1. Μια μέθοδος κατασκευής fractal
επιφανειών παρεμβολής και εφαρμογή
αυτών στην επεξεργασία εικόνων
Το πρόβλημα
Μας δίνεται μια εικόνα και θέλουμε να την αναπαράγουμε
χρησιμοποιώντας τις δυνατόν λιγότερες πληροφορίες με την
βοήθεια επαναληπτικής μεθόδου.

2. Οι γνωστές μέθοδοι αντιμετώπισης αυτού του προβλήματος
είναι:
1) Ανάλυση με σειρά Fourier (Discrete Cosine
Transformation - DCT)
2) Ανάλυση με κυματίδια (Wavelets)
3) Fractal κατασκευή (Μονοδιάστατη, Δισδιάστατη)
4) Υβριδικές μέθοδοι (Wavelets + Fractals)
Θα ασχοληθούμε με την 3η μέθοδο
 Η διαδικασία εφαρμόστηκε από τους Barnsley και Sloan
(1987) και βελτιώθηκε (από πλευράς αλγορίθμων) από τους
Jacquin (1989) και Fisher (1994). Χρησιμοποίησαν fractal
συναρτήσεις παρεμβολής μιας μεταβλητής f:[0,1] → R για
την επεξεργασία 1-διάστατου σήματος και 2-διάστατης
εικόνας
 Από τους Δάλλα, Δρακόπουλο ,Θεοδωρίδη και Μπουμπούλη
(2000- ) δόθηκε το θεωρητικό υπόβαθρο ώστε να έχουμε
επεξεργασία εικόνας χρησιμοποιώντας fractal συναρτήσεις
παρεμβολής δύο μεταβλητών f:[0,1] ×[0,p] → R

3. Το Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεώρημα Σταθερού Σημείου (S. Banach, 1892-1945)
Έστω <Χ,d> πλήρης μετρικός χώρος και Τ:Χ → Χ συνάρτηση
συστολής με συντελεστή συστολής s∈(0,1),
d ( T ( x ) , T ( y ) ) ≤ sd ( x, y ) x, y ∈ X
Τότε υπάρχει μοναδικό x0 ∈X ώστε T(x0)=x0.
Το x0 = lim T n ( x ) , x ∈ X (T n = T °T °...°T )
n→∞
καλείται σταθερό σημείο ή ελκυστής της Τ.

4. Το θεώρημα εφαρμόζεται στους εξής μετρικούς χώρους:
(Ι) Στον χώρο των fractals <H(X),h>, όπου
H(X)={K⊆Χ: Κ συμπαγές σύνολο, Κ≠∅}
~ ~
h ( A, B ) = max{d ( A, B ), d ( B, A)}
~
d ( A, B ) = max{d ( a , B ) : a ∈ A}, A, B ∈ H ( X )
d(B,A)
d(A,B)
Β
Α
(h η μετρική του Hausdorff (1914))
Το θεώρημα πληρότητας (Blaschke 1917, Hausdorff 1917)
αποδεικνύει ότι:
Ο μετρικός χώρος <H(X),h> είναι πλήρης (συμπαγής) αν και
μόνο αν ο <X,d> είναι πλήρης (συμπαγής).
Mε συνάρτηση συστολής
Όπου wi:X → X, i=1,2,…,N συναρτήσεις συστολής. Ο
συντελεστής συστολής s της W είναι s=max{s1,s2,…,sN}, όπου si
ο συντελεστής συστολής της wi, i=1,2,…,N.
(ΙΙ) Στον χώρο C(Y)={f:Y → R, f συνεχής} εφοδιασμένο με την
•∞
μετρική, με κατάλληλη συνάρτηση συστολής.

5. Πώς χρησιμοποιείται για την κατασκευή fractal επιφάνειας
παρεμβολής
(Ι) Θεωρούμε τον πλήρη μετρικό χώρο X=[0,1] ×[0,p] ×R όπου
έχουμε τα δεδομένα
p 1
P = {( xn , y m , znm ) : n = 0,1,..., N , m = 0,1,..., M } ⊆ X , =
M N
1
Όπου 0 = x0 < x1 < ... < x N = 1, xn +1 − xn =
N
p
0 = y0 < y1 < ... < y M = p, y m−1 − ym =
M
Θεωρούμε
 x  anm x + bnm 
   
wnm : X → X με wnm  y  =  cnm y + d nm 
 z   e x + f y + g xy + s z + k 
   nm nm nm nm nm 
όπου όλες οι παράμετροι εκτός των snm προσδιορίζονται από τις
συνθήκες
 x0   xn −1   x N   xn 
       
wnm  y0  =  ym−1 , wnm  y0  =  ym−1 
z  z  z  z 
 00   n −1,m−1   N 0   n ,m−1 
 x0   xn −1   x N   xn 
       
wnm  y M  =  ym , wnm  y M  =  ym 
z  z  z  z 
 0 M   n −1,m   NM   n ,m 

6. Στον χώρο Χ ευρίσκουμε μετρική (εξαρτώμενη από τα δεδομένα
P) ισοδύναμη της ευκλείδειας ώστε οι wnm, n=1,…,N, m=1,…,M
να γίνουν συστολές. Οπότε για την
N ,M
W : H ( X ) → H ( X ), W ( A) =  wnm ( A) με Α ∈ Η ( Χ )
n =1,m =1
υπάρχει μοναδικό σταθερό «σημείο» G⊆X, G συμπαγές σύνολο,
W(G)=G και P⊆G.
(II) Εφ’ όσον το σύνολο P των δεδομένων ικανοποιεί ορισμένες
συνθήκες, «συνθήκες συνέχειας», μπορούμε να εξασφαλίσουμε
ώστε το σύνολο G να είναι το γράφημα συνεχούς συνάρτησης f:
[0,1] ×[0,p] → R, η οποία να είναι συνάρτηση παρεμβολής,
f(xi,yj)=zij, i=1,…,N, j=1,…,M. Η συνάρτηση f είναι το σταθερό
«σημείο» του τελεστού Read Bajraktarovic.
T : C ([0,1] × [0, p]) → C ([0,1] × [0, p]) με
Tf ( x, y ) = enmϕ n−1 ( x) + f nmψ m1 ( y ) + g nmϕ n−1 ( x)ψ m1 ( y) +
− −
snm f (ϕ n−1 ( x),ψ m1 ( y )) + knm
−
αν (x,y) ∈ [ xn −1 , xn ] × [ ym −1 , ym ]

7. w11 w12
w21
w22
2,2
W ( P) =  wnm ( P )
n =1,m =1

9. Γενίκευση
Με την ανωτέρω κατασκευή μπορούμε να κατασκευάσουμε
συναρτήσεις παρεμβολής και να επεξεργαζόμαστε εικόνες που
το «μέρος» ομοιάζει με το «όλον».
Επειδή αυτό δεν συμβαίνει συχνά γενικεύουμε την κατασκευή
ως εξής:
Ορίζουμε ένα σύνολο σημείων Q⊂P (Q≠P)
p 1
Q = {( xk ,yl ,z kl ): k = 0,1,...,K, l = 0,1,..., L} ⊆ X ,
ˆ ˆ ˆ =
L K
1
0 = x0 < x1 < ... < xK = 1,
ˆ ˆ ˆ xk +1 − xk =
ˆ ˆ
K
p
0 = y0 < y1 < ... < y L = p,
ˆ ˆ ˆ ym −1 − ym =
ˆ ˆ
M
και μια απεικόνιση
J : {1,2,..., N } × {1,2,..., M } → {1,2,..., K } × {1,2,..., L},
µε J ( n, m) = (k , l )
όπου όλες οι παράμετροι εκτός των snm προσδιορίζονται από τις
συνθήκες
 xk −1   xn −1 
ˆ  xk   xn 
ˆ
       
wnm  yl −1  =  ym −1 , wnm  yl −1  =  ym −1 
ˆ ˆ
zˆk −1,l −1   z n −1,m −1  z  z
ˆk ,l −1   n ,m −1 
     
 xk −1   xn −1 
ˆ  xk   xn 
ˆ
       
wnm  yl  =  ym , wnm  yl  =  ym 
ˆ ˆ
z  z
ˆk −1,l   n −1,m  z  z 
   ˆ k ,l   n , m 

10. Στη διαδικασία υπεισέρχεται και ένας στοχαστικός πίνακας.
Με ανάλογες αποδείξεις κατασκευάζεται συμπαγές σύνολο
G που αποτελεί (υπό προϋποθέσεις) το γράφημα μιας
συνεχούς συνάρτησης παρεμβολής
R13 R14 R15 R16
D3 D4
R9 R10 R11 R12
R5 R6 R7 R8
D1 D2
R1 R2 R3 R4
1 / 6 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 6 0 0 1/ 6 0 0 0 0 1/ 6 0 0 
 
1 / 6 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 6 0 0 1/ 6 0 0 0 0 1/ 6 0 0 
 0 0 1/ 4 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 0 0 0 
 
 0 0 1/ 4 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 0 0 0 
1 / 6 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 6 0 0 1/ 6 0 0 0 0 1/ 6 0 0 
 
1 / 6 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 6 0 0 1/ 6 0 0 0 0 1/ 6 0 0 
 0 0 1/ 4 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 0 0 0 
 
 0 0 1/ 4 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 0 0 0 
Π= 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 1/ 3 0 1/ 3 0 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 1/ 3 0 1/ 3 0 
 
 0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 1 / 3
 0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 1 / 3
 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 1/ 3 0 1/ 3 0 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 1/ 3 0 1/ 3 0 
 
 0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 1 / 3
 0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 1 / 3
 

11. Διάσταση του γραφήματος G της συνάρτησης παρεμβολής
log N (ε )
Εαν dim B G = lim
+
ε →0 − log ε
(Ν(ε): ο ελάχιστος αριθμός κύβων ακμής ε που καλύπτουν το G)
είναι η box διάσταση του G αποδεικνύεται ότι
1 + log a λ , λ >α Ν
dim B G =  όπου α =
2, λ ≤α Κ
και λ η φασματική ακτίνα του πίνακα SC. S είναι ο διαγώνιος
πίνακας με στοιχεία στην κύρια διαγώνιο τους συντελεστές |s11|, |
s12|, …, |sNM| και C ο πίνακας μετάβασης που προκύπτει από τον
στοχαστικό πίνακα Π ως εξής:
1 αν Π ji > 0
Cij = 
0 αν Π ji = 0
(εφ’ όσον ο πίνακας C είναι «καλός»)

12. dim B G ≈ 2.38
dim B G ≈ 2.57

13. Πώς εφαρμόζεται η μέθοδος της fractal παρεμβολής για
συμπίεση εικόνας
Χωρίζουμε την εικόνα σε τομείς (μικρά τετράγωνα) πλευράς δ
[xn-1,xn] ×[ym-1,ym] με n=1,2,…,N και j=1,2,…,M. Θεωρούμε τα
δεδομένα
P = {( xn , y m , znm ) : i = 1,2,..., N , j = 1,2,..., M }
όπου znm είναι το «χρώμα» στην κορυφή (xn,ym)
Χωρίζουμε την εικόνα σε τμήματα (μεγάλα τετράγωνα) πλευράς
ψ=αδ (α φυσικός),
[ xk −1 , xk ] × [ yl −1 , yl ] με k = 1,2,..., K και l = 1,2,..., L.
ˆ ˆ ˆ ˆ
Προσπαθούμε να «ταιριάξουμε» τον κάθε τομέα με κάποιο
τμήμα και επιλέγουμε τα |sij| ώστε να πληρούνται οι συνθήκες
συνέχειας.
H fractal συνάρτηση παρεμβολής που θα προκύψει είναι μια
προσέγγιση της εικόνας.

14. Ο Καθηγητής Δημ. Κάππος εν μέσω Βετών
μαθηματικών και φυσικών. Ακαδ. Έτος 1957-58

15. Η πρωτότυπη φωτογραφία μοντελοποιήθηκε με
τη μέθοδο που αναφέραμε με αποτέλεσμα να
χρειάζεται 26 φορές μικρότερο χώρο
αποθήκευσης.