1. Программа
элективного курса
«Метод вспомогательной окружности»
(геометрия; 12 часов;
для предпрофильной подготовки
учащихся 9 класса)
Автор: учитель математики
высшей категории
муниципального общеобразовательного
учреждения «Гимназия № 1» г.
Саратова
Распарин Владимир Николаевич
Рецензенты:
доцент кафедры математического образования
ГАОУ ДПО «СарИПКиПРО», к.ф.м.н. Корнеева А.О.,
кандидат педагогических наук,
доцент кафедры математики
и методики ее преподавания СГУ
Т. А. Капитонова.
2010 год
1

2. Пояснительная записка
Предлагаемый двенадцатичасовой элективный курс «Метод
вспомогательной окружности» предназначен для учащихся 9-х
классов, как курс по выбору в рамках предпрофильной подготовки.
Рекомендуемое время проведения – II, III учебные четверти.
Курс направлен на развитие интереса учащихся к геометрии, на
расширение и углубление их знаний, на формирование готовности к
изучению математики на повышенном уровне.
Тема его посвящена изучению эффективной (и эффектной!)
составляющей одного из геометрических методов решения задач
(метода дополнительных построений) – метода
вспомогательной окружности.
Выбор темы обусловлен тем, что в учебной программе не
предусмотрено время на знакомство учащихся с методами
решения геометрических задач и, тем более, на формирование
практических навыков использования, к примеру, метода
вспомогательной окружности. Между тем задачи на
использование метода вспомогательной окружности – частые
гости на ЕГЭ и на экзаменах по геометрии за курс основной
школы.
Основные цели курса :
1) создание мотивации на выбор профиля, связанного с
математикой;
2) систематизация, расширение и углубление знаний по
планиметрии;
3) развитие мышления школьников, их интеллектуальных и
творческих способностей;
4) формирование геометрических компетентностей;
5) развитие геометрического воображения и образного
пространственного, логического мышления;
6) обучение применению знаний и умений в процессе разрешения
новых задачных ситуаций;
7) формирование навыков выполнения и применения компьютерных
презентаций для усиления наглядности, привлекательности курса и
развитию межпредметных связей;
8) воспитание личности ученика в процессе математической
деятельности, развитие у них самостоятельности и способности к
самоорганизации.
В процессе освоения программы курса учащиеся:
1) выполняют геометрические построения;
2) решают задачи связанные с окружностью в сочетании с
многоугольниками;
3) овладевают творческими, исследовательскими методами;
2

3. 4) учатся рационально планировать свою учебную
деятельность;
5) используют компьютерные технологии при подготовке к
учебным занятиям;
6) ведут интенсивную подготовку к сдаче экзамена по
геометрии.
Методические рекомендации
Курс состоит из трех частей.
Первая часть (пять часов) посвящена знакомству обучающихся
с одним из самых главных геометрических методов решения
геометрических задач – методом дополнительных построений и с
одной из его разновидностей – методом вспомогательной
окружности.
В процессе этого знакомства учащиеся повторяют известные
теоретических сведений, на основании которых применяется метод
вспомогательной окружности.
Далее формулируются первые четыре условия (четыре признака),
указывающие на целесообразность использования метода
вспомогательной окружности и решаются задачи (1-7), четыре из
которых предлагаются в качестве домашнего задания учащимся.
Кроме того учащимся предлагается подготовить мультимедийную
презентацию на тему: « Один из способов доказательства
утверждения о сумме углов звездчатого многоугольника».
Вводное двухчасовое занятие можно построить так.
“ Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление
разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так
же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа
геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу
геометрии, но и возвысите душу свою”.
Геометрия дает нам не только общее развитие, но и в
огромной степени способствует становлению правильного
логического мышления через задачи. Мыслительные процессы у
человека протекают в форме образов и поэтому геометрической
задаче здесь отводится первостепенная роль. Чертеж является
средством создания геометрического образа по словесному
описанию. Методы решения геометрических задач по сравнению с
методами решения других задач по математике имеет ряд
специфических особенностей. Во-первых, их достаточно много и они
разнообразны. Во-вторых, методы решения задач по геометрии
обладают возможностью взаимной замены. В-третьих, области
3

4. применения конкретных методов четко не очерчены. В-четвертых,
методы решения задач по геометрии с трудом поддаются
формальному описанию. Более того, при решении задач часто
применяется комбинация приемов и методов решения
математических задачи. Во многих случаях решать геометрические
задачи помогает введение в чертеж дополнительных линий – так
называемые дополнительные построения.
В одних случаях эти построения напрашиваются сами собой.
При решении нестандартных задач найти удачное вспомогательное
построение не так-то просто. Требуется достаточно большой опыт,
изобретательность, геометрическая интуиция.
Специфика решения задач по геометрии методом дополнительных
построений проявляется уже на этапе построения чертежа.
Довольно часто применяются так называемые «скелетные»
чертежи. Чаще всего в задачах, в которых фигурируют окружности,
сами окружности не чертятся, а лишь фиксируется центр и радиус.
Стандартное дополнительное построение в задачах на трапецию:
проводим либо два перпендикуляра к основанию и получаем
прямоугольник и два прямоугольных треугольника, либо проводим
отрезок параллельно боковой стороне, и получаем параллелограмм
и произвольный треугольник. Иногда при решении геометрических
задач применяют метод вспомогательной фигуры. Покажем
применение этого метода на примере использования так
называемого « вспомогательного треугольника».
Характеристика метода. При помощи некоторого
дополнительного построения (продление отрезка, геометрическое
преобразование и др.) получают треугольник, который дает
возможность получить решение задачи. Обычно такой треугольник
обладает двумя важными для решения задачи свойствами:
1) его элементы некоторым образом связаны с элементами,
фигурирующими в условии задачи;
2) для его элементов легче найти характеристики, позволяющие
получить решение, чем для фигур непосредственно заданных
условием.
Задача. Доказать, что средние линии треугольника параллельны
его сторонам и вдвое меньше их.
Решение. Пусть точки K, L, M – середины сторон AB, BC, CA
треугольника ABC соответственно (см. рис.)
4

5. Продолжим отрезок KL за точку L на отрезок NL = KL и получим
вспомогательный треугольник NLC.
В Тогда
∆ KBL = ∆ NC L (по двум сторонам и
углу между ними). Поэтому BK = CN и
∟B = ∟4. Следовательно, AK = CN
(так как AK = KB и KB = CN) и AK || CN
L
К 1 N (так как ∟ B = ∟4). Поскольку AK =
2 3 CN и AK || CN, то KN = AC и KN || AC.
Поэтому ∟3 = ∟A, ∟1 = ∟C и KL =
0,5AC. Значит, углы треугольника KBL
4 равны углам треугольника ABC, а
стороны его вдвое меньше сторон
A M С треугольника ABC. Это же верно и
для треугольников AKM, MCL, KML,
так как они равны треугольнику KBL.
P.S. Кроме описанного метода, при решении данной задачи
используется известное дополнительное построение – продление
отрезка на отрезок, равный самому себе.
Одним из дополнительных построений, дающих ключ к
решению ряда задач, является проведение вспомогательной
окружности. Использование в решении планиметрических такого
дополнительного построения можно рассматривать как
специальный метод решения этих задач – метод вспомогательной
окружности.
Суть метода заключается в том, что при решении планиметрических
задач, когда требуется установить связь между данными и
искомыми величинами, нередко полезно около треугольника или
четырехугольника описать окружность, после чего эти связи
становятся более ощутимыми или даже очевидными.
Использование такого метода во многих случаях делает решение
сложных задач очень простым, наглядным и практически устным.
При решении планиметрических задач успех во многом
определяется удачным использованием того или иного метода
решения. Но как определить, какой метод наиболее подходящий в
том или ином случае? Как узнать, когда следует использовать
метод вспомогательной окружности в конкретных задачах?
Анализ решения достаточно большого круга задач показывает, что
использование вспомогательной окружности связано с
характерными признаками фигуры, рассматриваемой в задаче.
Целесообразность применения метода зависит от этих признаков. А
они основаны на теоремах и их следствиях, изучаемых в курсе
геометрии 8,9 классов.
1) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую
он опирается.
5

6. 2) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу,
равны.
3) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,
прямой.
4) Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг,
одна из которых расположена внутри этого угла, а другая – внутри
угла, вертикального к данному.
5) Угол, вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон
пересекает окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг,
заключенного внутри угла.
6) Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через
точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри этого
угла.
7) В любой треугольник можно вписать окружность и притом
единственную.
8) Около любого треугольника можно описать единственную
окружность.
9) В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных
углов равна 1800.
10) Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800,
то около него можно описать окружность.
11) Из всех параллелограммов только около прямоугольника и
квадрата можно описать окружность, центр которой – точка
пересечения диагоналей.
12) Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда
она равнобочная.
В процессе изучения элективного курса «Метод
вспомогательной окружности» мы должны научиться
выделять и использовать те признаки, наличие которых в
задаче приводит к построению вспомогательной окружности и с
ее помощью устанавливать связи между необходимыми
объектами и величинами, определенными условием задачи. Тем
более, что задачи на использование метода вспомогательной
окружности – частые гости на ЕГЭ и на экзаменах по геометрии за
курс основной школы.
Вот эти признаки.
1) Если дан правильный треугольник, то можно провести
окружность с центром в любой из его вершин и радиусом,
равным длине его стороны, либо описать около него
окружность, которая разобьется вершинами треугольника
на равные дуги по 1200 каждая.
2) Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него
описывается окружность, центром которой является
6

7. середина гипотенузы, а радиус равен медиане,
проведенной к гипотенузе этого треугольника.
3) Если удается установить, что суммы противоположных
углов выпуклого четырехугольника равны, то вокруг него
описывается окружность.
4) Если дан квадрат, прямоугольник или равнобедренная
трапеция, то вокруг них описывается окружность.
Примечание. Пятый и шестой признаки (см. далее) на данном
занятии можно не формулировать.
5) Если для четырех точек плоскости А, В, К и М
выполняется условие: точки М и К расположены по одну
сторону от прямой АВ и при этом ∟АМВ = ∟АКВ, то точки
А, В, М и К лежат на одной окружности (Заметим, что если
∟АМВ = ∟АКВ = 900, то точки А, В, М и К расположены на
окружности с диаметром АВ. ).
6) Если в треугольнике заданы биссектриса и медиана или
биссектриса и серединный перпендикуляр, проведенные к
одной и той же стороне, то около треугольника
описывается окружность, а биссектриса продолжается до
пересечения с нею. Продолжение биссектрисы и
серединный перпендикуляр, проходящий через основание
медианы, встретятся в середине дуги, стягиваемой
стороной, к которой они проведены.
Далее решаются три из семи следующих задач (буквой К
отмечены классические, опорные задачи). Например, №№1,5,6 –
в классе, а №№2,3,4,7 – дома.
1) Вне правильного треугольника АВС, но внутри угла ВАС взята
точка М так, что угол СМА равен 300 и угол ВМА равен α. Чему
равен угол АВМ?
Ответ : 1800 - 2α.
2) На стороне АВ треугольника АВС во внешнюю сторону
построен равносторонний треугольник. Найдите расстояние
между его центром и вершиной С, если АВ = с и ∟С = 1200.
с
Ответ : .
3
3К) В треугольнике АВС медиана BD половине стороны АС.
Найдите угол В треугольника.
Ответ: 900.
4) Из точки Р, расположенной внутри острого угла ВАС, опущены
перпендикуляры РС1 и РВ1 на прямые АВ и АС. Докажите, что
∟С1АР =∟С1В1Р.
7

8. 5) В треугольнике АВС проведена высота АН, а из вершин В и С
опущены перпендикуляры ВВ1 и СС1 на прямую, проходящую
через точку А. Докажите, что треугольник НВ1С1 подобен
треугольнику АВС.
6) Дан угол величиной α с вершиной в точке А. Расстояние между
основаниями перпендикуляров, опущенных из некоторой точки В
на стороны угла, равно а. Найдите АВ.
Ответ: а / sin α.
7К) На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС во
внешнюю сторону построен квадрат с центром в точке О.
Докажите, что СО есть биссектриса прямого угла.
Следующие три урока первой части направлены на отработку у
учащихся практических навыков использования первых четырех
признаков, то есть на решение задач среднего и высокого уровня
сложности. В том числе рассматриваются два способа
доказательства теоремы о пересечении высот треугольника с
помощью метода вспомогательной окружности. Учащиеся
знакомятся с понятием прямой Симпсона и доказывают прямое и
обратное утверждения(см. задачи №№39,40).
Во второй части ( 3 часа) учащиеся знакомятся с пятым и шестым
признаками и учатся решать задачи на их применение. Отработка
навыков идет в том числе на классических задачах (например,
задачи №№32 -34) и на задачах, большая часть которых – задачи
повышенной трудности (например, задача №31).
32К) Докажите что в любом неравнобедренном треугольнике
биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из
той же вершины.
33К) Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана и
высота, проведенные к гипотенузе, образуют равные углы с его
катетами.
34К) Если медиана и высота треугольника, проведенные из одной
вершины внутрь его, различны и образуют равные углы со
сторонами,выходящими из той же вершины, то треугольник
прямоугольный.
31)т Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В и
углом А, равным α. Точка D – середина гипотенузы. Точка С1
симметрична точке С относительно прямой BD. Найдите угол АС1В.
Ответ: 900 + α, если 00 < α < 450 или 450 < α < 900; при α = 450 точка С1
совпадает с точкой А и угол не определен.
Учащиеся готовят мультимедийную презентацию на тему: «Квадрат
биссектрисы треугольника равен произведению заключающих ее
сторон без произведения отрезков третьей».
8

9. В третьей части курса проводится обобщающее занятие и
зачет.
Обобщающее полуторачасовое занятие посвящено систематизации
основных теоретических фактов курса, методов и приемов решения
задач.
Зачет проводится в форме контрольной работы на 60 минут
(рекомендуемые задачи приведены ниже с решениями). К
контрольной работе ученик прилагает одну из мультимедийных
презентаций на обозначенные темы:
1) « Один из способов доказательства утверждения о сумме углов
звездчатого многоугольника»;
2) «Доказательство утверждения о том, что высоты треугольника
(или их продолжения) пересекаются в одной точке» (двумя
способами);
3) «Что такое прямая Симпсона?» (доказательство прямого и
обратного утверждений);
4) «Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению
заключающих ее сторон без произведения отрезков третьей»;
5) « Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами
соответствующего ортоцентрического треугольника.»
К данному элективному курсу приложены дидактические
материалы. Все задачи курса даны с ответами, задачи решены и
некоторые из них снабжены указаниями. На взгляд автора курса
необходимому рассмотрению подлежат задачи, обозначенные
буквой К (классические).
Предполагается, что на каждом уроке в целях рациональной
организации учебного труда учителем будут использоваться
компьютерные технологии, эффективно использоваться
дидактический и раздаточный материалы, создаваться творческая,
исследовательская и деловая атмосфера. Учителем будут
постоянно активизироваться мыслительная деятельность учащихся,
стимулироваться их участие в поиске решения, в составлении
плана решения.
Необходимо добиваться того, чтобы каждый ученик умел
составить и реализовать план решения задачи, смог
продемонстрировать идеи ее решения, особенности
дополнительных построений, научился эффективно использовать
готовые чертежи, фрагменты мультимедийных презентаций.
Очень важно привлечь каждого обучающегося к активной работе
по подготовки к проведению очередного учебного занятия.
Это позволит в полной мере реализовать учебные и
воспитательные цели элективного курса.
9

10. Учебно-тематический план курса
№ Тема и Коли- Формы работы Образовательный
содержание чество продукт
часов
1. О геометрических 2 Лекция с Выполненное
методах решения элементами домашнее
геометрических эвристической задание.
задач. беседы. Мультимедийная
Метод Решение опорных презентация на
вспомогательной задач. тему: « Один из
фигуры– способов
составная часть доказательства
метода утверждения о
дополнительных сумме углов
построений(на звездчатого
примере многоугольника».
вспомогательного
треугольника).
Метод
вспомогательной
окружности(далее:
МВО) – один из
эффективных
геометрических
методов.
Повторение
известных теорем
планиметрии, на
основании
которых
применяется
метод
вспомогательной
окружности.
Формулировка
условий (первых
четырех
признаков),
10

11. указывающих на
целесообразность
использования
МВО.
-решение задач 1
– 7.
2 Решение задач 8 3 Математический Выполненное
– 11, 13 - 17, 25, диктант. домашнее
39, 40 Практикумы. задание.
(в том числе
решение Мультимедийные
классических презентации на
задач о точке темы:
пересечении «Доказательство
высот (№25) утверждения о
и прямой том, что высоты
Симпсона(№№39, треугольника (или
40). их продолжения)
пересекаются в
одной точке»
(двумя
способами),
«Что такое прямая
Симпсона?»
(доказательство
прямого и
обратного
утверждений).
4 Формулировка и 2 Лекция с Выполненное
доказательство элементами домашнее
условия (пятого эвристической задание.
признака) беседы. Мультимедийная
указывающего на Практикум. презентация на
целесообразность тему:
использования «Квадрат
МВО. биссектрисы
-решение задач треугольника
12, 18, 24, 26 – равен
31, 35. произведению
заключающих ее
сторон без
произведения
отрезков третьей
стороны, на
которые она
11

12. разделена
биссектрисой »
5 Формулировка 2 Математический Выполненное
условия (шестого диктант. домашнее
признака) Практикум. задание
указывающего на
целесообразность
использования
МВО.
-решение задач
32 – 34, 36, 37 (в
том числе
решение
классических
задач под
номерами 32 –
34).
6 Обобщающее 1,5 Уроки Выполненное
занятие систематизации и домашнее
-повторение обобщения задание.
теоретических изученного Мультимедийная
аспектов курса; материала. презентация на
решение задач 19 Практикум. тему: « Высоты
-23, 38, 41, 42. остроугольного
треугольника
являются
биссектрисами
соответствующего
ортоцентрического
треугольника».
7 Зачет 1,5 Контрольная Выполненная
(рекомендуемые работа. контрольная
задачи 43 – 52) работа.
12