Scopri che cosa è una circonferenza e la sua equazione nel piano cartesiano, impara le condizioni di esistenza e infine la relazione tra circonferenza e funzioni

1. Equazione della circonferenza!

2. In questa lezione vediamo…
1
2 Condizione di esistenza
Equazione della circonferenza
3 Circonferenza e funzioni

3. Sfida
?!
Hai deciso di diventare pilota d’aereo e per prima cosa
devi imparare a utilizzare il radar.
Ti trovi in aria a 5 km est e 8 km sud rispetto alla torre
di controllo.
Un tuo amico, il Barone Rosso, vola attorno a te
mantenendosi a una distanza fissa di 15 km.
Sta descrivendo una curva particolare?

4. Ora vediamo…
!
1
2
Equazione della circonferenza
3
Condizione di esistenza
Circonferenza e funzioni

5. 1. Equazione della circonferenza
( ) ( )2
0
2
0 yyxxPC −+−=
( )00; yxC
P x;y( )
x0
y0
y
xO x − x0
y− y0
Troviamo l’equazione della circonferenza!
1. Disegniamo una circonferenza di raggio r in un piano
cartesiano xOy e chiamiamo x0 e y0 le coordinate del
centro, cioè
2. Prendiamo un punto qualsiasi del piano di coordinate
3. Cerchiamo i valori delle coordinate in modo che
sia un punto della circonferenza. Deve avere quindi
distanza da uguale a r
4. Usiamo la formula della distanza tra due punti
C x0;y0( )
( )yxP ;
P
C
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, il centro.
Possiamo quindi individuare una equazione che rappresenta l’insieme dei punti del piano
che fanno parte della circonferenza.

6. 1. Equazione della circonferenza
6. Per essere un punto delIa circonferenza, deve
valere cioè
7. Abbiamo quasi finito! Eleviamo al quadrato per
togliere la radice
Questa è l’equazione della circonferenza dati centro
e raggio r
( ) ( ) ryyxx =−+−
2
0
2
0
( ) ( ) 22
0
2
0 ryyxx =−+−
rPC =
( )00; yxC
C x0;y0( )
P x;y( )
y
xO

7. 022
=++++ cbyaxyx
1. Equazione della circonferenza
Sviluppiamo i quadrati e portiamo r a sinistra dell’uguale
Ora, riordiniamo i termini e chiamiamo
cioè
( ) ( )
022 22
00
22
00
2
22
0
2
0
=−+−++−
↓
=−+−
ryyyyxxxx
ryyxx
022 22
0
2
000
22
=−++−−+ ryxyyxxyx
ca b
!
"
!
#
$
−+=
−=
−=
22
0
2
0
0
0
2
2
ryxc
yb
xa
Questa è l’equazione generale della circonferenza!
C x0;y0( )
P x;y( )
y
xO
Possiamo giocare con l’equazione e trovare un altro modo di scriverla.

8. Ora vediamo…
!
1
2
Equazione della circonferenza
3 Circonferenza e funzioni
Condizione di esistenza

9. Dopo aver visto l’equazione generale della circonferenza, vediamo come capire se è
una circonferenza l’equazione:
2. Condizione di esistenza
0'''22
=++++ cybxahykx
E’ semplice! Se i coefficienti di e sono DIVERSI allora sicuramente non è una
circonferenza!
Se invece sono uguali (cioè ) può essere una circonferenza. Per riportarla alla
forma che abbiamo visto prima, basta dividere per il coefficiente di
2
x 2
y
hk =
2
x
0
'''
0''' 2222
=++++→=++++
k
c
y
k
b
x
k
a
yxcybxakykx
che diventa con022
=++++ cbyaxyx
!
!
"
!
!
#
$
=
=
=
k
cc
k
bb
k
aa
'
'
'

10. A questo punto possiamo pensare che tutte le equazioni del tipo
rappresentino una circonferenza.
Attenzione! il raggio deve essere positivo (o al massimo nullo, caso in cui la
circonferenza si riduce a un punto ed è chiamata degenere)
La relazione che lega il raggio con i coefficienti è
Possiamo ricavare da questa la C.E. della circonferenza di centro
2. Condizione di esistenza
022
=++++ cbyaxyx
22
0
2
0 ryxc −+=
00 2
0
2
0
2
0
2
0
22
0
2
0
≥−+⇒≥
−+=⇒−+=
cyxr
cyxrryxc
( )00; yxC

11. Ora vediamo…
!
1 Equazione della circonferenza
3 Circonferenza e funzioni
2 Condizione di esistenza

12. L’equazione generale della circonferenza è scritta in forma implicita cioè come
un’equazione in due variabili del tipo
Ricordi? Anche le rette possono essere rappresentate in forma implicita come
Per la retta possiamo scrivere la variabile y in funzione di x:
3. Circonferenza e funzioni
0),( =yxF
0'''),( =++= cybxayxF
qmx
b
c
x
b
a
y +=−−=
'
'
'
'
Possiamo fare lo stesso per la circonferenza?
La risposta è no!
Scopriamo perché!

13. Partiamo da un esempio molto semplice e consideriamo l’equazione di una
circonferenza con centro nell’origine e raggio r:
Ora risolviamo l’equazione in , scriviamola cioè nella forma
(si dice anche esplicitare ) e abbiamo
Le equazioni sono :
Non possiamo quindi trovare in modo univoco la di una circonferenza: troviamo
sempre due valori.
222
ryx =+
22
2 xry −−=
2. Circonferenza, funzioni, condizione di esistenza3. Circonferenza e funzioni
...=yy
y 22
xry −±=
2 22
1 xry −=
y

14. La circonferenza non è una funzione: a un valore di corrispondono due valori
dell’ordinata e
Le due equazioni ottenute da quella della circonferenza sono due funzioni: due
semicirconferenze!
Attenzione! E’ semplice capire se un grafico rappresenta una funzione: se esiste una
retta verticale che taglia il grafico in più di un punto, quella non è una funzione!
2. Circonferenza, funzioni, condizione di esistenza
x
1y
O
x2
+ y2
= r2
⌢
x
y
x
y2
y1
r
y = r2
− x2
⌢
x
y
x
y2
r
O
SI
FUNZIONE
NO
FUNZIONE
3. Circonferenza e funzioni
2y
22
2 xry −−=22
1 xry −=

15. !!
Soluzione alla sfida
Il tuo amico Barone Rosso si mantiene in moto attorno a te ad una
distanza fissa: sta descrivendo una circonferenza!
Rispetto alla torre di controllo, che possiamo prendere come origine
del piano cartesiano, tu ti trovi nel punto : infatti ti trovi in
direzione sud-est e il sud, rispetto al riferimento, ha coordinate
negative!
Abbiamo allora centro e raggio e possiamo trovare l’equazione
utilizzando la formula e otteniamo:
C 5;−8( )
( ) ( ) 22
0
2
0 ryyxx =−+−
x − 5( )
2
+ y+8( )
2
=152
⇒
x2
−10x + 25+ y2
+16y+ 64 = 225 ⇒
x2
+ y2
−10x +16y −136 = 0

16. Nell’interrogazione potrebbero chiederti…!
• Qual è l’equazione di una circonferenza di centro
e raggio ?( )5;3 −C 2=r
• L’equazione rappresenta una
circonferenza? Perché?
02412923 22
=−+−+ yxyx
• L’equazione rappresenta una
circonferenza? Perché?
022
=+ yx

17. Rewarded education!