конспект уроку. вектори

1. 8 клас
Геометрія
Тема. Вектори. Розв’язування вправ
Робота в малих групах
Вчитель Роман Л.В.
]
Тема. Вектори. Розв’язування вправ

2. Тип уроку. Систематизація і узагальнення знань
Очікувані результати.
Протягом уроку учні зможуть:
- систематизувати і узагальнити вивчене,
- розв’язувати геометричні, алгебраїчні та фізичні задачі за допомогою векторів;
- підготуватися до контрольної роботи;
- розвинути вміння співпрацювати.
Орієнтовний план і методи проведення уроку
1. Оголошення теми та визначення очікуваних результатів уроку (2 хв.).
2. Актуалізація опорних знань (вправа "незакінчені речення") (9 хв.).
3. Розв’язування задач, запропонованих вчителем (колективно) (7 хв.).
4. Розв’язування задач (робота в малих групах, представлення і обговорення результатів
роботи) (20 хв.).
5. Підбиття підсумків (бесіда) (7 хв.).
Організація навчальної діяльності учнів
1. Оголошення теми та визначення очікуваних результатів.
Вчитель запитує в учнів про труднощі, які виникли в ході виконання домашнього
завдання. Далі вчитель пояснює, що робитимуть учні на уроці та оголошує очікувані
результати.
2. Актуалізація опорних знань.
Вчитель пропонує повторити вивчений матеріал з теми “Вектори” за допомогою
вправи “незакінчені речення”.
1. Дано точки А (4;3); В (-1;2). Координати вектора AB ...
2. Вектори, задані своїми координатами колінеарні, якщо ...
3. Інша умова колінеарності векторів така ...
4. Абсолютна величина вектора - це ...
5. Якщо вектор a (3;1), то його абсолютна величина ...
6. Запис 2
1 x+ з векторної точки зору можна пояснити так ...
7. Сума векторів OB ; OA і OC дорівнює ...
8. Сума векторів a (3;0) і b (4;2) ...
9. Протилежними називаються вектори ...
10. Координати протилежних векторів ...
11. Вектор a помножили на число k. Абсолютна величина вектора k a ...
12. Добуток 3 )1;5( − дорівнює ...
13. а) Вектор MP через вектори PN і PK виражають так ...
б) Вектор NK через вектори PN і PK виражають так ...
14. Якщо BK=KC, то вектор AK через вектори
AB і AC виразиться так …
2
ДА
С
О
KM
N P
K
B
CA
. Д
О
С

3. 15. Якщо ОД=
4
1
СО, то ОД через СД виражається так ...
16. Якщо ДК=
7
1
ДА, РС=
4
3
ДС, то вектор PK
через вектори ДА і ДС виразиться так ...
17. Означення скалярного добутку векторів формулюється так …
18. Скалярний добуток векторів a (-2;4) і b (2;0) дорівнює … Тому кут між векторами …
19. Щоб довести перпендикулярність векторів, треба …
20. Косинус кута між векторами може набувати значень …
21. Скалярний добуток векторів a і b та добуток їх модулів порівнюється так …
22. Скалярний квадрат вектора m дорівнює …
3. Розв’язування задач, запропонованих вчителем. Учні повторюють, які
типи задач розв’язували за допомогою векторів:
1) доведення паралельності прямих;
2) доведення належності трьох точок одній прямій;
3) знаходження довжини відрізків;
4) доведення перпендикулярності прямих;
5) знаходження величини кута.
Задача 1.
Дано точки А (1;1); В (2;3); С (0;4); Д (-1;2). Довести, що АВСД - прямокутник.
Запитання 1) Як довести, що чотирикутник є прямокутником? (Показати, що він
паралелограм і має прямий кут або рінві діагоналі).
2) Як за допомогою векторів довести, що АВСД - паралелограм?
І спосіб
Довести колінеарність векторів, розташованих на протилежних сторонах.
ІІ спосіб
Довести, що вектори, розташовані на двох протилежних сторонах рівні або протилежні.
ІІІ спосіб
Довести, що абсолютні величини векторів, розташованих на обох парах протилежних
сторін, рівні.
Усно учні доводять, що АВСД - паралелограм, вибравши один із способів.
3) Як за допомогою векторів довести, що ∠ АВС - прямий?
Розглядають вектори ВА і ВС та доводять, що їх скалярний добуток дорівнює нулю.
4) Як за допомогою векторів довести, що діагоналі паралелограма АВСД
рівні?
Доведення обраним способом учні проводять усно.
Задача 2.
(Вчитель розв’язує за допомогою учнів)
Довести, що 1+ab ≤ 2
1 a+ 2
1 b+ , де а і b - дійсні числа.
Векторний спосіб доведення нерівностей грунтується на означенні скалярного добутку
векторів та його властивостях.
Знайдемо скалярний добуток векторів x та y
x y = / x / / y / cos γ
Враховуючи, що / cos γ / ≤1, маємо x y ≤ / x // y /
Розглянемо вектори x (1;а) та y (1;b)
x y = 1+ ab; / x /= 2
1 a+ ; / y /= 2
1 b+
3
CД
A B
P

4. Звідси, 1+ab ≤ 2
1 a+ 2
1 b+
(Хто хоче, може вдома довести таку нерівність:
))(( abca ++ ≥ ab + cd , a, b, c, d - невід’ємні числа).
Задача 3.
Всім добре відома байка Крилова “Лебідь, рак та щука”. Спробуємо дати відповідь на
запитання “Чому віз не зрушив з місця” з точки зору геометрії. (Задача розв’язується усно за
малюнком).
F = 1F + 2F + 3F
2F + 3F = R
1F = - 2R
1F + 2F + 3F = 1F + R = - R + R = 0
З точки зору фізики взаємодія всіх трьох сил 1F ,
2F , 3F , які діють на віз (точку прикладання сил), компенсується, або дорівнює нулю,
тобто не виникає прискорення і віз залишається нерухомим.
4. Робота в малих групах
Учні об’єднуються у групи по 5 чоловік.
Перша група-експерти (сильні учні). Решта груп-гетерогенні. У експертів завдання
підвищеної складності, решта груп мають однакові завдання. Кожна група одержує набір
завдань для кожного учня, правила роботи в групах, листок оцінювання. Групи працюють за
такою схемою. Спільно розв’язують завдання. Представники тієї групи, яка швидше
справилась, відтворюють розв’язання на дошці і представляють його. Після аналізу записів
іншими групами та експертами, всі учні занотовують розвя’зання у зошит.
Завдання групам
Експерти
Доведіть, за допомогою векторів, що в трикутнику АВС ( ∠ С=900
) зі сторонами АС=а,
ВС=а 2 , медіани, проведені з вершин А і С, взаємно перпендикулярні.
Розв’язання.
І спосіб (Векторний).
Виберемо базисні вектори СА і СВ . Виразимо потрібні
нам
вектори СМ і AN через базисні.
СМ =
2
1
(СА +СВ )
AN =
2
1
СВ –СА
Знайдемо скалярний добуток векторів СМ і AN .
4
..В і з Щ у к а
Л е б і д ь
Р а к
R
F 2
F 1
F 3
N
A
BC
M
a
a  2

5. СМ AN =
2
1
(СА +СВ ) (
2
1
СВ –СА )=
2
1
(
2
1
СА СВ +
2
1
СВ
2
–СА
2
–
СВ СА )=
2
1
(0+
2
1
/СВ /2
–/СА /2
–0)=
4
1
(а 2 )2
–
2
1
а2
=0
Звідси СМ ⊥ AN . Отже, медіани AN і CM перпендикулярні.
ІІ спосіб (Векторно-координатний).
Виберемо систему координат так, щоб точка С була
початком координат, а катети лежали на осях
координат. Запишемо координати потрібних нам
точок:
С(0;0); А(0;а); N(
2
2a
;0); М(
2
2a
;
2
a
).
Запишемо координати потрібних нам векторів
СМ і AN .
СМ (
2
2a
;
2
a
); AN (
2
2a
;-а).
Знайдемо скалярний добуток цих векторів
AN СМ =
4
22
a
–
2
2
a
=0
Ця рівність означає, що вектори AN і СМ перпендикулярні, тобто медіани AN і CM
взаємноперпендикулярні.
Завдання іншим групам
На сторонах MK і MT трикутника MKT вибрано точки А і В так, що МА=
5
1
АК і МВ=
5
1
ВТ. За допомогою векторів доведіть, що прямі АВ і КТ паралельні.
Розв’язання.
Виразимо вектори AB і KT через вектори MK і MT.
KT = MT – MK ;
MA =
6
1
MK ; MB =
6
1
MT ;
AB = MA – MB =
6
1
MT –
6
1
MK =
6
1
( MT – MK )=
6
1
KT .
З векторної рівності AB =
6
1
KT випливає, що вектори AB і KT колінеарні. Отже,
прямі АВ і КТ паралельні.
5. Підбиття підсумків
1. Учні оцінюють свою роботу в групах, заповнюючи листок оцінювання.
2. Завдання додому є в кожного учня на листку.
3. Запитання до учнів:
1) Чи досягли ми поставлених цілей ?
2) Що ви відчували під час уроку ?
5
N
A
BC
M
a
a  2
x
y
M
BA
K T

6. Показники Завжди Звичайно Іноді Ніколи
Ми перевіряли, чи всі учасники групи розуміють, що
потрібно зробити
Ми відповідали на питання, даючи пояснення, коли це було
необхідно
Ми з’ясовували те, що було нам незрозуміло
Ми допомагали один одному, з тим, щоб всі могли зрозуміти
і застосовувати на практиці інформацію, що ми отримали
Ми надавали можливість всім взяти участь в обговоренні,
прийнятті рішення та представленні результатів роботи групи
Показники Завжди Звичайно Іноді Ніколи
Ми перевіряли, чи всі учасники групи розуміють, що
потрібно зробити
6

7. Ми відповідали на питання, даючи пояснення, коли це було
необхідно
Ми з’ясовували те, що було нам незрозуміло
Ми допомагали один одному, з тим, щоб всі могли зрозуміти
і застосовувати на практиці інформацію, що ми отримали
Ми надавали можливість всім взяти участь в обговоренні,
прийнятті рішення та представленні результатів роботи групи
Показники Завжди Звичайно Іноді Ніколи
Ми перевіряли, чи всі учасники групи розуміють, що
потрібно зробити
Ми відповідали на питання, даючи пояснення, коли це було
необхідно
Ми з’ясовували те, що було нам незрозуміло
Ми допомагали один одному, з тим, щоб всі могли зрозуміти
і застосовувати на практиці інформацію, що ми отримали
Ми надавали можливість всім взяти участь в обговоренні,
прийнятті рішення та представленні результатів роботи групи
Показники Завжди Звичайно Іноді Ніколи
Ми перевіряли, чи всі учасники групи розуміють, що
потрібно зробити
Ми відповідали на питання, даючи пояснення, коли це було
необхідно
Ми з’ясовували те, що було нам незрозуміло
Ми допомагали один одному, з тим, щоб всі могли зрозуміти
і застосовувати на практиці інформацію, що ми отримали
Ми надавали можливість всім взяти участь в обговоренні,
прийнятті рішення та представленні результатів роботи групи
Показники Завжди Звичайно Іноді Ніколи
Ми перевіряли, чи всі учасники групи розуміють, що
потрібно зробити
Ми відповідали на питання, даючи пояснення, коли це було
необхідно
Ми з’ясовували те, що було нам незрозуміло
Ми допомагали один одному, з тим, щоб всі могли зрозуміти
і застосовувати на практиці інформацію, що ми отримали
Ми надавали можливість всім взяти участь в обговоренні,
прийнятті рішення та представленні результатів роботи групи
7