1. Το αντιπαράδειγμα , ως θεραπεία συνήθων λαθών στα Μαθηματικά. Εισηγητής: Γιάννης Π. Πλατάρος Μαθηματικός-Μ.Π.Ε. στην Διδακτική & Μεθοδολογία των Μαθηματικών Δ/ντής 1 ου Γεν. Λυκείου Μεσσήνης.

2. Αρχαίο αντιπαράδειγμα σε ορισμό Pl£twnoj Ðrisamšnou, ”AnqrwpÒj ™sti zùon d…poun ¥pteron, kaˆ eÙdokimoàntoj, t…laj ¢lektruÒna e„s»negken aÙtÕn e„j t¾n scol¾n ka… fhsin, « oátÒj ™stin Ð Pl£twnoj ¥nqrwpoj » Óqen tù ÓrJ prosetšqh tÕ platuènucon . (Διογένης Λαέρτιος, «Βίοι Φιλοσόφων» Βιβλίο 6 παρ.40 στ. 5-9 αναφερόμενος σε περιστατικό με τον Διογένη τον Κυνικό )

3. Εικασία : «Άνθρωπος εστίν, όν , δίπουν, άπτερον !» ΑΠΛΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΑΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Προστίθεται το….«πλατυόνυχον!» Ως αποτέλεσμα από ένα ειδικό αντιπαράδειγμα Το πρότυπο του Διογένη για την διάψευση του Ορισμού .

4. ΕΙKΑΣΙΑ ΑΠΛΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΑΣΚΕΥΗ ΑΝΑΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Ως αποτέλεσμα από ένα ειδικό αντιπαράδειγμα Ως αποτέλεσμα από ένα γενικό αντιπαράδειγμα Το πρότυπο του LAKATOS για την μαθηματική ανακάλυψη .

6. ΟΡΙΣΜΟΣ: Εάν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η πρόταση « » είναι ψευδής, πρέπει κι αρκεί να αποδείξουμε ότι η πρόταση « » είναι αληθής. Δηλαδή , πρέπει να βρούμε ένα χ 0 στοιχείο του σχετικού συνόλου αναφοράς έτσι ώστε η Ρ( χ 0 ) να είναι ψευδής . Το χ 0 θα λέγεται τότε αντιπαράδειγμα στην πρόταση « »

9. Σύνηθες λανθασμένο κριτήριο ισότητας τριγώνων: «Δύο τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν από δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία, και από μία γωνία τους ίση, μία προς μία.» Το γνωστό σχήμα - αντιπαράδειγμα: Σχόλιο : Το αντιπαράδειγμα πρέπει να το γνωρίζει κάποιος εκ των προτέρων και να το ανακαλεί στην μνήμη του εύκολα . A B Γ Δ A B Γ Δ

11. Έστω συνάρτηση f :[ α,β]  R συνεχής. Τότε το α είναι θέση τοπικού ακροτάτου ( α ,f( α ) ) ( β ,f( β ) ) Γεωμετρική –εποπτική προσέγγιση : Οσοδήποτε κοντά στο α , ή η f θα σχεδιάζεται: ή προς τα πάνω (άρα θα έχω τοπικό ελάχιστο) ή προς τα κάτω (άρα θα έχω τοπικό μέγιστο) ή θα σχεδιάζεται οριζόντια , άρα πάλι (υπό την ευρεία έννοια) θα έχω ακρότατο

14. Η ευθεία y =χ έχει άπειρα κοινά σημεία με την f(x) σε οποιαδήποτε περιοχή του απείρου (θετικού ή αρνητικού) και «παρ΄ όλα αυτά» είναι πλάγια ασύμπτωτη της f(x) , σύμφωνα με τον ορισμό.

15. Ο ρόλος των «συνήθων λαθών» σε σχέση με τα αντιπροσωπευτικά παραδείγματα: Θεωρητικώς, οι δυνητικά λανθασμένες απαντήσεις σε συγκεκριμένες ερωτήσεις περί τα μαθηματικά, συνιστούν ένα σύνολο πολύ μεγάλου πληθικού αριθμού . Στη πραγματικότητα οι λανθασμένες απαντήσεις, είναι εξαιρετικά περιορισμένες σε αριθμό και μάλιστα επαναλαμβάνονται επιμόνως από πολλές γενιές μαθητών. Σχεδόν όλα αυτά τα «επίμονα λάθη» αποδίδονται σε διδακτικά (ή γνωστικά) εμπόδια δηλ. σε επιστημολογικά εμπόδια . Κατά γνώμη μας, ορισμένα από αυτά έχουν υπερεκτιμηθεί ,αφού το εμφανιζόμενο ως καθαρό επιστημολογικό εμπόδιο είναι μόνο γλωσσικό και αίρεται με κατάλληλο παράδειγμα. Ήδη έχουμε επεξεργαστεί το θέμα της «ασύμπτωτης» όπου στα Ελληνικά πράγματι αποτελεί διδακτικό εμπόδιο αφού η λέξη παραπέμπει στην μη σύμπτωση, άρα αποκλείεται να υπάρχουν κοινά σημεία συνάρτησης και ασύμπτωτης, πράγμα που όπως δείξαμε δεν συμβαίνει. Στον Αγγλόφωνο μαθητή, ο ίδιος όρος είναι « asymptote » ο οποίος ως Ελληνικός , ετυμολογικώς , δεν του λέει απολύτως τίποτα , άρα δεν αποτελεί ιδίου βαθμού διδακτικό εμπόδιο γι αυτόν (ένα μέρος του εμποδίου δεν είναι γλωσσικό)

20. Νέα αναδιατύπωση πλάνης _3 : «κάθε συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα, γράφεται με μονοκονδυλιά» Αντιπαράδειγμα _3 : με Δεν γράφεται με μονοκονδυλιά , αφού έχει άπειρο μήκος (η συγκεκριμένη) ή θα μπορούσε να έχει πεπερασμένο μεν, αλλά με άπειρη ταλάντωση . Επομένως, δεν μπορεί να την σχεδιάσει ικανοποιητικά , ούτε άνθρωπος ούτε Η/Υ

21. Έσχατη αναδιατύπωση 4 «Κάθε συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα, έχει «μονοκόμματο» (:=συνεκτικό) γράφημα Αντιπαράδειγμα: Δεν υπάρχει! Είναι σωστή η πρόταση……… Εν τούτοις υπάρχει κάτι περίεργο που διαφοροποιεί την διαισθητική (εξωμαθηματική ) έννοια της «συνάρτησης που σχεδιάζεται με μονοκονδυλιά» με την έννοια της «συνάρτησης που έχει συνεκτικό -μονοκόμματο γράφημα» Κάθε συνάρτηση που έχει συνεκτικό γράφημα σε διάστημα, δεν σημαίνει ότι είναι και συνεχής σε αυτό» Παράδειγμα:

24. Ευχαριστώ πολύ για την προσοχή σας….