vật lý

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
KHOA KHOA HỌC TỤ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ

TIỂU LUẬN
HỆ CÁC HẠT FERMION ĐỒNG NHẤT
Học viên: Nguyễn Tiến Đồng
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Khóa học: 2022 – 2024
Đăk Lăk, tháng 4 năm 2023

2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
KHOA KHOA HỌC TỤ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ

TIỂU LUẬN
HỆ CÁC HẠT FERMION ĐỒNG NHẤT
Học viên: Nguyễn Tiến Đồng
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Người hướng dẫn: PGS.TS Võ Văn Viên
Đăk Lăk, tháng 4 năm 2023

3. LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến PGS.TS. Võ Văn
Viên. Trong quá trình học tập và tìm hiểu bộ môn Cơ lượng tử ở bậc cao học,
em đã nhận được sự giảng dạy nhiệt tình, hướng dẫn chi tiết và được thầy tạo
nhiều điều kiện để hoàn thành môn học một cách tốt nhất có thể. Thầy đã giúp
em hiểu hơn, tích luỹ được nhiều hơn những lượng kiến thức bản thân chưa khái
quát được và có thêm kiến thức nền vững chắc hơn về bộ môn. Từ những kiến
thức, kinh nghiệm mà thầy đã truyền tải qua các tiết học, em đã dần trả lời được
những câu hỏi liên quan đến lĩnh vực mà mình đang theo học, nhận ra được
thêm nhiều vấn đề liên quan và các kiến thức móc nối nhau như thế nào, giải
được các dạng bài tập mà trước đây chưa thể tự giải. Thông qua bài tiểu luận
này, em xin trình bày lại những gì mà mình đã tìm hiểu về vấn đề liên quan đến
hệ hạt boson đồng nhất dựa trên nền tảng cơ sở lý thuyết đã được thầy truyền
đạt cho chúng em.
Kính chúc Thầy sức khỏe, hạnh phúc và thành công trên con đường sự
nghiệp giảng dạy!
Đăk Lăk, tháng 4 năm 2023
Học viên
Nguyễn Tiến Đồng

4. Mục lục
Mục lục 4
MỞ ĐẦU 5
I. Lý do chọn đề tài 5
II. Mục đích nghiên cứu 5
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu 5
V. Phương pháp nghiên cứu 5
VI. Cấu trúc của đề tài 5
NỘI DUNG 7
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT 7
1.1. Hệ hạt có thể phân biệt được không tương tác 7
1.2. Hạt và hệ hạt đồng nhất 8
1.3. Trạng thái đối xứng và phản đối xứng 10
CHƯƠNG 2. HỆ CÁC HẠT FERMION ĐỒNG NHẤT 13
2.1 Hệ hai hạt Fermion 13
2.2 Hệ 3 hạt fermion đồng nhất 14
KẾT LUẬN CHUNG 16
TÀI LIỆU THAM KHẢO 17

5. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Từ khi khoa học kĩ thuật phát triển, các nhà khoa học có nhiều điều kiện để tiếp
cận và nghiên cứu các đặc tính, tính chất vật lý, những quy luật hình thành và phát triển
của hệ các hạt vi mô như electron, netron, proton, nguyên tử, phân tử. Qua đó nhận thấy
rằng các tính chất vật lý của các hạt hay hệ các hạt này không tuân theo các quy luật vật
lý cổ điển đã được biết đến trước đó. Chúng vận hành theo những quy luật đặc biệt của
các thuyết thuộc trường lượng tử.
Cơ học lượng tử nghiên cứu rất nhiều vấn đề liên quan đến các đặc tính của các
hạt và hệ hạt được phát hiện nhờ khoa học kĩ thuật phát triển. Mỗi hạt hoặc hệ hạt đóng
vai trò và chức năng nhất định nhằm móc nối những kiến thức liên quan và giúp giải
thích được các hiện tượng trong khoa học và góp phần lớn vào vai trò ứng dụng trong
nghiên cứu khoa học và thực tiễn.
Thực tế, chúng ta có thể nhận thấy rõ ràng việc nghiên cứu hệ hạt đồng nhất rất quan
trọng trong cơ học lượng tử. Nó giúp cho việc tìm hiểu bản chất cấu trúc, bản chất tương tác
của các phân tử, nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ bản; từ đó nhận biết được các quá trình và
các qui luật vật lý diễn ra trong thế giới vi mô nhằm giải thích các hiện tượng của thế giới vĩ
mô. Vì vậy, em quyết định chọn đề tài :” Sơ lược về hệ hạt fermion đồng nhất trong cơ
lượng tử” để thực hiện nghiên cứu trong bài tiểu luận này.
II. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về hệ hạt fermion đồng nhất trong cơ lượng tử và ứng dụng của
chúng.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Cơ lượng tử.
Phạm vi nghiên cứu: Hệ hạt fermion đồng nhất trong cơ lượng tử.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về hệ hạt fermion đồng nhất trong cơ học lượng tử.
V. Phương pháp nghiên cứu
Đọc, tra cứu và tổng hợp tài liệu có liên quan.
VI. Cấu trúc của đề tài

6. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, cấu trúc của tiểu
luận gồm các mục lớn như sau:
Chương I. Cơ sở lý thuyết về hệ hạt đồng nhất.
Chương II: Hệ các hạt fermion đồng nhất.

7. NỘI DUNG
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT
1.1. Hệ hạt có thể phân biệt được không tương tác
Hệ hạt có thể phân biệt được, không tương tác là hệ gồm các hạt vi mô có
thểphân biệt được và chúng không tương tác với nhau. Với hệ hạt có thể phân
biệt được, mỗi hạt có một khối lượng khác nhau 𝒎𝒌 và có một thế năng khác
nhau 𝑼𝒌(𝒙𝒌), (𝒌 = 𝟏, 𝟐, … 𝑵). Thế năng của hệ hạt được tính theo biểu thức:
𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝑵) = ∑ 𝑼𝒌(𝒙𝒌)
𝑵
𝒌=𝟏 (1.1)
Toán tử Hamilton của hệ có dạng:
𝐻
̂ = ∑ 𝐻𝑘
̂ =
𝑁
𝑘=1
∑ [
𝑝
̂𝑘
2
2𝑚𝑘
+ 𝑈𝑘(𝑥𝑘)]
𝑁
𝑘=1 = ∑ [−
ℏ2
2𝑚𝑘
∇𝑘
2
+ 𝑈𝑘(𝑥𝑘)]
𝑁
𝑘=1 (1.2)
Trong đó, 𝐻𝑘
̂ là Hamilton của hạt thứ k, được biết đến như là Hamilton đơn hạt:
𝐻𝑘
̂ =
𝑝
̂𝑘
2
2𝑚𝑘
+ 𝑈𝑘(𝑥𝑘) = −
ℏ2
2𝑚𝑘
∇𝑘
2
+ 𝑈𝑘(𝑥𝑘) (1.3)
Vì các toạ độ độc lập nên các toán tử toạ độ của các hạt khác nhau giao hoán
với nhau và các toán tử xung lượng của các hạt khác nhau giao hoán với nhau:
[𝑥𝑘, 𝑥𝑙] = 0, [𝑝̂𝑘, 𝑝̂𝑙] = 0 (1.4)
Từ (1.3) và (1.4) chúng ta suy ra toán tử Hamilton của các hạt khác nhau giao
hoán với nhau:
[𝐻
̂𝑘, 𝐻
̂𝑙] = 0 (1.5)
Phương trình Schrodinger dừng mô tả hệ N hạt có thể phân biệt được không
tương tác với nhau, có dạng:
𝐻
̂𝛹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) = 𝐸𝛹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) (1.6)
Hàm sóng của hệ có thể được chọn là tích của các hàm sóng một hạt:
𝛹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) = 𝛹𝑛1
(𝑥1)𝛹𝑛2
(𝑥2) … 𝛹𝑛𝑁
(𝑥𝑁) (1.7)
trong đó, 𝑛𝑘, (k=1,2,…N) mô tả tập hợp các số lượng tử đặc trưng cho hạt thứ
k. Mỗi hạt đòi hỏi một hoặc hai hoặc ba số lượng tử tùy thuộc vào việc hạt đó
chuyển động trong không gian một chiều hay hai chiều hay ba chiều. Khi đó,
phương trình (1.6) trở thành:
𝐻
̂[𝛹𝑛1
(𝑥1)𝛹𝑛2
(𝑥2) … 𝛹𝑛𝑁
(𝑥𝑁)] = 𝐸[𝛹𝑛1
(𝑥1)𝛹𝑛2
(𝑥2) … 𝛹𝑛𝑁
(𝑥𝑁)] (1.8)
Vì các hạt không tương tác với nhau nên toán tử 𝐻
̂𝑘 chỉ tác dụng lên hàm
sóng 𝛹𝑛𝑘
(𝑥𝑘), (k = 1,2, … N) mà không tác dụng lên hàm 𝛹𝑛𝑙
(𝑥𝑙), (l =

8. 1,2, … N; l ≠ k) . Mặt khác, các đơn hạt của hệ thỏa mãn phương trình
Schrodinger:
𝐻
̂𝑘𝛹𝑛𝑘
(𝑥𝑘) = 𝐸𝑘𝛹𝑛𝑘
(𝑥𝑘), (𝑘 = 1,2, … 𝑁) (1.9)
Kết hợp các biểu thức (1.2), (1.8) và (1.9) ta được:
𝐻
̂ 𝛹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) = (𝐸1 + 𝐸2 + ⋯ + 𝐸𝑁)𝛹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁)
= 𝐸𝛹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) (1.10)
Từ phương trình (1.10) chúng ta thu được năng lượng của hệ:
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 + ⋯ + 𝐸𝑁 = ∑ 𝐸𝑘
𝑁
𝑘=1 (1.11)
Chúng ta thấy rằng, khi bỏ qua các tương tác, phương trình Schrodinger mô tả
hệ N hạt (1.6) được tách thành N phương trình Schrodinger mô tả từng hạt riêng
biệt (1.9). Lời giải của các phương trình Schrodinger (1.9) cho ta năng lượng
𝐸𝑘và hàm riêng 𝛹𝑛𝑘
(𝑥𝑘) của các đơn hạt. Các trạng thái đơn hạt được biết đến
như là các orbital. Năng lượng toàn phần của hệ là tổng năng lượng của từng hạt
riêng biệt và hàm sóng mô tả hệ là tích của các hàm sóng đơn hạt.
1.2. Hạt và hệ hạt đồng nhất
Hầu hết các hệ vật lý, chẳng hạn như các nucleon, hạt nhân, nguyên tử, phân tử,
chất rắn, chất lỏng, chất khí, bao gồm nhiều hạt. Chúng được biết đến như là hệ
nhiều hạt. Hệ các nguyên tử, hạt nhân và siêu hạt nhân gồm một số các hạt trung
gian (khoảng từ 2 đến 300 hạt), trong khi các chất rắn, chất lỏng và chất khí bao
gồm một số rất lớn các hạt (khoảng 1023
hạt). Chúng ta có thể mô tả các hệ hạt
vi mô bằng cách tổng quát hóa động lực học của các hạt đơn lẻ.
Chúng ta gọi các hạt đồng nhất là các hạt có cùng khối lượng (m), điện tích (e),
spin (s), moment từ (𝜇),… sao cho trong những điều kiện như nhau thì các hạt
ấy có biểu hiện như nhau. Các hạt thuộc cùng một loại (như electron, proton,…)
được coi là các hạt đồng nhất.
Trong vật lý học cổ điển, khi xét một hệ hạt đồng nhất ta có thể đánh số từng hạt
tại một thời điểm ban đầu nào đó. Sau đó vào bất kỳ thời điểm nào, về nguyên
tắc, cũng có thể theo dõi quỹ đạo của từng hạt và do đó có thể chỉ rõ hạt nào ở
đâu. Nói cách khác có thể phân biệt được các hạt đồng nhất khác nhau.
Tuy nhiên, trong cơ học lượng tử, điều đó không dễ dàng như vậy. Mỗi hạt
không có một quỹ đạo xác định, cho nên về nguyên tắc cho dù có biết vị trí của
mỗi hạt ở thời điểm ban đầu thì sau đó, tại một thời điểm bất kì nào sau đó,
cũng không thể kết luận rằng hạt nào đang ở vị trí nào đã cho ở trong không
gian. Thực ra chỉ có thể biết mật độ xác suất để ở một vị trí đã cho có hạt là bao

9. nhiêu, có hạt thuộc loại các hạt đồng nhất mà hệ ta đang xét, chứ không phải là
có một hạt cụ thể được đánh dấu bằng cách nào đó. Như vậy chúng ta không thể
phân biệt được các hạt có trong một hệ hạt đồng nhất. Đây là nội dung của
nguyên lý không phân biệt được các hạt đồng nhất.
Trong cơ học lượng tử, các hạt đồng nhất là không thể phân biệt được vì các lý do sau
đây:
Thứ nhất, chúng ta không thể xác định được đồng thời các đại lượng vật lý có
các toán tử tương ứng không giao hoán với nhau nên nói chung không có cơ chế để
đánh dấu các hạt vi mô như trong cơ học cổ điển.
Thứ hai, theo hệ thức bất định Heisenberg, khái niệm quỹ đạo không có ý nghĩa
đối với các hạt vi mô, các hạt vi mô không có quỹ đạo xác định. Tại một thời điểm,
nếu vị trí của một hạt được xác định chính xác thì xung lượng của nó không thể được
xác định chính xác tại thời điểm đó. Vì vậy, trong cơ học lượng tử, các hạt vi mô đồng
nhất mất đi tính cá thể của chúng khi chúng được trộn lẫn với nhau. Về nguyên tắc
chúng ta không thể xác định được vị trí chính xác của từng hạt vi mô trong không gian
mà chỉ biết được vào thời điểm t xác suất tìm hạt tại một vị trí nào đó trong không
gian bằng bao nhiêu mà thôi. Tính chất đó dẫn đến nguyên lý không phân biệt được
các hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử có nội dung như sau: Không thể phân biệt
được các hạt đồng nhất trong cùng một hệ. Hệ hạt vi mô được gọi là đồng nhất nếu
các toán tử mô tả các đại lượng đo được của hệ (chẳng hạn như toán tử Hamilton, toán
tử mô men xung lượng, ...) là đối xứng khi hoán vị hai hạt trong hệ. Ngược lại, nếu
các toán tử này không đối xứng với phép hoán vị hai hạt trong hệ thì các hạt đã cho
được gọi là có thể phân biệt. Tính chất đồng nhất kéo theo những tính chất xác định
của hàm sóng mô tả hệ hạt vi mô.

10. 1.3. Trạng thái đối xứng và phản đối xứng
Xét hàm sóng của hệ các hạt đồng nhất. Trước hết, để đơn giản, ta xét một hệ
có hai hạt. Hàm sóng của hệ phụ thuộc vào các biến số đặc trưng (toạ độ x, y, z và
hình chiếu spin sz) cho hai hạt; chúng ta kí hiệu tập hợp các biến số ấy đối với hạt thứ
nhất là 1, đối với hạt thứ 2 là 2, hàm sóng của hệ sẽ là 𝜓(1,2). Nếu ta hoán vị hai
hạt thì hàm sóng của hệ sẽ là 𝜓(2,1). Theo nguyên lý không phân biệt được của
các hạt đồng nhất thì trạng thái mới có, do hoán vị hai hạt, không phân biệt
được so với trạng thái trước; nghĩa là 𝜓(1,2) và 𝜓(2,1) thực ra cùng một mô tả
trạng thái của hệ, và chỉ có thể khác nhau một thừa số nhân, tức là:
𝜓(2,1) = 𝑘𝜓(1,2) (1.12)
Để xác định k tức là ta hoán vị hai lần:
𝜓(1,2) = 𝑘𝜓(2,1) = 𝑘2
𝜓 (1.13)
Từ đó có thể thấy rằng có hai giá trị của k: 𝑘 = ±1
Và có hai khả năng:
a) k = +1 thì 𝜓(2,1) = +𝜓(1,2)
=> 𝐻à𝑚 𝑠ó𝑛𝑔 𝑙à đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 đố𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑝ℎé𝑝 ℎ𝑜á𝑛 𝑣ị ℎ𝑎𝑖 ℎạ𝑡 1 ⇔ 2. (1.14)
b) k = −1 thì 𝜓(2,1) = −𝜓(1,2)
=> 𝐻à𝑚 𝑠ó𝑛𝑔 𝑙à 𝑝ℎả𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔 đố𝑖 𝑣ớ𝑖 𝑝ℎé𝑝 ℎ𝑜á𝑛 𝑣ị ℎ𝑎𝑖 ℎạ𝑡 1 ⇔ 2.
(1.15)
Tóm lại: Hàm sóng của một hệ hạt đồng nhất là một hàm đối xứng hoặc phản
đối xứng đối phép hoán vị hai hạt. Kết quả này có thể suy rộng cho một hệ có số
hạt bất kì.
Tương tự, xem xét tính không phân biệt được đối với hệ gồm N hạt đồng nhất.
Gọi hàm sóng mô tả hệ là 𝜓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁). Khi N hạt đồng nhất được trộn với
nhau, thực nghiệm không thể xác định được hạt nào có tọa độ 𝑥1, hoặc hạt nào
có tọa độ 𝑥2….hay không thể chỉ ra bằng thực nghiệm “danh tính” của hạt ở vị
trí có tọa độ 𝑥1, hoặc hạt ở vị trí có tọa độ 𝑥2 …. Chúng ta chỉ có thể (duy nhất)
xác định được (đo được) xác suất để tìm thấy hạt nào đó ở vị trí 𝑥1, hạt khác ở
vị trí 𝑥2…nhưng chúng ta không bao giờ có thể phân biệt được một hạt nào đó
của hệ với một hạt bất kỳ khác trong hệ. Kết quả là, xác suất vẫn không thay đổi
bởi sự trao đổi các hạt. Chẳng hạn như, mật độ xác suất không đổi khi đổi chỗ
các hạt k và l:
|𝛹(𝑥1, … , 𝑥𝑘, … 𝑥𝑙, … , 𝑥𝑁)|2
= |𝛹(𝑥1, … , 𝑥𝑙, … 𝑥𝑘, … , 𝑥𝑁)|2
(1.16)
Từ biểu thức (1.1) ta suy ra:

11. |𝛹(𝑥1, … , 𝑥𝑘, … 𝑥𝑙, … , 𝑥𝑁)| = ±|𝛹(𝑥1, … , 𝑥𝑙, … 𝑥𝑘, … , 𝑥𝑁)| (1.17)
Điều này có nghĩa là hàm sóng của một hệ N hạt đồng nhất là đối xứng
hoặc phản đối đối xứng với phép đổi chỗ hai hạt (một cặp hạt). Chúng ta sẽ thấy
rằng dấu của (1.17) có liên quan đến spin của các hạt. Cụ thể, dấu trừ (-) tương
ứng với các hạt có spin bán nguyên và dấu cộng (+) tương ứng với các hạt có
spin nguyên. Hàm sóng của các hạt có spin nguyên là hàm đối xứng và hàm
sóng của các hạt có spin bán nguyên là hàm phản đối xứng. Trên thực tế, các
quan sát thực nghiệm cho thấy, trong tự nhiên, các hạt được chia thành hai lớp:
+ Các hạt có spin nguyên, như photon, pion, … có hàm sóng đối xứng,
tuân theo thống kê Bose – Einstein, được gọi là các hạt Fermion.
+ Các hạt có spin bán nguyên, như quark, electron, positron, proton,
neutron,…. Có hàm sóng phản đối xứng, tuân theo thống kê Fermi – Dirac,
được gọi là các hạt Fermion.
1.4. Các hạt phức hợp
Ở trên chúng ta đã khảo sát hệ các hạt đồng nhất đơn giản hay hệ các hạt
đồng nhất cơ bản, chẳng hạn như hệ chỉ gồm các quark hoặc hệ chỉ gồm các
electron hoặc hệ chỉ gồm các positron, …. Bây giờ chúng ta thảo luận về tính
đối xứng của các hệ hạt đồng nhất phức hợp, trong đó mỗi hạt được tạo thành từ
hai hoặc nhiều hơn các hạt đồng nhất cơ bản. Hệ gồm các hạt alpha ( 𝑯𝒆𝟐+
)
𝟐
𝟒
,
trong đó, mỗi hạt được cấu tạo bởi hai proton và hai neutron liên kết với nhau
thành một hạt giống hệt hạt nhân nguyên tử Heli, là một ví dụ điển hình của các
hạt phức hợp. Hệ gồm các nguyên tử Hydro cũng có thể được xem như là một
hệ các hạt phức hợp đồng nhất trong đó mỗi hạt (nguyên tử) được cấu tạo bởi
một proton và một electron. Theo vật lý hiện đại thì proton, neutron, pion,…là
các hạt phức hợp vì các proton, neutron được cấu tạo từ ba quark, và pion được
cấu tạo từ hai quark,….
Các hạt phức hợp có spin. Spin của mỗi hạt phức hợp có thể thu được bằng
cộng các spin của các hạt thành phần của nó. Nếu tổng spin của hạt phức hợp là
một số bán nguyên thì hạt này cư xử như là một fermion, do đó nó tuân theo
thống kê Fermi-Dirac. Nếu tổng spin của hạt phức hợp là một số nguyên thì hạt
đó có tính chất như một fermion và tuân theo thống kê Bose-Einstein. Nói
chung, nếu hạt phức hợp được tạo thành từ một số lẻ các fermion thì nó là một
fermion, ngược lại, nếu các hạt phức hợp được tạo thành từ một số chẵn các
fermion thì nó là một fermion.
Ví dụ, nucleon là một fermion bởi vì nó được tạo thành từ ba quark, trong khi
meson là fermion vì nó được tạo thành từ hai quark. Một ví dụ khác, chúng ta
xem xét các đồng vị 𝐻𝑒
2
4
và 𝐻𝑒
2
3
của nguyên tử Heli. Ta thấy 𝐻𝑒
2
4
là một
fermion vì nó bao gồm bốn fermion (hai proton và hai neutron), trong khi đó

12. 𝐻𝑒
2
3
là một fermion vì nó bao gồm ba fermion (một neutron và hai proton).
Nguyên tử hydro gồm có hai fermion (một electron và một proton) nên nó là
một fermion.
1.5. Hệ hạt đồng nhất không tương tác
Trong trường hợp hệ gồm N hạt đồng nhất không tương tác với nhau,
trong đó tất cả các hạt có khối lượng bằng nhau, 𝒎𝒊 = 𝒎 và có cùng một thế
năng, 𝑽𝒊(𝒙𝒊) = 𝑽(𝒙𝒊), (𝒊 = 𝟏, 𝟐, … 𝑵). Khi đó, phương trình Schrodinger của hệ
gồm N hạt được tách ra thành N phương trình Schrodinger cho một hạt, với
dạng giống hệt nhau:
𝐻
̂𝑘𝜓𝑛𝑘
(𝑥𝑘) = 𝐸𝑘𝜓𝑛𝑘
(𝑥𝑘), (𝑘 = 1,2, … 𝑁)
[−
ℏ2
2𝑚𝑘
∇𝑘
2
+ 𝑉𝑘(𝑥𝑘)] 𝜓𝑛𝑘
(𝑥𝑘) = 𝐸𝑘𝜓𝑛𝑘
(𝑥𝑘) (1.18)
Tương tự như trường hợp hệ các hạt phân biệt được, năng lượng của hệ
hạt đồng nhất không tương tác bằng tổng năng lượng của các hạt riêng biệt:
𝐸 = ∑ 𝐸𝑘
𝑁
𝑘=1 (1.19)
Hàm sóng mô tả hệ hạt đồng nhất không thể được mô tả bởi tích của các
hàm sóng một hạt như ở (1.7), 𝛹(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁) = 𝛹𝑛1
(𝑥1)𝛹𝑛2
(𝑥2) … 𝛹𝑛𝑁
(𝑥𝑁),
bởi vì các lý do sau đây:
Thứ nhất, nếu hàm sóng được cho bằng một tích như vậy, nghĩa là, hạt
thứ nhất ở trong trạng thái 𝛹𝑛1
(𝑥1), hạt thứ 2 trong trạng thái 𝛹𝑛2
(𝑥2) , ... và hạt
thứ N trong trạng thái 𝛹𝑛𝑁
(𝑥𝑁) . Tất nhiên, điều này không có ý nghĩa vì tất cả
những gì chúng ta biết là một trong số các hạt ở trong trạng thái 𝛹𝑛1
(𝑥1), một
hạt khác ở trong trạng thái 𝛹𝑛2
(𝑥2),…. Vì các hạt là đồng nhất nên không thể
xác định được một hạt nào đó ở trong trạng thái cụ thể nào. Tuy nhiên, nếu các
hạt phân biệt được, hàm sóng toàn phần của chúng sẽ được xác định bởi các tích
các hàm sóng đơn hạt như ở biểu thức (1.7).
Thứ hai, nói chung một tích dạng 𝛹𝑛1
(𝑥1)𝛹𝑛2
(𝑥2) … 𝛹𝑛𝑁
(𝑥𝑁) không
có tính đối xứng xác định - một yêu cầu bắt buộc đối với các hệ hạt đồng nhất
mà các hàm sóng là đối xứng hoặc phản đối xứng.
Như vậy, hàm sóng mô tả hệ hạt đồng nhất không thể được mô tả bởi tích của
các hàm sóng một hạt như ở (1.7). Với mục đích này, chúng ta sẽ chỉ ra cách
xây dựng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng cho hệ gồm hai hạt, ba hạt và N
hạt vi mô đồng nhất không tương tác.

13. CHƯƠNG 2. HỆ CÁC HẠT FERMION ĐỒNG NHẤT
2.1 Hệ hai hạt Fermion
Để có sự phân việt với hàm sóng mô tả hệ hạt fermion, chúng ta ký hiệu
hàm sóng mô tả hệ hạt fermion là ( )
ni i
x
 . Trước tiên chúng ta xét hệ gồm 2
fermion. Với hệ hai hạt fermion, giả sử ban đầu hệ ở trạng thái được mô tả bởi
hàm sóng 1 1 2 2
( ) ( )
k k
x x
  , nghĩa là một trong hai hạt (hạt 1) chiếm vị trí thứ nhất,
hạt còn lại (hạt 2) chiếm vị trí thứ hai11. Khi hoán vị hai hạt, ta thu được hệ
trong đó hạt 1 chiếm vị trí thứ hai, hạt 2 chiếm vị trí thứ nhất, được mô tả bởi
hàm 1 2 2 1
( ) ( )
k k
x x
  . Khi đó, hàm sóng phản đối xứng mô tả hệ hai hạt fermion có
thể được chọn như sau :
Chúng ta thấy hàm sóng 1 2
( , )
a x x
 thỏa mãn điều kiện phản đối xứng,
nghĩa là, 1 2 2 1
( , ) ( , )
a a
x x x x
 
  và nếu 2 hạt fermion ở trong cùng 1 trạng thái thì
hàm sóng của hệ 2 hạt bằng không. Nghĩa là mật độ xác suất tìm hạt bằng
không hay không tồn tại hạt. Điều này mâu thuẫn vì chúng ta đang khảo sát hệ
hạt. Như vậy, không thể xảy ra trường hợp 2 fermion ở trong cùng một trạng
thái (tổng quát, không thể có nhiều hơn 1 hạt đồng thời ở trong cùng một trạng
thái lượng tử). Điều này hoàn toàn phù hợp với nguyên lí ngoại trừ Pauli.
Sử dụng điều kiện chuẩn hóa của hàm 1 2
( , )
a x x
 và các hàm sóng đơn hạt
1 1 2 2
( ) ( )
k k
x x
  chúng ta thu được 2
1
2
B  Nghĩa là hàm sóng chuẩn hóa của hệ hai
hạt fermion có dạng:  
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
a k k k k
x x x x x x
    
  (2.1)
Biểu thức có thể được viết lại dưới dạng:
 
2
1 2 1 1 2 2
1
1
( , ) ( 1) ( ) ( )
2!
v
a v k k
v
x x P x x
  

 
 (2.2)
trong đó, P chỉ phép lấy hoán vị, và tổng lấy với mọi hoán vị có thể có của k1
k2, , và  là số lần hoán vị, nghĩa là (-1)v
1 đối với một số lần hoán vị chẵn (khi
đồng thời đổi chỗ cả x1 x2, và k1 k2, ) và (-1)v
-1 nếu số lần hoán vị là lẻ (khi
chỉ đổi chỗ x1 x2, nhưng không đổi chỗ k1 k2, , hoặc ngược lại, chỉ đổi chỗ k1 k2,
mà không đổi chỗ x1 x2, ).
Chúng ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng một định thức cấp hai như sau:
1 1 1 2
1 2
2 1 2 2
( ) ( )
1
( , )
( ) ( )
2!
k k
a
k k
x x
x x
x x
 

 
 (2.3)

14. Hàm sóng (2.3) có được khi các số lượng tử đặc trưng cho hạt thứ nhất và hạt
thứ 2 là khác nhau, k1k2 . Nghĩa là, mỗi hạt ở trên một trạng thái khác nhau
mà không có 2 hạt ở trong cùng một trạng thái. Trong trường hợp hệ gồm hai
hạt fermion mà cả hai hạt cùng ở trong một trạng thái, nghĩa là k1=k2=k, hàm
sóng (2.1) triệt tiêu 1 2
( , )
a x x
 =0 , Điều này hoàn toàn phù hợp với nguyên lý loại
trừ Pauli.
2.2 Hệ 3 hạt fermion đồng nhất
Với hệ 3 hạt fermion đồng nhất không tương tác, hàm sóng đối xứng
được chọn dưới dạng:
 
2
1 2 3 1 1 2 2 3 3
1
1
( , , ) ( 1) ( ) ( ) ( )
3!
v
a v k k k
v
x x x P x x x
   

 
 (2.4)
Hay ở dạng định thức:
 
 
 
1 1 1 2 1 3
1 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
( ) ( ) ( )
1
( , , ) ( ) ( ) ( )
3!
( ) ( ) ( )
k k k
a k k k
k k k
x x x
x x x x x x
x x x
  
   
  
 (2.5)
Dạng tường minh của nó là:

1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1
1 2 3 3 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2
3 1 2 2 1 3 2 1 1 2 3 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k k k k k
a k k k k k k
k k k k k k
x x x x x x
x x x B x x x x x x
x x x x x x
     
      
     
 

  

 

(2.6)
Sử dụng điều kiện chuẩn hóa của 1 2 3
( , , )
a x x x
 và điều kiện trực giao,
chuẩn hóa của 1 1 2 2 3 3
( ), ( ), ( )
k k k
x x x
   chúng ta thu được 3
1
3!
B  . Như vậy, hàm
sóng chuẩn hóa của hệ 3 hạt fermion đồng nhất không tương tác có dạng (2.4)
với 3
1
3!
B  .
Hàm sóng (10.67) thu được với giả thiết tập hợp các số lượng tử đặc
trưng cho từng hạt của hệ là khác nhau, k1 k2 k3 . Nghĩa là, mỗi hạt ở trên một
trạng thái khác nhau mà không có 2 hạt hay 3 hạt ở trong cùng một trạng thái.
Trong trường hợp k1k2 k  k3 hoặc k1k2 k3 k , nghĩa là, hệ ba hạt fermion

15. đồng nhất có hai hoặc ba hạt luôn ở trong cùng một trạng thái. Khi đó, hàm
sóng mô tả hệ ba hạt fermion (2.4) triệt tiêu

16. KẾT LUẬN CHUNG
Về cơ bản bài tiểu luận đã hoàn thành, trong quá trình thực hiện, bản thân
em đã rút ra được một số kết quả sau:
Đã tổng hợp được một số các cơ sở lý thuyết liên quan đến hệ hai đồng
nhất, hệ fermion đồng nhất tương tác và không tương tác.
Đã tìm hiểu được thêm về trạng thái đối xứng và phản đối xứng .
Trong quá trình thực hiện bài tiểu luận, em đã gặp một số khó khăn về
vấn đề đọc, tìm hiểu các tài liệu liên quan, nên tiểu luận này còn nhiều thiếu sót.
Kính mong nhận được sự góp ý và chỉnh sửa từ thầy.

17. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phạm Quý Tư- Đỗ Đình Thanh,”Giáo trình cơ học lượng tử”, Trường đại học
Bách Khoa Hà Nội, T190-263.
2. PGS.TS. Võ Văn Viên“Giáo trình Cơ học lượng tử_Chương 2.
3. “Bài tập và lời giải cơ học lượng tử của các trường đại học nổi tiếng Hoa
Kỳ”_Bản dịch.
4. Các trang web: violet.vn; https://doan.edu.vn/https://meslab.org/;...