Документ обсуждает проектно-исследовательскую деятельность, связанную с геометрическими фигурами, такими как пентагон и пентаграмма, а также концепцией золотой пропорции. Авторы предлагают задачи для школьников, которые учат их находить отношения площадей и углов, используя свойства равнобедренных треугольников и пентаграмм. В документе также подчеркивается важность золотого сечения в искусстве и архитектуре, с упоминанием таких мастеров, как Леонардо да Винчи.

1. Мысли вслух
(о проектно-исследовательской деятельности)
«Звездные» треугольники
Если нарисовать правильный пятиугольник – пентагон ( от греч.
pentagỖnon), и в нем провести все диагонали, то получим пятиконечную
звезду, называемую пентаграммой или пентаклем. Название пентаграмма
происходит от греческого слова pentagrammon (pente – пять, grammon –
линия) и означает правильный пятиугольник, на сторонах
которого построены равнобедренные треугольники
одинаковой высоты.
Из «Начал» Евклида пришла задача о делении отрезка в
крайнем и среднем отношении. Суть задачи в следующем.
Разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы
меньшая часть его относилась к большей, как большая часть
AC CB
отрезка относится к отрезку АВ, то есть = или, что то
CB AB
же самое: AB CB Обозначим каждое из
= .
A C B CB AC
двух последних отношений через x . Тогда с учетом того, AB = AC + CB ,
перепишем последнюю пропорцию в виде
AC + CB AC 1 1
x = = +1 = + 1 = + 1.
CB CB CB x Откуда следует уравнение
AC
x − x − 1 = 0. Ясно, что решением этого уравнения должно быть
2
положительное число, следовательно, решением задачи о делении отрезка в
1+ 5
крайнем и среднем отношении должно быть число . Это число
2
называется золотой пропорцией, а уравнение x 2 − x − 1 = 0 или уравнение
x 2 = x + 1 - уравнением золотой пропорции. Приближенное значение числа
1+ 5
равно 1,6180339887498948482045868343656381177203…
2
Заметим, что на отрезке АВ существует еще одна точка, D, которая также
A D B
AB AD 1 + 5
делит его золотым сечением = = .
AD DB 2
Точки пересечения диагоналей в пентагоне всегда являются точками
«божественной пропорции».При этом образуется новый пентагон, в котором
можно провести диагонали, их пересечение даст еще один пентагон и так до
1

2. бесконечности. Таким образом, соотношение линейных сегментов в
пятиконечной звезде всегда равно золотой пропорции, которая обозначается
буквой Φ(phi)в честь выдающегося греческого скульптора Фидия (Phidias),
который широко использовал ее в своих скульптурах.
Считается, что именно Леонардо да Винчи ввел термин «золотое сечение»
(aurea sectio) и использовал пропорции этого сечения во
многих своих знаменитых произведениях ( в частности в
«Тайной вечере» и «Моне Лизе»). Это удивительное число
стало эстетическим каноном древнегреческого искусства и
искусства Возрождения. Однако существует мнение , что
термин восходит к Клавдию Птолемею – великому
античному астроному и географу. Но термин стал
популярным и закрепился в науке благодаря Леонарду да Винчи, то есть он
стал поистине «кодом да Винчи».
Итак, пентагон и пентакл – один из самых могущественных образов,
считавшийся во многих культурах одновременно божественным и
магическим.
Учитывая упомянутое выше, традиционно своим учащимся я предлагаю
задачи, связанные с пентагоном, пентаклем, с золотой пропорцией.
Так в 9 классе с целью осуществления проектно-исследовательской
деятельности учащимся была предложена связка (дидактическая цепочка)
задач:
1) В тупоугольном равнобедренном треугольнике АВС ( АС – основание,
∠A = 36 0 ) проведена биссектриса АК. Найти отношение S ACK : S ABK .
2) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС ( ∠B = 36 0 )
проведена биссектриса АК. Найти отношение S ABK : S ACK .
3) На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС, один из острых
углов которого составляет 25% другого, взяты такие точки M и N, что
треугольники ACN, CMN, BCM – равнобедренные. Найдите
S AMC S
следующие отношения: а) ; б) CMN ; в) S AMC : S CMN : S CNB .
S CMN S CNB
Геометрической основой предложенных задач явились так называемые
«звездные» треугольники – треугольники составляющие пентаграмму.
C A
C A
M
M
2

3. ООоооооооо
Треугольники поистине «звездные»! Углы в этих треугольниках
18 ,36 0 ,54 0 ,72 0 ,90 0 ,1080 - составляют (кстати!) арифметическую прогрессию.
0
Решение задач основано на применении метода площадей, тесным
образом (что очень важно) связано с тригонометрией и алгеброй. Показать,
1+ 5
что полученные отношения равны , то есть являются золотой
2
пропорцией – это только одна из целей предложенных исследовательских
заданий. Другой же целью является вычисление точного значения sin 180
разными способами, как результата решения конкретной математической
модели возникшей геометрической ситуации, чтобы потом использовать
полученные данные в решении задач на нахождение элементов треугольника.
Также полезно иметь ввиду, что получив значение sin 180 , можно
построить, к примеру, трисекцию углов 54 0 ,1080 , да и сам пентагон.
Рассмотрим решения предложенных задач.
Задача 1. В тупоугольном равнобедренном треугольнике АВС ( АС –
основание, ∠A = 36 0 ) проведена биссектриса АК. Найти отношение
S ACK : S ABK .
Решение.
B
Очевидно, что ∠B = 108 , ∠A = 36 , ∠C = 36 .
0 0 0
K
A C
1
S ACK CK AC AC
2 = 2 cos 36 0 = 2 sin 54 0. Итак, cos 36 = sin 54 .
0 0
= = = 2⋅
S ABK BK AB AB
Для ответа на вопрос нужно найти значение cos 36 0 или sin 54 0. Пусть
180 = α , тогда равенство cos 36 0 = sin 54 0 примет вид: cos 2α = sin 3α .
Используя формулы синуса тройного угла и косинуса двойного угла,
получим уравнение 4 sin3 α − 2 sin 2 α − 3 sin α + 1 = 0. Решая его, получим
−1− 5 −1+ 5
корни: 1, , . Два первых значения sin α не удовлетворяют
4 4
5 −1
условию задачи ввиду того, что 0〈sin 180 〈1. Поэтому sin 180 = .
4
Опять воспользовавшись формулой косинуса двойного угла, получим
1+ 5
значение выражения 2 cos 36 0. Оно равно , следовательно,
2
5 +1
S ACK : S ABK = , а это золотая пропорция!
2
3

4. Задача 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС (
∠B = 36 0 ) проведена биссектриса АК. Найти отношение S ABK : S ACK .
B
Решение.
Из условия задачи следует, что ∠ACK = 72 0 , ∠CAK = 36 0.
S ABK BK AB 1 1 1 1
= = = = = = .
S ACK CK AC AC 1
AC 2 sin 180 2 cos 72 0
K
AB 2 ⋅ 2
AB
Для ответа на вопрос нужно найти значение sin 180 .
Если иметь ввиду то, что 180 = α , тогда равенство
A C
cos 72 0 = sin 180 примет вид: cos 4α = sin α . Применив
формулы косинуса двойного угла и синуса двойного угла к выражению
cos 4α , получим уравнение 1 − 8 sin 2 α + 8 sin 4 α = sin α , то есть
8 sin 4 α − 8 sin 2 α − sin α + 1 = 0.
Приведем его к виду ( sin α − 1) ⋅ ( 8 sin3 α + 8 sin 2 α − 1) = 0.
В силу того, что 0〈sin 180 〈1, значение sin α = 1 решением задачи не будет.
Уравнение 8 sin 3 α + 8 sin 2 α − 1 = 0 решим используя замену 2 sin α = t .
Тогда уравнение 8 sin 3 α + 8 sin 2 α − 1 = 0 будет выглядеть так:
t 3 + 2t 2 − 1 = 0. Разложив его левую часть на множители, получим:
( t + 1) ⋅ (t 2 + t − 1) = 0. С учетом ограничений на переменную t получим,
5 −1 1 5 +1
что sin 180 = ,а = . Ответ получен.
4 2 sin 180 2
Замечание. Видимо проще значение sin 180 получить из треугольника
АКС.
Для этого проведем высоту АН в этом треугольнике.
A ∠CAH = 180 , ∠ACH = 72 0 и cos 180 = sin 72 0. Далее
поступаем так:
C H K
cos 18 = 2 sin 36 0 cos 36 0 , cos 180 = 4 sin 180 cos 180 (1 − 2 sin 2 180 ),
0
1 = 4 sin 180 (1 − 2 sin 2 180 ),8 sin3 180 − 4 sin180 + 1 = 0. Введя обозначение
2 sin 180 = x , найдем корни получившегося уравнения x 3 − 2x + 1 = 0.
Учтем, что 0〈 2 sin 180 〈 2 sin 30 0 = 1. И опять получим значение sin 180 .
Задача 3. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС, один из
острых углов которого составляет 25% другого, взяты такие точки M и N, что
4

5. треугольники ACN, CMN, BCM – равнобедренные. Найдите следующие
S AMC S
отношения: а) ; б) CMN ; в) S AMC : S CMN : S CNB .
S CMN S CNB
Решение.
Ясно, что острые углы данного треугольника равны 180 и 720 .
A Из условия задачи следует, что СМ – медиана треугольника
АВС. Введем обозначения BC = a , BN = b . Тогда
MN = a , AM = a + b и S AMC : S CMN : S CNB = ( a + b ) : a : b . (ӿ)
Выразим b через a , используя треугольники АВС и СРВ
a+
b
(СР – высота треугольника CNB).
M a b
В ∆АВС sin 18 = , а в ∆СРВ sin 180 = .
0
a 2( a + b ) 2a
N a b
Из этих двух равенств следует, что = .
b 2( a + b ) 2a
C Далее в результате преобразований приходим к уравнению
a B
a  a
2
  − − 1 = 0 (а это уравнение золотой пропорции),
b  b
5 +1 a 5 +1
положительным корнем которого является число , то есть = ,
2 b 2
2a
откуда b = .
5 +1
Теперь преобразуем равенство (ӿ).
 2a  2a
S AMC : S CMN : S CNB = ( a + b ) : a : b =  a + :a : =
 5 + 1 5 +1

= 1 +
2 
 :1:
2
= 1 +
(
 2 5 −1  )  :1:
2
=
5 +1
:1:
2
.
 5 + 1 5 +1   4 
 5 +1 2 5 +1
Ответ на вопрос в) получен. Ответим на вопросы а) и б).
S CMN 1 5 +1
S AMC 5 +1 = = .
а) = . б) S CNB 2 2
S CMN 2
5 +1
Из решения этой задачи можно сделать выводы о том, что:
1) точка M и точка N делят соответственно отрезки AN и
BM в отношении золотой пропорции; A
(для отрезка AN:
MN AM a a +b
= , = . ⇒ a 2 − ab − b 2 = 0. 18º
AM AN a + b 2a + b
для отрезка ВМ:
BN MN b a M
= , = . ⇒ a 2 − ab − b 2 = 0. )
MN BM a a + b
N 5
C B

6. S AMC S CMN
2) отношения и равны золотой пропорции;
S CMN S CNB
3) учитывая соотношение между величинами a и b , полученное в ходе
решения, можно теперь уже иным способом вычислить значение sin 180 . (
b 2a 1 5 −1
sin 180 = = : ( 2a ) = = .)
2a 5 +1 5 +1 4
4) зная значение sin 180 , можно с помощью циркуля и линейки построить
трисекции углов 54 0 ,1080 , разделить прямой угол на пять равных углов,
построить пентаграмму.
Важно, наконец, по окончании проекта, «помочь сделать учащимся
открытие» того, что рассматриваемые треугольники являются элементами,
составляющими пентаграмму.
6