решение заданий части 2 (c) Vopvet

1. Решение заданий части СРешение заданий части С
ЕГЭЕГЭ
по математикепо математике 20122012 годагода
МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья иМБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и
развития»развития»
: . .Автор учитель математики Е Ю: . .Автор учитель математики Е Ю

2. С1.С1. Решите уравнение xsinxsinxcos 22=+
xsinxsinxcos 22=+
Решение. ОДЗ: .02 ≥xsin
C учетом ОДЗ:
Zn,nπ
π
x
Zn,nπ
π
x
xsin
∈+=
∈+=
=
4
2
2
2
12
( )22
22 xsinxsinxcos =+
( ) xsinxsinxcos 22 22
=+
xsinxsinxcosxsinxcos 222 222
=++
02221 2
=−+ xsinxsin
01222 2
=−− xsinxsin





−=
=
;xsin
,xsin
2
1
2
12

3. Решение.
Прямая AN является проекцией
прямой AS на плоскость основания.
Поэтому проекция точки М – точка
Н лежит на отрезке AN. Значит угол
∠MNH – искомый.
МН – средняя линия ∆ SAO,
тогда NH = АО = R = = = 24.
Ответ: arctg 7/48.
С2.С2. В правильной треугольной пирамиде SABC известны
ребра: АВ = 24√3, SC = 25. Найдите угол, образованный
плоскостью основания и прямой, проходящей через
середины ребер АS и BC.
O
25
АС
В
S
M
N 24√3
H
24√3
√3
AB
√3
MH = ½SO = ½√SA2
– AO2
= ½√252
– 242
MH = 3,5; из п/у ∆ АМН:
tg ∠MNH = MH : NH = 3,5 : 24 = 7/48.
∠ MNH = arctg 7/48.

4. С3.С3. Решите неравенство ( ) ( )
9
1
4983
3
11
2
11
+
−
+≤−+
х
х
logхxlog
Решение. ОДЗ: ⇔ .( )





>
+
−
>−+
;
x
x
,xx
0
9
1
098
3
2
( ) ( )∞+∪−∞−∈ ;;x 19
C учетом ОДЗ:
[ ) ( ]21920 ;;;x −−∈
( ) ( )
9
1
4983
3
11
2
11
+
−
+≤−+
х
х
logхxlog
( )
( )
4
1
9
98 311
32
11 ≤
−
+
+−+
х
х
logхxlog
( ) ( ) ( )
( )
4
1
919
3
33
11 ≤
−
+−+
х
ххх
log
( ) 4
11
4
11 119 logхlog ≤+
( ) 44
119 ≤+х
-20 х2
-20 1-9 х2
119 ≤+х
11911 ≤+≤− х
220 ≤≤− х

5. С4.С4. Дан ромб ABCD с диагоналями АC = 24 и BD = 10. Проведена
окружность радиуса 5/√2 с центром в точке пересечения диагоналей
ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается этой
окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.
°==== 45
2
2
10
25
αα ,
OB
OP
sin
.βsin,
CD
OD
βcos
13
12
13
5
===
Р – точка касания прямой ВМ с данной
окружностью
О – центр ромба ABCD, по т. Пифагора
CD = √OD2
+ OC2
= √122
+ 52
= 13.
Обозначим ∠ОВМ = α, ∠BDC = β.
Из п/у ∆ОРВ и ∆COD
А
В D
С
Р
O
α
M
5
13
5/√2 β
Решение. 1 случай
Пусть точка М лежит между C и D,

6. Применяя т. синусов для ∆ВМD получим,
что
С4.С4. Дан ромб ABCD с диагоналями АC = 24 и BD = 10. Проведена
окружность радиуса 5/√2 с центром в точке пересечения диагоналей
ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается этой
окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.
поэтому,
BMDsin
BD
MBDsin
DM
∠
=
∠
( )
=
−°−°
°
=
∠
∠
=
βsin
sin
BMDsin
MBDsinBD
MD
45180
4510
( )
=
°+°
=
+°
=
βsincosβcossinβsin 4545
25
45
25
17
130
13
12
2
2
13
5
2
2
25
=
⋅+⋅
=
.MDCDCM
17
91
17
130
13 =−=−=⇒
А
В D
С
Р
O
α
M
5
13
β

7. Пусть теперь точка М лежит на продолжении стороны CD
за точку D. Тогда по т. о внешнем угле треугольника
С4.С4. Дан ромб ABCD с диагоналями АC = 24 и BD = 10. Проведена
окружность радиуса 5/√2 с центром в точке пересечения диагоналей
ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается этой
окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.
АВ
DС
Р
O
α
M
5
13
β
.α−=∠−∠=∠ βMBDBDСBMD
⇒=
7
130
Ответ:
.;
17
91
7
221
( )
=
⋅−⋅
=
°−°
=
°−
=
13
5
2
2
2
2
13
12
25
4545
25
45
25
βcossincosβsinβsin
MD
.MDCDCM
7
221
7
130
13 =+=+=
2 случай

8. Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых система уравнений
имеет ровно 4 решения.
( )



−−=−
−=−
.хуay
,ху
222
323
31234
Решение. Преобразуем данную систему:
Заметим, что количество решений полученной системы
совпадает с количеством решений исходной системы.
Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt.
Пусть t = y – 3, тогда система примет вид:
( )



=+−
=−+
⇔




=++−
=−+
.aхy
,ух
;aхуy
,ух
222222
3
12343
96
12343
( )
( )



=+
=+
2
11243
222
.aхt
,tх
С5.С5.

9. График первого уравнения – ромб,
диагонали которого, равные 8 и 6,
лежат на осях Ох и Оt, а графиком
второго уравнения является
окружность с центром в начале
координат и радиусом r = |a|.
Графики уравнений системы имеют
ровно четыре общих точки, и,
следовательно, система имеет ровно
4 решения, тогда и только тогда,
когда окружность либо вписана в ромб,
либо ее радиус удовлетворяет условию
3 < r < 4.
.,a;,ar 4242
5
43
±==
⋅
==
3
4-4
-3
х
t
В первом случае радиус окружности является высотой
прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, откуда
В втором случае получаем 3 <|a|< 4, откуда −4 < a < −3; 3 < a < 4.
Ответ: а = ± 2,4; −4 < a < −3; 3 < a < 4.
С5.С5.

10. Среди обыкновенных дробей с положительными
знаменателями, расположенных между числами 96/35 и
97/36, найдите такую, знаменатель которой минимален.
Решение. Так как то достаточно
найти правильную дробь с наименьшим знаменателем,
лежащую между числами а
затем прибавить к ней число 2. Среди дробей со
знаменателями 2, 3, 4, 5 и 6 нужных дробей нет, так как
,и
36
25
2
36
97
35
26
2
35
96
==
...,,и..., 740
35
26
690
36
25
==
...,,...,,,...,,...,,...,, 690
5
3
740750
4
3
690
4
2
690
3
2
690
2
1
<>=<<<
Для знаменателя 7 получаем: ..е.т...,,
35
26
7
5
36
25
710
7
5
<<=
Ответ: .
7
19
С6.С6.
.,...,,,, 750
6
5
690
6
4
750
5
4
><>