1. Transformasi Laplace
• X(s) = ζ[x(t)]
• x(t) = ζ-1[X(s)]




js
dsesX
j
tx
dtetxsX
j
j
st
st









).(
2
1
)(
).()(
0

2. • Download slide di http://rumah-belajar.org

3. Transformasi Laplace
x(t) X(s) ROC
δ(t) 1 Semua s
u(t) Re(s)>0
tn u(t)
Re(s)>0
e-at u(t) Re(s)+Re(a)>0
u(t) Cos ω0t
Re(s)>0
u(t) Sin ω0t
Re(s)>0
s
1
1
!
n
s
n
as 
1
2
0
2
s
s
2
0
2
0


s

4. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Kelinearan a x(t) + b y(t) a X(s) + b Y(s)
Penskalaan x(at)
Geseran waktu x(t-a) e-sa X(s)
Geseran frekuensi e-at x(t) X(s+a)
Konvolusi waktu x(t) * y(t) X(s) Y(s)






a
s
X
a
1

5. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Konvolusi frekuensi
(modulasi)
x(t) y(t)
Diferensiasi
frekuensi
(-t)n x(t)
Diferensiasi waktu
Untuk TL dua sisi
)(*)(
2
1
sYsX
j
)(sX
ds
d
n
n
)(tx
dt
d
n
n






1
0
)(
)0(
1
)(
n
k
kknn
xssXs
)(sXsn

6. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Sifat x(t) X(s)
Integrasi waktu
Teorema nilai awal
Teorema nilai
akhir


0
)( dttx
s
sX )(


dttx )( 

0
)(
1)(
dttx
ss
sX
)(lim
0
tx
t 

)(lim ssX
s 
)(lim
0
ssX
s
)(lim tx
t 

7. Pecahan Parsial X(s)
• Derajat P(s) < derajat Q(s)
)(
)(
)(
sQ
sP
sX 
• Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan
penyebutnya berbentuk polinomial

8. Pecahan Parsial X(s)
• Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama
nk
sXpsA
ps
A
ps
A
ps
A
sX
pspsps
sP
sX
k
ps
k
n
n
n
k
,...2,1
)().(lim
)(
...
)()(
)(
))...()((
)(
)(
2
2
1
1
21









tp
n
tptp n
eAeAeAtx 
 ...)( 21
21
x(t) menjadi :

9. Pecahan Parsial X(s)
• Jika pi = pk
*, maka penyelesaian dapat diselesaikan secara
khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi
Cosinus dan Sinus

10. Pecahan Parsial X(s)
• Q(s) mempunyai akar rangkap
k
k
k
ps
r
k
pslr
lr
kl
k
ps
k
n
n
r
r
n
r
sXps
ds
d
lr
A
sXpsA
ps
A
ps
A
ps
A
ps
A
ps
A
sX
pspsps
sP
sX






 















)(.)(lim
)!(
1
)().(lim
)(
...
)(
)(
...
)()(
)(
))...(()(
)(
)(
2
2
1
1
2
1
12
1
11
21

11. Sistem LTI dengan penyelesaian Pers
Diferensial koefisien konstan
• Sistem mempunyai hubungan
Sistem
LTI
x(t) y(t)
j
jm
j
j
n
i
i
i
i
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
dt
xd
b
dt
yd
a
atau
b
dt
dx
b
dt
xd
b
dt
xd
b
a
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
 









00
011
1
1
011
1
1
...
...

12. Sistem LTI dengan Pers Diferensial
• Supaya dapat diselesaikan, sistem harus diketahui
1. x(t) untuk t>0
2. y(0-),y´(0-),...,y(n-1)(0-)
3. x(0-),x´(0-),...,x(m-1)(0-)
Secara fisis butir 3 sulit dipenuhi, oleh karena itu hanya
dipakai keadaan awal x(0),x´(0)... Walaupun ini juga
beresiko menyebabkan hasil tidak tepat 100%.

13. Transformasi Laplace
• Contoh soal
0
2)(
32
2
1
)(
2
1
3)2)(1(
4
2
2)3)(1(
4
2
3
1)3)(2(
4
321
)(
)3)(2)(1(
4
)(
3
2
12
2
3
2
1
2
3
3
2
1
321






























t
eeetx
sss
sX
sss
s
A
sss
s
A
sss
s
A
s
A
s
A
s
A
sX
sss
s
sX
ttt

14. Transformasi Laplace
• Contoh soal
1
2
1
2
1
)22(
2)2()(
)(
)22(
)()22(
)(
22
)(
)22(
1
)(
3
2
1
2
131
2
21
2
32
2
1
2
321
2














A
A
A
sss
AsAAsAA
sX
sss
AsAsssA
sX
ss
AsA
s
A
sX
sss
sX

15. Transformasi Laplace
0
)()()(
1)1(
1
2
1
1)1(
1
2
1
)(
1)1(
2
2
1
)(
22
1
)(
2
1
2
1
2
1
2222
2
1
22
2
1
2
2
1
2
1














t
tSinetCosetx
ss
s
s
sX
s
s
s
sX
ss
s
s
sX
tt

16. Transformasi Laplace
0
2)(
)2(
2
2
1
1
1
)(
2
21)!22(
1
1
2)1(
1
21)!12(
1
1
1)2(
)2(21
)(
)2)(1(
)(
22
2
12
211
21
2
12111
2





























t
teeetx
sss
sX
ss
s
A
ssss
s
ds
d
A
ss
s
A
s
A
s
A
s
A
sX
ss
s
sX
ttt

17. Transformasi Laplace
2
1
)0(
1)0(
0,)(
3107









y
y
tetx
dengan
xxyyy
t

18.  
   
   
   
ttttt
s
s
eeeeety
sssss
sY
ss
s
sss
s
sY
ss
s
sss
s
sY
ss
s
sY
s
sssYss
sXsssYss
sXssXsYssYssYs
masukanadabelumkarenaxexwalaupun
sXxssXsYyssYysysYs






















































2
5
2
11
6
1
3
1
2
1
2
5
2
11
6
1
3
1
2
1
2
15
2
2
15
2
2
2
15
)1(
)3(
2
12
2
12
2
12
0
.
2
)(
)5()2()5()2()1(
)(
)5)(2()5)(2)(1(
)3(
)(
)107()107)(1(
)3(
)(
107
)(
1
1
37)(107
)(37)(107
)(3)()(101)(7)(
0)0(,1)0(
)(3)0()()(10)0()(7)0()0()(

19. • Download slide di http://rumah-belajar.org