Документ описывает методическое доказательство теоремы синусов для треугольника с использованием радиусов описанной окружности. Приводится последовательный анализ углов и сторон, подтверждающий равенство сторон через отношения синусов. Также упоминается применение этого метода для вычисления сторон правильного многоугольника, используя радиус описанной окружности.

1. Мысли вслух
(о некоторых методических хитростях)
Рассмотрим еще один способ доказательства теоремы синусов.
Дано: ∆АВС, ω (О; R) – окружность, описанная вокруг ∆АВС.
∠А = α , ∠В = β , ∠С = γ .
Доказать: AC = BC = AB = 2 ⋅ R
sinβ sinα sinγ
Доказательство:
1) Проведем радиусы OB и OD окружности (OD ⊥ BC, OD∩BC=E).
BE=EC, так как ∆BOC – равнобедренный, OE – высота, проведенная к
его основанию, а значит, и медиана. ∠ BAC = ∠ BOE = α (так как они
опираются на равные дуги и ∠ BAC вписанный, он равен половине
дуги, на которую опирается, а ∠ BOE –
центральный и половина дуги BC заключена А
между его сторонами).
2) В ∆BOE BE = BO∙sin ∠ BOE , то есть . О
BC BC
= R ⋅ sin α . Это значит, что = 2R .
2 sin α
3) Аналогично доказывается и то, что: В С
Е
AB AC
= 2 ⋅ R, где γ = ∠С , а = 2 ⋅ R, где β = ∠B. D
sinγ sinβ
AC BC AB
Следовательно, = = = 2 ⋅ R , то есть требуемое
sinβ sinα sinγ
доказано.
Этот способ доказательства можно взять
Ai на вооружение при выводе формулы
О
180 0 , выражающей зависимость
a n = 2R ⋅ sin
n
стороны правильного многоугольника от
радиуса описанной около него окружности.
A2
Действительно, пусть ω(О; r) – окружность,
A1
ат описанная около правильного
многоугольника A1A2 A3 ...An .
Рассмотрим треугольник A1A2 Ai , где A1A2 - сторона a n правильного
многоугольника, а точка Ai - одна из вершин рассматриваемого правильного
многоугольника. Тогда ясно, что если ∠A1OA2 = α , а ∠A1Ai A2 = β , то

2. α 360 0 180 0 180 0
β= = = и a n = 2R ⋅ sin . И все!
2 2n n n
По-моему неплохо, а Вы как считаете?