1. UPGRADE.
IMPROVE.
ENHANCE.
REFINE.
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA
Torino 16 Maggio 2010 Dott. Antonio Rita

2.  L’Ultimo Teorema
 La “Meravigliosa Dimostrazione”
 Le altre principali congetture di Fermat
 Fermat e Galileo
 Fermat e Cartesio
 Fermat e Mersenne
 Fermat e Tartaglia
 Considerazioni sulla dimostrazione di Andrew Wiles
 Il lemma del 2
 Il teorema delle coppie dispari ad esponenti pari
 Il lemma della parità semplice
 Il lemma del cateto pari
 Sintesi delle proprietà fondamentali di una terna pitagorica
 Il lemma del 3
 Il teorema della somma delle potenze pari
 Il teorema della differenza delle potenze n-1
 La Funzione dei Numeri Primi
 Il “Segreto” di Fermat
 La dimostrazione per n=4
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

3. Il teorema può essere sintetizzato in modo
semplice:
per un qualsiasi numero intero n>2 non esiste
alcuna terna di numeri interi positivi che
soddisfa l’equazione
xn+yn=znn
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

4. "Dispongo di una meravigliosa dimostrazione
di questo teorema, che non può essere
contenuta nel margine troppo stretto della
pagina“
 (x+y)n=xn+yn+C(x+y)n
 (x+y)n=(x+h+t)n+C[(x+h+t)+(x-t)]n+(x-t)n
 xn=nyn-1t+………+nytn-1+tn
 yn=nxn-1(h+t)+………+nx(h+t)n-1+(h+t)n
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

5. Il “piccolo teorema” di Fermat
 an-a=a(an-1-1)
I numeri primi di Fermat
 2p+1 con p=2n
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

6. Q2=1, 4, 9, 16, 25, 36, ………
Galileo Galilei è stato il primo a intuire l’esistenza
di una applicazione biunivoca tra l’insieme dei
quadrati dei numeri interi positivi e l’insieme N
f:Q2→N
Se x>1 è un numero intero qualsiasi mai multiplo
di 3, la differenza x2-1 è sempre multipla di 3;
mentre la somma x2+1 non è mai multipla di 3
(x2-1), x2, (x2+1)
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

7. Tutti i numeri interi positivi sono equidistanti
da almeno due numeri primi
 p1+p2=2a
 a=p1+h
 a=p2-h
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

8. I numeri primi di Mersenne
 2n-1
L’ultimo numero primo di Mersenne conosciuto
 243112609-1
I numeri perfetti costruiti dai numeri primi di
Mersenne
 (2n-1)(2n-1)
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

9. Nicolò Fontana detto Tartaglia ha ideato un
sistema geniale per ricavare i coefficienti
binomiali: il Triangolo di Tartaglia.
La somma dei coefficienti di un binomio
elevato alla ennesima potenza è pari a 2n.
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

10. Egli ha utilizzato sofisticati strumenti della
geometria algebrica (curve ellittiche e forme
modulari, ovvero la congettura dei giapponesi
Taniyama-Schimura: ”ogni equazione ellittica
è correlata ad una forma modulare”), concetti
della teoria di Galois e dell’algebra di Hecke.
Le sue costruzioni matematiche sono
ineguagliabili e meravigliose; suscitano
ammirazione anche negli esperti.
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

11. Se a,b è una qualsiasi coppia di numeri interi
positivi linearmente indipendenti con a>b, la
somma a+b=sϵN e la differenza a-b=dϵN
sono numeri interi positivi che non hanno
fattori primi comuni ad eccezione di 2.
Il fattore 2, comunque, risulta comune solo nel
caso che a e b siano entrambi dispari.
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

12. Se (x,y)єΝ2 è una coppia di numeri positivi
dispari con y>x, la relazione di Fermat non
ammette soluzioni intere per qualsiasi nєΝ
pari.
znn=xn+yn=2xn+nxn-1h+………+nxhn-1+hn
In sintesi, non esistono soluzioni intere per la
equazione znn = x2p+y2p con x e y dispari e
con esponente n=2pϵN, numero pari
qualsiasi.
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

13. Se x,y è una qualsiasi coppia di interi positivi
dispari ed n un numero pari qualsiasi, la
somma delle loro potenze ennesime xn+yn è
un numero pari con “parità semplice”.
Il fattore primo 2 in detta somma ha sempre e
solo esponente 1.
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

14. Se (a,b,c)ϵN3 è una terna pitagorica qualsiasi, abbiamo che i
tre lati, interi e senza
fattori comuni, del triangolo rettangolo legati dalla
relazione a2+b2=c2, godono delle seguenti proprietà:
1. l’ipotenusa c non risulta mai multipla di 3;
2. l’ipotenusa c non risulta mai pari;
3. i cateti a e b sono sempre uno pari e l’altro dispari;
4. uno tra i due cateti (a oppure b) è sempre multiplo di 3;
5. il cateto pari risulta sempre con “parità multipla”;
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

15. 6. i numeri pari con “parità semplice” (2,6,10,14,…) non
appartengono a nessuna terna pitagorica;
7. i due “parametri di Pitagora” che sono le differenze c-a=t
e c-b=h+t (ovvero c-a=h+t e c-b=t) risultano uno pari e
l’altro dispari. Considerando la scomposizione degli
stessi in fattori primi, si evidenzia quanto segue: il
parametro pari ha il fattore 2 solo con esponenti dispari
(2i, con i≥1 dispari) e gli altri fattori primi con esponenti
pari. Nel parametro dispari troviamo solo e sempre
esponenti pari;
8. tutti i numeri dispari maggiori di 1 appartengono ad
almeno una terna pitagorica.
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

16. Se (a,b) è una qualsiasi coppia di numeri interi
positivi con a>b e con la ulteriore ipotesi che
nessuno dei due è multiplo di 3, risulta multiplo
di 3 la somma (a+b) o in alternativa la
differenza (a-b).
Con queste condizioni il risultato del prodotto
notevole a²-b² è sempre multiplo di 3.
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

17. Sia 2mϵN un qualsiasi numero pari positivo e
siano a≥b due numeri interi positivi non
multipli di 3, la somma ottenuta con la
relazione a2m+b2m=sϵN non risulta mai
multipla di 3.
La differenza a2m-b2m=dϵN0 , invece, risulta
sempre multipla di 3 a meno che non sia
multiplo di 3 a oppure b.
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

18. Sia nϵN un numero primo maggiore di 2 ed
(a,b)ϵN2 una coppia di numeri interi con a e
b che non siano entrambi multipli di n, la
somma ottenuta con la relazione
an-1+bn-1=sϵN
non risulta mai multipla di n.
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

19. Sia n>2 un qualsiasi numero primo appartenente
ad N, il rapporto (2n-2)/n è sempre un numero
intero.
In generale, per ogni aϵN si ha che il rapporto
(an-a)/n=q è intero quando n>2 è primo.
 y=(2x-1-1)/x
 2x-1-1=2x-2+2x-3+……+23+22+2+1
 y=(2x-1-1)/x =(2(x-1)/2-1)(2(x-1)/2+1)/x
I falsi primi sono eliminabili.
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

20. Il“Segreto di Fermat” consiste in operazioni
elementari che interessano di norma gli
elementi degli insiemi Qn-1.
Inedite applicazioni hanno permesso al genio
francese di ricavare da polinomi o parti di
essi la messa in evidenza di numeri primi
oppure di accertare che lo stesso polinomio o
una sua parte non fosse divisibile per un
fissato numero primo.
FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA

21. Se (a,b)ϵN2 è una coppia qualsiasi di numeri
interi positivi linearmente indipendenti, non
è possibile ottenere una potenza quarta
dalla seguente relazione con c intero
 a4+b4=c4
Abbiamo che a e b non possono essere
entrambi dispari ed inoltre i due gruppi di
fattori del prodotto notevole sono primi tra
loro
 a4=c4-b4=(c2-b2)(c2+b2)
 b4=c4-a4=(c2-a2)(c2+a2)

FIORE ROSALBA
EDITORIA & INFORMATICA