#Για να δείτε τα περιεχόμενα πηγαίνετε στους σελιδοδείκτες *Bookmarks) # Έξι τόμοι με Μαθηματικές εργασίες, συν 7ος συμπληρωματικός # Τρεις τόμοι με Εκπαιδευτική και τοπική για Μεσσήνη αρθρογραφία.

1. Μεσσήνη
2015
Συμπληρωματικός
τόμος
7ος
Γιάννης Π. Πλατάρος
Εκπαιδευτικές Εργασίες (Συλλογή)

3. 2/12/2015
ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΤΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, είναι ΑΠΕΙΡΟΨ ΗΦΙΟΙ.

4. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.

5. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.
Για ποιο λόγο, όλοι τελικά οι αρικμοί, είναι απειροψιφιοι.
Γιάννης Π. Πλατάρος
Μαθηματικός
Ειςαγωγι: Κατϋαρχιν, πρζπει να γίνει κατανοθτό, ότι τελικά όλοι οι αρικμοί είναι απειροψιφιοι , κόντρα
ςτθν κοινι κακθμερινι αντίλθψθ ότι ζχουμε πεπεραςμζνου πλικουσ ψθφίων αρικμοφσ και μάλιςτα
αυτοί είναι και απείρου πλικουσ αφοφ λ.χ. το ςφνολο των Φυςικϊν {1,2,3,4,5,6,7,8,....} ζχει
άπειρουσ ςτο πλικοσ μονοψιφιουσ. Επομζνωσ ο τίτλοσ τθσ παροφςθσ εργαςίασ είναι ψευδισ είτε
παραπλανθτικόσ;
Σο εξετάηουμε:
 Οι φυςικοί ρθτοί και γενικότερα οι ακζραιοι γράφονται όλοι με απειροψιφια μορφι, αφοφ λ.χ.
1=0,999999….. , 2=1,9999999999…… , 3=2,999999…… κ.ο.κ.
 Οι ρθτοί δεκαδικοί που τερματίηονται, γράφονται και αυτοί με άπειρα ψθφία, αφοφ λ.χ.
1,24=1,2399999…. 3,4567=3,4566999999…….
 Οι ρθτοί που δεν είναι δεκαδικοί είναι περιοδικοί με περίοδο διαφορετικι από το 9 (που είναι θ
προθγοφμενθ κατθγορία) και αυτοί είναι πρωταρχικά απειροψιφιοι, περιοδικοί αρικμοί.
 Οι άρρθτοι που είναι κι αυτοί απειροψιφιοι μθ περιοδικοί
΢χθματικά:
Πραγματικοί Αρικμοί
Ρθτοί
Ακζραιοι
(Τποκλάςθ των Ρθτϊν)
Μετατρζπονται ςε
απειροψήφιουσ με περίοδο το 9
Άρρθτοι 
Ζχουν από την φφςη τουσ απειροψήφια
μη περιοδική μορφή
Δεκαδικοί τερματιηόμενοι
(Τποκλάςθ των Ρθτϊν)
Μετατρζπονται ςε
απειροψήφιουσ με περίοδο το
9) Είναι τησ μορφήσ
,
2 5 
  



και με το
κλάςμα ανάγωγο.
Δεκαδικοί περιοδικοί
(Τποκλάςθ Ρθτϊν)
Ζχουν πρωτογενϊσ
απειροψήφια μορφή με
οποιαδήποτε περίοδο πλην του
9 . Είναι οποιοδήποτε ανάγωγο
κλάςμα που γράφεται
διαφορετικά από την
προηγοφμενη μορφή.

6. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.
Με τισ παραπάνω εξθγιςεισ αποδείξαμε ότι όλοι οι αρικμοί, ζχουν απειροψιφια παράςταςθ και
επομζνωσ ο τίτλοσ τθσ παροφςασ εργαςίασ είναι ςωςτόσ. Ωςτόςο, πάλι ο τίτλοσ μοιάηει
«δθμοςιογραφικόσ» δθλαδι υπερβολικόσ1
. Εξακολουκοφν να υπάρχουν άπειροι ςτο πλικοσ
αρικμοί με πεπεραςμζνθ παράςταςθ ςτο δεκαδικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ. Απλϊσ εμείσ
υπενκυμίςαμε, ότι μποροφν να μετατραποφν όλοι ςε απειροψιφιουσ, με μθ τετριμμζνθ περίοδο
το 0. Η ζκφραςθ «όλοι τελικά» τι νόθμα ζχει; (Σο «Για ποιο λόγο…» δεν τον ζχουμε ακόμα
διαπραγματευκεί)
Χρθςιμοποιοφμε τισ προτάςεισ:
(Α) «Σο ςφνολο των ρθτϊν είναι αρικμιςιμο και το ςφνολο των αρριτων υπεραρικμιςιμο»
Η παραπάνω πρόταςθ, ζχει ςυνζπειεσ πρακτικζσ:
 Οι άρρθτοι είναι «πιο άπειροι» από τουσ ρθτοφσ.
 Η ζκφραςθ «πιο άπειροι» είναι κυριολεκτικι, κακϊσ οι ρθτοί ζχουν τθν ιςχφ του
αρικμιςιμου απείρου 0 (Άλεφ μθδζν) και οι άρρθτοι τθν ιςχφ του 1 και ιςχφει
0
1 02
  
 Σο ςφνολο των αρριτων, δεν μπορεί να μπει ςε 1-1 και επί αντιςτοιχία με το ςφνολο των
ρθτϊν. Αν δεχκοφμε ότι αυτό είναι εφικτό, μποροφμε να καταλιξουμε ςε άτοπο
(«Διαγϊνιο επιχείρθμα» του Cantor)
 Σο να ςυγκρίνεισ το 0 με το 1 , (Άλεφ μθδζν με Άλεφ ζνα) είναι οιονεί ςφγκριςθ
πεπεραςμζνου με 0 . Αυτό το «οιονεί» μπορεί να υποςτθριχκεί μακθματικά, αν κάνουμε
νοθτικά πειράματα τφχθσ με πεπεραςμζνα ςφνολα και με απειροςφνολα.
Α) Για παράδειγμα: Λαμβάνω ςτιγμιότυπο, ,απϋ ό,τι ζχει γραφεί ςτο διαδίκτυο. Όλεσ τισ
πλθροφορίεσ. Είναι μια τεράςτια ςειρά από οκτάδεσ από τα ψθφία 0 και 1. Σα κείμενα, οι
φωτογραφίεσ, οι ιχοι, τα βίντεο, τα κινοφμενα γραφικά, όλα ζχουν τθν κωδικοποίθςθ 0 και
1. Χαλάω και τισ οκτάδεσ και φτιάχνω με απίςτευτα μεγάλθ «ςοφπα» από 0 και 1.
Πεπεραςμζνθ, αλλά εκφραηόμενθ με ζναν επίςθσ απίςτευτο αρικμό ψθφίων από 0 και 1.
Αν αρχίςω να βγάηω διαδοχικά και εντελϊσ τυχαία τα 0 και 1 και να τα βάηω ςε οκτάδεσ, θ
πικανότθτα να ξαναφτιάξω τα ίδιο ςτιγμιότυπο διαδικτφου, είναι πολφ μικρι μεν, κετικι
δε. Σο ενδεχόμενο είναι απολφτωσ εφικτό και μετά από δοκιμζσ που κα γίνουν ςε
πεπεραςμζνο χρόνο, κα το φτιάξω τελικά, με ςχεδόν απόλυτθ ςιγουριά, εντόσ
πεπεραςμζνου χρόνου και απόλυτθ εντόσ απείρου χρόνου. Οςοδιποτε γριγοροσ και να
είμαι ςτισ δοκιμζσ επαναφοράσ τθσ ςωςτισ διάταξθσ του διαδικτφου, θ πικανότθτα να το
επιτφχω τθν πρϊτθ δοκιμαςτικι φορά είναι q=1/(28
∙α!), όπου α ο αρικμόσ των οκτάδων
(bytes) Αν ο χρόνοσ αυτόσ είναι απίςτευτα μικρόσ, ασ ποφμε όςο ο χρόνοσ t που κάνει το
φϊσ να διαπεράςει τον μικρότερο πυρινα τθσ Φφςθσ, αυτόν του H2
2
, τότε θ πικανότθτα να
1
Η υπερβολή γενικϊσ θεωρείται ότι είναι ςτοιχείο ςυςτατικό τησ Δημοςιογραφίασ. Για παράδειγμα βλζπετε ςτον
ςφνδεςμο την γνϊμη ενόσ εμπείρου δημοςιογράφου, ενϊ η γνϊμη του δεν είναι μόνο προςωπική. Σε μια εργαςία
όμωσ που διεκδικεί τον τίτλο «επιςτημονική» ζςτω και εκλαϊκευτική, δεν ζχει θζςη, εκτόσ ίςωσ από την περίπτωςη
όπου καθίςταται αντιληπτή από όλουσ ανεξαιρζτωσ και δια μιασ. http://www.presspublica.gr/υπερβολική-δόςη/
2
Ο πυρινασ ενόσ ατόμου ζχει μζςθ διάμετρο 10
-6
nm =10
-6
10
-9
m=10
-15
m=10
-18
Km. Αν το φωσ τρζχει με 3∙10
5
Km/sec , τότε για να
διαςχίςει ζναν πυρινα κζλει χρόνο t=s/v =(10
-18
Km)/ (3∙10
5
Km/sec)=0,3333…∙10
-23
sec≅ 3∙10
-24
sec. Επομζνωσ ςε 1.000.000.000
χιλιετίεσ =10
12
ζτθ=10
12
∙235 θμζρεσ=10
12
∙235∙24ϊρεσ=10
12
∙235∙24∙60 λεπτά=10
12
∙235∙24ϊρεσ=10
12
∙235∙24∙60∙60sec=3∙10
19
sec.
Επομζνωσ, προλαβαίνουμε να πραγματοποιιςουμε (3∙10
19
sec)/( 3∙10
-24
sec)= 10
43
δοκιμζσ. Δθλ. Σα 10
12
ζτθ δίνουν 10
43
δοκιμζσ
κ.ο.κ. 10
12.000.000.000.000
=10
43.000.000.000.000

7. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.
μθν ζχει πραγματοποιθκεί θ επαναςφςταςθ του διαδικτφου ςε χρόνο 1.000.000.000
χιλιετιϊν (:= 1012
ζτθ) είναι b(1043
,0,q)=
43
0 4310
(1 )
0
q q
 
 
 
=1 1
43
8
1
1
2 !a
 
 
 
(*)
Κανονικά δεν γνωρίηουμε το α, άρα δεν μποροφμε να αποφανκοφμε. Μποροφμε να του
δϊςουμε μια υπερεκτίμθςθ. Κάκε κάτοικοσ του Πλανιτθ, ζχει χρθςιμοποιιςει 1.000
Terabytes δεδομζνων ςτο διαδίκτυο, ιτοι 7.000.000.000 κάτοικοι πλανιτθ ΓθΧ1015
bytes/κάτοικο =7X1024
bytes=α .
Άρα το διϊνυμο πικανότθτασ (*) γίνεται
43
8 24
1
1
2 (7 10 )!
 
 
  
Σθν αρικμθτικι αυτι
παράςταςθ, δεν μπορεί να τθν υπολογίςει το Mathematica 10 , διότι μαηί με τουσ
διψιφιουσ εκκζτεσ του 10 ζχουμε και το παραγοντικό (!) τα ο οποίο ςφμβολο του
παραγοντικοφ, επελζγθ για τθν ζκπλθξθ που προκαλεί τθν φανταηόμαςτε ωσ εξισ : ΢τθν
παρζνκεςθ υπάρχει ζνασ απειροελάχιςτα μικρότεροσ αρικμόσ από τθν μονάδα, όμωσ ςε
μια τεράςτια δφναμθ, το 43 . Γνωρίηουμε ότι αν
0 , με 0<α<1. ΢ε μια ιςοδφναμθ
διατφπωςθ, αυτό μεταφράηεται ότι «για καταλλιλωσ και «επαρκϊσ μεγάλο» φυςικό ν,
μποροφμε να πλθςιάςουμε τθν πικανότθτα όςο κζλουμε κοντά ςτο 0 . Δθλαδι, υπάρχει
πεπεραςμζνοσ χρόνοσ, όπου λ.χ. θ πικανότθτα να μθν ζχει αναπαραχκεί το διαδίκτυο να
είναι ςχεδόν απίκανθ. Μόνο ςε άπειρο επιτελεςμζνο χρόνο (:=ενεργεία άπειρο) ζχω
βεβαιότθτα. Δεν κα αποφφγουμε τελικά τθν φιλοςοφικι αβεβαιότθτα, διότι πάντα υπάρχει
πικανότθτα ζςτω και ςχεδόν μθδενικι να μθν ζχει αναςυςτακεί ςε όποιο χρόνο επιλζγω
κάκε φορά οςοδιποτε μεγάλο και να τον επιλζξω κάκε ςυγκεκριμζνθ φορά.
Από αυτό το παράδειγμα κρατάμε ότι για οποιοδήποτε απίθανο με τα ανθρϊπινα κριτήρια
ενδεχόμενο όπωσ το να επαναςυςταθεί τυχαία το διαδίκτυο από μια τεράςτια ςοφπα με 0
και 1 που περιζχει «μόνο» 28
Χ7Χ1024
ψηφία από 0 και 1 και μάλιςτα 0 και 1 με
ιδιοταυτότητα το κάθε ζνα, δηλ. να πάνε τα αυθεντικά 0 και 1 ςτην αρχική θζςη που ήταν
πριν αποδομήςουμε το διαδίκτυο ςε ςοφπα με 0 και 1, είναι θετική και όςο θζλουμε κοντά
ςτο 1 (=βεβαιότητα) αρκεί να ζχουμε επαρκϊσ κατάλληλα μεγάλο χρόνο.
Β) Ασ πάρουμε τον αρικμό των κόκκων άμμου που χωράει το ΢φμπαν αν δεν υπιρχαν τα
τεράςτια κενά που υπάρχουν (΢φμπαν εννοοφμε μζχρι εκεί που ζχει φκάςει το Φωσ , από
τθν ςτιγμι τθσ Μεγάλθσ ζκρθξθσ. Σο νοφμερο χωράει ςτο χαρτί και γράφεται με λίγα
ψθφία. Είναι τθσ τάξθσ του 1064
. Αν χαρτογραφιςω αυτι τθν άμμο ςυνδζοντασ όλουσ τουσ
κόκκουσ τθσ με μια νοθτι κλωςτι ςαν κομπολόι φτιάχνοντασ ζνα ΢υμπαντικό κομπολόι.
Αυτό το κομπολόι καταγράφει ζναν αρικμό από τον πρϊτο κόκκο άμμου, ωσ τον τελευταίο.
(ο τελευταίοσ δεν μζνει ςτακερόσ, κακϊσ το ςφμπαν επεκτείνεται ακτινικά-ςφαιρικά, με
ταχφτθτα φωτόσ . Παίρνουμε ζνα ςτιγμιότυπο) Ζτςι, κάκε κόκκοσ χαρακτθρίηεται από ζναν
αρικμό που είναι και θ ςυντεταγμζνθ του ςτο κομπολόι ςτακεροφ ςχιματοσ νιματοσ. Αν
ανακατζψω και πάλι νοθτά ατι τθσ ςοφπα άμμου και μετά εξαγάγω ζνα προσ ζνα κόκκουσ
και τουσ βάηω ςτο κομπολόι ξεκινϊντασ από τθν αρχι, θ πικανότθτα να ξαναμποφν όλοι οι
κόκκοι ςτθν ςωςτι κζςθ, είναι p=1/(1064
!) Η πικανότθτα να το πετφχω αυτό 1.000 φορζσ
ςερί και να μπουν οι κόκκοι τθσ άμμου χίλιεσ φορζσ ςτθν ςωςτι τουσ κζςθ κάνοντασ το
πείραμα μόνο 1.000 φορζσ, είναι q= 1/[(1064
!)]1.000
Φυςικά δεν υπάρχει άνκρωποσ που
μπορεί να φανταςτεί πόςο κοντά ςτο 0 είναι ο προθγοφμενοσ αρικμόσ που με τόςθ
αναπαραςτατικι λιτότθτα γράψαμε ι (όπερ το αυτό) πόςο μεγάλοσ είναι ο παρανομαςτισ
αυτοφ του κλάςματοσ. Και φυςικά, μποροφμε να γράψουμε πολφ-πολφ μεγαλφτερουσ.

8. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.
Από τα προηγοφμενα κρατάμε ότι για ζνα «πραγματικά απίθανο» ενδεχόμενο (=να
βάλουμε τουσ κόκκουσ άμμου που χωράνε ςτο Σφμπαν ςτην ίδια θζςη 1.000 φορζσ ςερί,
αφοφ πρϊτα τουσ ανακατϊςουμε καλά!) η πιθανότητα q, είναι μεγαλφτερη του μηδενόσ.
Η Πικανότθτα όμωσ να βγάλω από το ςφνολο των Φυςικϊν αρικμϊν ζναν αρικμό από
το 1 ζωσ το 1064
, είναι 0, όπωσ προκφπτει από το μζτρο τθσ πικανότθτασ που είναι θ
pϋ
=
64
10
lim 0
 
 . H Πικανότθτα να βγάλω ηυγό φυςικό είναι q=
12
lim
2n


 
    . Η πικανότθτα
να βγάλω τζλειο τετράγωνο (είναι άπειρα τα τζλεια τετράγωνα) είναι r= lim 0



 
   ,
όπου *…+ θ ςυνάρτθςθ ακζραιο μζροσ . Η διαιςκθτικι κατανόθςθ του αποτελζςματοσ
βοθκιζται από το γεγονόσ, ότι «υπάρχουν οςοδήποτε μεγάλα διαςτήματα διαδοχικϊν
φυςικϊν, όπου κανείσ δεν είναι πρϊτοσ.» Αυτό φαίνεται από τθν ταυτότθτα (ν+1)2
-ν2
=2ν+1
. Για παράδειγμα ανάμεςα ςτον 1.000.0012
και ςτον 1.000.0002
υπάρχουν 2.000.001
διαδοχικοί φυςικοί, όπου κανείσ δεν είναι τζλειο τετράγωνο. Ανάλογο αποτζλεςμα –
ςυμπζραςμα ιςχφει και για τουσ πρϊτουσ αρικμοφσ που κι αυτοί είναι άπειροι και θ
πικανότθτα εξαγωγισ πρϊτου από τουσ Φυςικοφσ είναι 0, ενϊ και ςτουσ Φυςικοφσ,
υπάρχουν οςοδιποτε μεγάλα διαςτιματα διαδοχικϊν Φυςικϊν, όπου κανείσ τουσ δεν
είναι πρϊτοσ. (Βλζπε ΕΔΩ και εδϊ ) Σο πραγματικά εντυπωςιακό που καλείται να
κατανοιςει ο αναγνϊςτθσ είναι το ίδιο το αποτζλεςμα: Πικανότθτα εξαγωγισ τελείου
τετραγϊνου από τουσ Φυςικοφσ ίςθ με 0, ενϊ οι Φυςικοί με τα τζλεια τετράγωνα τίκενται
ςε 1-1 και επί απεικόνιςθ όπωσ φαίνεται από το ςχιμα 2
  (Δθλ. κάκε  
αντιςτοιχίηεται ςτο 2
 ςτουσ Σετράγωνουσ και κάκε 2
 ςτουσ Σετράγωνουσ
αντιςτοιχίηεται ςτο  . Ζτςι ζχουμε το 1-1 και επί τθσ αντιςτοίχιςθσ , όμωσ θ πικανότθτα
εξαγωγισ τετράγωνου από τουσ Φυςικοφσ, είναι 0 ακριβϊσ. Η κεϊρθςθ τθσ δυνατότθτασ 1-
1 αντιςτοίχιςθσ των ςυνόλων, υποδθλοί, ότι τα δφο άπειρα ςφνολα είναι ιςοπλθκικά τθσ
πρϊτθσ τάξεωσ του απείρου, του άλεφ μθδζν (= 0 ) όπωσ παριςτάνουμε τθν ιςχφ του
αρικμιςιμου απείρου του ςυνόλου των Φυςικϊν .
Αν επιχειριςουμε να βροφμε τθν πικανότθτα εξαγωγισ ρθτοφ (ςτο ) αρικμοφ από το
ςφνολο των Πραγματικϊν κα χρειαςτεί να υπολογιςτεί ο λόγοσ
( )
( )


όπου το μ(…)
είναι θ «ςυνάρτθςθ μζτρο» που μποροφμε να τθν φανταςτοφμε ωσ τθν ζννοια ενόσ μικουσ
του ςυνόλου. ΢φμφωνα με τθν Θεωρία μζτρου, είναι ο λόγοσ ίςοσ με
0
0

. ΢το ίδιο
αποτζλεςμα που είναι εντυπωςιακότερο, καταλιγω, αν υπολογίςω τθν πικανότθτα
εξαγωγισ ρθτοφ από το ςφνολο-διάςτθμα *0,1+ Ζχω
( [0,1]) 0
0
([0,1]) 1
ί
p
  

   .
Εδϊ βεβαίωσ το και το δεν τίκενται ςε 1-1 αντιςτοιχία.
΢υνοψίηουμε, επεκτείνουμε και παρακζτουμε περιςςότερα δεδομζνα και
αποτελζςματα:
 Ζχω τθν ευκεία των Πραγματικϊν αρικμϊν. Πάνω τθσ υπάρχουν- απεικονίηονται, ρθτοί και
άρρθτοι. Η ονοματοδοςία-παράςταςθ των αρικμϊν, μπορεί να γίνει ςφμφωνα με
οποιοδιποτε ςφςτθμα αρίκμθςθσ.

9. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.
 Οι ακζραιοι απεικονίηονται με περατοφμενθ παράςταςθ.
 Από τουσ Ρθτοφσ, απεικονίηονται με περατοφμενθ παράςταςθ μόνο θ απειροελάχιςτθ
κλάςθ ρθτϊν τθσ μορφισ
2 5 

προκειμζνου για το δεκαδικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ και
όπου το κλάςμα ανάγωγο . Αν είχα δωδεκαδικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ, με περατοφμενθ
παράςταςθ κα παριςτάνοντο οι αρικμοί τθσ κλάςθσ των ρθτϊν τθσ μορφισ
2 3 

Δθλαδι,
ο παρονομαςτισ είναι οι διαφορετικοί πρϊτοι που προκφπτουν από τθν ανάλυςθ τθσ
βάςθσ του ςυςτιματοσ αρίκμθςθσ ςε γινόμενο πρϊτων.
 Κάκε ρθτόσ , μπορεί να ζχει περατοφμενθ ι περιοδικι μορφι ανάλογα ςτο ςφςτθμα
αρίκμθςθσ που ζχει γραφεί για παράδειγμα:
10 3
10 3
1 1
0,33333333333333..... 0,1
3 10
ά ά
ά ά
  
 

 
   
     
   
 Η Πικανότθτα εξαγωγισ Ρθτοφ από τουσ Πραγματικοφσ, είναι 0.
 Αν ειςάγω ςτουσ πραγματικοφσ , άπειρα διακριτά αρικμιςιμα αντίγραφα των Ρθτϊν,
δθλαδι αν ειςάγω το ςφνολο
1




  και επιχειριςω να εξαγάγω ζνα αρικμό, θ
πικανότθτα να εξαγάγω ρθτό, είναι πάλι….0!
 Η απειρία των Ρθτϊν ωσ προσ τθν απειρία των Αρριτων  είναι όπωσ το
πεπεραςμζνο προσ το άπειρο, δθλ. 0.
 Σο ςφνολο του Cantor, είναι ζνα υποςφνολο του *0,1+ που ζχει «πιο άπειρα»
(=περιςςότερα) ςτοιχεία από το
1




 
που ορίςαμε προθγουμζνωσ. Η καταςκευι
του, ορίηεται ωσ εξισ: ξεκινά από ζνα
ευκφγραμμο τμιμα -διάςτθμα. Σο
χωρίηουμε ςε 3 ίςα τμιματα και αφαιροφμε το μεςαίο. ςτα δφο εναπομζνοντα,
εφαρμόηουμε τον ίδιο κανόνα κ.ο.κ. επϋάπειρον. ΢το πρϊτο βιμα ζχουμε 2 τμιματα με
μικοσ 1/3 ζκαςτο, ςτο δεφτερο 22
με μικοσ (1/3)2
ζκαςτο , επαγωγικά ςτο ν-οςτό βιμα 2ν
τμιματα με μικοσ (1/3)ν
ζκαςτον . Επϋ άπειρον όπου και ορίηεται το ΢φνολο Cantor, ζχουμε
ςυνολικό μικοσ (2/3)ν
0. Δθλ. Σο μικοσ του ΢υνόλου Cantor, είναι 0. To μζτρο του είναι
0, ι ςυμβολικά μ(C) =0 . Μπορεί να αποδειχκεί και υπεραρικμιςιμο. Δθλ. ότι δεν τίκεται
ςε 1-1 αντιςτοιχία με το , διότι ζχει παραπάνω ςτοιχεία από αυτό . Παραπάνω ακόμα
και από το απίςτευτα μεγάλο
1




  . Η ιδζα τθσ απόδειξθσ είναι εφκολθ και βαςίηεται
ςτο γνωςτό διαγϊνιο επιχείρθμα του Cantor. Για να γίνει κατανοθτι θ απόδειξθ, πρζπει να
αποκρυπτογραφθκεί θ καταςκευι του ςυνόλου Cantor, ωσ εξισ: Φανταηόμαςτε, ότι ςτο
αρχικό ςφνολο *0,1+ μετράμε όλουσ τουσ αρικμοφσ ςτο τριαδικό ςφςτθμα αρίκμθςθσ. Σο
τριαδικό ςφςτθμα, χρθςιμοποιεί τα ψθφία 0,1,και 2 . Όταν ςτο πρϊτο βιμα πετάω το
μεςαίο τμιμα, ςτθν ουςία, πετάω όλουσ όςουσ το δεφτερο ψθφίο τουσ είναι 2. ΢το δεφτερο
βιμα , πετάω όλουσ όςουσ ζχουν ωσ δεφτερο δεκαδικό το 2. Σουσ ζχοντεσ μορφι 0,α2…
όπου α=0ι 1 διότι τθν τιμι 2 τθν ζχω ιδθ αποκλείςει. ΢τθν πραγματικότθτα, το ςφνολο
Cantor, ορίηεται και με τον ιςοδφναμο τρόπο . ότι το C είναι το ςφνολο των πραγματικϊν
αρικμϊν ςτο *0,1+, όπου θ τριαδικι τουσ αναπαράςταςθ δεν περιζχεται το ψθφίο 2. Με

10. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.
αυτι τθν καταςκευι ο Cantor, ζφτιαξε το ςφνολο C={ χ: χ= 0,α1α2α3α4…αν…. με το i να
διατρζχει το και αi  {0,1}}
Ο Cantror, χρθςιμοποίθςε τθν εισ άτοπον απαγωγι. Τπζκεςε ότι το C τίκεται ςε 1-1 και επί
αντιςτοιχία με το και κατζλθξε ςε άτοπο. Να δοφμε πϊσ: Τπζκεςε ότι υπάρχει το
παρακάτω ςχιμα, όπου τα ςτοιχεία του C, όντωσ αντιςτοιχίηονται με τα ςτοιχεία του ςε
1-1 και επί αντιςτοίχιςθ.
0, α11α12α13α14 α15α16α17α18 α17α110…α1,ν…. 1
0, α21α22α23α24 α25α26α27α28 α29α210…α2,ν…. 2
0, α31α32 α33α34 α35α36α37α38…α3,ν…. 3
0, α41α42α43 α44 α45α46α47α48 α49α410…α4,ν…. 4
0, α51α52 α5 3α54α55 α56α57α5,8α59α5,10…α5,ν…. 5
0, α61α62α63 α64 α65 α66 α67α68α69α610…α6ν…. 6
0, α71α72 α73α74 α75 α76 α77 α78α79α710…α7,ν…. 7
0, α81α82α83α84 α85α86α87 α8,8 α89α810…α8,ν…. 8
………………………………………………………………….. …
…………………………………………………………………… …
0, 0,αν1αν2αν3αν4 αν5αν6αν7αν8 αν9 αν10…ανν…….. ν
…………………………………………………………………… …
…………………………………………… ……………………. …
Όλα τα παραπάνω αij είναι όλα 0 ι 1. Είπε ο Cantor: ΢χθματίηω ζναν αρικμό ωσ εξισ:
Κοιτάω ςτον πίνακα το πρϊτο ψθφίο του πρϊτου αρικμοφ μετά τθν υποδιαςτολι. Σο α11.
Αυτό κα είναι 0 ι1. Αν είναι 0 γράφω 1, αν είναι 1, γράφω 0.
Βλζπω τι είναι το α11, και λαμβάνω το «ςυμπλθρωματικό» του 11
Πάω ςτο δεφτερο ςτοιχείο, βλζπω το α22 και ςχθματίηω το 22
Πάω ςτο τρίτο ςτοιχείο, βλζπω το α33 και ςχθματίηω το 33
Πάω ςτο τζταρτο ςτοιχείο, βλζπω το α44 και ςχθματίηω το 44
……………………………………………………………………………………………………
Πάω ςτο ν-οςτό ςτοιχείο, βλζπω το ανν και ςχθματίηω το 
…………………………………………………………………………………………………
΢χθματίηω τον αρικμό :

11. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.
0, 11 22 33 44... ....    
Ο παραπάνω αρικμόσ ανικει εκ οριςμοφ ςτο C, διότι τα ψθφία του είναι 0 ι 1.
Ο παραπάνω αρικμόσ είναι διαφορετικόσ από όλουσ τουσ αρικμοφσ του πίνακα, διότι
διαφζρει ςε ζνα τουλάχιςτον ψθφίο από ζκαςτο εξ αυτϊν εκ καταςκευισ.
Άτοπο!3
Βρικαμε ψθφίο που δεν ζχει αντίςτοιχο ςτο . Άρα το C δεν τίκεται ςε 1-1 και επί
αντιςτοιχία με το , κακϊσ ζχει παραπάνω ςτοιχεία.
Επί μζρουσ ςυμπζραςμα από το ΢φνολο Cantor:
Είναι ζνα γνιςιο υποςφνολο του *0,1+, μθδενικοφ μικουσ, που όμωσ ζχει παραπάνω
ςτοιχεία από το
1




  , ζτςι όπωσ το ζχουμε ορίςει.
 Σο ςφνολο είναι ζνα ςφνολο τοπολογικϊσ «πυκνό» . Αυτό μεταφράηεται ςτο ότι μεταξφ
οιωνδιποτε δφο ςτοιχείων του, που είναι διαφορετικά και οςοδιποτε κοντά, υπάρχει ζνα
γνθςίωσ ενδιάμεςο τρίτο. Για παράδειγμα: Μεταξφ του
11 12
17 17
 φαίνεται εκ πρϊτθσ όψεωσ να
μθν χωρά ενδιαμζςωσ άλλο κλάςμα –ρθτόσ . Όμωσ αν τα δοφμε ωσ
110 120
170 170
 που και αυτά
είναι ιςοδφναμα (=ίςα) κλάςματα με τα αρχικά φαίνεται να χωράνε άλλα 9 ενδιάμεςα κλάςματα
τα
110 111 112 119 120
...
170 170 170 170 170
     Και μεταξφ αυτϊν αν τα κεωριςουμε ωσ Χ10
πολλαπλαςιαςμζνα ςτουσ όρουσ τουσ χωράνε άλλα 9 κ.ο.κ. επϋάπειρον, όςα κζλουμε. Σελικά,
μεταξφ δφο ρθτϊν, υπάρχουν άπειροι άλλοι ρθτοί .
 Σο ςφνολο των δεκαδικϊν , που είναι μια ελάχιςτθ υποκλάςθ των Ρθτϊν, είναι κι αυτό πυκνό. Δθλ.
πρακτικά ανάμεςα ςτο 2,345 και ςτο 2,346 μποροφμε να παρεμβάλουμε όςουσ δεκαδικοφσ
κζλουμε. Για παράδειγμα, αν τουσ δοφμε ωσ 2,345000 και 2,346000 προςκζτοντασ 3 μθδενικά
ςτον κακζνα όπωσ ζχουμε μάκει ιδθ από το Δθμοτικό, τότε μποροφμε να προςκζςουμε άλλουσ
999 με αφξουςα ςειρά, όπωσ φαίνεται εδϊ:
999
2,345 2,345001 2,345002 2,345003 2,345999 2,346.
ί ά  
    
Για να δοφμε καλφτερα τθν ελάχιςτθ κλάςθ των δεκαδικϊν ρθτϊν, τθν οποία χρθςιμοποιοφμε
κακθμερινά με αποτζλεςμα να αναπτφςςουμε λανκαςμζνθ ιδζα για το πλικοσ τουσ και τθν
ςθμαςία τουσ. Δεκαδικοί λοιπόν, είναι μόνο οι ανικοντεσ ςτθν κλάςθ
1 2
2 5 


(1) με το κλάςμα ανάγωγο και ν1 και ν2 ςτο και μόνον αυτοί. Όλοι οι υπόλοιποι είναι θ
κλάςθ που δίνει μθ περατοφμενα πθλίκα διαιρζςεων. Πιο ςυγκεκριμζνα:
3
΢τθν βιβλιογραφία, ςυχνά θ παραπάνω απόδειξθ είναι καταχωριςμζνθ με τθν ζκφραςθ «Διαγϊνιο επιχείρθμα του Cantor»
και όχι με τθν πιο φυςιολογικι ζκφραςθ «απόδειξθ του Cantor» Αυτό ζχει τθν εξιγθςι του, κακϊσ αμφιςβθτικθκε θ ίδια θ
απόδειξθ από διάφορα μακθματικά ρεφματα και ΢χολζσ που αμφιςβθτοφν το «αξίωμα τθσ επιλογισ» του οποίου κάνει άμεςθ
βαςικι κφρια χριςθ ο Cantor. Σι λζει το «αξίωμα τθσ επιλογισ;» Χωρίσ φορμαλιςμό, ςε εξωμακθματικι διατφπωςθ, λζει ότι
αν ζχω άπειρουσ αρικμιςιμουσ αμμόλοφουσ όπου ζχει άπειρουσ κόκκουσ άμμου ο κάκε ζνασ, τότε μπορϊ να πάρω ζναν
κόκκο από κάκε ζναν αμμόλοφο. (Αυτό ζκανε ο Cantor) (Η δε φυςικι εκλαϊκευτικι προςομοίωςθ του αξιϊματοσ ανικει ςτθν
Κακθγιτρια του ΕΚΠΑ κα Βαςιλικι Φαρμάκθ.)

12. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.
31 2 4
2 3 5 7 ... ... .....p    

      
(2) με το κλάςμα ανάγωγο, p πρϊτοσ τα νi ςτο , και από το ν3 και
μετά δεν μπορεί να είναι όλοι οι εκκζτεσ ταυτόχρονα μθδενικοί. Αν ςκεφκοφμε, ότι ζκαςτοσ
ακζραιοσ αναλφεται κατά μοναδικό τρόπο ςε γινόμενο πρϊτων, φαίνεται προφανισ θ μθδενικι
πικανότθτα του να βρω περατοφμενθ διαίρεςθ διαιρϊντασ δφο τυχαίουσ φυςικοφσ. Σο ότι
κακθμερινϊσ κάνουμε δεκάδεσ περατοφμενεσ διαιρζςεισ, οι οποίεσ περατϊνονται (εκτόσ από τθν
ςτρογγυλοποιιςεισ ςτα μθχανάκια) από το ότι χρθςιμοποιοφμε για Ιςτορικοφσ πολιτιςμικοφσ και
ςίγουρα βιολογικοφσ λόγουσ το δεκαδικό ςφςτθμα (ζχουμε 10 δάκτυλα) ½ ¼ ¾ είναι οριςμζνα
κακθμερινά κλάςματα δεκαδικά που ο κειμενογράφοσ γράφει ςε ςωςτό μζγεκοσ με αυτόματθ
προςαρμογι.
Η ΢υμπαντικι Ανκυφαίρεςθ, τα ΢υνεχι κλάςματα, ο Ευκλείδειοσ αλγόρικμοσ και το ρθτόν ι άρρθτον
ενόσ πραγματικοφ αρικμοφ.
Ωσ «ςυνεχζσ απλό κλάςμα» ορίηεται μια
παράςταςθ τθσ παρακάτω μορφισ, θ οποία
προκφπτει από τον κλαςικό Ευκλείδειο αλγόρικμο.
Ζχω τον ρθτό αρικμό
1345
403
Εκτελϊ Ευκλείδεια Διαίρεςθ και ζχω:
1345 136
3
403 403
 
΢υνεχίηω τθν διαίρεςθ κατά τθν παρακάτω ζννοια:
1345 136 1 1 1
3 3 3 3
403 131 1403 403 2 2
136136 136
131
1 1 1 1345
3 3
1 1 1 4032 2
5 1 1
1 1
131 1131
5 5
3
2
1
26
        
 
      
  
  

Λόγω του πολυπλόκου τθσ τελικισ παράςταςθσ ζχουμε
ςυμφωνιςει να γράφουμε:
3;2,1,26
1345
[ ] [1345,403]
403
 
Σα πρϊτα ψθφία από τα άπειρα, μθ περιοδικά
ψθφία του π

13. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.
Αν εκτελζςω τον αναλυτικό λεπτομερι
αλγόρικμο εφρεςθσ ΜΚΔ μεταξφ δφο αρικμϊν ,
ζχω το ςχιμα:
1345=3Χ403 +136
403= 2Χ136+131
136= 1Χ131+5
131= 26Χ5+1
Από τισ κόκκινεσ επιςθμάνςεισ , φαίνεται θ
ςχζςθ μεταξφ ςυνεχοφσ απλοφ κλάςματοσ,
ανκυφαιρζςεωσ και Ευκλειδείου αλγορίκμου
για τθν εφρεςθ ΜΚΔ δφο αρικμϊν.
΢τθν ανκυφαίρεςθ ζχουμε τισ εξισ
ςθμαντικότατεσ προτάςεισ:
1) Όλοι οι ρθτοί αρικμοί, ζχουν
περατοφμενθ ανκυφαίρεςθ.
2) Όλοι οι άρρθτοι αρικμοί ζχουν άπειρθ
ανκυφαίρεςθ.
Ειδικά μάλιςτα, οι τετραγωνικοί άρρθτοι, δθλ. όλοι όςοι είναι ρίηεσ τριωνφμου με ακεραίουσ
ςυντελεςτζσ (κλάςθ από αλγεβρικοφσ)και μόνον αυτοί, ζχουν περιοδικι ανκυφαίρεςθ.
Οι μθ τετραγωνικοί άρρθτοι ζχουν μθ περιοδικι άπειρθ ανκυφαίρεςθ.
3) Δφο ίδια ανκυφαιρετικά αναπτφγματα αντιςτοιχοφν ςτον ίδιο και μοναδικό ρθτό. Αντιςτρόφωσ,
ζνασ ρθτόσ εκφράηεται κατά δφο τρόπουσ α) για ακζραιο α, δφο τρόποι *α+=*α-1,1+ β) Για μθ
ακζραιο, ζχω *α0,α1,…αν,αν+1+=* α0,α1,…αν,αν+1,-1,1 + Οπότε αν απαιτιςουμε τα τελευταία ςτοιχεία
να μθν είναι άςςοι, ζχω μοναδικότθτα αναπτφγματοσ οποιουδιποτε πραγματικοφ. Ασ μθν
ξεχνάμε, ότι και θ δεκαδικι ανάπτυξθ ενόσ
ρθτοφ, δεν είναι μοναδικι Τπενκυμίηουμε
λ.χ. το 0,999999999…….=1 όπωσ και
2,350000000000….=2,3499999999………
4) Κατά τα άλλα, αναλογικά ιςχφουν
ανιςότθτεσ του τφπου
*1,2,3,4,5+>*1,2,3,3,17+ κτλ όπωσ και με
τουσ δεκαδικοφσ.
5) ΢τθν άπειρθ ανκυφαίρεςθ (δθλ. ςε
παραςτάςεισ αρριτων) ζχουμε
μοναδικότθτα του αναπτφγματοσ.
Με τα άπειρα όμοια και όμοια ιςοςκελι τρίγωνα που υπάρχουν
ςτο ςχιμα, ςυμβολίηοντασ με δ διαγϊνιο και α πλευρά, βλζπουμε
ότι ςτο πρϊτο μεγάλο πεντάγωνο, το α ςτο δ χωράει 1 φορά και
περιςςεφει δ1 <α. Σο δ1 ςτο α, χωρά 1 φορά και περιςςεφει α1<δ1.
Φκάνουμε ζτςι ςτο πρϊτο εςωτερικό πεντάγωνο από τα άπειρα,
όπου καλοφμαςτε να ςυνεχίςουμε τθν διαίρεςθ όπου διαιρζτθσ
είναι πλζον θ πλευρά του πρϊτου εςωτερικοφ πενταγϊνου και
διαιρετζοσ θ διαγϊνιόσ του. (δ/α=δ1/α1 λόγω ομοιότθτασ) ΢υνεπϊσ
είμαςτε βζβαιοι, ότι το αποτζλεςμα με τισ μονάδεσ για πθλίκο, κα
ςυνεχίηεται περιοδικά επϋ άπειρον.

14. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.
6) Χαρακτθρίηουμε τθν ανκυφαίρεςθ ωσ
«΢υμπαντικι», διότι είναι μια παράςταςθ
των αρικμϊν, ανεξάρτθτθ από τα
ςυςτιματα αρίκμθςθσ. Οι άνκρωποι
ανζπτυξαν το δεκαδικό ςφςτθμα γιατί
απλϊσ ζχουν 10 δάκτυλα, το δυαδικό διότι
εξυπθρετοφςε τον ςχεδιαςμό λογικϊν
κυκλωμάτων μζςω τθσ Άλγεβρασ Boole και
οι τριδάκτυλοι Αριανοί όπωσ τουσ
παριςτάνει το Χόλυγουντ μάλλον κα
ζχουν το…εξαδικό! Ανεξαρτιτωσ λοιπόν
αν κάποιοσ μακθματικόσ είναι τθσ
Πλατωνικισ ΢χολισ (=: Σα Μακθματικά
ανζκακεν προχπάρχουν ςτον κόςμο των
ιδεϊν και απλϊσ τα ανακαλφπτουμε) είτε
τθσ Αριςτοτελικισ (=:Σα Μακθματικά τα
καταςκευάηουμε, εφευρίςκουμε) είναι
ςίγουρο, ότι θ ανκυφαίρεςθ είναι
υπεράνω και ανεξάρτθτθ από ςυνικεισ
μακθματικζσ παραδοχζσ των ανκρϊπων. Πικανόν , γι αυτό ζδωςαν μεγάλθ ςθμαςία ςτθν
ανκυφαίρεςθ οι Αρχαίοι Ζλλθνεσ, όπου ακόμα και ο Πλάτων, μθ Μακθματικόσ ων, χρθςιμοποιεί
ανκυφαιρετικζσ ςχζςεισ ςτα κείμενά του και ςτθν δομι του λόγου του, θ οποία μπορεί και να
περικλείει (και μάλλον περικλείει) κάποια κωδικοποίθςθ θ οποία μπορεί να ζχει και μθ προφανι
εμβάκυνςθ4
Παραδείγματα:
*1,,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1…….+=φ=
1 5
2

=Ανκφ*
1 5
2

,1]
Ανκφ* 2 ,1]= *1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,…….+= 2
*1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2……+=*1,
_____
1,2 ]= 3 =ανκφ* 3 ,1]
Επομζνωσ ιςχφει το ςχιμα :
Πεπεραςμζνθ ανκυφαίρεςθ =Ρθτόσ
Άπειρθ ανκυφαίρεςθ =Άρρθτοσ
΢τα παραπάνω, φαίνεται ακόμα και διαιςκθτικά το «απειροπλάςιον» των αρριτων ζναντι των
ρθτϊν
Με αυτι τθν κεϊρθςθ, θ πικανότθτα να επιλζξει κάποιοσ ρθτό από τουσ πραγματικοφσ είναι ζνα
κλάςμα τθσ μορφισ .
4
Ο μζγιςτοσ Ζλλθνασ κακθγθτισ του Απειροςτικοφ Λογιςμοφ, Ανάλυςθσ Πραγματικϊν Αρικμϊν κτλ ομότιμοσ πλζον του ΕΚΠΑ
κ. ΢τυλιανόσ Νεγρεπόντθσ τα τελευταία χρόνια αςχολείται πζραν των πολλϊν άλλων και με τθν Ιςτορία των Αρχαίων
Ελλθνικϊν Μακθματικϊν, όπου ζχει βρει ςθμαντικά αποτελζςματα γφρω από το όλον κζμα «Ανκυφαίρεςθ» ςτον Πλάτωνα και
όχι μόνον, που δεν ζχουν ακόμα δθμοςιευκεί, αλλά μζροσ τουσ αναδεικνφεται είτε από πρόχειρεσ ςθμειϊςεισ των
Μεταπτυχιακϊν Φοιτθτϊν του Μακθματικοφ Σμιματοσ που τον ζχουν παρακολουκιςει ι και τον ζχουν ακοφςει προφορικϊσ
να αναπτφςςει (τφχθ αγακι κι ο ςυντάκτθσ του παρόντοσ) είτε και πάρα πολφ καλϊν εργαςιϊν, ολοκλθρωμζνων, που ζχουν
εκπονιςει Μεταπτυχιακοί Φοιτθτζσ, όπωσ λ.χ. ο κ. ΢ωκράτθσ Ντριάνκοσ εδϊ
Και ζνα κλαςικό παράδειγμα ειςαγωγισ αντιπαιδαγωγικισ
παρουςίαςθσ αποτελζςματοσ, όπου αποκρφπτουμε ότι
γνωρίηουμε τθν ανάλυςθ και φτιάχνουμε τθν ςφνκεςθ
παρουςιάηοντασ μια «μαγικι διαδικαςία» που αναφζρεται
ςε «διάνοιεσ υψθλοφ επιπζδου», ϊςτε ο μακθτισ να
τρομοκρατείται ςκοπίμωσ είτε με αμζλεια, περί τα
Μακθματικά. Σο γράφουμε για το παρεμπίπτον μζροσ του
κζματοσ, πλθν απολφτωσ ουςιαςτικό για τθν επαγγελματικι
μασ υπόςταςθ και ωσ λειτουργϊν. Δεν πρζπει επϋ ουδενί να
παρουςιάηονται τα μακθματικά αποτελζςματα ωσ προϊόν
«μαγείασ» όπωσ κάνουν είτε οι πολφ καλοί
ταχυδακτυλουργοί είτε οι κάκιςτοι Μακθματικοί.

15. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
0 0 0 0 0
1 . . 2 . ...
{( [ ] [ , ] [ , , ] ..... [ , , , ,... ])}
{ [ , , , ,.......]}
....
ή έ ί
p
Ό έ
ή
ή


          
  
                
      
 
 
       
 
     
0 0
1 1
0 0
1
0 0 0
0 0 0 0 0
(1
1
)
1 
 
 

   
  
   
   
     
Σο κλάςμα (1), ζχει προκφψει με κάποιον γενικϊσ επιρρεπι ςε λάκθ λογιςμό, αφοφ όταν κάνεισ
πράξεισ με άπειρα μεγζκθ, υπάρχουν παγίδεσ, ςτισ οποίεσ ζχουν ιςτορικϊσ πζςει και πραγματικά
μζγιςτοι εκ των Μακθματικϊν . Εδϊ όμωσ γνωρίηουμε, ότι κάνει 0 . Η Μακθματικι επιςτθμονικι
προςζγγιςθ, γίνεται μόνο μζςω κεωρίασ Μζτρου. ΢τθν πραγματικότθτα, ο αρικμθτισ, ζχει το
πλικοσ των μονοςυνόλων του , ςυν το πλικοσ των διατεταγμζνων ηευγϊν του , ςυν το
πλικοσ των διατεταγμζνων τριάδων του κ.ο.κ. όμωσ, για πεπεραςμζνο πλικοσ ν-άδων, ενϊ οι
τιμζσ που μπορεί να πάρει κάκε ν είναι ςτο πλικοσ Άλεφ μθδζν ( 0 ) Επίςθσ μπορεί να αποδειχκεί
ότι και το 2
είναι αρικμιςιμο και επαγωγικά5
και το 
  .
Άρα ο αρικμθτικισ του (1) ζχει τελικά ιςχφ 0 .
Για τον παρονομαςτι ζχουμε 0 0
0 1 02 
    . Άρα το κλάςμα (1) ιςοφται με 0.
Σελικά ςυμπεράςματα:
Η τελικι , διαπίςτωςθ για το ότι όλοι τελικά οι αρικμοί είναι απειροψιφιοι ζχει καταςτεί ςαφισ:
Α) Οι Δεκαδικοί ρθτοί που είναι οι μοναδικοί τερματιηόμενθ ςτο δεκαδικό ςφςτθμα είναι
ελάχιςτοι, ουςιαςτικά «ανφπαρκτοι» μπροςτά ςτο πλικοσ των Ρθτϊν . Αν διαλζξουμε ζνα ρθτό
από τουσ ρθτοφσ ςτθν τφχθ, θ πικανότθτα να επιλζξουμε δεκαδικό είναι 0.
Β) Και οι τερματιηόμενοι γράφονται με απειροψιφια μορφι. Λ.χ. 2,34=2,339999…
Γ) Η πικανότθτα να επιλζξουμε ρθτό από τουσ πραγματικοφσ είναι 0.
Δ) Οι Ρθτοί ζχουν άπειρο πλικοσ 0 το άλεφ μθδζν, το άπειρο των αρικμιςιμων ςυνόλων. Οι
πραγματικοί ζχουν πλικοσ 0
Σο γιατί όμωσ ςυμβαίνει αυτό, ωσ διαιςκθτικι διαπίςτωςθ, όχι ωσ απόδειξθ, εδράηεται ςτα
παρακάτω (που όμωσ παρουςιάηονται προθγουμζνωσ)
 Σο υπεραρικμιςιμο που αντιπροςωπεφει τθν ιςχφ των Αρριτων 1 (, είναι πολφ
μεγαλφτερο από τθν ιςχφ των Ρθτϊν 0 .
 Σο υπεραρικμιςιμο είναι «πολφ μεγαλφτερο» από το αρικμιςιμο. ( 0
1 02
   ) Σο εάν
υπάρχει ενδιάμεςθ τάξθ απείρου, δεν το ξζρουμε, ο Cantor, ιςχυρίςτθκε πωσ όχι, αυτό
όμωσ είναι γνωςτό ωσ « υπόκεςθ του ςυνεχοφσ»6
 Σο υπεραρικμιςιμο ζχει ςχζςθ με το αρικμιςιμο όπωσ το πεπεραςμζνο με το άπειρο.
Κι όπωσ με το πεπεραςμζνο δεν μποροφμε να περιγράψουμε το άπειρο (το ολοκλθρωμζνο,
όχι το «δυνάμει») φαίνεται, πϊσ κατά τον ίδιο τρόπο αποτυγχάνει το αρικμιςιμο να
περιγράψει το υπεραρικμιςιμο.
5
Περιεκτικζσ ςθμειϊςεισ επί του κζματοσ, βρίςκουμε ςτθν ςφντομθ εργαςία του κ. Μιχάλθ Κολουντηάκθ εδϊ
6
Αξίηει τον κόπο ο αναγνϊςτθσ να διαβάςει το άρκρο του κ. ΢τάκθ Λειβαδά ςτθν θλεκτρονικι ζκδοςθ του
«Βιματοσ» εδϊ

16. 2 Δεκεμβρίου
2015 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΛΟΓΟ, ΟΛΟΙ ΣΕΛΙΚΑ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΨΗΦΙΟΙ.
Δικτυογραφία του ιδίου επί ςχετικϊν :
1) «Οριςμζνεσ αποδείξεισ ότι 0,99999…=1 και το γιατί του εκπλιςςοντοσ αποτελζςματοσ» ΕΔΩ
2) «Μακθματικά αντικείμενα και ςχζςεισ ςτθν Τπθρεςία του Φιλοςοφικοφ και Μεταφυςικοφ
ςτοχαςμοφ» ΕΔΩ
3) Εφαρμοηόμενα Μακθματικά ςε ζνα φφλο χαρτί Α4 ΕΔΩ
4) Η ανκυφαίρεςθ πλευράσ και διαγωνίου κανονικοφ πενταγϊνου και γιατί ο Φ είναι άρρθτοσ
5) τι είναι θ ανκυφαίρεςθ, απλά και κατανοθτά. Χειρόγραφεσ ςθμειϊςεισ.
6) Η άπειρθ πολλαπλαςιαςτικι ανκυφαιρετικι διαδικαςία τθσ αρµονίασ, ςτα ςχόλια του Φιλολάου.
7) Ανκυφαίρεςθ των ριηϊν των αρικµϊν 3, 13 , 19 µε τθν µονάδα
Βιβλιογραφία επί ςχετικϊν:
1) Μια περιλθπτικι άποψθ –γνϊμθ-κζςθ του κ. ΢τυλιανοφ Νεγρεπόντθ για τθν επίδραςθ των
Πυκαγορείων ςτθν διαμόρφωςθ του Ελλθνικοφ Πολιτιςμοφ
2) Αλίκθ Μπαςιάκου: «Ο Πολιτικόσ του Πλάτωνοσ και θ Παλινδρομικι Περιοδικιτα τθσ
ανκυφαίρεςθσ των Σετραγωνικϊν Αρριτων»
3) †Βαςιλικι Κλεφτάκθ : «Ανάλυςθ του 10ου
Βιβλίου του Ευκλείδθ και τεκμθρίωςθ τθσ περιοδικισ
παλινδρομικισ ανκυφαίρεςθσ των τετραγωνικϊν αρριτων»
4) ΢ωτιρθσ ΢υριόπουλοσ : ΢χόλια επί άρκρου του D.B. Fowler «Ratio in Early Greek Mathematics»
που δθμοςιεφκθκε ςτο BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 1, Number 6, November 1979
5) Χαράλαμπου ΢πυρίδθ (ΕΚΠΑ) Η Πυκαγόρειοσ Ανκυφαίρεςισ ι Ανταναίρεςισ

17. 1
Τάξη Α΄Λυκείου
Διδακτική Ενότητα: Διάταξη των πραγματικών
αριθμών.
Σχολικό βιβλίο, Μαθηματικά α΄Λυκείου,
Στόχοι
Θεματικές
Ενότητες
(διατιθέμενος
χρόνος)
Ενδεικτικές δραστηριότητες
Πρ5. Διερευνούν την έννοια
της πυκνότητας και της
διαδοχικότητας στα βασικά
υποσύνολα των
πραγματικών αριθμών.
Αναπαριστούν στον άξονα
των πραγματικών αριθμών
σύνολα που προσδιορίζονται
από ανισοτικές σχέσεις και
τα συμβολίζουν
χρησιμοποιώντας
διαστήματα.
(2ώρες)
 Γιατί η τετραγωνική ρίζα του 2
είναι άρρητος;
Προβληματίζονται σχετικά με τους
τρόπους με τους οποίους αποδεικνύεται
ότι ένας ισχυρισμός δεν ισχύει.
0,9999999999999999………..=1
 Ανέκδοτο: Ένας τρελός
βλέποντας κάποιον άλλον τρελό
να βρει την άκρη από ένα
κουβάρι, του λέει υποτιμητικά:
-Μην ψάχνεις να βρεις την άκρη!... Την
έχω κόψει!
Το παραπάνω ανέκδοτο έχει εφαρμογή
αν στο διάστημα [0,1] κόψουμε
(αφαιρέσουμε το δεξί του άκρο , το 1
και πάρουμε το σύνολο [0,1) ;
 Να βρείτε 9 ρητούς αριθμούς
ανάμεσα στο 1,4 και 1,5
 Να βρείτε ακόμα 9 ρητούς
αριθμούς ανάμεσα στο 1,43 και
στο 1,44
 Περιγράψτε μια τεχνική που να
μπορώ να βρω ανάμεσα στον 1,3
και στον 1,4 6
9 άλλους
ρητούς δεκαδικούς
 Ανάμεσα στον
5 7
8 8
 βρείτε
έναν ακόμη ρητό

18. 2
 Μπορείτε να βρείτε ρητό
ανάμεσα σε
3 4
;
7 7

Προϋπάρχουσες Γνώσεις και Ιδέες των Μαθητών:
 Ισοδύναμα κλάσματα. Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον
ίδιο αριθμό και το κλάσμα διατηρείται ίσο με το αρχικό. Το αντίστροφο είναι η
απλοποίηση.
 Όσες φορές κι αν κόψεις την άκρη από ένα κουβάρι, η άκρη θα παραμείνει
«άκρη» .
 Το σχήμα 0,999999999999…..(επ΄άπειρον) είναι ένα σχήμα που παριστάνει
έναν αριθμό που πλησιάζει οσοδήποτε κοντά στο 1, αλλά «ουδέποτε» γίνεται
ίσο με 1 .
Τεχνική διάγνωσης:
 Ερωτήσεις και στο τέλος διήγηση του ανεκδότου!
 Εννοιολογικές δυσκολίες: Το άπειρο γενικώς είναι μια έννοια για την οποία η
διαισθητική προσέγγιση δίνει λανθασμένα συμπεράσματα. Υπό την έννοια αυτή
, έχει επιστημολογικά και γνωστικά εμπόδια μέγιστα, τα ίδια που
αντιμετώπισαν και υπέλαμπρα μαθηματικά μυαλά όπως ο Φ. Γκάους που
έκαναν λάθος με τις διαισθητικές τους προσεγγίσεις και την «κοινή λογική»
Και αφού έκανε λάθος /η ο Γκάους, όλοι μπορούν να κάνουν, πόσο δε μάλλον
οι μικροί μαθητές.! Ωστόσο, είναι προκλητική η προσπάθεια τιθάσευσης αυτή
της έννοιας, παρ΄ όλες τις διδακτικές και επιστημολογικές της δυσκολίες.
 Διάκριση ρητών –αρρήτων , αφού και οι ρητοί δύναται να έχουν άπειρο πλήθος
ψηφίων (περιοδικοί) μιας και η δεκαδική έκφραση των ρητών δεν είναι
μονοσήμαντη αφού λ.χ. 2,35=2,3499999999999……
 Το πλήθος των τερματιζόμενων διαιρέσεων (:=δεκαδικοί τερματιζόμενοι) είναι
μηδενικό (%) σε σχέση με τις μη τερματιζόμενες. Καλό είναι να θυμηθούν οι
μαθητές, ότι οι τερματιζόμενες διαιρέσεις (ομιλούμε πάντα για ρητούς) είναι
μόνο οι της μορφής :
2 5
a
 

(1) (για ανάγωγο κλάσμα)
Αυτό μπορεί να εξηγηθεί στην Α΄Λυκείου με συγκεκριμένα παραδείγματα, όπου η
δύναμη του 2 είτε του 5 στον παρονομαστή, με χρήση ισοδυνάμων κλασμάτων, οδηγεί
σε ίσο κλάσμα που έχει ως παρονομαστή δύναμη του 10, δηλ. το αποτέλεσμα της
διαίρεσης είναι ο ακέραιος αριθμός α, στον οποίο έχουμε βάλλει υποδιαστολή σε
πλήθος ψηφίων από τα δεξιά προς τα αριστερά όσο και η δύναμη του 10.

19. 3
 Στην ζωή μας καθημερινά λοιπόν χρησιμοποιούμε ρητούς , όχι άρρητους που
έχουν άπειρο πλήθος ψηφίων μη περιοδικό και άγνωστο σε όλους. Απ΄ αυτούς
τους ρητούς, χρησιμοποιούμε μια ελάχιστη υποκλάση τους καθημερινά, τους
δεκαδικούς τερματιζόμενους, μηδενικού ποσοστού % σε σχέση με τους ρητούς
όλους.
 Πρακτικά η πιθανότητα να τερματίζεται μια τυχαία διαίρεση ακεραίου δια
ακεραίου, είναι 0 , κάτι που προκύπτει από Ανώτερα μαθηματικά (Θεωρία
Μέτρου πιθανότητες γεωμετρικές) που ωστόσο, μπορούν να αντιληφθούν οι
μαθητές, αν δουν τον τύπο (1) και για το α έχουν την γνώση των δύο
προτάσεων του Ευκλείδους ότι α) «Κάθε ακέραιος γράφεται κατά μονοσήμαντο
τρόπο ως γινόμενο πρώτων» και β) οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι στο
πλήθος.
 Το 2 είναι μεν άρρητος (= μη εκφράσιμος , μη περιγράψιμος μη λεκτέος,
ανείπωτος, άφατος, πλην μπορεί να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη και
να τοποθετηθεί στον άξονα των πραγματικών.
 Το 2 λέγεται μεν ότι είναι άρρητος και ότι κανένας δεν μπορεί να ξέρει το
πλήθος των ψηφίων του, όμως εμείς μπορούμε να τον πολλαπλασιάσουμε με
τον εαυτό του και να βρούμε τον ακέραιο 2. Άρα είναι προσιτός, περιγράψιμος
και διαχειρίσιμος.
 Η απόδειξη ότι δεν υπάρχει πιο μεγάλος πραγματικός (ή ρητός) κάτω από το 1 ,
είναι μεν απόδειξη με την εις άτοπον απαγωγή (δι΄ αντιπαραδείγματος) αλλά
δεν πείθει την έντονη διαίσθησή μου, ότι αν από το [0,1] «κόψω» ,«αφαιρέσω»
το 1 και πάρω το μαθηματικό αντικείμενο [0,1) δεν θα έχω δεξί άκρο. Μοιάζει
με το ανέκδοτο με τον τρελό που προσπαθούσε να πείσει τους άλλους να μην
ψάχνουν βρουν την άκρη του νήματος από το κουβάρι, διότι την έχει….κόψει!
Στόχοι:
Γνώσεις
 Κάθε ρητός δεκαδικός τερματιζόμενος, έχει και άλλη μία έκφραση με άπειρα
εννιάρια
 Μετατροπή δεκαδικού περιοδικού σε ρητή έκφραση ως κλάσμα.
 Μεταξύ δύο ρητών υπάρχουν τελικά όσοι ρητοί θέλουμε, απεριόριστα, δηλ.
άπειροι.
 Εφαρμογή της εις άτοπον απαγωγής δι αντιπαραδείγματος
Δεξιότητες
 Να μετατρέπουν οποιονδήποτε τερματιζόμενο δεκαδικό σε περιοδικό με
περίοδο το 9
 Να μετατρέπουν δεκαδικό περιοδικό σε ρητή έκφραση κλάσματος
Στάσεις :

20. 4
 Τα μαθηματικά δεν έχουν καμία σχέση με την λογιστική αλλά είναι κάτι πολύ
παραπάνω ποιοτικά.
 Η γνώση της φύσης των αριθμών έχει βάθος και τα μαθηματικά εν τέλει είναι
γοητευτικά.
Οριζόντιες ικανότητες
 Ανάπτυξη ικανότητας της αντίληψης αριθμού μέσω πολλαπλής αναπαράστασης
(κλάσμα, δεκαδικός τερματιζόμενος , περιοδικός , άρρητος , άρρητος
κατασκευαζόμενος
Θέματα
/Δραστηριότητες
Χρονικ
ή
Διάρκει
α
Εκπαιδευτ
ικές
Τεχνικές
Μέσα
διδασκαλίας
.
Διάγνωση πρότερων
γνώσεων και ιδεών
15΄
Ερωτήσεις-
απαντήσεις
Πίνακας
Υπενθύμιση
προαπαιτούμενων
γνώσεων
 Ισοδύναμα κλάσματα
 2,4=2,40=2,400=
κ.ο.κ.
5΄
Ερωτήσεις-
απαντήσεις
Πίνακας
Υποκίνηση
ενδιαφέροντος για
την διάταξη των
ρητών και
πραγματικών
 Διήγηση του
ανεκδότου και
σύντομη ψηφοφορία
αν είναι δυνατόν να
συμβαίνει αλλιώς
2΄
Ερώτηση
για το εάν
κάποιος
διαφωνεί.
-
Άσκηση Ι: Βρείτε
έναν αριθμό που
βρίσκεται ανάμεσα
στους:
α) 2,34 και 2,36
β)
4 6
11 11

γ) 2,34 και 2,35
δ)
4 5
11 11

10΄
Εργασία σε
ομάδες των
4 μαθητών
(Ανά 2
θρανία)
Φύλλο
εργασίας

21. 5
ε) Πόσους ρητούς
μπορούμε να βρούμε
ανάμεσα σε δύο
δεκαδικούς ή
κλάσματα;
Άσκηση ΙΙ : α)Αν
α<β τότε
2
 
 

 
β) Αν βάλουμε στην
ευθεία των
πραγματικών
αριθμών τους α και β
, τι θέση θα έχει το
;
2
 
Άσκηση ΙΙΙ :
Σχεδιάστε τον άξονα
των πραγματικών και
βάλτε τους αριθμούς
-4,-3,-2,-1,0, +1, +2 ,
+3, +4 α) Πόσες
μονάδες απέχει το 1
από το 2;
Β) Πόσες μονάδες
απέχει το 1 από το 3 ;
Γ) Πόσες μονάδες
απέχει το 0 από το 3;
Δ) Το 3,5 από το 3;
Ε) το 0,8 από το 0,3;
Στ) -4 από το +4;
Ζ) το -4 από το 0;
Η) Το ¼ από το 1/5;
Θ) το α από το β;
Ι) Ισαπέχει το
2
 
από τα α και
β;
13΄
Εργασία σε
ομάδες των
4 μαθητών
(Ανά 2
θρανία)
Φύλλο
εργασίας
Επίλυση
προβλήματος:
Ένας βασιλιάς, βάζει
το εξής πρόβλημα:
«Χαρίζω όλο το
Βασίλειό μου, σε
45΄
Επίλυση
από όλη
την τάξη
που θα
είναι
χωρισμένη
(Πίνακας και φύλλο
εργασίας)
Κονστρουκτιβιστική
προσέγγιση με
διαπραγμάτευση των
πιθανών

22. 6
όποιον μπορέσει να
μου δώσει την πιο
μεγάλη αξία που
είναι μικρότερη από
1€!»
Ο Βασιλιάς δεν
τρελάθηκε ξαφνικά
για να χαρίσει το
Βασίλειό του στον
πρώτο που θα του
επέλυε το πρόβλημα!
Επομένως που
βασίζεται;
σε ομάδες
και η κάθε
ομάδα θα
δίνει επί
μέρους
απαντήσεις
που θα
διαπραγματ
εύονται
μεταξύ
τους και με
την
καθοδήγησ
η του
διδάσκοντα
.
απαντήσεων των
μαθητών:
 99 λεπτά του
Ευρώ.
Συζήτηση
για την
απόρριψη.
Δεν υπάρχει
υποδιαίρεση
μικρότερη
από 1 λεπτό
του ευρώ,
όμως το
πρόβλημα
λέει για
«αξία» Και
αξία δεν
έχουν μόνο
τα λεπτά,
έχουν και τα
προϊόντα.
Αν δεχθούμε
ότι το ένα
κιλό ζάχαρη
κοστίζει 1€,
τότε 999gr
ζάχαρης
κοστίζουν
0,999€ και
ενώ δεν
έχουμε
υποδιαίρεση
κάτω από 1
λεπτό, η
αξία
υπάρχει.
 Και τότε
όμως 1
κόκκος
ζάχαρης που
ζυγίζει πολύ
λιγότερο από
1 gr, γίνει
μεγαλύτερη
αξία χωρίς

23. 7
να φθάνει το
1 Kgr.
 Αν 1 κόκκος
ζάχαρης
ξεπερνά ή
φθάνει το 1
kgr, έχουμε
περιθώριο το
ένα μόριο
ζάχαρης. Ως
γνωστόν,
έχει χημικό
τύπο
11 22 11C H O
και μοριακή
μάζα 11Χ12
+ 22Χ1 +11
Χ16 =330
Άρα τα 330
gr
αποτελούντα
ι από
6,023*1023
(=Ν)μόρια
έκαστο των
οποίων
ζυγίζει
330gr/N
(Αριθμός
Avogadro)
δηλ. 5,5*10-
22
 Το
0,9999999…
.=1
 Αν α ο
μέγιστος
αριθμός πριν
το 1, τότε
α<1 και
σύμφωνα με
την άσκηση
ΙΙα) θα ίσχυε
1
1
2
a
a

 

24. 8
άτοπο, γιατί
ο α είναι ο
μέγιστος
πριν το 1 και
βρήκαμε
«πιο…μέγισ
το!»
Δοκιμασία αξιολόγησης
Τάξη Α΄ Λυκείου. Χρόνος (15΄)
Διδακτικής ενότητα «Πυκνότητα ρητών και πραγματικών αριθμών»
Ονοματεπώνυμο:…………………………………………………………………………
Άσκηση 1
Γράψτε σε μια σειρά τους παρακάτω αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο προς τον
μεγαλύτερο:
4 -3 5 2 1,41 0 1,42 2 0,9999…
Άσκηση 2
Να παρεμβάλετε ανάμεσα στους 2,5 και 2,6 , εννέα άλλους δεκαδικούς.
Να παρεμβάλλετε 99 άλλους δεκαδικούς.
Άσκηση 3
Να παρεμβάλλετε ανάμεσα στα κλάσματα
7 8
13 13
 άλλα 99 κλάσματα.
Μπορεί αυτό να συνεχιστεί επ΄ άπειρον; Δώστε μια εξήγηση.

25. Επί τέλους να εξηγηθεί, γιατί η ένταση μειώνεται με το τετράγωνο της απόστασης!
Γιάννης Π. Πλατάρος Μεσσήνη
ΕΡΩΤΗΣΗ:
Γιατί η ένταση ως φυσικό μέγεθος (ένταση ήχου, ένταση φωτός, ένταση ηλεκτρομαγνητικού
σήματος κτλ ) πέφτει, μειώνεται, ελαττώνεται, με το τετράγωνο της απόστασης από την
πηγή;
Απάντηση:
Οι τύποι της Φυσικής είναι γεμάτοι με παρονομαστές που έχουν κάποια απόσταση
στο τετράγωνο. Πώς μπορεί να διδαχθεί αυτό, να εξηγηθεί να εμπεδωθεί σε μαθητές, όχι
φοιτητές με τον καλύτερο τρόπο; Και χωρίς προχωρημένα μαθηματικά που να περιέχουν
ολοκληρώματα ;
Ξεκινάμε:
Η ένταση ενός μεγέθους είναι η ισχύς ανά επιφάνεια
W
I
S
 Λέει κάτι αυτό;
Χωρίς μοντέλο, χωρίς εικόνα δεν λέει απολύτως τίποτα. Ας επιχειρήσουμε να δούμε, γιατί
οι Φυσικοί όρισαν ένα τέτοιο μέγεθος. Ας φανταστούμε μια σημειακή (ή και μη) πηγή
ενέργειας, η οποία εκπέμπει ενέργεια στον χώρο. (Εννοούμε με ισοκατανομή σε όλο τον
χώρο, ισομερώς για να μην πάμε σε πολύπλοκα μοντέλα ) Πώς το φανταζόμαστε; Σαν ένα
ήλιο που εκπέμπει ακτίνες προς όλες τις κατευθύνσεις του χώρου. Εκπέμπει ενέργεια στον
χρόνο, κάποια ενέργεια ανά χρόνο, εκπέμπεται ισχύς W . Να φανταστούμε ότι
περιβάλουμε την πηγή ισχύος με μια σφαίρα (όχι με οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια για
να απλοποιηθεί το μοντέλο, χωρίς όμως να χάσει την αυστηρότητά του) Τότε από κάθε
κομμάτι της επιφάνειας της σφαίρας θα εκπέμπεται μια ποσότητα ενέργειας . Αυτό το
ποσό, δηλ. το πόση ενέργεια εκπέμπεται σε κάποιο χρόνο μέσα από την συγκεκριμένη
επιφάνεια , συμφωνήσαν να το λένε ένταση.
Αν βγαίνει διπλάσια ισχύς από την ίδια επιφάνεια έχω διπλάσια ένταση , αν
βγαίνει η ίδια ισχύς σε διπλάσια επιφάνεια έχω μίσασμα της έντασης. Συμπίπτει περίπου η
ιδέα αυτή ακόμα και με την γλωσσική ετυμολογία του όρου. (Η ένταση ως φυσικό
μέγεθος είναι μια καίριας σημασίας μαθηματική ιδέα των Φυσικών, δεν είναι του Θεού,
για να εξηγηθούν ευληπτότερα τα πράγματα)
Στην διπλανή εικόνα βλέπουμε την
σημειακή πηγή ενέργειας, την νοητή σφαίρα
και ένα αυτί εμβαδού ύS
Η ισχύς της πηγής είναι σταθερή ίση με W.
Από το αυτί, προφανώς, διέρχεται κλάσμα της
συνολικής εκπεμπομένης ισχύος ίσο με

26. Επί τέλους να εξηγηθεί, γιατί η ένταση μειώνεται με το τετράγωνο της απόστασης!
Γιάννης Π. Πλατάρος Μεσσήνη
2
4
ύS
R


(ο παρονομαστής είναι το εμβαδόν της σφαίρας.)
Έχουμε δηλαδή ένταση που διέρχεται από το αυτί
2
2 2
4
4 4
ύS
ύ
ύ ύ ύ
W
S WW WRI
S S R S R


  

 
 
    (Η ισχύς , έτσι όπως ορίστηκε, σε κάθε
σημείο εξαρτάται από την απόσταση από την πηγή της Ενέργειας και –τελικά- όχι από το
εμβαδόν όπως είναι ο πρωταρχικός τύπος της Εντάσεως)
Κατανοούμε, ότι όταν πάμε σε διπλάσια απόσταση 2R, τότε ο παρονομαστής θα
τετραπλασιαστεί και θα έχω υποτετραπλασιασμό της ισχύος. Αυτό όμως δεν είναι καλό
μοντέλο κατανόησης.
Κάνω την τελική απόπειρα:
Αν πάω σε διπλάσια ακτίνα, η σφαίρα θα έχει τετραπλάσιο εμβαδόν. Από το ΙΔΙΟ
ΑΥΤΙ, θα διέρχεται υποτετραπλάσια ενέργεια στην μονάδα του χρόνου, αφού όση ενέργεια
βγαίνει από την μικρή σφαίρα στην μονάδα του χρόνου, η ίδια ενέργεια βγαίνει και από την
μεγάλη σφαίρα στην μονάδα του χρόνου.
Το πρακτικό πόρισμα είναι ότι έστω και λίγο να απομακρύνουμε το κινητό από το
αυτί μας (στην πραγματικότητα από τον εγκέφαλό μας) έχουμε μεγάλη μείωση στην
ενέργεια που διέρχεται από τον εγκέφαλό μας στην μονάδα του χρόνου. Αυτό θεωρείται
ότι μικραίνει τον κίνδυνο, διότι μικραίνει η απορρόφηση ενέργειας από τον εγκέφαλο (που
γίνεται –μέσω της αρχής υποβάθμισης της ενέργειας- θερμική, και ζεσταίνεται
κυριολεκτικά το κεφάλι μας ) Εννοείται, ότι για να γίνει θερμική, κάποια φωτόνια από τα
εκπεμπόμενα έχουν συγκρουστεί με μόρια των κυττάρων μας στα οποία προκαλούν και
αναπόφευκτες χημικές μεταβολές, άρα αλλοιώσεις, αυτό το ερευνούν οι Βιολόγοι)
Γιάννης Π. Πλατάρος
Μαθηματικός-Οικονομολόγος
ΜΠΕ Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών

27. at
Ξ
Π
Π
Π
Π
Π
Π
Σεμιvιiριο εξαμηvιαiαE δuiρκειαg μαθηματικrilνΔιοργ6νωαη : Tpf μα μnη μ*'.*5, π*r"rr.οη μiου Αθηvιilν
Tωv: Bαοιλεiου Ξ. Κατωπ6δη
Ιωιivη ΙΙ. Πλατ6ρου
sgιφιπση μαθΨ9τo6 ειοαγωμ{E στΟυ6
ΓEΩMETΡΙκ,Y' METΑΣiκivιaiπMΟYΣ Γ. ΔYΙ(EΙΟYpε διαδικαoiεE επiλυοηg προβξματoE.
Eπιβλ6πων καθηγητι{6:
NΙΚoΣ ΚΔΑoYΔΑToΣ
ΑΘENΑ
ΦEBΡoYΑPΙoΣ 2000

28. ;l
E
Π
rΙ
Π
rl
rIl
Π
Ι
Π
Π
]Π
Π
]Π
r1Π
Π
E
:l
Ξ
EI
Π
':
F {t*
s {ξΞ}
ιε5'Ι}
r. Η{{r3}
Lι3,{ l
----__r**_*."--
lξ;rl
J {3r4
κ(ο,..}
i. Στο πιο 7τθΝω oχημα, οι συvτεταγμεvεζ καθεv6ζ απa τα σημεlοfμεvα σημεiα
E,F,G,.....,P α}.λ,d, και oιoυδηποτε τυχ6ντοζ 6λλου Τ(:ι,ψ) ικαvoποιofv τηv
Για κ*,θε €γα απ6 τα oημεiα E,F,G,....Ρ και T εφαρμ6ζω η';ξηζ δ'"δ,"-"t-
"Διπλαoι*,ζω ην τετ1"ημεvη (:f αφηvovταq οταθερη ην τεταγμεvη ( : ψ)
Να βρεiτε π*vω oτο ο1ημα σαζ τα πρoκδπτοvτα ν6α or1μεiα E',F'G;,....-.e'μ.
ην πρoηγoιiμεη διαδικαoiα κα1ση αυv61εια, vα εviοoετε με εvα β6λοq κ&θε
παλι6 οημεiο με τo αvτtοτoι1o vθο.
Tι μεταβοξ μπορo6με vα ποtiμε 6τι υπ6oη o κυκλοg;
3. Πoια αξεβρΦ σχεση ουνδ6ει τιg καιvοιiργιεζ συvτεταγμθvεq χ', Ψ'' με τιξ
παkιi'qγγ'
Χρηο'ιμοποιωvταq τιζ προηγoriμεvεg ο1€oει6, vα βρεiτε ηv εξiοωοη με τηγ
οποiα αυνδ€ονταL τσ" x'> Ψ', λαμβανονταζ υπ' 6ψιν ην εξiοωαη με ηv orroiα
ουνδfovται τα χ,Ψ. Πoio εiναι το εiδog ηg καμπυλ;r1ζ που προfκυψε απ6 τοv
εφαρμοοθεvτα μετασχη ματιoμ6 ;
Ψ
ΓΕ {2 M Ε TPΙΙζo Ι M Ε TΑΣXHMA TΙΣM oΙ

29. [ηΓnl
il
I
Ι
t
r
t
r
r
t
r
:
Ι
r
Ι
t
Ι
Ι
Ι
Ι
Ι
:
t
+
t
ο Στo παραπιλ,ω ο1ημα φαivεται
μεταομματιoμου Τ: ,,καθε
οημεfo
oυμμετρικo τσυ ω'c προζ τo αξoνα y11,''
η εφαρμογη του γvωοτοδ
τoυ εππ€δου απεικoνiζεται
μαζ
στo
A) Nα γραψετε πc o1fοειq που αυνδ6ουv τ1ζ καινοt5ργιεζ συvτεταγμεvεζ χ', Ψ,με τιζπαΜιiq γψ.
Ση αυvθxεια vα τ1ζ γραψετε υπ6 μoρφη αυoηματοζ κα1vα βρεiτε τov πivακα του
μετααtrηματιoμoυ.
<)
[;]:Γ ] Γ;]
..t _
t-<)
Ψ'=

30. ril
t
I B) Mε τηv fδια διαδικαοiα , να βρειτετουg πiνακεζ των μετασχηματιομiοv:
;r:r"τ*ξ-θε
ημεiο
'ou'u",iΙε"ou- ni.,.ouι6.rn, ,o λ"1iμr.ρr*o τoυ ωζ πρoζ τοv
T
I
T
:
r
r
r
r
I
I
r
Ι
t
t
*l
*
*
{
χ'=
Ψ'= 1Γr]
1Lψ1
λ'; -?arJtftx]ξ
τoυ επrπ6δου απεtκοvιζεται τo αυμμετρικδ του α)ζ προg ηv αρ1η
€> Γ,']:ΓLψJ L

31. 4
συμμετρκδ τOυ G)ζ προζ ηv
T3r"!ε κ&θε oημεiο τoυ επιπ€δου απεrκoviζεται το
ευθεiα ψ:x (πρiυη δι1οτ6μο των αξ6vωv)''
t
T
I
I
:
:
:
I
I
i
iΙ
t
T
it
t
t
t
t
-Γi1:Γ ΙΓΛ
Ι'=€>
Ψ'=
xt=
Ψ':

32. I
I
I
:
:
r
t
:
t
:
:
r
I
t
I
:
:
:
:
:
. EΣTPOΦE
ff,fi'::TΗ,:**: Jir:ru',
τo oημεio M(xψ) οτρ6φεται κατα γωviα
Α) Nα εκφραoθοιiv οι συvτεταγμεvεg
μψ αυvαρησεt των ρκαι φ.B) Να εκφραoθoιiv oι συr,τεταγμεvεi
f 'ψ cυναρτησει τωv ρ και φ+θ.
Γ) Nα εκφραoθοrlv o1χ.,Ψ.συναρΦoει τaJν Lψ'και θ.
Δ) Nα βρεθεf o πivακαg τoυ μετασfiματιoμoΦ.
ο Για τov τυ16vτα γραμμικ6 μεταo'1ηματιομο
Τ: Γ''l: Γα ρ1 Γ ι1
Lψ'J Ly ε]LψΙ
ffiuu'
τιg εικ6vε6 των oημεiωv Α(1,0) και B(0,1) των μovαδιαiωv διαvυoμ&τωv i
;λ::;?-ffi ffiχ:i,fff#ffi ;'1φπdυοετε6ναvμημovικ6καγ6vαγ1ατουζ
B) Nα εφαρμ6οετε τον παραπ&vω καν6να γ1α τον πivακα ηg ,'oτροφηg,,.
θ, με

33. t
:
:
T
:
:
:
Ι
Ι
I
I
Ι
I
I
I
:
:
;
:
r
6
ΙrΡoΓpltlπtιπ'ιTΕMοΣ rr$fr1r'r*r1{1ΙΗλ ToN Ι<ΑΘEΓΙΙTE (1η διδακτικι{ ιδρα}
Α. Ο ΚαθηγηΦq διαν6μει το φriλλο εργαoiαg (απ6 εvα οε κd,θε μαθηΦ) και ζητd, vααπαντξoουν οι μαθητ6g οτο ερrilημα 1 το οποiο ουvιατ6 υr*ο'ομioη γvωοτο6(κυκlοg _ εξioωοη του).
B. Αφοr5 βεβαιωθεi 6τι 6λοι οι μαθητ69 €1oυν απαντηoει (αναμεv6μεvοg 1r6vogαπ&ιzηοηq 2 }Ε1ττa' γρ&φει o'o, ,riro*o i,q οωοτθg απαντξοειq και ζητα vαπρο1ωρηoει 6}η η τ&ξη οην διαπραγμd,τ.uoη ,ou 2. Στ;rελευ.αiο ,λo.ρωημα τoυ2 δL"7εται 6λεq τιq εξωμαθηματικεq ορολογiiq για απαvηοειg {π.Χ'.
,' τεVτδθηκε,,,
"τραβημηκε'', "επιμηκηθηκε'', ''€γινi οαv αη6;, ;,rroρoμoρφiDθηκε,,, ,,6γινε
fλλειι1η,,)
τιq οποiεg και γρd,φει oτoν tεiγακα.
ο Eπιoημαiνει 6τι η τελευταiα πιθαvη απdνηoη xρηζει αποδεiξεωg.
ο Mε ην "μαιευτικη μ€θoδο" θθτει ερωηοειg ω"'' ro απoο.παοθεi ο οριομ6q
του μετασχηματιaμοιi ωg oυνd,ρηoη'
- o κυκλοg εtvαι αδνoλο,
- Τo νθo ο26ημα εiναι αδνoλο;
- Κατ&, ηv διαδικαοiα 1*,θηκε κ&πoιo oημεio;
- oλα τα αρμκ&. oημεiα 61oυν αvτioτοι1ο;
- 'Evα αρμκ6 oημεiο π6οα αvτioτo'χo E ';- Πωζ εivαι ηδη γvωσΦ η προηγοfμειη διαδικααια;
Γρ*φει oτοv πiνακ1τογ οριομ6 τΟυ γεωμετρικου μετασχηματ1ομοli,που βρ6θηκε με
ηv βοηθεια τcδv μαsητιi:v.
Eπιδεικvδει το παρd,δειγμα με τo τ}"i:γμα οτο εδαφοg. (Διαφαvεια 1)
Γ.
ο Ζητα απ6 τουg μαθητθg ηv διαπραγματευoη ηζ 3.
' Γρ6φει ην τελικη απ&vηoη oτoν πiνακα (6λλεiγη) 6πω9 και ηv εξtοωoη
ηζ.
Δεi1vει το πιbg η o1θοη ιοοδυvαμεi με
x'= 1.x +0.Ψ
<]
ψ'= a.χ +2.ψ
,[
r'=x I
|ψ'= zψ l
Γr'l:Γ' O1 Γ x1
Lψ'1 [ο zJ LψJ
Ορiζει τιq *wοιεq ''1ραμμικδζ μετασχηματιoμ6g
,,, ,,
πiνακαq γραμμικοr)
μετασχη ματιομοιi " δεi1vονταq ην ι<rοδυvαμiα:
Γ,'l |α β1 Γ z1
L''|-L, u ] L'Ι
Δ' Ζητ6' ην διαπραγμd,τευoη του 4* θfματοq τωv βαοικiον
γεωμετρικiυv μετασχηματιομiοv οτo διαvεμηθεv φυλλαδιο.

34. !1
I
:
Ι
F
F
:
T
Ι
:I
Ι
Ι
Ι
Ι
t
:
Ι
Ιl
Η
Ξ
Ξ
7
ο Eπιδεικvδει τουζ μετασχηματ1ομοδg εv6ζ τετραγdονου πλαιotου
πλεγματog μ6oω τηζ οπτικοποtηoηq ,του παρ61ουν τα διαvιiοματα
+
ΑΑ'6lων Α: αρxΦ θ6οη, και Α': τελικη θ6οη oημεioυ.(Διαφ6vεεq 2
και 3)
Δηλαδη: Κ6θε μαtiρο λi1ψα tγει 25 οημεiα τα οποiα μθoω του διπλανoυ
πiγακα ηζ γραμμl1cηq απεικ6vιoηq τηγαtνουv σε μια νθα θ6οη. Απ6 κd,θε
αρμκ6 κα1 τελικδ qμεiο δημιoυργοΦνται 25 διαvr5οματα τα οποiα
oπτικoποιoδν τo εiδog ηq μεταβοληg που δημιoυργεi o πivακαg οτο επtπεδo .

35. t
I
I
t
I
t
I
T
t
T
r
Ι
Ι
r
I
t
;
tt
I
1. Η ΘEΩPΙA KATΑΣKEYΙ{Σ ΓNΩΣFΙΣ ( Kονoτρουκτιβιoμ6q)
Η νεiοτερη θεωρiα που αφορ*, τιg μαθηοιακθg διαδικαοiεg και ειδικd, τo πrbqμαθαivει κιiποιοq'E1ει vα κ6vει με <<1τioιgrο τηζ yγιδοηρ η ην <<καταοκευri τηE γrλoη6r. ΑυΦ, δεν
πραγματiυνεταl, οιiτε με μεταφορ& γviυcrεωv, ουτε με μεταφoρ6 εμπειριdον, oιio **λαro.,εvεργητικιi απ6 τov υποκεiμεvο οη μ&θηoη. Eπioηq η iδια η γviDση καθ' εαυη, δεv εππελεiται με
ηv αvακ&λυψη τηg
-α:lL'τoν γv6oη ωg προυπαρχουσα, αvεξfρηη *' *r6u. H γvdlαη πλελν
νoεiται ωq διαδικαοiα προοαρμoγ{€ οτον κιioμt} τ{$γ εμπειριcδv κατd, παρ*,λληλο και αv.iο'oι1o
τρδπο με ηv (κΟιvωνικοποiηο'η>
η οπoiα νoεiται ωg η διαδικαoiα προoαρμoγηq του ατ6μου oηvκoιγωviα.
'Eτoη oπωg ακριβιilq η Kοινωνιολογiα νoεi ηv (κοινωvικοποiηoη) ωζ μια εvεργητικη
διαδικαο'tα εv6q ατ6μoυ, 6μοια και ο Ι{oγσEρουΙ{τιβιομι6g εwοεi ην γviυση ωg ενεργητικιi
απακτοιiμεvη' Ι{ατασκευαζ6μεη, και βεβαια ο μοv6δρoμoζ γι' αυη η διαδικαοiα εivαι ηκαταοκευη ηζ μd,θησηq μθoα απ6 διαδικαciεg επΙ}ωαηg πpοβiqματΘγ.
Αν δε1θοιiμε τιζ προηγοιiμεvεg αρ1θg, εiναι φανερ6 6τι η θκφραoη <<κατανo6l ηv fwoια 7.γ'. τηq
απ6λυη9 τιμηφ 1&vει ηv απιi}.υη oημαοiα ηζ κα1το v6ημd τηq προοδιο ρiζετiαι απ6 την"iδια
?Ιlγ χρ{αt τη6 fνvοιαξ μεοα oττ1v iδια την τιiξη, οlπΞ'tη,e iδια ηv'μαbητικι{ κοινιiτηταc ιl oπoiα
Ι{αι τηγ ..γομιμσπoιεδ> μ6oω ηζ χρησηζ ηζ και ηg αvταλλαγηq απ6ψεωv μεταξ6 ,λv-μαθηrων
επ'αυτηg.
F{ κovοτρoυκτιβιoτιrcη 6ρευvα, t1ε'ι' ετηρεασει κα1, ην διδακτικη πρακτικη και ην κατε{θυνoη
ηζ μαθηματιΦq εκπαδευoη'g, αφοti μελετ&, τιζ γoητικ66 παpαοτιioειq π&νω οτι'q οποtεg ψiζoνταιoι €woιεg η και τα <voητικ* αvτικεiμεγα> πoυ ,ιq ,roρ,o.oiir, Errioηξ μελετd, τo πιiιqαπι6 αυτ65
τιξ 6woιεg, βε aυνε2gεiq αφαιρfοειg, 26τiζονται αvιirτεpεg fwοιεg, αvιilτερηξ
'τfrξηq"
μπδιαδικαoiα
'εου
περlγρd,φεται με τοv ορδ- αναaτο2gαoτικ{ αφαιρετικι{ διαδικαοiα (reflective
abstractiοn).
Ωg παρ&δειγμα επi των πρoηγουμεvωv, αναφ6ρoυμε ηv fwoια <απ6οταoη} και ηv νοητικξ
παρd'οταοη ηg θwοιαζ αυηζ, η οπoiα μπoρεi uo rioor'n.γ. μια εικ6vα εv5q ευθυγρd,μμου τμηματog
(απ6οταoη μεταξri δriο οημεiων) η παρ&οταση - εικ6vα iuωγρ*μμoυ τμηματοg καθθτου οε ευθεiα
(απ6oταoη oημεiου απ6 ευθεiα). Ωg νοητικd, αvτικεiμεvα ηζ προηγοδμειηg θwοιαg μπορεi να
εivαιτα oυμβολα |/ (απ6λυη τιμη του γ αlτaoταση του αριdμοιi χ'cLΤLi τo o) Ια-βΙ (: απ6ο.ταοη
τωv αριθμiον α,β) η d(ιψ) (: γεvfκευo'η ηg θwoιαg απ6οταοη μu xρη"η τωv ιδιοητωv ηζμετρικηζ) η ακ6μα αι5vδεoη ηg fwοιαq με ην ενγδια ηg ν6ρμα<,oιrψ) : llx-ψll) η ακ6μα
olivδεοη και μετεξ6λιξη ηg θwοιαq <απ6oταοη> _ <νδρμαυ -<(εσcι}τερtκ6 γιν6μεvo> ατετραγωνικη
μορφη) μ6oω τωv ταυτoτητωv (: νοητικ*, αντικεiμεvα)
' '
d(x"ψ):llx-ψll, lldFJrΘ, T(χ):Β(x"x)
6πoυ η *wοια ααπ6oταoη>> i:γει θwοια ακ6μη κα1γ1α 1iορουq 6που δεv υπiρ1ει επoπτεiα (πχ Rn ,n>3) οriτε εfvαι δυνατ6ν vα υπ&ρξει επαρκfg εποπτiκ6 μοvτfλο qr,.1. orroo',lo.ιζ 6ηv Yπερβoλικη
Γεωμετρiα).
2. H EΝEΡΓHTΙKH ΔΙΔΑΣKΑΛΙA
Γεvικ&' η εvεργητικι{ διδαaκαλiα εοτι&,ζεται στιζ παρακaτω aftpγειεζ του καθηγηη 6πoυ ηκ&θε μiα προδπoθfτει παραδομ[ αναΜγωv αντιλι{ψεωγ : 'Eτoι:
A) Η διδαακαλiα εκκινεt με αουηθη πρoβληματα, 1ωρiq vα 626ουv διδα1θεi πρlν Ο1 απαραiτητεg
θwoιεq κα1 oι α6ριθμοι.

36. β
I
t
t
a
r
t
r
r
r
Ι
Ι
I
t
t
t
Ι
T
Π
Π
I
2
ο Αυτ6 οημαivει, 6τι oι μαθητ69 μποροιiv γα λδοoυγ πρoβλ{ματξ σζ μηv μωρiζoυv τα
-' -ουγι{θωg
θεωρoιiμεγα εκ των πρoτfρα}γ <(απαραiητω>.
B)Tο διδαrcτικ6 υλικ6 και η διδαοκoλin, ,rρooαρμ6ξοvταiμr ro περιβdλλοv ηg τ6ξεωq τιg γviοοειgτoυ καθηγηη και τα εvδιαφ6ροyτα τωv μαθητιiiv
ο Αυτ6 οημαiνει oτι τα Μαθηματικα πptπειvα διδd,ακovται oε yvιilρ ιμα ιτ}"αiaια των μαθητiοvκαι να λαμβ&νoυν υπ' oΨιv τουζ ηv γλιilaοα τουζ, τα πoλιτιoμiκri του6 στοιχεiα και τηνκαθημεριv6ττγ&τoυq.
Γ) F{ διδαακαλiα γivεται με πολλαπλε9-
9πιλογ69
εκ μ6ρουg του καθηγηη (εξατoμικευμεvη
διδαακαλiα , εργαο.iα αε ομd,δεg, oυξηη"η'μi οη η, ',iξη).ο Aυτ6 ο'ημαiνει 6τι oι ατo;rικ6q διαφoρfg σ'τη μdηση απαιτo6γ διαφoρετικ{ oργιivωσtl τηgτιiξηs.
Δ) rΙ τeξη γiνεται"<μαθηματικη κoιν6ητα_υ και ο δαακαλοg των μαθηματικ ων ^1τiζεικαι αξιoλογεiπ&νω oτιq μεθ6δουζ κα1λ;ι-loεη των μαθητcbν.
ο Αυτ6 ο'ημαfvει 6τι οι εικαaiε5 που αγαπτιiσσο}ται, πρoωθοriv και ελiγ;goυγ την μιiθηoη, ο δεδαoκαλοq εivαι κ&θε oτιγμη δεκτικ69 οτιg πρoτιio*.{"*, μαθητιilν.
E) Η διδαακαΧiαγiνεται με εοτiαοη και τovιoμ6 τC,rv κεvτρικiυν μαθηματικιilv εwoιiον.ο Αυτ6 οημαtvει 6τι τυποπoημεvοι αξ6ριθμοι *ol, orojorωμεvεg περιoφtqτωv μαθηματικiοv δεvπρoο'φ6ροvτα1 γ1α παρουοiαο'η των σημαντικiον ιδεiοv Avτιθ6τωg, η'ri *ικι{ αvτiι|rη καιαvτιμετiοπιοη των μαθηματικiον εivαι κεvτρικι{ επιλαμ{ τηq ειεαολ"λi"g.
Στ) Η xρtoη &τυπω1l μoρφiυv αξιολογηοηq, επιδρ& oτιg δδακτικ6q επλογ€g.
ο Αυτ6 oημαivει ι6τι η ιiμεαη παρατι{ρηση τoυ
'pinou
δρ,fr"ηi
^oι,
o*εψηg το}v pαθητιirν ηνaτιγμ{ πoιl εpγftζογται δivει 6λε9 τιg ευκαιρiεg αvιiδραaη6 στoν καθηγηη γ1α ην βελτiωaηι{ και α}J"αγfiτoυ τp6πoυ οργιftvωοηg τr1g διδαοκαλiαE.
Ζ) aι μαθητfq πp€πεινα εvθαρρr}νoνται σε αναστοχαομ6 π&vω οτιq δραοηρι6ητε9 και σημ6θηαη.
' Aυτδ oημαivει 6τι o αγαοτο1αotrιιi.6 εiναι απαραiτητο εργαλεiο για γα γiνει αναθειilρηοη,καλλiτερη καταv6ηαη και διαοδγδεaη των μobηpo".*ιilγ εγγoιιirγ.
Η ειoαγωγη του κεφαλαiου των γεωμετρικioν μετασχηματιoμιbν με διαδικαοiεg επiλυoηqπροβληματοq, αλλα και κfrθε μαθηματoq μαοηματικλν γiνεται 6τoι iοοτε :
Ο MAΘETΙΙΣ:
Kαλεiται vα διαβιiοει το πριδβλημα , να κ6νει διευκριvιoτικ6g ερωτιiσειs , vα α1εδι6cεικαι να αποτυπιba1Ψ
Tηρoφoρiεg που θα^του π-αραo1εθουv [εοω
"ru "ρoρηματοg.Kαλεiται vα εργαοθεi μ6νοq η καλriτερα καθ,ομ6δα9 .
Kαλεiται vα αυζηα{σει ηγ λ:ιlο'η του ,.να εικf,οεt, γα προσπαθηοει vα γεvικεr5oει η και vααγαλδοει ηv πορεiα που 61ει ακολoυθηοει μθ1:ι rr'ri;
Nα ενΘαρρυγθεi σ_ε 6υμμετoμ{ οτο μιiθηpα, μθο,α απ6 ην <<καταοκευτ[ τηg γγd)6ηξ>ακ6μα και 6ταν δεv θxει π}"Tιρη η επα.οκΙ μα'oηματικη υπoδομη. Ηδη παρατηρεiται το
φαιν6μεvο ηq αξιοφμεiωηg ουμμετο1ηg <αδιivατωv> μαθητiov oε διαbικαoiεq επiλυoηgπρoβξματoζ, oι oποfοι - εiναι β6βαιοv -_ιiα αδιαφoρo,joλv ε&v τo μ&θημα εi1ε ειoα1θεi μετο παραδοοιακ6 μοvτ6λο διδαoκαλiαg ( π.x δαακαλοκειτριη διδαοκαλiα) Eξαλλου η

37. μ
I
I
!
T
T
T
T
T
T
I
T
I
!
T
I
I
t
t
t
I
3
εισαγα}Tη βαoiζεται αυoηρd, οε πρoδπιiρχoυσεζ γviυοειg και η ν6α μdloη κτiζεται
απoκ}.ειaτικιi πιiγω oτι5 παλιfg.
_ Ι{α εvΘαρρυνΘεi οτην δεξιιδτητα επiλυοηg πpοβμιiτων, αφοιi o με ilιγγιδδειg ρυθμοι1g
αναπτυoo6μεvοζ κ6ομο6 μαζ, α?cαιτεi διαρκι{ προσαpμcγι{ του κ*,θε προ<riοπου μθοα απ6
διαδικαοiεg επiλυοηg προβξματοζ στo ευρriτερo και oτεv6τερo εργασ1.ακ6 του περιβd,λλov.
Η δια β[ου εκπαiδεταη εivαι κ&τι 7Ξου oι παρoliοεg κοινωvικig αντrληψειg θεωροr5v πΜοv
ωg φυοιολογικ6, πρ6πoν, ευκταiο και επιδιωκ6μεvο απ'6λου6, εvdυ ηδη oτιq αρ16q μ6λιq η6
δεκαετiαq του '80
η φρ&ση <δια βiου εκπαiδευοη> η1οfοε ωg υπφβoξ τωv- διαφορων
φιλοo6φωv - μελλοντoλ6γωv ηq εκπαiδευσrιζ.
- Να ενθαρρυνθεi oε oμαδικι{ εργαοiα, κd,τι που μπορεi vα γivει 7..χ. ψε το τ61vαομα ηζδιανομηq εv6g φιiλλου εργαοiαg ανd, δι1ο μαθητ69. Eivαι προφαvθg 6τι αυτ6 αυμβ&λ}ει οηv
κoινωvικοποηoη του κ&θε προοcbπου και επiοr1q δρα ωg αvτiρροπog παρd,γovτεζ σην γεVικη
τ*oη του'Eλνοg vα δρα κατd, μ6vαg, αφoti η εoωoτρθφεια και o εγωκεvτριομ6q μποροιiv
να χαρακηριoθοriv ωq κεθvικ*. ελαττiυματυ.Παρd,λληλα η vθα γviοoη εvοωματriiνεται
επiοημα G}6 yγd)d1 τηg μαθητικι{E κoιvι6τηταg.
o Ι(AΘΙΙΓETHΣ :
Eπωμiζεται με ηγ ευθ6η ηζ πρoσεκτικι{g ηgεδiασηq κατ(roτιioεωγ δρι1oη6, διατδπω-
σηζ, επtKoινrοviαg επικιiρωοηg ,απι6φαοηξ και εγ τ€λει θεoμοποiησ'lξ τηζ νfαg γvιilοηg.
Σ' αυτ6 το o1εδιαομ6 τoυ Θα πpiπεινα λ&,βει πρ6νoια vα μηv περιπ6οεi o. o1ημo
"
ατα τλ'
οπoiο η v6α Tvωση προκδπτει <φυoιολογικ&> και <αναμεv6μεvΦ η παρηεται'μθoω τε1vα-
ο'μ&τωv.
- Δεv εivαι <μεταφορθαg γViοσηζ}, δεv παiζει - επιδεικvriει το <o6}ο) του εviυπιoν των
μαθητiυv τoυ, αλλα διευθriγει με ηv μπαγκ6τα του, το προq κατ&κτηoη γvωoτικ6
αντικεiμεvο.
- Παρoυaιιiζει το πρ6βλημα οτηv τdξη , απαντα οε διαοαφητικ69 ερωα{οει6 καταν6ηοη6
- και oργανiυvειτoυ6 μαθητθg.
- Evθαρρδνει επιβραβευει πατοτριivει και καθοδηγεi διακριτικιi τουg μαθητ6g, ομtλεi οτοv
ελαμoτο δυνατ6 βαθμ6 και εκμαιεr1ει τιg νθεg θwοιεg.
- Evθαρρι5vει ηv αυζtηοη ι6λοlν τωγ ιδειbv πoυ αναπτιilσσοvται μεταξri τωv μαθητiοv .
- Evεργο'ltoιεtταγvωoτικ&, ο1ηματα των μαθητιitν μ6οω γεvικri:v η ειδικiον ευρετικiον, iοoτε vα
μποροriν vα αvαγvωρiζουν πρ6τυπα η μοντ6λα να διατυπιirγουγ εiκαοiε6, να τι9
αξιολογοδν, vα εiναloε θθοη vα κατ(rστριirvoυv 6vα o2g€διο και vα το εκτελοdν.
- Πρoκαλεi τροποποiηοη υπ&ρχοντοζ γεvικοrj ο1εδiου τoυ μαηη η τov βοηθd,ει vα
δημιουργηοει ν6o.
- Καλεiται vα αντιμετωπiοει τα γVωστικ& η επιοημoλογικd, εμπ6δια πoυ ioωq παρoυοιαοθοfv
oτην τ&,ξη απ6 τoυq μαθητ6q.
- Να υπoαηρiξει κ&θε προoπiθεια γεviκευαηg ταυ προβλr{ματαξ .
Καλεiται να προβ6λλει στουζ μαθητ*q τoυ ην ιδθα 6τι τα μαθηματικd, εiναι μια ανθρiοπιvη
κ
Nα παρουοιd,οει ηv μαθηματκη γv6οη εV τω γενd,oθαι και εv τω γiγvεοθαι στoυζ μαθητεq,
και 6μ φιλτραριομειη αυνθετοποημεvη προεπεξεργαομfη, προταξινομημεvη, 6που μθοα