Μαθηματικά Α' Λυκείου

1. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 1
Η γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ είναι θ οπτικοποίθςθ του τφπου τθσ ςυνάρτθςθσ
( ) 2
f x x
 με ( , )
f
D    
 ο πίνακασ τιμϊν τθσ f είναι :
χ -2 -1 0 1 2
f(x) =y -4 -2 0 2 4
Από τον πίνακα τιμϊν προκφπτουν τα εξισ ηεφγθ αρικμϊν : (-2,-4), (-1,-2), (0,0),(1,2),(2,4)
Σο επίπεδο αποτελείται από άπειρα ςθμεία.
Για να προςδιορίςουμε τθν κζςθ ενόσ ςθμείου
ςτο επίπεδο κάνουμε χριςθ ενόσ ορκοκανονικοφ
ςυςτιματοσ αξόνων.
φυςικά κα μποροφςαμε να
βροφμε και άλλεσ τιμζσ …άπειρεσ
΢θμειϊςτε ότι τα ηεφγθ είναι μορφισ (x, y=f(x))
( ανεξάρτθτθ μεταβλθτι , εξαρτθμζνθ μεταβλθτι )
ΚΑΡΣΕ΢ΙΑΝΟ ΢Τ΢ΣΗΜΑ ΑΞΟΝΩΝ
Αν ςχεδιάςουμε ςτο επίπεδο δφο κάκετεσ ευκείεσ
γραμμζσ (άξονεσ) με κοινι αρχι (τομι) ζνα ςθμείο Ο,
ονομάςουμε δε τουσ άξονεσ αυτοφσ χχϋ τον οριηόντιο και
y’y τον κατακόρυφα, τότε Θα λζμε ότι ο άξονασ χ’χ είναι
ο άξονασ των τετμθμζνων ι άξονασ των χ και ο άξονασ
y’y είναι ο άξονασ των τεταγμζνων ι άξονασ των y.
Σε κάκε ςθμείο Μ του επιπζδου αυτοφ ,κα μποροφμε να
αντιςτοιχίςουμε ζνα και μόνο ζνα διατεταγμζνο ηεφγοσ
πραγματικϊν αρικμϊν, που κα το ςυμβολίςουμε με
(α, β) ι και με (χ, y)
και αντίςτροφα: ςε κάκε διατεταγμζνο ηεφγοσ
πραγματικϊν αρικμϊν κα μποροφμε να αντιςτοιχίςουμε
ζνα και μόνο, ζνα ςθμείο Μ του επιπζδου.
Οι αρικμοί χ και y αποκαλοφνται ςυντεταγμζνεσ του
ςθμείου Μ, το οποίο κα ςυμβολίηεται πλζον ωσ Μ(χ, y),
και ειδικότερα : το χ κα αποκαλείται τετμθμζνθ ι
οριηόντια ςυντεταγμζνθ,
ενϊ το y τεταγμζνθ ι κατακόρυφθ ςυντεταγμζνθ του
ςθμείου Μ.
O
M(α,β)
α
y
x
y
β
x
( τετμθμζνθ , τεταγμζνθ )
[1].Διατεταγμζνο ηεφγοσ καλείται το ηεφγοσ
,ςτο οποίο είναι αυςτθρά κακοριςμζνο ποιο
ςτοιχείο του ηεφγουσ είναι πρϊτο και ποιο
δεφτερο.
[2].Σο ςφςτθμα αυτό των αξόνων
αποκαλείται καρτεςιανό ςφςτθμα
ςυντεταγμζνων και ςυμβολίηεται με Οxy
και το επίπεδο ςτο οποίο ορίςκθκε,
καρτεςιανό επίπεδο.
[3].Σο ςφςτθμα αυτό κα αποκαλείται και
ορκοκανονικό όταν οι μονάδεσ
των αξόνων ζχουν το ίδιο μικοσ, που
είναι ςυνικωσ το 1.
[4]. Σο ςφνολο των ςθμείων Μ(χ,y) για τα
οποία είναι :
*α+. χ=0 ,είναι όλα τα ςθμεία του άξονα yϋy
*β+. y=0 , είναι όλα τα ςθμεία του άξονα χϋχ
Cf
O
x=x0
A(x0,f(x0))
x0
y
x
f(x0)

2. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 2
Οι δφο αυτοί άξονεσ χωρίηουν το επίπεδο ςε 4 τμιματα, τα
οποία αποκαλοφνται τεταρτθμόρια και είναι τα εξισ μαηί με τα
πρόςθμα που ζχουν οι ςυντεταγμζνεσ των ςθμείων του
επιπζδου ςε κάκε τεταρτθμόριο:
y
χϋ Ο x
yϋ
1
ο
τεταρτθμόριο
x > 0 και y >
0
2
ο
τεταρτθμόριο
x < 0 και y > 0
3
ο
τεταρτθμόριο
x < 0 και y < 0
4
ο
τεταρτθμόριο
x > 0 και y < 0
Για δύο σημεία Μ(χ, y) και Μ1(χ1, y1) του καρτεσιανού επιπέδου ισχύουν τα εξής:
Τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς τον οριζόντιο άξονα χ εφόσον έχουν την ίδια τετμημένη και
αντίθετες τεταγμένες, δηλ. Θα πρέπει να ισχύει : χ1=χ και y1=-y
Τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς τον κατακόρυφο άξονα y εφόσον έχουν την ίδια τεταγμένη και
αντίθετες τετμημένες, δηλ. Θα πρέπει να ισχύει : χ1=-χ και y1=y
Τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς την αρχή Ο των αξόνων εφόσον έχουν αντίθετες και τις τετμημένες
και τις τεταγμένες τους, δηλ. θα πρέπει να ισχύει : χ1=-χ και y1=-y
Τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της 1ης και της 3ης γωνίας των αξόνων εφόσον η
τετμημένη του ενός είναι ίση με την τεταγμένη του άλλου, δηλ. Θα πρέπει να ισχύει : χ1=y και y1=x.
π.χ. Να βρείτε όλα τα συμμετρικά του σημείου Μ(4,3) του παρακάτω σχήματος.
y=x

3. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 3
Γραφικι παράςταςθ ςυνάρτθςθσ
Ζςτω f μια πραγματικι ςυνάρτθςθ με πεδίο οριςμοφ το Α και Οχψ ζνα
ορκοκανονικό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων ςτο επίπεδο. Η f δθμιουργεί
ζνα πλικοσ διατεταγμζνων ηευγϊν τθσ μορφισ Μ(x , f(x)), με χ ϵ Α
τότε :
Γραφικι παράςταςθ (διάγραμμα) ςυνάρτθςθσ f ( f : A R): είναι το
ςφνολο όλων των ςθμείων M του επιπζδου με ςυντεταγμζνεσ τθσ
μορφισ (x , f(x)) με xA.
΢υμβολιςμόσ Cf .
Εξίςωςθ γραφικισ παράςταςθσ τθσ f: Είναι θ εξίςωςθ y = f(x) ,
όπου f(x) είναι ο τφποσ τθσ ςυνάρτθςθσ f .
Χαρακτθριςτικι ιδιότθτα τθσ y = f(x) : Ζνα ςθμείο Μ(x,y) ανικει ςτθν
γραφικι παράςταςθ Cf αν οι ςυντεταγμζνεσ του επαλθκεφουν τθν
εξίςωςθ y = f(x) και αντιςτρόφωσ.
π.τ. ( , ) ( )
o o f o o
M x y C y f x
  
ΠΡΟ΢ΕΧΟΤΜΕ :
1.Οποιαδιποτε κάκετθ ευκεία ςτον
άξονα xxϋ τζμνει τθ γραφικι
παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ το πολφ
ςε ζνα ςθμείο.
2.΢τθν γραφικι παράςταςθ μιασ
ςυνάρτθςθσ δεν υπάρχουν δφο ι
περιςςότερα ςθμεία που να ζχουν
τθν ίδια τετμθμζνθ.
Δεν είναι ςυνάρτθςθ ο κφκλοσ
είναι ςυνάρτθςθ
3.Η τιμι τθσ f ςτο o
x είναι θ
τεταγμζνθ του ςθμείου τομισ τθσ
ευκείασ o
x x
 και τθσ f
C .
Cf
O
x=x0
A(x0,f(x0))
x0
y
x
f(x0)
4. Σο πεδίο οριςμοφ τθσ f είναι το ςφνολο Α των τετμθμζνων των
ςθμείων τθσ γραφικισ παράςταςθσ Cf
Δθλαδι θ προβολι τθσ γραφικισ παράςταςθσ ςτον άξονα χ΄χ
Α=*α,β+
5. Σο ςφνολο τιμών τθσ f είναι το ςφνολο f(Α) των τε ταγμζνων των
ςθμείων τθσ γραφικισ παράςταςθσ Cf
Δθλαδι θ προβολι τθσ γραφικισ παράςταςθσ ςτον άξονα y΄y
f(A)=*κ,λ+

4. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 4
Χριςιμα
[1].Οι λφςεισ τθσ εξίςωςθσ f (x) = 0 είναι οι
τετμθμζνεσ των κοινϊν ςθμείων τθσ
γραφικισ παράςταςθσ με τον άξονα χχ'.
[2].Η τεταγμζνθ του ςθμείου τομισ (αν υπάρχει) τθσ
Cf με τον yy' είναι θ ρίηα τθσ εξίςωςθσ f (0) = y .
(εξετάηουμε εάν 0 f
A
 )
[3].Η επίλυςθ τθσ ανιςότθτασ f (x) >0 μασ κακορίηει
το διάςτθμα ςτο οποίο θ Cf είναι πάνω από τον
άξονα xx'.
[4].ενϊ θ ανιςότθτα f (x) <0 μασ κακορίηει το
διάςτθμα ςτο οποίο θ Cf είναι κάτω από τον άξονα
xx'.
[5]. Οι λφςεισ τθσ εξίςωςθσ f (x)=g(x) με
f g
x A A
    είναι οι τετμθμζνεσ των κοινϊν
ςθμείων των Cf και Cg, όπου f, g δυο πραγματικζσ
ςυναρτιςεισ.
[6]. Για να βροφμε που θ γραφικι παράςταςθ τθσ f
είναι «πάνω» (κάτω) από τθν γραφικι παράςταςθ
τθσ g .Λφνω τθν ανίςωςθ f (x)>g(x) (f (x)<g(x) )με
f g
x A A
    (οι λφςεισ τθσ ανίςωςθσ είναι οι
τετμθμζνεσ των ςθμείων που αναηθτϊ)
α β
x x x
f(0)
1 2 3
1 2 3
ηομής ηες C με ηον ττ΄:
(x ,0),(x ,0),(x ,0)
f
ί
 

ηομής ηες C με ηον yy΄:
(0, f(0))
f
ί
 

1 2 3
1 2, 3
( ) 0 για x (x , ) ( , )
( ) 0 για x (α,x ) (x )
f x x x
f x x

  
  
΢θμεία τομισ των Cf και Cg :
1 1 2 2
( , ) και Β( , )
y y
 

Β
f (x)>g(x) 2 3
( , )
x x x
 
f (x)<g(x) 1 2
( , )
x x x
 

5. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 5
Σο διάγραμμα τθσ ςυνάρτθςθσ
f(x)=g(x)+c, με c>0(f(x)=g(x)-c )
προκφπτει από τθν κατακόρυφθ
μετατόπιςθ του διαγράμματοσ τθσ
ςυνάρτθςθσ g κατά c μονάδεσ προσ τα
πάνω(αντιςτοίχωσ προσ τα κάτω)
Σο διάγραμμα τθσ ςυνάρτθςθσ
f(x)=g(x+c),με c>0(f(x)=g(x-c) )
προκφπτει από τθν οριηόντια
μετατόπιςθ του διαγράμματοσ τθσ
ςυνάρτθςθσ g κατά c μονάδεσ
προσ τα αριςτερά ( αντιςτοίχωσ δεξιά)

6. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 6
Η γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ
g(x)= - f(x) είναι ςυμμετρικι του
διαγράμματοσ τθσ ςυνάρτθςθσ f ωσ
προσ τον άξονα χϋχ
Η γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ g(x)= |f(x)|
αποτελείται από τα τμιματα τθσ y=f(x) που
βρίςκονται πάνω από τον χϋχ,από τα σσμμετρικά
ως προς τον τ΄τ των τμημάτων της y=f(x) ποσ
βρίσκονται κάτω από τον τ΄τ

7. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 7
Η γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ g(x)= f(-x) είναι
ςυμμετρικι τθσ γρ. παράςταςθσ τθσ g ωσ προσ τον άξονα yϋy

8. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 8
Η ςυνάρτθςθ f λζγεται άρτια ςτο Α όταν
για κάκε xA ιςχφει: -xA και f(-x) = f(x)
Παρατιρθςθ: Από τον οριςμό προκφπτει ότι
μια άρτια ςυνάρτθςθ ςε αντίκετεσ
μεταβλθτζσ ζχει τισ ίδιεσ τιμζσ άρα
Η γραφικι παράςταςθ άρτιασ ςυνάρτθςθσ
είναι ςυμμετρικι ωσ προσ τον άξονα y΄y
π.χ. Σα ςθμεία Μ(x, f(x)) ,Μϋ(-x, f(-x))
ανικουν ςτθν γραφικι παράςταςθ και αφοφ
f(-x)= f(x) ζχουν μορφι Μ(x, y) , Μϋ(-x, y)
Η ςυνάρτθςθ f λζγεται περιττι ςτο Α όταν
για κάκε xA ιςχφει : -xAκαι f(-x) = -f(x)
Παρατιρθςθ: Από τον οριςμό προκφπτει
ότι μια περιττι ςυνάρτθςθ ςε αντίκετεσ
μεταβλθτζσ ζχει αντίκετεσ τιμζσ άρα
Η γραφικι παράςταςθ περιττισ
ςυνάρτθςθσ είναι ςυμμετρικι ωσ προσ τθν
αρχι Ο των αξόνων
π.χ. Σα ςθμεία Μ(x, f(x)) , Μϋ(-x, f(-x))
ανικουν ςτθν γραφικι παράςταςθ και
αφοφ f(-x)= -f(x) ζχουν μορφι
Μ(x, y) , Μϋ(-x, -y)
Προςοχι Σο πεδίο οριςμοφ άρτιασ ι περιττισ
ςυνάρτθςθσ είναι κατ’ ανάγκθ ςυμμετρικό
ςφνολο ωσ προσ τθν αρχι Ο του άξονα χϋχ των
πραγματικϊν αρικμϊν.

9. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 9
Μία ςυνάρτθςθ f : Α R λζγεται περιοδικι ςτο Α όταν υπάρχει αρικμόσ Σ>0 , τζτοιοσ
ϊςτε:
 για κάκε xA : x + ΣAκαι x - ΣA
 για κάκε xA : f(x+T) = f(x) και f(x-T) = f(x)
Ο αρικμόσ Σ λζγεται περίοδοσ τθσ ςυνάρτθςθσ . H μικρότερθ κετικι περίοδοσ λζγεται
βαςικι περίοδοσ τθσ f
Οι τιμζσ μιασ περιοδικισ ςυνάρτθςθσ επαναλαμβάνονται όταν το x αυξθκεί κατά Σ
(όςο θ περίοδoσ τθσ f)
Η γραφικι παράςταςθ περιοδικισ ςυνάρτθςθσ ζχει τθν ίδια μορφι ςε διαδοχικά διαςτιματα
με πλάτοσ όςο θ περίοδόσ τθσ .
ημ : R ---> [-1,1]
1. έχει πεδίο ορισμού το Α=R
2. έχει πεδίο τιμών το [-1, 1]
3. είναι περιττή,δηλ. για κάθε x , -x ϵ Α= R
ισχύει : ημ(-x) = - ημ(x)
4. είναι περιοδική με Τ=2π
5. παρουσιάζει μέγιστο για x =π/2 το ημ(π/2)=1
6. παρουσιάζει ελάχιστο για x =3π/2 το ημ(3π/2)= -1
7. είναι γνησίως αύξουσα στα [0, π/2] και [3π/2, 2π]
8. είναι γνησίως φθίνουσα στα [π/2, 3π/2]

10. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 10
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f τθσ
οποίασ θ γραφικι παράςταςθ
είναι θ εικονιηόμενθ:
i. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ τθσ f.
ii. Να εξετάςετε αν το -1 είναι τιμι τθσ f
iii. Να βρείτε το f(-1).
iv. Να βρείτε το ςφνολο των τιμϊν τθσ f.
v. Να επιλφςετε τθν εξίςωςθ f(x)=0.
vi. Να επιλφςετε τισ ανιςϊςεισ
f(x)>0 και f(x)<0.
Λφςθ
i. Σο πεδίο οριςμοφ τθσ f είναι [ 2,2) (2,3]
    .
ii. Η ευκεία 1
y   τζμνει τθ f
G , άρα το -1 είναι τιμι τθσ f. 0 0
( x :f(x ) 1)
A
   
iii. ( 1) 1
f   .
iv. Σο ςφνολο τιμϊν τθσ f είναι ( ) ( 2,1]
f A   .
v. Σο ςφνολο λφςεων τθσ εξίςωςθσ ( ) 0 είναι : {-2,3} [0,1]
f x   .
vi. Σο ςφνολο λφςεων τθσ ανίςωςθσ ( ) 0 είναι : (-2,0)
f x 
Σο ςφνολο λφςεων τθσ ανίςωςθσ ( ) 0 είναι : (1,2) (2,3)
f x  

11. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 11
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f τθσ οποίασ θ
γραφικι παράςταςθ είναι θ εικονιηόμενθ:
i. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ τθσ f.
ii. Να εξετάςετε αν το 0 είναι τιμι τθσ f.
iii. Να βρείτε το ςφνολο τιμϊν τθσ f.
iv. Να βρείτε το f(2) .
v. Να επιλφςετε τθν εξίςωςθ f(x)=0 .
vi. Να επιλφςετε τισ ανιςϊςεισ f(x)>0 και f(x)<0 .
Λφςθ
i. Σο ςφνολο των τετμθμζνων των ςθμείων τθσ f
G είναι [ 6,0) (0,4) f
D
   .
ii. Σο 0 είναι τιμι τθσ f γιατί θ ευκεία με εξίςωςθ 0
y  τζμνει τθν f
G ςτο ςθμείο ( 6,0)
A 
0
(δελ. x 6 :f( 6) 0)
f
D
      .
iii. Σο ςφνολο των τεταγμζνων των ςθμείων τθσ f
G είναι το ςφνολο [0,4) { 2}
  , το οποίο είναι το
ςφνολο τιμϊν τθσ f .
iv. Η ευκεία 2
x  τζμνει τθν f
G ςτο ςθμείο (2, 2) (2) 2
B f
    .
v. Οι ρίηεσ τθσ εξίςωςθσ ( ) 0
f x  , είναι οι τετμθμζνεσ των κοινϊν ςθμείων τθσ f
G με τον άξονα xϋx.
Παρατθροφμε ότι θ f
G με τον άξονα xϋx ζχει ζνα μόνο κοινό ςθμείο το ( 6,0)
A  .
Ζτςι θ εξίςωςθ ( ) 0
f x  ζχει μια μόνο ρίηα τθν 6
x   .
vi. Σο ςφνολο λφςεων τθσ ανίςωςθσ ( ) 0
f x  (αντίςτοιχα ( ) 0
f x  ) είναι το ςφνολο των τετμθμζνων των
ςθμείων τθσ f
G των οποίων οι τεταγμζνεσ τουσ είναι κετικζσ (αντίςτοιχα αρνθτικζσ).
Ζτςι ζχουμε: ( ) 0 ( 6,0) (0,2)
f x x
     και ( ) 0 [2,4)
f x x
  

12. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 12
Να βρείτε ποιεσ από τισ ςυναρτιςεισ f, g, φ, h είναι περιττζσ
Η f είναι περιττι, γιατί θ f
G είναι
ςυμμετρικι ωσ προσ τθν αρχι του
ςυςτιματοσ αναφοράσ.
Η g δεν είναι περιττι, γιατί το
1 g
D
 αλλά το 1 g
D
  .
Η φ δεν είναι περιττι, γιατί το 0 D

αλλά το (0) 1 0
    . Η φ δεν είναι
περιττι και για ζνα ακόμθ λόγο. Τπάρχει
το 2 D
 αλλά 2 D
 
Η h δεν είναι περιττι γιατί υπάρχει το
1 ώζηε h(-1)=0 -1=-h(1)
h
D
 
.

13. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 13
Να προςδιορίςετε τθ ςυνάρτθςθ f τθσ οποίασ θ γραφικι παράςταςθ είναι:
1
2
1
O
i)
y
x
Η ευκεία που διζρχεται από τα ςθμεία
Α(1,0) και Β(0,1) ζχει
1 0
1
0 1


  

άρα θ εξίςωςι τθσ είναι :y − 0 = (−1)(x −1)
y= −x +1.
Η ευκεία που διζρχεται από τα ςθμεία Γ(2,0)
και Δ(1,1) ζχει ςυντελεςτι
1 0
1
1 2


  

1, οπότε θ εξίςωςι τθσ είναι:
y − 0 = (−1)(x − 2)  y = −x + 2.
Επομζνωσ το ςχιμα μασ είναι θ γραφικι
παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ
ii)
2
2
1
O
x
y
4
3
1
2
1
O
iii)
y
x
H ευκεία που διζρχεται από τα ςθμεία Ο(0,0)
και A(1,2) ζχει λ = 2 και εξίςωςθ
y = 2x.
Η ευκεία που διζρχεται από τα ςθμεία A(1,2)
και Β(2,0) ζχει
0 2
2
2 1


  

και εξίςωςθ y − 0 = −2(x − 2)  y = −2x + 4.
Επομζνωσ το ςχιμα μασ είναι θ γραφικι
παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ
Η γραφικι παράςταςθ τθσ
ςυνάρτθςθσ αποτελείται από
από τμιματα τθσ ευκείασ y=k

14. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 14
ln για x>0
x
x x e
 
Για τθ ςυνάρτθςθ f, που θ γραφικι τθσ
παράςταςθ φαίνεται ςτο διπλανό ςχιμα,
δεν ιςχφει ότι:
Α. Ζχει πεδίο οριςμοφ το ςφνολο R
B. Ζχει ςφνολο τιμϊν το διάςτθμα *- 2, 2]
Γ. Είναι περιττι
Δ. Ζχει ελάχιςτο το -2 και μζγιςτο το 2
E. Είναι γνθςίωσ μονότονθ ςτο R ΢ωςτό
0
-1
1
x
y
2
-2

15. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 15
Η γραφικι παράςταςθ Cf μιασ ςυνάρτθςθσ f
φαίνεται ςτο διπλανό ςχιμα.
Από αυτό να βρείτε:
α) το πεδίο οριςμοφ τθσ f
β) το ςφνολο τιμών τθσ f
γ) το διάςτθμα και το είδοσ μονοτονίασ τθσ f
δ) τα ακρότατα τθσ f
ε)τον τφπο τθσ f, αν είναι γνωςτό ότι:
ςτο διάςτθμα *- 1, 0) είναι υπερβολι
τθσ μορφισ y =
x
α
και
ςτο διάςτθμα *0, 2) είναι παραβολι τθσ
μορφισ y = αx
2
α) Df = (- 3, 5]
β) [0, + )
γ) η f είναι : γν.αφξουςα ςτο (-3,-2] ,[-1,0] [0,2], και γν.φκίνουςα ςτο *-2,-1], [2,5]
δ) Παροσζιάδει ελάτιζηο ζηο 0 και ζηο 5. Δεν παροσζιάδει μέγιζηο
ε) f (x) =



























5
x
2
,
3
25
x
3
5
-
2
x
0
,
x
2
1
0
x
1
-
,
x
1
-
1
-
x
2
-
,
x
-
2
x
3
-
6,
2x
2

16. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 16
B1. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ και το ςφνολο τιμών τθσ f .
Σο πεδίο οριςμοφ τθσ f είναι το ςφνολο των τετμθμζνων των ςθμείων τθσ γραφικισ
παράςταςθσ , τθσ ςυνάρτθςθσ f , άρα :
Σο ςφνολο τιμϊν τθσ f είναι το ςφνολο των τεταγμζνων των ςθμείων τθσ γραφικισ
παράςταςθσ τθσ f, άρα : ( ) ( 2,1] (2,4] (0,3) {3} [3,5) ( 2,5]
f
f D        
(το πεδίο τιμϊν το υπολογίςαμε κατά «τμιματα»)
B2. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια.
Λφςθ
Θζμα Β /επαναλθπτικζσ 2016
λφςεισ από τθ lisari team

17. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 17
B3. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια.
Λφςθ
B4. Να βρείτε τα ςθμεία ςτα οποία θ f δεν είναι ςυνεχισ.
Λφςθ
B5. Να βρείτε τα ςθμεία x0 του πεδίου οριςμοφ τθσ f για τα οποία ιςχφει 0
( ) 0
f x
  .
Λφςθ

18. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 18
Να χαρακτθρίςετε κάκε μία από τισ παρακάτω προτάςεισ με ΢ωςτό (΢), αν είναι
ςωςτι, ι με Λάκοσ (Λ), αν είναι λανκαςμζνθ:
΢το παρακάτω ςχιμα δίνεται θ γραφικι παράςταςθ τθσ παραγώγου μίασ ςυνάρτθςθσ
f ςτο διάςτθμα [-1,10] .
Λφςθ
( ) 0 για x [ 1,1] [4,6] [6,8]
f x
     
( ) 0 για x [1,4] [8,10]
f x
   
[-1,1] [1,4] [4,6] [6,8] [8,10]
( )
f x
 + - + + -
( )
f x Γν.αυξουςα Γν.φκίνουςα Γν.αυξουςα Γν.αυξουςα Γν.φκίνουςα
[-1,0] [0,2] [2,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,10]
( )
f x
 Γν.αυξ Γν.φκιν Γν.αυξ Γν.φκιν Γν.αυξ Γν.φκιν Γν.φκιν
( )
f x κυρτι κοίλθ κυρτι κοίλθ κυρτι κοίλθ κοίλθ
θ f ςυνεχισ ςτο 6 άρα
γν.αφξουςα ςτο *4,8+

19. «Το μικρό ,μικρό δεν είναι όταν σε κάτι μζγα οδηγεί»
Σωτήριος Χ. Τσαντίλας Μαθηματικός Σελίδα 19
Δίνετε θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f ςτο διπλανό ςχιμα. Να απαντιςετε ςτα
παρακάτω ερωτιματα.
α) f(3)=...
β) f '(3)=...
γ) f(5)=...
δ) Η ΜΑ ζχει εξίςωςθ...
α). (3) 2
f 
β).
0 0
(3) (180 45 ) 135 1
f 

  
      
γ). (5)
f 

δ) : y f(3) f (3)(x 3) M(3,f(3)=2))

   
: y 2 (x 3) y x 3 2 x 5
y
             
γ
οι αςκιςεισ είναι του ςχολικοφ
και από τισ αςκιςεισ του
υπουργείου.
Σο ζργο τθσ διδαςκαλίασ είναι πάνω από όλα ζνα επαγγελματικό ζργο, το
οποίο απαιτεί διαρκι πνευματικι πεικαρχία και το κζντριςμα τθσ
επιςτθμολογικισ περιζργειασ, τθσ ικανότθτασ για αγάπθ, για
δθμιουργικότθτα, για επιςτθμονικι αρτιότθτα και για απόρριψθ των
επιςτθμονικϊν υπεραπλουςτεφςεων. Σο ζργο τθσ διδαςκαλίασ απαιτεί
επίςθσ τθν ικανότθτα να αγωνιηόμαςτε για τθν ελευκερία, χωρίσ τθν οποία
θ διδαςκαλία δεν ζχει ςκοπό.
ΠΑΟΤΛΟ ΦΡΕΪΡΕ