Не секрет, что в первых числах сентября,
в самом начале нового учебного года, препо-
давателям приходится приводить ребят в необ-
ходимую форму, а иногда даже и в чувство —
после длительных летних каникул. Конечно, хочется потратить на это как можно меньше времени. Тем более, что не за горами — оче-
редные математические регаты, карусели, бои,
олимпиады… И здесь, в деле скорейшего вос-
становления формы, существенна роль таких задач, которые нетрудны и игривы — с одной
стороны — и вместе с тем качественны и полез-
ны — с другой. Они позволяют быстро вспом-
нить и повторить важнейшие факты, формулы, теоремы.
Вот о таких задачах, которые представ-
ляются целесообразными в начале девятого класса (и даже в сильном восьмом классе), мы
и поведем разговор. Во всех из них вопрос (ес-
ли очень кратко) будет один и тот же: КАК?
Вариантов ответа получается ровно два: НИ-
КАК! или ВОТ КАК! Понятно, что оба варианта должны быть сопровождены соответствующими (порой весьма короткими) пояснениями. Итак,
приступаем…
Эта презентация по геометрии создана в помощь учителям математики. На примерах разбора задач учащимся наглядно показан один из методов построения сечений многогранников. В презентации есть задание для самостоятельного выполнения учащимися.
Эта презентация по геометрии создана в помощь учителям математики. На примерах разбора задач учащимся наглядно показан один из методов построения сечений многогранников. В презентации есть задание для самостоятельного выполнения учащимися.
Відповіді Щебаня П. до збірника задач з Алебри за 11 клас. Автори Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С.
Розв'язник висвітлює усі теми шкільної програми з алгебри за 11 клас. Відповіді достатньо добре розписані для розуміння школярами. Також батьки можуть контролювати правильність обчислень виконаних дітьми.
Yotaroy4wryrariyrryoary me daddy vunnarA ko bhi send idkckyhfjfj ghri gift for me to you and me on the meeting and will be in waiting for your reply to you and me on my house is not coming today 😿 will be in 😢 or the meeting will come to the group for a power and me and me on the way you can you send it 356uejjejejjejsi+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945 PM date of the meeting and will be in waiting for your email from your end as desired as a power of vomitings is not coming to the meeting and will be in waiting for your call and me on the way to you and your family is not coming to the meeting and will be in waiting for your call and me on the way to you and your family is not coming to the meeting and will be in waiting for your call and me +91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 09945+91 93984 0994
1. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
22
МАТЕМАТИКАВШКОЛАХУКРАЇНИ
Не секрет, что в первых числах сентября,
в самом начале нового учебного года, препо-
давателям приходится приводить ребят в необ-
ходимую форму, а иногда даже и в чувство —
после длительных летних каникул. Конечно,
хочется потратить на это как можно меньше
времени. Тем более, что не за горами — оче-
редные математические регаты, карусели, бои,
олимпиады… И здесь, в деле скорейшего вос-
становления формы, существенна роль таких
задач, которые нетрудны и игривы — с одной
стороны — и вместе с тем качественны и полез-
ны — с другой. Они позволяют быстро вспом-
нить и повторить важнейшие факты, формулы,
теоремы.
Вот о таких задачах, которые представ-
ляются целесообразными в начале девятого
класса (и даже в сильном восьмом классе), мы
и поведем разговор. Во всех из них вопрос (ес-
ли очень кратко) будет один и тот же: КАК?
Вариантов ответа получается ровно два: НИ-
КАК! или ВОТ КАК! Понятно, что оба варианта
должны быть сопровождены соответствующими
(порой весьма короткими) пояснениями. Итак,
приступаем…
Задача 1. Как построить треугольник, в ко-
тором инцентр делит биссектрису пополам?
НИКАК!
Пусть инцентр I (точка пересечения бис-
сектрис) делит биссектрису AL треугольника
ABC пополам, то есть AI IL= (рис. 1). По-
скольку известно, что
AI
IL
b c
a
=
+
(важнейшее свойство инцентра), то получаем:
b c a+ = .
Однако это противоречит неравенству треуголь-
ника:
b c a+ > .
А
b c
I
a
L BC
рис. 1
Задача 2. Как провести на плоскости хотя
бы одну прямую, равноудаленную от трех дан-
ных точек?
ВОТ КАК!
Если три данные точки лежат на одной пря-
мой (например, l), то любая прямая, проведен-
ная параллельно l, будет искомой. Если же три
данные точки образуют, скажем, треугольник
ABC, то искомой будет любая из прямых, со-
держащих среднюю линию треугольника ABC.
Например, KN BC|| (рис. 2). Действительно,
AD BE CF= =
(покажите!).
А
F K N E
D
C B
рис. 2
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
день ГеоМетрических Знаний
9 класс
Г. Б. Филипповский, г. Киев
2. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
23
МАТЕМАТИКАВШКОЛАХУКРАЇНИ
описанный около треугольника ABC. Если же
в треугольник ABC один из углов не меньше
90° (например, A ≥ °90 ), то искомым будет
круг, построенный на BC как на диаметре
(рис. 4). Действительно, для всех других кру-
гов BC будет лишь хордой, но не диаметром.
Самостоятельно покажите, какой круг бу-
дет «наименьшим», если точки A, B и C ле-
жат на одной прямой.
Задача 5. Как найти гипотенузу прямоуголь-
ного треугольника с радиусом вписанной
окружности 4 и одним из катетов, равным 6?
НИКАК!
Пусть a и b — катеты ( a = 4), c — гипо-
тенуза и r = 4. Тогда согласно формуле
r
a b c
=
+ −
2
имеем:
r
a c b a
= −
−
<
2 2 2
— радиус вписанной окружности должен быть
меньше половины любого из катетов. А у нас
4
6
2
3> = .
Задача 6. Как быстро измерить толщину ли-
ста бумаги?
ВОТ КАК!
Возьмем стопку из большого количества
листов (например, 100 листов). Измерим тол-
щину стопки и разделим на 100.
Задача 7. Как найти углы треугольника
ABC, если около четырехугольника BICT
можно описать окружность, где T — точка,
симметричная инцентру I относительно сто-
роны BC (рис. 5)?
НИКАК!
Известно, что
∠ = ° +BIC
A
90
2
.
Тогда и
∠ = ° +BTC
A
90
2
(из соображений симметрии). Так как сумма этих
двух углов больше, чем 180°, то около четыре-
хугольника BICT нельзя описать окружность.
Задача 3. Как разделить отрезок AK на три
равные части, не прибегая к использованию
теоремы Фалеса?
ВОТ КАК!
Через точку K произвольно проводим пря-
мую и откладываем на ней отрезки KB KC=
(рис. 3). Соединяем точку A с точкой B
и C. Делим AC пополам (точка N) и прово-
дим медиану BN в треугольнике ABC. Тог-
да M BN AK= ∩ — точка пересечения медиан
в треугольнике ABC. А это значит, что
AM MK: := 2 1.
Остается разделить отрезок AM пополам (точ-
ка T):
AT TM MK= = .
А
T
N
M
C K B
рис. 3
Задача 4. Как построить круг наименьшего
радиуса, содержащий три данные точки A, B
и C?
ВОТ КАК!
А
BC
рис. 4
Если данные точки образуют остроугольный
треугольник ABC, то, очевидно, это будет круг,
3. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
24
МАТЕМАТИКАВШКОЛАХУКРАЇНИ
∠ = ° +AFB
C
90
2
( F AL BD= ∩ ).
А
Q
F
C K B
рис. 6
А
C L B T
D
F
рис. 7
Задача 11. Как, проведя не более трех ли-
ний, построить в данном квадрате ABCD угол,
равный 15°?
ВОТ КАК!
Из вершин A и D раствором циркуля,
равным стороне квадрата, делаем две засечки.
Пусть они пересекаются в точке T. Тогда тре-
тья линия TB дает искомый угол: ∠ = °TBC 15
(рис. 8). Действительно,
B
А
C
D
T
2 3
1
рис. 8
А
I
T
BC
рис. 5
Задача 8. Как найти углы выпуклого 360-
угольника, если все они выражаются целым
числом градусов?
ВОТ КАК! Если внутренний угол выража-
ется целым числом градусов, то и внешний —
тоже целым числом градусов. Известно, что
сумма всех внешних углов равна 360°. Тогда
(поскольку все они равны целому числу граду-
сов) каждый внешний угол равен 1°. Тогда все
искомые углы равны по 359°.
Задача 9. Как найти точку Q на стороне
AC треугольника ABC, чтобы медиана AK
делила отрезок BQ пополам?
НИКАК!
Пусть такая точка Q найдена и BF FQ= ,
где F AK BQ= ∩ (рис. 6). Тогда FK — средняя
линия в треугольнике BQC. То есть, отрезок
FK должен быть параллелен CQ. Но прямые
CQ и FK пересекаются в точке A. Противо-
речие…
Задача 10. Как найти углы треугольника
ABC, в котором внешняя биссектриса угла A
параллельна внутренней биссектрисе угла B?
НИКАК!
Пусть AT — внешняя биссектриса угла A
и BD — внутренняя биссектриса угла B. Про-
ведем AL — внутреннюю биссектрису угла A
(рис. 7). Очевидно, ∠ = °LAT 90 — угол между
биссектрисами смежных углов. Согласно усло-
вию AT BD|| . Следовательно, и угол между AL
и BD равен 90°, чего быть не может. Поскольку
4. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
25
МАТЕМАТИКАВШКОЛАХУКРАЇНИ
А
B
C
рис. 10
А
C BK
N
T
1
2
3
рис. 11
Задача 15. Как, пользуясь только линейкой,
построить в каждой из двух пересекающихся
окружностей по хорде, чтобы эти хорды были
параллельны друг другу?
ВОТ КАК!
Пусть окружности пересекаются в точках
A и B. Через точку A проведем произволь-
но секущую C A D− − . А через точку B (тоже
∠ = ° − ° = °1 90 60 30 .
Тогда
∠ = ∠ =
° − °
= °2 3
180 30
2
75 .
А ∠ = ° − ∠ = ° − ° = °TBC 90 2 90 75 15 .
Задача 12. Как расположить на плоскости
6 точек, чтобы любые три из них были верши-
нами равнобедренного треугольника?
ВОТ КАК!
Такими точками могут быть вершины пра-
вильного пятиугольника ABCDE и его центр
O (рис. 9).
А
E B
O
D C
рис. 9
Задача 13. Как нарисовать на плоскости че-
тыре разные окружности и три различные пря-
мые — таким образом, чтобы каждая прямая
касалась любой из окружностей?
ВОТ КАК!
Рис. 10!
Это как раз тот случай, когда три прямые
в пересечении образуют треугольник ABC,
а окружности — это вписанная в него окруж-
ность, а также три вневписанные окружности
этого треугольника.
Задача 14. Как построить прямую, образую-
щую равные углы со сторонами треугольника?
НИКАК!
Пусть такая прямая N K T− − существует
и ∠ = ∠ = ∠1 2 3 (рис. 11). Но ∠ = ∠1 3 — вну-
тренние накрест лежащие, из чего следует,
что прямые BA и CA — параллельны. А они
пересекаются в вершине A.
5. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
26
МАТЕМАТИКАВШКОЛАХУКРАЇНИ
1 4
32
C
K А B N
рис. 14
ВОТ КАК!
Пусть
∠ = ∠ =1 2 a и ∠ = ∠ =3 4 b.
Тогда 90 2 2 180° + + = °a b — сумма углов
треугольника ( ∆KCN). Следовательно,
2 2 90a b+ = ° и a b+ = °45 .
Значит,
∠ = ° + + = ° + ° = °KCN 90 90 45 135a b .
Задача 19. Как на медиане AK треугольни-
ка ABC построить точку Q такую, чтобы
∠ = ∠CQK BAK ( AC AB> )?
ВОТ КАК!
2
1
А
C B
Q
D
N
K
рис. 15
Из точки C раствором циркуля, равным
AB, делаем засечку на медиане AK (вторая
точка пересечения будет на продолжении ме-
дианы). Получим искомую точку Q. И вот по-
чему: проведем перпендикуляры BD и CN
к прямой AK (рис. 15). Они равны, так как
∆ ∆BDK CNK= — по гипотенузе и острому углу.
произвольно) — секущую K B N− − (рис. 12).
Покажем, что CK DN|| . Соединим точки A
и B. Обозначим ∠ACK через a. Тогда
∠ = ° −ABK 180 a.
А смежный с ним ∠ =ABN a. Поскольку четы-
рехугольник ABND — вписанный, то
∠ = ° −ADN 180 a.
Углы KCD и NDC — внутренние односторон-
ние при прямых CK и DN. Так как их сумма
равна 180°, то CK DN|| .
C
K
B
А
D
N
a
a
180° − a
180° − a
рис. 12
Задача 16. Как нарисовать два треугольни-
ка, чтобы каждая сторона первого была боль-
ше каждой стороны второго, а площадь была
большей у второго?
ВОТ КАК! — рис. 13.
1ый
2ой
рис. 13
Задача 17. Как построить треугольник, у ко-
торого центры вписанной и описанной окруж-
ностей совпадают, а точки пересечения высот
и медиан — нет?
НИКАК!
Если любые две из указанных четырех точек
совпадают, то совпадают и все четыре, и тре-
угольник является правильным. Покажите!
Задача 18. Как найти величину угла KCN
в предложенной на рис. 14 конструкции?
6. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
27
МАТЕМАТИКАВШКОЛАХУКРАЇНИ
Тогда равны треугольники ABD и CNQ — по
катету и гипотенузе. Следовательно,
∠ = ∠1 2, или ∠ = ∠CQK BAK.
Задача 20. Как найти основание BC равно-
бедренного треугольника ABC ( AB AC= ), в ко-
тором радиусы вписанной и описанной окруж-
ностей соответственно равны
r = 3 см и R = 5 см?
НИКАК!
Такого треугольника не существует, по-
скольку в любом треугольнике должно быть
выполнено неравенство R r≥ 2 (покажите!).
Несколько задачек на предложенную тему
можно порекомендовать для самостоятельного
решения.
Задача 21. Как построить точку K внутри
треугольника ABC, чтобы ∠BKC был меньше,
чем ∠BAC?
Задача 22. D, E, F — точки касания впи-
санной в треугольник ABC окружности со
сторонами BC, AC и AB соответственно. Как
найти углы треугольника ABC, если треуголь-
ник DEF — прямоугольный?
Задача 23. Как найти расстояние между
ортоцентром (точкой пересечения высот) и цен-
тром описанной окружности для прямоугольно-
го треугольника с гипотенузой, равной 13?
Задача 24. Как определить вид треугольни-
ка, в котором расстояние от одной из вершин
до центроида (точки пересечения медиан) равно
радиусу вписанной в этот треугольник окруж-
ности?
Задача 25. Как построить треугольник, все
высоты которого меньше 1 см, а площадь —
больше, чем 1 м2
?
Замечание 1. Ответы НИКАК! Будут содер-
жаться в задачах с номерами: 21, 22, 24.
Замечание 2. Очевидно, каждый преподава-
тель может предложить свой набор задач для
быстрейшего восстановления формы учащими-
ся. Все зависит от вкуса, предпочтений, опыта.
Важно только, чтобы они приносили пользу
и вызывали интерес у ребят.