Parte di una lezione del professore Andrea sull'infinito in matematica: pi greco, Cappellano, Cantor e cardinaltà.

2. 3,141592653589793238462643383279502884…
𝜋
Un classico esempio di serie convergente in un numero che più o meno
tutti conosciamo è la somma infinita di determinati numeri ≤ 1 che
hanno come risultato 𝜋.
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ⋯ +
1
12
= 3,1032
A questi non possiamo più aggiungere
1
13
perché il risultato
supererebbe 𝜋. Così proseguiamo aggiungendo il numero decimale più
grande che sommato ai precedenti non dia come risultato un numero >
𝜋. E procediamo così all’ infinito.
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ⋯ +
1
12
+
1
26
+
1
100000000
+ ⋯ = 𝜋
Con questo procedimento ci si avvicina sempre di più, si colmano
sempre più «gap» ma si potrà raggiungere 𝜋 solo all’infinitesimo
passaggio, spingendo al limite la nostra sommatoria.

3. La curva di
DEFINIZIONE: La curva piana è un oggetto
matematico monodimensionale che giace
interamente su un unico piano
bidimensionale, incapace quindi di
riempirlo, ed è rappresentata unicamente
da una qualsiasi funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥). Essa
può essere pensata intuitivamente come la
traiettoria descritta da un oggetto
(puntiforme) che si muove con continuità in
qualche spazio.
Esiste una teoria, chiamata del limite
uniforme, che ci dice quando una curva, se
ripetuta all’infinito, può riempire in un lasso
di tempo limitato una figura piana.
Quella di Peano rispetta la teoria del limite
uniforme, è costruita come limite di una
successione di curve, ed è possibile
definirla solo ricorsivamente.

8. Insieme ternario di Georg Cantor
Consideriamo l’intervallo [0, 1] di R e chiamiamolo C₀, tagliamo
C₀ in tre parti uguali ed eliminiamo il segmento di mezzo,
lasciando però gli estremi. Rimaniamo con l’insieme C₁=[0, 1/3]
∪ [2/3, 1]. Con ognuno dei due segmenti rimasti ripetiamo il
procedimento dividendoli in tre parti uguali e scartando quella
di mezzo. Si ricava così C₂=[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪
[8/9, 1].
L'insieme di Cantor consiste di tutti i punti (i caposaldi)
dell'insieme che rimane dopo aver iterato questo
procedimento infinite volte. È chiamato con termini suggestivi
come pulviscolo di Cantor.

9. E’ evidente come C₀=1, C₁ =
2
3
, C₂ =
4
9
e 𝐶 𝑛 =
2
3
𝑛
.
TEOREMA: C = lim
𝑛→+∞
2
3
𝑛
= 0.
L’insieme di Cantor quindi non può che avere misura nulla e dunque non
può contenere alcun intervallo del tipo [a, b] o ]a, b[ o [a, b[ oppure ]a, b]
per nessuna coppia a, b con a<b. Gli unici elementi che costituiscono
l’insieme di Cantor sono i caposaldi dei segmenti che formano così il
cosiddetto pulviscolo di Cantor, formato da tutti i punti dell'intervallo [0,
1].
TEOREMA: Al contrario il complementare di C = lim
𝑛→+∞
2 𝑛−1
3 𝑛 = 1.

10. DEFINIZIONE: due insiemi, A e B, si
dicono equipotenti se esiste una
corrispondenza (o funzione) biunivoca
(iniettiva e suriettiva) tra A e B 𝑓: 𝐴 → 𝐵.
In tal caso si scrive: card(A)=card(B).
Ogni qual volta esiste una funzione
𝑓: 𝐴 → 𝐵 che risulta iniettiva si scrive:
card(A)≤card(B).
TEOREMA: esiste una corrispondenza
biunivoca tra C ed R, dunque
card(C)=card(R).
E’ importante ricordare che misura e
cardinalità sono due nozioni diverse.
La cardinalità

11. Il triangolo CAH è formato dallo stesso numero di segmenti della stessa
lunghezza del triangolo CBH, ma la misura della loro area è pur sempre
differente.
Anche se di misura diversa i segmenti AB e BC hanno stessa cardinalità. E
questo perché esiste una corrispondenza biunivoca tra i segmenti costruiti
su BH e quelli su CH, tra i punti di AB e quelli di CD.
La cardinalità dei numeri naturali, o potenza del numerabile, viene
indicata con ℵ₀ (aleph zero).

12. DIMOSTRAZIONE: Per dimostrare che card(N)=card(Q) occorre
ricordarci dell’hotel di Hilbert.

13. Il trucco sta nell’associare biunivocamente ad ogni elemento di Q, non
ripetuto, un elemento di N seguendo le controdiagonali della tabella.

14. Abbiamo dimostrato che card(N)=card(Q) e analogamente che
card(N)=card(Z).
Nella teoria cantoriana tra N ed R non può esistere una corrispondenza
biunivoca e dunque è cero che card(N)≠card(R).
DIMOSTRAZIONE: Se R fosse numerabile allora sarebbe numerabile
qualunque suo sottoinsieme infinito. Sia A [0, 1] ∈ 𝑅. Supponiamo per
assurdo che l'intervallo [0, 1] sia numerabile. Questo significa che gli
elementi di [0, 1] possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i
numeri naturali dando luogo a una successione di numeri reali {r1, r2, r3,
...} che esaurisce tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. Ciascun numero
può essere così rappresentato:
r1 0, S1,1 S1,2 S1,3 S1,4 S1,5
r2 0, S2,1 S2,2 S2,3 S2,4 S2,5
r3 0, S3,1 S3,2 S3,3 S3,4 S3,5
r4 0, S4,1 S4,2 S4,3 S4,4 S4,4
rk

15. Consideriamo ora il numero decimale che compare sulla diagonale rk.
Ora consideriamo un nuovo numero reale x ∈ [0, 1] che abbia invece tutte
le cifre differenti dalla sequenza sulla diagonale: x = a1a2a3a4 …, con
a1≠S1,1, con a2≠ S2,2, e così via. Questo numero non rappresenta però
nessun altro numero rn, dal momento che non è uguale al primo perché la
sua prima cifra decimale è diversa da r1, non è uguale al secondo perché la
sua cifra decimale è diversa da r2, e così via.
All'inizio della dimostrazione avevamo però supposto che la nostra lista
{r1, r2, r3, ... } enumerasse tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1, ma x non
è compreso tra questi pur essendo evidentemente un numero reale
compreso tra 0 e 1, e poiché x non ha dei 9 tra le cifre decimali la sua
rappresentazione non può essere equivoca.
Con tale dimostrazione Cantor verificò che l’insieme R dei numeri reali è
continuo o denso, cioè è in corrispondenza biunivoca con i punti della
retta; e infinito, ma non numerabile, cioè non può essere in
corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.
Dunque card(N)≠card(R).