. …….

a . Gambarlah grafik fungsi y = cos (x + 30 ) .
b . Tentukan nilai maksimum, nilai minimum, dan periode dari fungsi tersebut.

30

16580568 trigonometri

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to 16580568 trigonometri

16580568 trigonometri