1. Мысли вслух.
Рассмотрим одну не сложную, но любопытную задачу: «
1
a 2 + b 2 = 1. ⇒ a 4 + b 4 ≥ . »
2
Она предполагает разнообразные способы решения, применение которых
позволяет не только формировать у учащихся творческий подход к
изучению математики, развивать у них исследовательские навыки,
демонстрировать значение использования внутрипредметных связей при
установлении зависимостей между математическими объектами, но и
активно (!) готовиться к сдаче ЕГЭ.
Решение.
Первый способ.
Из условия вытекает, что b 2 = 1 − a 2 .
1
И нужно доказать, что a 4 + (1 − a 2 ) ≥ . Следующая цепочка верных
2
2
неравенств приведет нас к желаемому результату: ( 2a 2 − 1) ≥ 0. ⇒
2
1 1
⇒ 4a 4 − 4a 2 + 1 ≥ 0. ⇒ 2a 4 − 2a 2 + ≥ 0. ⇒ a 4 + (1 − 2a 2 + a 4 ) ≥ . ⇒
2 2
1 1 1
⇒ a 4 + (1 − a 2 ) ≥ . ⇒ a 4 + ( b 2 ) ≥ . ⇒ a 4 + b 4 ≥ . Требуемое
2 2
2 2 2
доказано.
Второй способ.
a4 +b4 1
Ясно, что a + b = 1. ⇔ a + b + 2a b = 1. ⇔
2 2 4 4 2 2
+ a 2b 2 = .
2 2
В силу соотношения между средним геометрическим и средним
арифметическим двух неотрицательных чисел можно записать следующее:
a4 +b4
a b =a b ≤
4 4 2 2
. Прибавим к обеим частям верного неравенства
2
a4 +b4 a4 +b4 a4 +b4
a b ≤
2 2
выражение . Получаем: a b +
2 2
≤ a 4 + b 4.
2 2 2
a +b4 4
1 1
Но + a 2b 2 = , поэтому a 4 + b 4 ≥ .
2 2 2

2. Третий способ.
Опираясь на соотношение между средним квадратичным и средним
a4 +b4 a2 +b2
арифметическим двух положительных чисел, имеем: ≥ .⇒
2 2
a 4 + b 4 (a 2 + b 2 )
2
2 1
⇒ ≥ . ⇒ a 4 + b 4 ≥ ⋅ 12. ⇒ a + b ≥ .
4 4
2 4 4 2
Четвертый способ решения указывает на связь алгебры и тригонометрии.
Согласно условию можно допустить: a 2 = sin 2 α , b 2 = cos 2 α . Решение
задачи свелось к доказательству истинности неравенства
1
sin 4 α + cos 4 α ≥ .
2
Очевидно, что
1
sin 2 2α ≤ 1. ⇒ 4 sin 2 α cos 2 α ≤ 1. ⇒ −2 sin 2 α cos 2 α ≥ − . ⇒
2
1 1
⇒ 1 − 2 sin 2 α cos 2 α ≥ . ⇒ ( sin 2 α + cos 2 α ) − 2 sin 2 α cos 2 α ≥ . ⇒
2
2 2
1
⇒ sin 4 α + 2 sin 2 α cos 2 α + cos 4 α − 2 sin 2 α cos 2 α ≥ . ⇒
2
1
⇒ sin 4 α + cos 4 α ≥ . И требуемое очевидно истинно.
2
Решение пятым способом основано на применении известного свойства
скалярного произведения ненулевых векторов. (То есть a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos α ,
где α - угол между векторами a и b .
Причем, ввиду того, что cos α ≤ 1, − a ⋅ b ≤ a ⋅ b ≤ a ⋅ b .
И равенство слева выполняется в случае, если векторы a и b
противонаправлены, а справа - если векторы a и b сонаправлены.)
Рассмотрим векторы m {a 2 ; b 2 } и n {1;1} . Тогда m = a + b , n = 2 и
4 4
a2 +b2
a ⋅ 1 + b ⋅ 1 ≤ a + b ⋅ 2, а
2 2 4 4
≤ a 4 + b 4.
2
И далее a 4 + b 4 ≥
( a + b ) , то есть a 4 + b 4 ≥ 1 .
2 2 2
2 2

3. Решим задачу шестым способом.
Рассмотрим графическую интерпретацию задачи.
Для этого введем замену: a 2 = x , b 2 = y . Тогда уравнение и неравенство
1
будут выглядеть так: x + y = 1 и x 2 + y 2 ≥ . Учитывая, что x ≥ 0, y ≥ 0,
2
построим их графики – отрезок с концами на координатных осях Ох и Оу в
точках (1;0) , ( 0;1) и открытую область, ограниченную четвертью окружности
2
 1  и положительными
x +y =
2 2

y  2
1 координатными полуосями.
1
2 . 1 1
Ясно, что эти графики касаются в точке  ; .
2 2
1 Все точки первого графика расположены в
1
0 x области, являющейся графиком неравенства
2 1
x2+y2 ≥ .
2
Следовательно, требуемое доказано.
Предлагаемый материал целесообразно использовать ( в том числе) для
проведения так называемого урока одной задачи.