1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Μη Κατευθυνόνομενο Γράφημα
2) Ορισμοί στα Μη Κατευθυνόμενα Γραφήματα
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων.
Ασκήσεις
1) Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων
1.1) Εισαγωγή
2) Υπενθυμίσεις από ΜΑΘ0.1
2.1) Δυναμοσύνολο
2.2) Σχέση Υποσυνόλου
2.3) Σχέση Γνησίου Υποσυνόλου
3) Ασκήσεις
3.1) Στοιχειώδεις προτάσεις με ποσοδείκτες
3.2) Μετάφραση στα ελληνικά
3.3) Περαιτέρω ασκήσεις
Ασκήσεις
1) Η πρωτοβάθμια γλώσσα
2) Νέα Στοιχεία σε Σχέση με την Προτασιακή γλώσσα
2.1) Τα συναρτησιακά σύμβολα
2.2) Τα κατηγορηματικά σύμβολα
2.3) Ο ποσοδείκτης για κάθε: ∀
2.4) Ο ποσοδείκτης υπάρχει: ∃
2.5) Το σύμβολο ≈
3) Το συντακτικό της Κατηγορηματικής Λογικής
3.1) Εισαγωγή
3.2) Όρος
3.3) Ατομικός Τύπος
3.4) Μη Ατομικός Τύπος
3.5) Δενδροδιάγραμμα Τύπου και Προτεραιότητα Τελεστών
3.6) Πρόταση
4) Δομές και Αποτιμήσεις
4.1) Δομή (ή Ερμηνεία)
4.2) Αποτίμηση
5) Συντομογραφίες Τύπων
5.1) Ορισμός Συντομογραφίας
5.2) Χρήση Συντομογραφίας
6) Μεταφραστικός Πίνακας
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
1) Ερμηνείες εμπνευσμένες από τον πραγματικό κόσμο
1.1) Σύμπαν με μία κατηγορία δεδομένων
1.1.1) Παραδείγματα
1.2) Σύμπαν με περισσότερες κατηγορίες δεδομένων
1.2.1) Παραδείγματα
2) Ερμηνείες των αριθμών
2.1) Σύμπαν Ακεράιων – Πραγματικών
Ασκήσεις
1) Ορισμός Αλήθειας Tarski
1.1) Ο κανόνας της ισότητας
1.2) Ο κανόνας του κατηγορηματικού συμβόλου
1.3) Ο κανόνας του μονοθέσιου συνδέσμου ¬
1.4) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∧
1.5) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∨
1.6) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου →
1.7) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ↔
1.8) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∀
1.9) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∃
2) Εύρεση Αλήθειας Τύπου
2.1) Μεθοδολογία
2.2) Παραδείγματα
3) Ικανοποιήσιμος Τύπος
3.1) Ορισμός
3.2) Παραδείγματα
4) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
4.1) Ορισμός
4.2) Παραδείγματα
5) Έγκυρος ή Λογικά Αληθής Τύπος
5.1) Ορισμός
5.2) Παραδείγματα
6) Λογική Συνεπαγωγή
6.1) Ορισμός
6.2) Παραδείγματα
Ασκήσεις
1) Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων
1.1) Εισαγωγή
2) Υπενθυμίσεις από ΜΑΘ0.1
2.1) Δυναμοσύνολο
2.2) Σχέση Υποσυνόλου
2.3) Σχέση Γνησίου Υποσυνόλου
3) Ασκήσεις
3.1) Στοιχειώδεις προτάσεις με ποσοδείκτες
3.2) Μετάφραση στα ελληνικά
3.3) Περαιτέρω ασκήσεις
Ασκήσεις
1) Η πρωτοβάθμια γλώσσα
2) Νέα Στοιχεία σε Σχέση με την Προτασιακή γλώσσα
2.1) Τα συναρτησιακά σύμβολα
2.2) Τα κατηγορηματικά σύμβολα
2.3) Ο ποσοδείκτης για κάθε: ∀
2.4) Ο ποσοδείκτης υπάρχει: ∃
2.5) Το σύμβολο ≈
3) Το συντακτικό της Κατηγορηματικής Λογικής
3.1) Εισαγωγή
3.2) Όρος
3.3) Ατομικός Τύπος
3.4) Μη Ατομικός Τύπος
3.5) Δενδροδιάγραμμα Τύπου και Προτεραιότητα Τελεστών
3.6) Πρόταση
4) Δομές και Αποτιμήσεις
4.1) Δομή (ή Ερμηνεία)
4.2) Αποτίμηση
5) Συντομογραφίες Τύπων
5.1) Ορισμός Συντομογραφίας
5.2) Χρήση Συντομογραφίας
6) Μεταφραστικός Πίνακας
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
1) Ερμηνείες εμπνευσμένες από τον πραγματικό κόσμο
1.1) Σύμπαν με μία κατηγορία δεδομένων
1.1.1) Παραδείγματα
1.2) Σύμπαν με περισσότερες κατηγορίες δεδομένων
1.2.1) Παραδείγματα
2) Ερμηνείες των αριθμών
2.1) Σύμπαν Ακεράιων – Πραγματικών
Ασκήσεις
1) Ορισμός Αλήθειας Tarski
1.1) Ο κανόνας της ισότητας
1.2) Ο κανόνας του κατηγορηματικού συμβόλου
1.3) Ο κανόνας του μονοθέσιου συνδέσμου ¬
1.4) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∧
1.5) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∨
1.6) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου →
1.7) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ↔
1.8) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∀
1.9) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∃
2) Εύρεση Αλήθειας Τύπου
2.1) Μεθοδολογία
2.2) Παραδείγματα
3) Ικανοποιήσιμος Τύπος
3.1) Ορισμός
3.2) Παραδείγματα
4) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
4.1) Ορισμός
4.2) Παραδείγματα
5) Έγκυρος ή Λογικά Αληθής Τύπος
5.1) Ορισμός
5.2) Παραδείγματα
6) Λογική Συνεπαγωγή
6.1) Ορισμός
6.2) Παραδείγματα
Ασκήσεις
1) Επίπεδο Γράφημα
1.1) Ορισμοί Επίπεδων Γραφημάτων
1.2) Το άθροισμα των Βαθμών των όψεων ≤ 2m
1.3) Ο τύπος του Euler
2) Το θεώρημα Kuratowski
2.1) Το Κ5 δεν είναι επίπεδο
2.2) Το Κ3,3 δεν είναι επίπεδο
2.3) Ομοιομορφικά Γραφήματα
2.4) Το θεώρημα του Kuratowski
3) Δύο ακόμη Θεωρήματα
Ασκήσεις
1) Ισομορφισμοί Γραφημάτων
1.1) Ισομορφικά Γραφήματα
1.2) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα είναι ισομορφικά
1.3) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά
1.4) Αποδείξεις Αναλλοίωτων Ιδιοτήτων
2) Συμπληρωματικοί Ορισμοί
2.1) Αυτομορφισμός
2.2) Αυτοσυμπληρωματικό Γράφημα
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ)
1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ
2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη
2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων
2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens
2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3
2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1
2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2
2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3
2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική
2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική
2.4) Τυπικά Θεωρήματα
2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές
3) Μεθοδολογία
3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική
3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική
Ασκήσεις
1) Διανομή σε Υποδοχές
1.1) Διανομή Ομοίων Αντικειμένων σε Υποδοχές
1.2) Διανομή Διαφορετικών Αντικειμένων Χωρίς Σειρά σε Υποδοχές
1.3) Διανομή Διαφορετικών Αντικειμένων Με Σειρά σε Υποδοχές
2) Γνωστά Προβλήματα Διατάξεων
2.1) Εξίσωση
3) Μεθοδολογία Ασκήσεων
3.1) Διανομή Ομάδων Ομοίων
3.2) Διανομή Ομοίων με Περιορισμό
3.3) Διάταξη με Εμφύτευση Υποδοχών
Ασκήσεις
1) Κύκλος Hamilton
1.1) Ορισμός Κύκλου Hamilton
1.2) Πως δείχνουμε ότι ένα γράφημα έχει κύκλο Hamilton (κατασκευαστικές, θεώρημα Dirac, θεώρημα Ore)
1.3) Πως δείχνουμε ότι ένα γράφημα δεν έχει κύκλο Hamilton (Απόδειξη εξαντλητικής περιπτωσιολογίας).
Ασκήσεις
1) Σύνολο Τύπων
1.1) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
1.2) Μη Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
2) Ταυτολογική Συνεπαγωγή
2.1) Συμβολισμός της ταυτολογίας
3) Ταυτολογικά Ισοδύναμοι Τύποι
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Μη Κατευθυνόνομενο Γράφημα
2) Ορισμοί στα Μη Κατευθυνόμενα Γραφήματα
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων.
Ασκήσεις
1) Επίπεδο Γράφημα
1.1) Ορισμοί Επίπεδων Γραφημάτων
1.2) Το άθροισμα των Βαθμών των όψεων ≤ 2m
1.3) Ο τύπος του Euler
2) Το θεώρημα Kuratowski
2.1) Το Κ5 δεν είναι επίπεδο
2.2) Το Κ3,3 δεν είναι επίπεδο
2.3) Ομοιομορφικά Γραφήματα
2.4) Το θεώρημα του Kuratowski
3) Δύο ακόμη Θεωρήματα
Ασκήσεις
1) Ισομορφισμοί Γραφημάτων
1.1) Ισομορφικά Γραφήματα
1.2) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα είναι ισομορφικά
1.3) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά
1.4) Αποδείξεις Αναλλοίωτων Ιδιοτήτων
2) Συμπληρωματικοί Ορισμοί
2.1) Αυτομορφισμός
2.2) Αυτοσυμπληρωματικό Γράφημα
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ)
1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ
2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη
2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων
2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens
2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3
2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1
2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2
2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3
2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική
2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική
2.4) Τυπικά Θεωρήματα
2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές
3) Μεθοδολογία
3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική
3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική
Ασκήσεις
1) Διανομή σε Υποδοχές
1.1) Διανομή Ομοίων Αντικειμένων σε Υποδοχές
1.2) Διανομή Διαφορετικών Αντικειμένων Χωρίς Σειρά σε Υποδοχές
1.3) Διανομή Διαφορετικών Αντικειμένων Με Σειρά σε Υποδοχές
2) Γνωστά Προβλήματα Διατάξεων
2.1) Εξίσωση
3) Μεθοδολογία Ασκήσεων
3.1) Διανομή Ομάδων Ομοίων
3.2) Διανομή Ομοίων με Περιορισμό
3.3) Διάταξη με Εμφύτευση Υποδοχών
Ασκήσεις
1) Κύκλος Hamilton
1.1) Ορισμός Κύκλου Hamilton
1.2) Πως δείχνουμε ότι ένα γράφημα έχει κύκλο Hamilton (κατασκευαστικές, θεώρημα Dirac, θεώρημα Ore)
1.3) Πως δείχνουμε ότι ένα γράφημα δεν έχει κύκλο Hamilton (Απόδειξη εξαντλητικής περιπτωσιολογίας).
Ασκήσεις
1) Σύνολο Τύπων
1.1) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
1.2) Μη Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
2) Ταυτολογική Συνεπαγωγή
2.1) Συμβολισμός της ταυτολογίας
3) Ταυτολογικά Ισοδύναμοι Τύποι
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Μη Κατευθυνόνομενο Γράφημα
2) Ορισμοί στα Μη Κατευθυνόμενα Γραφήματα
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων.
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
- The document discusses strategies for improving an organization's performance including restructuring departments, improving processes, and training employees.
- Key recommendations include consolidating overlapping roles, streamlining procedures, and providing skills development opportunities for staff.
- The changes aim to gain efficiencies, reduce costs, and boost productivity across the organization.
1) Ισοδυναμία Γραμματικής Χ.Σ. με Αυτόματο Στοίβας
1.1) Μετατροπή Γραμματικής Χ.Σ. σε Αυτόματο Στοίβας
1.2) Μετατροπή Αυτομάτου Στοίβας σε Γραμματική Χ.Σ.
2) Κλειστότητα στις Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα
2.1) Κλειστότητα στην Ένωση
2.2) Κλειστότητα στην Παράθεση
2.3) Κλειστότητα στο Αστέρι Kleene
2.4) ΌΧΙ κλειστότητα στο συμπλήρωμα
2.5) ΌΧΙ κλειστότητα στην τομή
Ασκήσεις
1) Κλειστότητα των Κανονικών Γλωσσών
1.1) Κλειστότητα στην Ένωση
1.2) Κλειστότηα στην Παράθεση
1.3) Κλειστότητα στο Αστέρι Kleene
1.4) Κλειστότητα στο Συμπλήρωμα
1.5) Κλειστότητα στην Τομή
1.5.1) Απλοποίηση ΝΠΑ
2) Επιπλέον Κατασκευές
2.1) Κατασκευή ΝΠΑ για την Ένωση
2.2) Κατασκευή ΝΠΑ για την Διαφορά
1) Απαριθμησιμότητα
1.1) Σκεπτικό: Η Μηχανή Turing ως απαριθμητής
1.2) Λεξικογραφικά Turing Απαριθμήσιμες Γλώσσες
1.3) Θεώρημα: Αποφασίσιμες=Λεξικογραφικά Απαριθμήσιμες
1.4) Turing-Απαριθμήσιμες Γλώσσες
1.5) Θεώρημα: Αποδεκτές=Απαριθμήσιμες
2) Διαγωνοποίηση
2.1) Τα δύο άπειρα
2.2) Απόδειξη ότι ένα σύνολο είναι μετρήσιμα άπειρο
2.3) Απόδειξη ότι ένα σύνολο δεν είναι μετρήσιμα άπειρο
Ασκήσεις
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Εισαγωγικοί Ορισµοί
1. Μη Κατευθυνόνοµενο Γράφηµα
2. Ορισµοί στα Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
2. Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
1. Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
2. Ερµηνείες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
1. Μετάφραση στα Ελληνικά
2. Μετάφραση στα Κατηγορηµατικά
3. Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
4. Εύρεση Ερµηνείας που ικανοποιεί δεδοµένη πρόταση
5. Συντοµογραφίες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων.
Γ.Ασκήσεις
1. Ερωτήσεις
2. Θέµατα Εξετάσεων
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Επίπεδο Α
Όλο το µάθηµα είναι απόλυτα SOS για τις τελικές εξετάσεις.
Επίπεδο Β
(-)
Επίπεδο Γ
(-)
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
4. B. Θεωρία
1. Ορισµοί Μη Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
1. Μη Κατευθυνόµενο Γράφηµα
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Ορισµός: Ένα Μη Κατευθυνόµενο Γράφηµα είναι µία διατεταγµένη δυάδα V, E
όπου:
• είναι το σύνολο των κορυφών: , , … ,
• E είναι το σύνολο των ακµών: E , , … ,
• Κάθε ακµή συνδέει δύο κορυφές, δηλαδή , ή , µε
, ∈ V για κάθε 1, … ,
• Η ακµή θεωρείται µη διατεταγµένη (δηλαδή η ακµή , είναι ίδια µε την
ακµή , ), δηλαδή δεν υπάρχει κατεύθυνση.
Παράδειγµα: , όπου:
, ,
Ε , ,[ , , ,
Σχηµατική
Απεικόνιση:
Παράδειγµα: , όπου:
, , ,
Ε , , ,
Σχηµατική
Απεικόνιση:
5. B. Θεωρία
1. Ορισµοί Μη Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
2. Συµπληρωµατικοί Ορισµοί
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Συµπληρωµατικοί Ορισµοί για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
• Θα χρειαστούµε τους ακόλουθους ορισµούς στις προτάσεις κατηγορηµατικής
λογικής που θα ακολουθήσουν:
• Απλό Γράφηµα: Γράφηµα χωρίς ανακυκλώσεις και παράλληλες ακµές
• Πλήρες Γράφηµα (ή Κλίκα): Απλό Γράφηµα που περιέχει όλες τις δυνατές
ακµές.
• Μονοπάτι: είναι ακολουθία διαδοχικών µη κατευθυνόµενων ακµών (απλό ή µη
απλό µονοπάτι)
• Κύκλος: είναι κλειστό µονοπάτι (απλός ή µη απλός κύκλος)
• Βαθµός Μιας Κορυφής: Πλήθος ακµών που προσπίπτουν στην κορυφή.
• Αποµονωµένη Κορυφή: Κορυφή η οποία δεν συνδέεται µε άλλες κορυφές
6. B. Θεωρία
2. Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
1. Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Ορισµός: Ορίζουµε τη γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων να
συµπεριλαµβάνει ερµηνείες που περιλαµβάνουν τα εξής στοιχεία:
• Το σύµπαν είναι το σύνολο κορυφών |Α|={1,2,H,n} (Γράφηµα µε n κορυφές)
• Το κατηγορηµατικό σύµβολο P(x,y) είναι αληθές αν υπάρχει η µη κατευθυνόµενη
ακµή που συνδέει τις κορυφές x και y.
Σηµαντικό! Μία συγκεκριµένη ερµηνεία της γλώσσας είναι ένα συγκεκριµένο µη κατευθυνόµενο
γράφηµα:
Παράδειγµα:
Η ερµηνεία Α
|Α| , , , ,
!"
, , , , , ), , ) , , ), , )
}
Αντιστοιχεί στο γράφηµα µε 4 κορυφές και τις µη κατευθυνόµενες
ακµές του !"
όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα
Παρατήρηση: Η µη κατευθυνόµενη ακµή [x,y] δηλώνεται στο !"
µέσω των ζευγών (x,y) και (y,x)
!!! Συνήθως στην εκφώνηση των ασκήσεων αναφέρεται ότι εργαζόµαστε σε απλά γραφήµατα !!!
7. B. Θεωρία
2. Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόµενων Γραφηµάτων
2. Ερµηνείες της Γλωσσας των Μ.Κ.Γ.
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Στο παρακάτω σχήµα βλέπουµε 6 ερµηνείες (γραφήµατα) µε σύµπαν 4 κορυφών:
Υπάρχουν 6 δυνατές ακµές. Κάθε ακµή υπάρχει ή δεν υπάρχει στο γράφηµα, άρα
υπάρχουν 2%
δυνατά γραφήµατα. Γενικεύοντας υπάρχουν &
'
( γραφήµατα ) κορυφών.
8. B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μ.Κ.Γ.
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Μία πρόταση κατηγορηµατικής λογικής στην ερµηνεία αυτή εκφράζει µία
γραφοθεωρητική ιδιότητα. Συνεπώς ως µορφή άσκησης ζητείται :
1. Να µεταφράσουµε µία πρόταση της κατηγορηµατικής λογικής στα ελληνικά.
2. Να εκφράσουµε µία πρόταση των ελληνικών σε κατηγορηµατική λογική.
3. Να βρούµε αν αληθεύει µια πρόταση κατηγορηµατικής λογικής σε ένα
συγκεκριµένο γράφηµα.
4. Να βρούµε ένα γράφηµα στο οποίο αληθεύει ένας ή περισσότεροι τύποι.
5. Να γράψουµε συντοµογραφίες και να τις χρησιµοποιήσουµε για να γράψουµε
περίπλοκες προτάσεις
Βασικό µας εργαλείο παραµένει ο µεταφραστικός πίνακας, όπου τώρα το «στοιχείο»
µεταφράζεται σε «κορυφή» και το κατηγόρηµα P(x,y) εκφράζει ότι οι κορυφές x και y
συνδεόνται µε ακµή
9. B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μ.Κ.Γ.
1. Μετάφραση στα Ελληνικά
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Μετάφραση από Κατηγορηµατική Λογική στα Ελληνικά
Και πάλι το βασικό µας εργαλείο είναι ο µεταφραστικός πίνακας και η πρόταση
µεταφράζεται «από έξω προς τα µέσα»
• Πρώτα εξωτερικοί ποσοδείκτες
• Μετά το πεδίο εφαρµογής αναδροµικά κ.λπ.
Στο µυαλό µας έχουµε:
• Μία µεταβλητή αντιστοιχίζεται σε στοιχείο του σύµπαντος, άρα σε κορυφή
• Το κατηγόρηµα P(x,y) αληθεύει αν οι κορυφές x,y συνδέονται µε ακµή. Είναι
σηµαντικό ότι εδώ δεν έχουµε πρόβληµα µε το διάβασµα της σειράς των ορισµάτων
διότι αν η x συνδέεται µε την y, τότε και η y συνδέεται µε την x. Συνεπώς το
κατηγόρηµα P(x,y) µπορεί να διαβαστεί:
• Η x συνδέεται µε την y.
• Η y συνδέεται µε την x.
Η µετάφραση µιας πρότασης θα εκφράζει µια ιδιότητα γραφηµάτων!
10. B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μ.Κ.Γ.
1. Μετάφραση στα Ελληνικά
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Άσκηση 1: Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P.
Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα όπου το σύµπαν είναι οι
κορυφές του γραφήµατος και το διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P(x, y) ερµηνεύεται µε τη
σχέση όλων των ζευγών κορυφών που συνδέονται µε ακµή.
1. ∀+∀,! +, ,
2. ∀+∀, + - , → ! +, ,
3. ∀+∃,∃0 ! +, , ∧ ! +, 0 ∧ , - 0
4. ∃+∀, + - , → ! +, ,
5. ∀+∃,! +, ,
6. ∃+ ∀,2! +, , ∧ ∀0 ∀,2! 0, , → + 3 0
11. B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μ.Κ.Γ.
2. Μετάφραση σε Κατηγορηµατική λογική
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Μετάφραση από τα Ελληνικά στην Κατηγορηµατική Λογική
Το στήσιµο της πρότασης από τα ελληνικά στην κατηγορηµατική λογική γίνεται από
έξω προς τα µέσα, δηλαδή:
• Εντοπίζουµε τους εξωτερικούς ποσοδείκτες που καθορίζουν το νόηµα της πρότασης
• Εξειδικεύουµε µε τους συνδέσµους και γράφουµε τις υπο-προτάσεις.
Η διαδικασία λοιπόν είναι όµοια µε αυτά που είδαµε και σε άλλες ερµηνείες.
Η επόµενη άσκηση είναι σηµαντική γιατί εκφράζει τις βασικές ιδιότητες που είδαµε ότι
ορίζονται στα κατευθυνόµενα γραφήµατα:
• Μονοπάτια (απλά και µη απλά)
• Κύκλοι (απλοί και µη απλοί)
• Πλήρες Γράφηµα
Οι έννοιες των βαθµών κορυφής και της αποµονωµένης κορυφής εκφράζονται µέσω
συντοµογραφιών που θα δούµε αµέσως µετά.
12. B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μ.Κ.Γ.
2. Μετάφραση σε Κατηγορηµατική Λογική
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Άσκηση 2: Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P.
Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα όπου το σύµπαν είναι οι
κορυφές του γραφήµατος και το διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P(x, y) ερµηνεύεται µε τη
σχέση όλων των ζευγών κορυφών που συνδέονται µε ακµή.
1. Υπάρχει µονοπάτι µήκους 2
2. Υπάρχει απλό µονοπάτι µήκους 2
3. Υπάρχει κύκλος µήκους 3
4. Υπάρχει απλός κύκλος µήκους 3
5. Το γράφηµα είναι πλήρες
6. Υπάρχει µοναδική αποµονωµένη κορυφή
7. Κάθε κορυφή ανήκει σε κύκλο µήκους 3.
13. B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μ.Κ.Γ.
3. Εύρεση αλήθειας προτάσεων
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
Όπως είδαµε και από τα προηγούµενα παραδείγµατα µία πρόταση κατηγορηµατικής
λογικής στη γλώσσα αυτή, εκφράζει µια ιδιότητα γραφηµάτων.
• Άρα το αν είναι αληθής ή ψευδής εξαρτάται από την ερµηνεία (=συγκεκριµένο
γράφηµα).
Συνεπώς στην άσκηση αυτή, µας δίδονται:
• Μία πρόταση ΚΛ
• και ένα (ή περισσότερα) συγκεκριµένα γραφήµατα
Στην περίπτωση αυτή:
• Μεταφράζουµε την πρόταση κατηγορηµατικής λογικής και
• Μελετώντας το γράφηµα αποφασίζουµε αν είναι αληθής ή ψευδής.
14. B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μ.Κ.Γ.
3. Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Άσκηση 3: Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P.
Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα όπου το σύµπαν είναι οι
κορυφές του γραφήµατος και το διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P(x, y) ερµηνεύεται µε τη
σχέση όλων των ζευγών κορυφών που συνδέονται µε ακµή.
∆εδοµένων των εξής γραφηµάτων:
Εξετάστε αν αληθεύουν οι τύποι:
1. ∀+∀, + - , → ∃0 ! +, 0 ∧ ! 0, , ∧ + - 0 ∧ , - 0
2. ∀+∃,∃0 ! +, , ∧ ! +, , ∧ + - , ∧ + - 0 ∧ , - 0
3. ∃+∃,∃0 ! +, , ∧ 2! +, 0 ∧ + - , ∧ + - 0 ∧ , - 0
15. B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μ.Κ.Γ.
4. Εύρεση ερµηνείας που ικανοποιεί τύπο
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Σε αυτό τον τύπο άσκησης:
• Μας δίνονται ένας ή περισσότεροι τύποι κατηγορηµατικής λογικής
• Μας ζητείται να βρούµε ερµηνεία που κάνει αληθείς όλους τους τύπους του
συνόλου.
Στην περίπτωση αυτή µεταφράζουµε τις προτασεις, βρίσκουµε τις ιδιότητες και
κατασκευαζουµε ένα γράφηµα που ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες που έχουµε.
16. B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μ.Κ.Γ.
4. Εύρεση Ερµηνείας που ικανοποιεί τύπο
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Ασκηση 4: Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P.
Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα όπου το σύµπαν είναι οι
κορυφές του γραφήµατος και το διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P(x, y) ερµηνεύεται µε τη
σχέση όλων των ζευγών κορυφών που συνδέονται µε ακµή.
Να βρεθεί µια ερµηνεία της γλώσσας αυτής που να αληθεύουν ταυτόχρονα οι παρακάτω τύποι:
1. ∃+∃, + - , ∧ ∀5 5 3 + ∨ 5 3 ,
2. ∃+2∃,P x, y
17. B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μ.Κ.Γ.
5. Συντοµογραφίες στα Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Σηµαντικές Συντοµογραφίες στα Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
Ορίζουµε τις ακόλουθες συντοµογραφίες (απ’ευθείας στο τυπολόγιο) για να µπορούµε
να κατασκευάζουµε εύκολα τύπους που έκφραζουν αυτές τις ιδότητες:
• Την συντοµογραφία K(x) να αληθεύει αν η x είναι αποµονωµένη
: + ≡ 2∃, ! +, ,
• Την συντοµογραφία deg? + να αληθεύει αν η κορυφή x έχει βαθµό 0
@ A? + ≡ ∀, 2! +, ,
• Την συντοµογραφία degB + να αληθεύει αν η κορυφή x έχει βαθµό τουλ. 1
degB + ≡ ∃, ! +, ,
• Την συντοµογραφία deg + να αληθεύει αν η κορυφή x έχει βαθµό 1
deg + ≡ ∃, ! +, , ∧ ∀0 ! +, 0 → 0 3 ,
• Την συντοµογραφία degC + να αληθεύει αν η κορυφή x έχει βαθµό το πολύ 1
degC + ≡ @ A? + ∨ deg +
• Την συντοµογραφία degB + να αληθεύει αν η κορυφή x έχει βαθµό τουλ. 2
degB + ≡ ∃,∃0 ! +, , ∧ ! +, 0 ∧ , - 0
• Την συντοµογραφία deg + να αληθεύει αν η κορυφή x έχει βαθµό 2
deg + ≡ ∃,∃0 ! +, , ∧ ! +, 0 ∧ , - 0 ∧ ∀5 ! +, 5 → 5 3 , ∨ 5 3 0
18. B. Θεωρία
3. Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μ.Κ.Γ.
5. Συντοµογραφίες στα Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Ασκηση 5: Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P.
Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα όπου το σύµπαν είναι οι
κορυφές του γραφήµατος και το διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P(x, y) ερµηνεύεται µε τη
σχέση όλων των ζευγών κορυφών που συνδέονται µε ακµή.
1. Όλες οι κορυφές έχουν βαθµό τουλάχιστον 2
2. Υπάρχει µοναδική κορυφή µε βαθµό 2
3. Υπάρχουν τουλάχιστον 2 κορυφές µε βαθµό το πολύ 1
4. Υπάρχει το πολύ µία κορυφή µε βαθµό τουλάχιστον 2
5. Υπάρχει µοναδική κορυφή µε βαθµό ακριβώς 3
19. Γ. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 1
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P.
Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα όπου το σύµπαν
είναι οι κορυφές του γραφήµατος και το διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P(x, y)
ερµηνεύεται µε τη σχέση όλων των ζευγών κορυφών που συνδέονται µε ακµή. Οι
παρακάτω προτάσεις αληθεύουν στο γράφηµα του σχήµατος:
1. ∀+∃,∃0 ! +, , ∧ ! +, 0 ∧ , - 0
2. ∀,∀0! ,, 0 → ∃,∃0! ,, 0
3. ∃+∀, + - , → ! +, ,
4. ∀+∀, + - , → ! +, ,
20. Γ. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 2
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P.
Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα όπου το σύµπαν
είναι οι κορυφές του γραφήµατος και το διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P(x, y)
ερµηνεύεται µε τη σχέση όλων των ζευγών κορυφών που συνδέονται µε ακµή. Οι
παρακάτω προτάσεις αληθεύουν στο γράφηµα του σχήµατος:
1. ∃+∃,! +, ,
2. ∃+∃,2! +, ,
3. ∃+2∃,! +, ,
4. 2∃+∃,! +, ,
21. Γ. Ασκήσεις
Θέµα Εξετάσεων 2008Α
21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 3.8: Η γλώσσα των µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων
Θεωρούµε την γλώσσα της κατηγορηµατικής λογικής που ορίζεται σε µη κατευθυνόµενα απλά γραφήµατα και
περιλαµβάνει ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P και δύο µονοµελή A και M . Το ( , )P x y ερµηνεύεται µε τη σχέση
όλων των ζευγαριών κορυφών που συνδέονται µε ακµή ενώ το ( )A x (αντιστοίχως, ( )M x ) δηλώνει ότι η κορυφή x είναι
άσπρη (αντιστοίχως µαύρη).
1. Χρησιµοποιώντας τα ( )A x και ( )M x , δώστε ένα τύπο 1ϕ που να δηλώνει «κάθε κορυφή είναι µονοχρωµατική
δηλαδή έχει ένα και µόνο χρώµα».
2. Χρησιµοποιώντας τα ( , )P x y , ( )A x και ( )M x , δώστε ένα τύπο 2ϕ που να δηλώνει «κάθε κορυφή είναι
µονοχρωµατική και γειτονεύει µε κορυφές διαφορετικού χρώµατος από αυτή».
3. Όπως παραπάνω µε τον τύπο 3ϕ να δηλώνει τώρα «κάθε κορυφή είναι µονοχρωµατική και κάθε αποµονωµένη κορυφή
του γραφήµατος είναι µαύρη».
4. ∆ώστε δοµή µε 6 κορυφές που να επαληθεύει τους τύπους των (2) και (3) ταυτόχρονα.