Integral substitusi dan integral parsial merupakan dua metode untuk menyelesaikan integral dengan mengubah bentuk integran menjadi bentuk yang lebih sederhana. Integral substitusi melibatkan penggantian variabel integran dengan variabel baru, sedangkan integral parsial melibatkan integrasi dari hasil kali dua fungsi. Kedua metode ini membantu menyelesaikan soal integral yang rumit.

1. “INTEGRAL SUBSTITUSI DAN
INTEGRAL PARSIAL”
N A M A : Y U N I I K A S A R I A R I F
R I D A N G K A
N I M : E 1 A 1 1 9 1 1 7

2. Integral Subsitusi
 Integral substitusi atau substitusi – u ialah salah satu metode
untuk mencari suatu integral dengan mensubstitusi salah satu
variabel dan mengubahnya menjadi sebuah bentuk yang lebih
sederhana.
 Dalam pengintegralan dengan metode substitusi, tentunya kita
harus sudah menguasai konsep-konsep turunan,
dimana du/dx adalah turunan u terhadap x..
Misalkan u = 2x + 1, turunan u terhadap x ditulis :
du/dx = 2 ⇔ du = 2 dx

3. Teknik Integral Substitusi Dalam Fungsi
Trigonometri
 Fungsi trigonometri sebagai integran, untuk beberapa kasus,
tidak bisa langsung diintegralkan seperti rumus integral awal.
Sehingga perlu juga dilakukan perubahan integran.
Perubahan pada fungsi trigonometri dapat dilakukan sesuai
dengan persamaan berikut:

4.  Teknik Substitusi Dengan integran atau
 Integral dengan integran dalam bentuk akar diatas dapat dikerjakan
dengan memisalkan dari bentuk diatas sebagai berikut:

5. Contoh Soal :
1.
RUMUS UMUM :
• Maka,

7. 33.

8. 4.

9. 5. ∫ sin2x cos3x dx = ...
Jawab :
Misalkan : u = sin x
du/dx = cos x ⇔ du = cos x dx
∫ sin2x cos3x dx = ∫ sin2x cos2x cos x dx
∫ sin2x cos3x dx = ∫ sin2x (1 - sin2x) cos x dx
∫ sin2x cos3x dx = ∫ u2 (1 - u2) du
∫ sin2x cos3x dx = ∫ (u2 - u4) du
∫ sin2x cos3x dx = 13u3 - 15u5 + C
∫ sin2x cos3x dx = 13sin3x - 15sin5x + C

10. INTEGRAL PARSIAL
Dalam pengintegralan, selain operasi biasa atau
dengan teknik substitusi, ada teknik lain yaitu
integral parsial. Teknik ini merupakan integral dari
turunan hasil kali dua fungsi. Berikut ini adalah
konsep integral parsial:
 Jika y = U(x) . V(x), maka:

11.  Jika y diganti UV maka:
 Karena diketahui bahwa dan , maka persamaan menjadi:
d(UV) = V . dU + U . dV
U . dV = d(UV) – V . dU
 Dengan mengintegralkan kedua ruas dalam persamaan diatas, diperoleh:
 Rumus ntegral parsial:

12. Dalam integral parsial, terkadang bisa menurunkan U dan mengintegralkan
dV secara berulang. Jika terjadi proses yang berulang, maka proses
dapat diringkas Sebagai contoh adalah:

13. Maka diperoleh hasil:
∫ x sin x dx = ...
Contoh Soal :
1.
Jadi, pilih :
u = x
dv = sin x dx

14.  Langkah selanjutnya adalah menentukan du dan v :
du diperoleh dari turunan u terhadap xu=x⇒du=dxu=x⇒du=dx
 v diperoleh dari integral dv
 dv=sinxdx⇒v=−cosxdv=sinxdx⇒v=−cosx
Substitusi ke rumus integral parsial :
∫udv=uv−∫vdu∫udv=uv−∫vdu
∫ x sin x dx = x (−cos x) − ∫ (−cos x) dx
∫ x sin x dx = −x cos x + ∫ cos x dx
∫ x sin x dx = −x cos x + sin x + C

15. 2. ∫ x2 cos 2x dx = ...
Penyelesaian :
Pilih :
u = x2 ⇒ du = 2x dx
dv = cos 2x dx ⇒ v = 1212sin 2x
Substitusi ke rumus integral parsial :
∫udv=uv−∫vdu∫udv=uv−∫vdu
∫ x2 cos 2x dx
= x2 . 1212sin 2x − ∫ 1212sin 2x . 2x dx
= 1212x2 sin 2x − ∫ x sin 2x dx ...........(1)
Untuk ∫ x sin 2x dx, pilih :
u = x ⇒ du = dx
dv = sin 2x dx ⇒ v = −12−12cos 2x

16.  ∫ x sin 2x dx
= x . −12−12cos 2x − ∫ −12−12cos 2x dx
= −12−12x cos 2x + 1212∫ cos 2x dx
= −12−12x cos 2x + 1212. 1212sin 2x
= −12−12x cos 2x + 1414sin 2x ..........(2)
Dengan mensubstitusi (2) ke (1) diperoleh :
∫ x2 cos 2x dx
= 1212x2 sin 2x − (−12−12x cos 2x + 1414sin 2x)
= 1212x2 sin 2x + 1212x cos 2x − 1414sin 2x + C

17.  Selain dengan menggunakan rumus integral parsial, bentuk integral
diatas dapat pula diselesaikan dengan cara berikut ;
Turunkan u sampai menghasilkan nol dan integralkan dv.
 Beri tanda (+) dan (−) secara berselang-seling (mulai dari positif)
untuk setiap fungsi yang diturunkan.
 Kalikan fungsi yang diturunkan dengan fungsi yang diintegralkan
secara diagonal.
∫ x2 cos 2x dx = ...
Misalkan :
u = x2
dv = cos 2x dx
∫ x2 cos 2x dx
= +x2 1212sin 2x − 2x(−14−14cos 2x) + 2(−18−18sin 2x)
= 1212x2 sin 2x + 1212x cos 2x − 1414sin 2x + C

18. 3. Tentukanlah hasil dari
Pembahasan 2:
Misalkan trigonometrinya adalah:
Nilai , dan
Sehingga:

19.  Dengan segitiga diatas, nilai sec dan tan bisa diketahui. Sehingga:
4. Tentukanlah hasil dari .
Pembahasan 1:
Misalkan dan , maka
dU = -2 sin 2x dx

20. Sehingga,
Kemudian disubstitusi dengan nilai U menjadi :