1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Νόμοι Προτασιακής Λογικής
1.1) Εύρεση Ταυτολογικά ισοδύναμου τύπου με δεδομένους συνδέσμους.
2) Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων
2.1) Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων
2.2) Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα vs Επαγωγή στους Φυσικούς
2.3) Πλήρη Σύνολα Συνδέσμων
Ασκήσεις
1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ)
1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ
2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη
2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων
2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens
2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3
2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1
2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2
2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3
2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική
2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική
2.4) Τυπικά Θεωρήματα
2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές
3) Μεθοδολογία
3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική
3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Μη Κατευθυνόνομενο Γράφημα
2) Ορισμοί στα Μη Κατευθυνόμενα Γραφήματα
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων.
Ασκήσεις
1) Η πρωτοβάθμια γλώσσα
2) Νέα Στοιχεία σε Σχέση με την Προτασιακή γλώσσα
2.1) Τα συναρτησιακά σύμβολα
2.2) Τα κατηγορηματικά σύμβολα
2.3) Ο ποσοδείκτης για κάθε: ∀
2.4) Ο ποσοδείκτης υπάρχει: ∃
2.5) Το σύμβολο ≈
3) Το συντακτικό της Κατηγορηματικής Λογικής
3.1) Εισαγωγή
3.2) Όρος
3.3) Ατομικός Τύπος
3.4) Μη Ατομικός Τύπος
3.5) Δενδροδιάγραμμα Τύπου και Προτεραιότητα Τελεστών
3.6) Πρόταση
4) Δομές και Αποτιμήσεις
4.1) Δομή (ή Ερμηνεία)
4.2) Αποτίμηση
5) Συντομογραφίες Τύπων
5.1) Ορισμός Συντομογραφίας
5.2) Χρήση Συντομογραφίας
6) Μεταφραστικός Πίνακας
Ασκήσεις
1) Ερμηνείες εμπνευσμένες από τον πραγματικό κόσμο
1.1) Σύμπαν με μία κατηγορία δεδομένων
1.1.1) Παραδείγματα
1.2) Σύμπαν με περισσότερες κατηγορίες δεδομένων
1.2.1) Παραδείγματα
2) Ερμηνείες των αριθμών
2.1) Σύμπαν Ακεράιων – Πραγματικών
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Νόμοι Προτασιακής Λογικής
1.1) Εύρεση Ταυτολογικά ισοδύναμου τύπου με δεδομένους συνδέσμους.
2) Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων
2.1) Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων
2.2) Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα vs Επαγωγή στους Φυσικούς
2.3) Πλήρη Σύνολα Συνδέσμων
Ασκήσεις
1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ)
1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ
2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη
2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων
2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens
2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3
2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1
2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2
2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3
2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική
2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική
2.4) Τυπικά Θεωρήματα
2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές
3) Μεθοδολογία
3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική
3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Μη Κατευθυνόνομενο Γράφημα
2) Ορισμοί στα Μη Κατευθυνόμενα Γραφήματα
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων.
Ασκήσεις
1) Η πρωτοβάθμια γλώσσα
2) Νέα Στοιχεία σε Σχέση με την Προτασιακή γλώσσα
2.1) Τα συναρτησιακά σύμβολα
2.2) Τα κατηγορηματικά σύμβολα
2.3) Ο ποσοδείκτης για κάθε: ∀
2.4) Ο ποσοδείκτης υπάρχει: ∃
2.5) Το σύμβολο ≈
3) Το συντακτικό της Κατηγορηματικής Λογικής
3.1) Εισαγωγή
3.2) Όρος
3.3) Ατομικός Τύπος
3.4) Μη Ατομικός Τύπος
3.5) Δενδροδιάγραμμα Τύπου και Προτεραιότητα Τελεστών
3.6) Πρόταση
4) Δομές και Αποτιμήσεις
4.1) Δομή (ή Ερμηνεία)
4.2) Αποτίμηση
5) Συντομογραφίες Τύπων
5.1) Ορισμός Συντομογραφίας
5.2) Χρήση Συντομογραφίας
6) Μεταφραστικός Πίνακας
Ασκήσεις
1) Ερμηνείες εμπνευσμένες από τον πραγματικό κόσμο
1.1) Σύμπαν με μία κατηγορία δεδομένων
1.1.1) Παραδείγματα
1.2) Σύμπαν με περισσότερες κατηγορίες δεδομένων
1.2.1) Παραδείγματα
2) Ερμηνείες των αριθμών
2.1) Σύμπαν Ακεράιων – Πραγματικών
Ασκήσεις
1) Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων
1.1) Εισαγωγή
2) Υπενθυμίσεις από ΜΑΘ0.1
2.1) Δυναμοσύνολο
2.2) Σχέση Υποσυνόλου
2.3) Σχέση Γνησίου Υποσυνόλου
3) Ασκήσεις
3.1) Στοιχειώδεις προτάσεις με ποσοδείκτες
3.2) Μετάφραση στα ελληνικά
3.3) Περαιτέρω ασκήσεις
Ασκήσεις
1) Σύνολο Τύπων
1.1) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
1.2) Μη Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
2) Ταυτολογική Συνεπαγωγή
2.1) Συμβολισμός της ταυτολογίας
3) Ταυτολογικά Ισοδύναμοι Τύποι
Ασκήσεις
1) Ισομορφισμοί Γραφημάτων
1.1) Ισομορφικά Γραφήματα
1.2) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα είναι ισομορφικά
1.3) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά
1.4) Αποδείξεις Αναλλοίωτων Ιδιοτήτων
2) Συμπληρωματικοί Ορισμοί
2.1) Αυτομορφισμός
2.2) Αυτοσυμπληρωματικό Γράφημα
Ασκήσεις
1) Ορισμός Αλήθειας Tarski
1.1) Ο κανόνας της ισότητας
1.2) Ο κανόνας του κατηγορηματικού συμβόλου
1.3) Ο κανόνας του μονοθέσιου συνδέσμου ¬
1.4) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∧
1.5) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∨
1.6) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου →
1.7) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ↔
1.8) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∀
1.9) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∃
2) Εύρεση Αλήθειας Τύπου
2.1) Μεθοδολογία
2.2) Παραδείγματα
3) Ικανοποιήσιμος Τύπος
3.1) Ορισμός
3.2) Παραδείγματα
4) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
4.1) Ορισμός
4.2) Παραδείγματα
5) Έγκυρος ή Λογικά Αληθής Τύπος
5.1) Ορισμός
5.2) Παραδείγματα
6) Λογική Συνεπαγωγή
6.1) Ορισμός
6.2) Παραδείγματα
Ασκήσεις
1) Ορισμός Συνδετικού Δένδρου
1.1) Διάσχιση Πρώτα Κατά Πλάτος
1.2) Διάσχιση Πρώτα Κατά Βάθος
2) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
2.1) Ορισμός Ελάχιστου Συνδετικού Δένδρου
2.2) Ο αλγόριθμος του Prim
3) Σύνοψη για τους Αλγόριθμους
3.1) Συντομότερα Μονοπάτια
3.2) Συνδετικό Δένδρο
3.3) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
1) Διαίρει και Βασίλευε
1.1) Ο αλγόριθμος MergeSort (Ταξινόμηση με Συγχώνευση)
1.2) Ο αλγόριθμος QuickSort (Γρήγορη Ταξινόμηση)
1.3) Ο αλγόριθμος QuickSelect (Γρήγορη Επιλογή)
1.4) Ο αλγόριθμος Strassen για τον πολλαπλασιασμό πινάκων
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων
1.1) Εισαγωγή
2) Υπενθυμίσεις από ΜΑΘ0.1
2.1) Δυναμοσύνολο
2.2) Σχέση Υποσυνόλου
2.3) Σχέση Γνησίου Υποσυνόλου
3) Ασκήσεις
3.1) Στοιχειώδεις προτάσεις με ποσοδείκτες
3.2) Μετάφραση στα ελληνικά
3.3) Περαιτέρω ασκήσεις
Ασκήσεις
1) Σύνολο Τύπων
1.1) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
1.2) Μη Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
2) Ταυτολογική Συνεπαγωγή
2.1) Συμβολισμός της ταυτολογίας
3) Ταυτολογικά Ισοδύναμοι Τύποι
Ασκήσεις
1) Ισομορφισμοί Γραφημάτων
1.1) Ισομορφικά Γραφήματα
1.2) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα είναι ισομορφικά
1.3) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά
1.4) Αποδείξεις Αναλλοίωτων Ιδιοτήτων
2) Συμπληρωματικοί Ορισμοί
2.1) Αυτομορφισμός
2.2) Αυτοσυμπληρωματικό Γράφημα
Ασκήσεις
1) Ορισμός Αλήθειας Tarski
1.1) Ο κανόνας της ισότητας
1.2) Ο κανόνας του κατηγορηματικού συμβόλου
1.3) Ο κανόνας του μονοθέσιου συνδέσμου ¬
1.4) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∧
1.5) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∨
1.6) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου →
1.7) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ↔
1.8) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∀
1.9) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∃
2) Εύρεση Αλήθειας Τύπου
2.1) Μεθοδολογία
2.2) Παραδείγματα
3) Ικανοποιήσιμος Τύπος
3.1) Ορισμός
3.2) Παραδείγματα
4) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
4.1) Ορισμός
4.2) Παραδείγματα
5) Έγκυρος ή Λογικά Αληθής Τύπος
5.1) Ορισμός
5.2) Παραδείγματα
6) Λογική Συνεπαγωγή
6.1) Ορισμός
6.2) Παραδείγματα
Ασκήσεις
1) Ορισμός Συνδετικού Δένδρου
1.1) Διάσχιση Πρώτα Κατά Πλάτος
1.2) Διάσχιση Πρώτα Κατά Βάθος
2) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
2.1) Ορισμός Ελάχιστου Συνδετικού Δένδρου
2.2) Ο αλγόριθμος του Prim
3) Σύνοψη για τους Αλγόριθμους
3.1) Συντομότερα Μονοπάτια
3.2) Συνδετικό Δένδρο
3.3) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
1) Διαίρει και Βασίλευε
1.1) Ο αλγόριθμος MergeSort (Ταξινόμηση με Συγχώνευση)
1.2) Ο αλγόριθμος QuickSort (Γρήγορη Ταξινόμηση)
1.3) Ο αλγόριθμος QuickSelect (Γρήγορη Επιλογή)
1.4) Ο αλγόριθμος Strassen για τον πολλαπλασιασμό πινάκων
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων
1.1) Εισαγωγή
2) Υπενθυμίσεις από ΜΑΘ0.1
2.1) Δυναμοσύνολο
2.2) Σχέση Υποσυνόλου
2.3) Σχέση Γνησίου Υποσυνόλου
3) Ασκήσεις
3.1) Στοιχειώδεις προτάσεις με ποσοδείκτες
3.2) Μετάφραση στα ελληνικά
3.3) Περαιτέρω ασκήσεις
Ασκήσεις
1) Η πρωτοβάθμια γλώσσα
2) Νέα Στοιχεία σε Σχέση με την Προτασιακή γλώσσα
2.1) Τα συναρτησιακά σύμβολα
2.2) Τα κατηγορηματικά σύμβολα
2.3) Ο ποσοδείκτης για κάθε: ∀
2.4) Ο ποσοδείκτης υπάρχει: ∃
2.5) Το σύμβολο ≈
3) Το συντακτικό της Κατηγορηματικής Λογικής
3.1) Εισαγωγή
3.2) Όρος
3.3) Ατομικός Τύπος
3.4) Μη Ατομικός Τύπος
3.5) Δενδροδιάγραμμα Τύπου και Προτεραιότητα Τελεστών
3.6) Πρόταση
4) Δομές και Αποτιμήσεις
4.1) Δομή (ή Ερμηνεία)
4.2) Αποτίμηση
5) Συντομογραφίες Τύπων
5.1) Ορισμός Συντομογραφίας
5.2) Χρήση Συντομογραφίας
6) Μεταφραστικός Πίνακας
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Μη Κατευθυνόνομενο Γράφημα
2) Ορισμοί στα Μη Κατευθυνόμενα Γραφήματα
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων.
Ασκήσεις
Α.Θεωρία
1) Ενοποίηση και Κανόνες Συλλογισμού
1.1) Ενοποίηση
1.2) Κανόνες Συλλογισμού
1.3) Παραδείγματα Αναγωγών
2) Αναγωγή μέσω αντίκρουσης της αντίφασης
2.1) Ορισμός
2.2) Παράδειγμα
2.3) Αλγόριθμος Αναγωγής μέσω Αντικρουσης της Αντίφασης
2.4) Ευρετικά για την εύρεση της απόδειξης
2.5) Εξαγωγή Απαντήσεων
3) Επεκτάσεις
3.1) Εξαγωγή Απαντήσεων
3.2) Συμπερασμός
3.3) Διορθώσεις σε Αντιφατική Βάση Γνώσης
Β.Ασκήσεις
Α) Θεωρία
1) Εισαγωγή
1.1) Κανόνες Παραγωγής
1.2) Σύστημα Παραγωγής
2) Ορθή Αλυσίδωση
2.1) Εισαγωγή
2.2) Παράδειγμα
2.3) Αλγόριθμος Εκτέλεσης
2.4) Στρατηγικές Επίλυσης Συγκρούσεων
2.5) Παράδειγμα με άλλες στρατηγικές επίλυσης συγκρούσεων
2.6) Παράδειγμα με κατηγορήματα
2.7) Δίκτυο Κανόνων
3) Ανάστροφη Αλυσίδωση
3.1) Αλγόριθμος Εκτέλεσης
3.2) Παράδειγμα
3.3) Παράδειγμα με κατηγορήματα
Β.Ασκήσεις
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
1. Η χρήση των νόµων της κατηγορηµατικής λογικής
2. Οι νόµοι της Κατηγορηµατικής Λογικής
3. Νόµοι Προτασιακής Λογικής
2. Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή
1. Ορισµός
2. Αναγνώριση της Ποσοδεικτικής Μορφής
3. Εύρεση Κανονικής Ποσοδεικτικής Μορφής
4. Παραδείγµατα
Γ.Ασκήσεις
1. Ερωτήσεις
2. Εφαρµογές
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Επίπεδο Α
Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
Εξαγωγή της Κανονικής Ποσοδεικτικής Μορφής ενός Τύπου
Επίπεδο Β
(-)
Επίπεδο Γ
(-)
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
4. B. Θεωρία
1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
1. Χρήση των Νόµων Κατηγορηµατικής Λογικής
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
Έχουµε 4 νόµους της κατηγορηµατικής λογικής. Κάθε νόµος έχει δύο
διαφορετικές χρήσεις. Π.χ. ο 1ος νόµοςάρνησης ποσοδείκτη είναι ο
ακόλουθος:
1. Οποιοσδήποτε τύπος της µορφής ∀ µπορεί να µετατραπεί στον
ισοδύναµο τύπο: ∃x και αντίστροφα.
• Π.χ. ο τύπος ∀ P x είναι ισοδύναµος τύπος µε τον∃x
• Άρα χρησιµοποιούµε τους νόµους για να µετατρέψουµε τύπους
σε άλλους τύπους που είναιισοδύναµοι.
• Στην Κ.Λ. όταν λέµε ότι δύο τύποι είναι ισοδύναµοι σηµαίνει
ότι όταν ο ένας είναι Αληθής, τότε και ο άλλος είναι Αληθής
και όταν ο ένας είναι Ψευδής τότε και άλλος είναι Ψευδής.
2. Ο νόµος είναι λογικά έγκυρος τύπος!
• Όπως θα δούµε στο επόµενο µάθηµα ένας λογικά έγκυρος τύπος
είναι το ισοδύναµο την ταυτολογίας στην Κατηγορηµατική Λογική
∀ ↔ ∃x
5. B. Θεωρία
1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
2. Οι νόµοι της Κατηγορηµατικής Λογικής
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
Οι νόµοι της κατηγορηµατικής λογικής είναι οι ακόλουθοι:
Στους παραπάνω νόµους έχουµε ότι:
x,y: είναι µεταβλητές
φ,ψ: είναι τύποι (ατοµικοί ή µη ατοµικοί) της κατηγορηµατικής λογικής
Όνοµα Νόµου ∆ιατύπωση
1 Άρνηση Ποσοδείκτη ∀ ↔ ∃x
∃ ↔ ∀x
2 Κατανοµή Ποσοδείκτη ∀x ∧ ↔ ∀xφ ∧ ∀xψ
∃x ∨ ↔ ∃xφ ∨ ∃xψ
3 Εναλλαγή Ποσοδεικτών ∀x∀y ↔ ∀y∀x
∃x∃y ↔ ∃y∃x
4 Μετακίνηση Ποσοδείκτη → ∀x ↔ ∀x →
→ ∃x ↔ ∃x →
∀x → ↔ ∃x →
∃x → ↔ ∀x →
6. B. Θεωρία
1. Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
3. Νόµοι της Προτασιακής Λογικής
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
Όλοι οι νόµοι της προτασιακής λογικής ισχύουν και στην κατηγορηµατική
λογική.
Επαναφέρουµε το πινακάκι που είχαµε δει στο µάθηµα 2.3 που
χρησιµοποιούµε για να µετατρέψουµε λογικούς συνδέσµους παίρνοντας
ισοδύναµες παραστάσεις.
Θα µας φανεί χρήσιµο στην εξαγωγή της κανονικής ποσοδεικτικής µορφής
ενός τύπου:
Μετατροπή συνδέσµων Χρήση του νόµου Νόµος
Από → σε ∨ και αντίστροφα 1ος νόµος
αντικατάστασης
→ ↔ ∨
Από → σε ∧ και αντίστροφα Νόµος άρνησης
συνεπαγωγής
→ ↔ ∧ ψ
Από ∨ σε ∧ και αντίστροφα ΝόµοιDe Morgan ∨ ↔ ∧
∧ ↔ ∨
Από↔σε ∧, →και αντίστροφα 2ος νόµος
αντικατάστασης
↔ ↔ → ∧ →
7. B. Θεωρία
2. Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή
1. Ορισµός
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
Ορισµός: Ένας τύπος φ θα λέµε ότι είναι σε κανονική ποσοδεικτική µορφή αν έχει
τη µορφή:
… Ψ
Όπου τα:
, , … , είναι ποσοδείκτες, δηλαδή: ∃ ή ∀
, , … , είναι µεταβλητές
Το Ψ είναι ανοιχτός τύπος (δεν έχει ποσοδείκτες)
Με απλά λόγια ένα τύπος είναι σε κανονική ποσοδεικτική µορφή, αν µόνο στην αρχή
του τύπου εµφανίζονται ποσοδείκτες που δεσµεύουν όλο τον υπόλοιπο τύπο.
Παραδείγµατα: Οι παρακάτω τύποι είναι σε κανονική ποσοδεικτική µορφή:
• ∀x∃ P x, y
• ∀x∀y P x, y → ,
• ∃x∀y∀z P x, w → ,
8. B. Θεωρία
2. Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή
2. Αναγνώριση Κανονικής Ποσοδεικτικής Μορφής
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
• Μελετάµε στο παράδειγµα ποιοι από τους παρακάτω τύπους είναι σε κανονική
ποσοδεικτική µορφη:
• ∀x P x →
• Είναι σε Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή.
• ∆εν έχει σηµασία που έχουµε ελεύθερες µεταβλητές. Πρέπει απλά οι ποσοδείκτες
να είναι µπροστά, και να δεσµεύουν όλο τον τύπο.
• ∀x P x → ∃
• ∆εν είναι σε Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή
• Οι ποσοδείκτες δεν εµφανίζονται αριστερά στον τύπο.
• ∀x P x →
• ∆εν είναι σε Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή
• Ισχύει ο εµπειρικός κανόνας ότι η εµβέλεια ενός ποσοδείκτη που δεν καθορίζεται µε
παρενθέσεις, εκτείνεται µέχρι τον πρώτο διµελή σύνδεσµο που συναντά. Άρα η
παρενθετοποίηση που υπονοείται είναι η ακόλουθη: ∀x P x →
• ∀x∃ x, → ,
• ∆εν είναι σε κανονική Ποσοδεικτική Μορφή.
• Η εµβέλεια των ποσοδεικτών είναι ως εξής: ∀x∃ x, → ,
9. B. Θεωρία
2. Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή
3. Εύρεση Κανονικής Ποσοδεικτικής Μορφής
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
• Οι κανόνες που εφαρµόζουµε για την εύρεση της κανονικής ποσοδεικτικής µορφής:
ΘΕΩΡΗΜΑ:
• Κάθε τύπος είναι ταυτολογικά ισοδύναµος µε έναν τύπο σε κανονική ποσοδεικτική
µορφή!
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
• Όταν µας ζητείται η κανονική ποσοδεικτική µορφή ενός τύπου εφαρµόζουµε νόµους
κατηγορηµατικής και προτασιακής λογικής:
• Να φέρουµε τους ποσοδείκτες µπροστά
• Να δεσµεύουν όλον τον τύπο
• Το πρόβληµα εντοπίζεται όταν οι ποσοδείκτες είναι στην µέση του τύπου.
1. Αν έχουµε ποσοδείκτες µε το ίδιο όνοµα µεταβλητής, θα πρέπει να κάνουµε
µετονοµασία στα ονόµατα, ώστε να υπάρχει µοναδική φορά σε κάθε ποσοδείκτη. Η
διαδικασία αυτή λέγεται «αλφαβητική παραλλαγή» ή «µετονοµασία σε υποτύπο»
2. Έπειτα µετατρέπουµε τα λογικά σύµβολα σε συνεπαγωγές (µε τους νόµους της
προτασιακής λογικής) και έπειτα µεταφέρουµε τους ποσοδείκτες στην αρχή του
τύπου µε τους νόµους µετακίνησης, άρνησης και κατανοµής ποσοδείκτη.
10. B. Θεωρία
2. Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή
4. Παραδείγµατα Εύρεσης Κανονικής Ποσοδεικτικής Μορφής
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1:Να βρεθεί η κανονική ποσοδείκτη µορφή του τύπου ∀x P x → ∀
Α’ τρόπος
∀x P x → ∀ (Εφαρµόζω το νόµο µετακίνησης ποσοδείκτη)
≡ ∃x P x → ∀ (Εφαρµόζω το νόµο µετακίνησης ποσοδείκτη)
≡ ∃x∀ P x →
Β’ τρόπος
∀x P x → ∀ (Εφαρµόζω το νόµο µετακίνησης ποσοδείκτη)
≡ ∀ ∀xP x → (Εφαρµόζω το νόµο µετακίνησης ποσοδείκτη)
≡ ∀ ∃x P x →
Συµπέρασµα: Η κανονική ποσοδεικτική µορφή ενός τύπου ∆ΕΝ είναι µοναδική. Η
υποχρέωση µας είναι να βρούµε µία ποσοδεικτική µορφή που προκύπτει µε σωστή
εφαρµογή νόµων λογικής.
Επίσης η σειρά των βηµάτων δεν έχει σηµασία. Επιλέγουµε έναν ποσοδείκτη και κανουµε
διαδοχικές εφαρµογές νόµων µέχρι να τον βγάλουµε να δεσµεύει όλον τον τύπο.
11. B. Θεωρία
2. Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή
4. Παραδείγµατα Εύρεσης Κανονικής Ποσοδεικτικής Μορφής
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2:Να βρεθεί η κανονική ποσοδείκτη µορφή του τύπου Q c ∨ ∀ ,
Q c ∨ ∀ , (Εφαρµόζω το νόµο διπλής άρνησης)
≡ Q c ∨ ∀ , (Εφαρµόζω 1ο νόµο αντικατάστασης)
≡ Q c → ∀ , (Εφαρµόζω το νόµο µετακίνησης ποσοδείκτη)
≡ ∀ Q c → , (Εφαρµόζω το νόµο µετακίνησης ποσοδείκτη)
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3:Να βρεθεί η κανονική ποσοδείκτη µορφή του τύπου∀ Q x ∨ ∀ ,
∀ Q x ∨ ∀ , (Αλφαβητική Παραλλαγή)
≡ ∀ Q x ∨ ∀ , (Εφαρµόζω το νόµο διπλής άρνησης)
≡ ∀ Q x ∨ ∀ , (Εφαρµόζω το 1ο νόµο αντικατάστασης)
≡ ∀ Q x → ∀ , (Εφαρµόζω το νόµο µετακίνησης ποσοδείκτη)
≡ ∀ ∀ Q x → , (Εφαρµόζω το νόµο άρνησης ποσοδείκτη)
≡ ∀ ∃ Q x → , (Εφαρµόζω το νόµο µετακίνησης ποσοδείκτη)
≡ ∀ ∀ Q x → ,
12. B. Θεωρία
2. Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή
4. Παραδείγµατα Εύρεσης Κανονικής Ποσοδεικτικής Μορφής
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 4:Να βρεθεί η κανονική ποσοδείκτη µορφή του τύπου ∃xQ x ↔
∃xQ x ↔ (Εφαρµόζω το 2ο νόµο αντικατάστασης)
≡ ∃xQ x → ∧ → ∃xQ x (Αλφαβητική Παραλλαγή)
≡ ∃xQ x → ∧ → ∃zQ z ] (Εφαρµόζω το νόµο µετακίνησης ποσοδείκτη)
≡ ∃xQ x → ∧ ∃z → Q z ] (Εφαρµόζω το νόµο µετακίνησης ποσοδείκτη)
≡ ∀x Q x → ∧ ∃z → Q z ] (Εφαρµόζω το νόµο διπλής άρνησης)
≡ ∀x Q x → ∧ ∃z → Q z ] (Εφαρµόζω το νόµο άρνησης συνεπαγωγής)
≡ ∀x Q x → → ∃z → Q z ] (Εφαρµόζω το νόµο µετακίνησης ποσοδείκτη)
≡ ∃x Q x → → ∃z → Q z ] (Εφαρµόζω το νόµο άρνησης ποσοδείκτη)
≡ ∀x Q x → → ∃z → Q z ] (Εφαρµόζω το νόµο άρνησης ποσοδείκτη)
≡ ∀x Q x → → ∀z → Q z ] (Εφαρµόζω το νόµο µετακίνησης ποσοδείκτη)
≡ ∀x ∀z Q x → → → Q z ] (Εφαρµόζω το νόµο άρνησης ποσοδείκτη)
≡ ∀x∃z Q x → → → Q z ]
13. Γ. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 1
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Η µεταβλητή x εµφανίζεται δεσµευµένη στον τύπο
2. Ο τύπος είναι πρόταση
3. Οι τύποι και είναι λογικά ισοδύναµοι
4. Οι τύποι και είναι λογικά ισοδύναµοι
( )( , ) ( , ) ( , )x z P x y Q x y yP x y∀ ∀ ∨ ∨ ∃
( )( , ) ( , ) ( , )x y P x y Q x y xQ x x∃ ∃ ∧ ¬ → ∀
( )( , ) ( , )x P x x Q x x∃ ∧ ( , ) ( , )xP x x xQ x x∃ ∧∃
( )( , ) ( , )x P x y Q x y∃ → ( , ) ( , )xP x y Q x y∀ →
16. Γ. Ασκήσεις
Εφαρµογή 3
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
Χρησιµοποιώντας τους νόµους της προτασιακής λογικής και τους νόµους των
ποσοδεικτών να δείξετε ότι αν η x δεν εµφανίζεται ελεύθερη στον ψ τότε:
∃ ∨ ≡ ∃ ∨
17. Γ. Ασκήσεις
Εφαρµογή 4
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
∆ίνεται η πρόταση φ = ∀x (P(x) → ∃y P(y)). Να βρεθεί πρόταση λογικά ισοδύναµη µε την
άρνηση της φ έτσι ώστε το σύµβολο της άρνησης ( ¬ ) να εφαρµόζεται µόνο στο
κατηγορηµατικό σύµβολο P.
18. Γ. Ασκήσεις
Εφαρµογή 5
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.5: Νόµοι Κατηγορηµατικής Λογικής
∆ώστε κανονική ποσοδεικτική µορφή του τύπου ( ) [ ( , ) ( , )]xP x y Q x y z R y z∀ → ∀ → ¬∀