2 θέματα που παραχώρησα στο lisari για το project "Η άσκηση της ημέρας"Fanis Margaronis
Το 2017, για δεύτερη χρονιά, το lisari.blogspot.gr συνέλεξε θέματα από τους αναγνώστες τους, συζητήθηκαν, προτάθηκαν λύσεις.
Αυτά είναι τα δύο θέματα που πρότεινα, μαζί με τις λύσεις τους.
Εισαγωγή στην Παραβολή για τα Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου. Περιέχει στοιχεία σχετικά με την κατασκευή μιας παραβολής, βασικές ιδιότητες και την ανακλαστική ιδιότητα.
2 θέματα που παραχώρησα στο lisari για το project "Η άσκηση της ημέρας"Fanis Margaronis
Το 2017, για δεύτερη χρονιά, το lisari.blogspot.gr συνέλεξε θέματα από τους αναγνώστες τους, συζητήθηκαν, προτάθηκαν λύσεις.
Αυτά είναι τα δύο θέματα που πρότεινα, μαζί με τις λύσεις τους.
Εισαγωγή στην Παραβολή για τα Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου. Περιέχει στοιχεία σχετικά με την κατασκευή μιας παραβολής, βασικές ιδιότητες και την ανακλαστική ιδιότητα.
The document presents the lyrics to the song "Starry, Starry Night" by Don McLean, which reflects on the life and struggles of painter Vincent van Gogh; it also provides background on van Gogh and instructions for listening to the song while viewing slides of his paintings.
Οι λύσεις μου σε θέματα γνωστών συγγραφέων για το lisariFanis Margaronis
Τον Ιούνη του 2017 μετά από ιδέα του lisari και του Μάκη Χατζόπουλου, διακεκριμένοι συγγραφείς μαθηματικών βιβλίων παραχώρησαν ένα θέμα ο καθένας, λίγο πριν τις πανελλήνιες εξετάσεις.
Αυτές είναι οι λύσεις που πρότεινα στα θέματα των κυρίων Στεργίου, Σκομπρή (ΔΙΠΛΗ λύση), Μιχαηλίδη, Μαυρίδη, Πατήλα (λύση μαζί με τον Γιάννη Καρεκλά), καθώς και η πρότασή μου για το θέμα του κυρίου Τάσου, που υπάρχει αποκλειστικά εδώ.
1. Επαγγελματική κομψότητα...
Κάθε μηχανικός κατανοεί την μαθηματική σχέση ,
σύμφωνα με την οποία το άθροισμα δυο πραγματικών
αριθμών, για παράδειγμα
1+1 = 2
Μπορεί να γραφτεί μ’ ένα τρόπο πολύ απλό .
Χωρίς αμφιβολία όμως βλέπουμε πως του λείπει
παντελώς το στυλ.
2. Από τα πρώτα χρόνια των μαθηματικών γνωρίζουμε
ότι,
1 = ln(e)
Και επίσης ότι,
1 = sin ( p ) + cos ( p )
2 2
Επιπλέον όλοι ξέρουμε ότι,
∞ n
1
2 =∑
n= 2
0
3. Γι’ αυτό το λόγο η έκφραση,
1+1 = 2
Μπορεί να ξαναγραφτεί με ένα τρόπο πιο κομψό έτσι :
∞ n
1
ln ( e ) + sin ( p ) + cos ( p ) = ∑
2 2
n =0 2
Η οποία, όπως εύκολα μπορεί να παρατηρηθεί, είναι
πολύ πιο επιστημονική.
4. Είναι γνωστό πως :
1 = cosh(q ) * 1 − tanh (q )
2
Και ότι,
z
1
e = lim1 +
z →∞
z
5. Από όπου εξάγεται,
∞ n
1
ln ( e ) + sin ( p ) + cos ( p ) = ∑
2 2
n =0 2
Που μπορεί να γραφτεί με τον παρακάτω πολύ πιο
ξεκάθαρο και κατανοητό τρόπο,
1 2 ∞
cosh(q ) * 1 − tanh 2 (q)
ln lim1 + + sin 2 ( p ) + cos 2 ( p ) = ∑
z →∞ z 2n
n =0
6. Παίρνοντας όμως υπόψη ότι,
0!= 1
Και ότι η αντίστροφη ορίζουσα της μεταθετικής
οριζούσης είναι ίδια με την μεταθετική ορίζουσα της
αντίστροφης οριζούσης (σύμφωνα με την υπόθεση
του μονοδιάστατου χώρου), λαμβάνουμε την
παρακάτω απλοποιημένη μορφή (λόγω διανυσματικής
γραφής) :
(X ) − (X )
T −1 −1 T
=0
7. Αν ενοποιήσουμε τις απλοποιημένες σχέσεις,
0!= 1
και
(X ) − (X )
T −1 −1 T
=0
λαμβάνουμε,
( ) − (X )
X
T −1 −1 T
!= 1
8. Εφαρμόζοντας τις πιο πάνω απλοποιήσεις ,
εξάγεται πως από την εξίσωση:
1 2 ∞
cosh(q ) * 1 − tanh 2 (q )
ln lim1 + + sin ( p ) + cos ( p ) = ∑
2 2
z →∞ z 2n
n =0
Λαμβάνουμε τελικά με ένα τρόπο πολύ κομψό,
νομοτελή, και ευνόητο για όλους, την εξίσωση:
T
( ) − (X )
2
−1 −1 T 1 + sin 2 ( p ) + cos 2 ( p ) = ∑
∞
cosh(q ) * 1 − tanh 2 (q )
ln lim X !+
z →∞ z 2n
n =0
(η οποία, πρέπει να παραδεχτούμε πως είναι πολύ πιο
επαγγελματική από την άξεστη αρχική εξίσωση)
1 +1 = 2