bab 111 matematika teknik

1. BAB III
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDINER
3.1. Klasifikasi Persamaan Differensial
Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan diferensial, yaitu persamaan
diferensial biasa (PDB) dan Persamaan diferensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui
perbedaan kedua jenis persemaan diferensial itu dapat dilihat dalam definisi sebagai
berikut :
a. Persamaan diferensial (PD). Suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi
dari satu atau lebih variable terikat terhadap satu atau lebih variable bebas
disebut persamaan diferensial. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya
tergantung pada satu variable bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Biasa (PDB), dan bila tergantung pada lebih dari satu variable bebas disebut
Persamaan Diferensial Parsial (PDP).
Persamaan Diferensial Biasa :
1. 42 += x
dx
dy
2. 0)52()32( =+++ dyxdxy
Persamaan Diferensial Parial :
1. 4=
∂
∂
+
r
y
dx
dy
2.
t
C
r
C
rr
C
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
α
11
2
2
b. Order Suatu PD. Order suatu PD adalah order tertinggi dari turunan dalam
persamaan F(x, y, y’, y’’,……….,yn
)
1. 4=
∂
∂
+
r
y
dx
dy
adalah PDP order 1
35

2. 2.
t
C
r
C
rr
C
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
α
11
2
2
adalah PDP order 2
c. Degree Suatu PD. Degree adalah derajat atau power tertinggi dari suatu suku
diferensial
1.
t
C
r
C
rr
C
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
α
11
2
2
2
adalah PDP, order 2, degree 2
(nonlinier)
3.2. Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa (PDB) order 1
PDB order 1 dapat diselesaiak dengan cara :
a. Persamaan eksak (exact equation)
b. Persamaan yang dapat dipisahkan (Separable equation)
c. Persamaan Homogen (Homogeneus equation)
d. Faktor Integral
3.2.1. Persamaan Eksak
Persamaan Umum PDB order 1 dalam dy/dx dapat dinyatakan dengan :
Mdx + Ndy = 0
Dengan M dan M merupakan fungsi x.
Syarat persamaan eksak adalah jika :
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
Contoh :
1. Selesaikan PD dibawah ini :
(x3 – y sin x) dx + (cos x + 2y)dy = 0 (1)
Dimana :
M = x3 – y sin x
36

3. N = cos x + 2y
Maka ;
dM/dy = -sin x
dN/dx = - sin x
jadi : x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
(PDB eksak)
Jika penyelesaian umumnya adalahφ, dimana :
φ = f(x,y)
Maka jika diturunkan akan menjadi :
dy
y
dx
x
d
∂
∂
+
∂
∂
=
φφ
φ (2)
Bandingkan persamaan (1) dengan persamaan (2)
xyx
x
sin3
−=
∂
∂φ
(2a)
yx
y
2cos +=
∂
∂φ
(2b)
Jika M atau dφ/dx diintegralkan ke x maka :
φ = ¼ x4
+ y cos x + f(y) (3)
Jika persamaan (3) diturunkan parsial terhadap y maka :
)(cos '
yfx
y
+=
∂
∂φ
(4)
Persamaan (4) adalah sama dengan persamaan (2b), sehingga
Cos x + f’(y) = cos x + 2y
f’(y) = 2y , jika diintegralkan akan diperoleh :
f(y) = y2
+ C (5)
Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (3)
φ = ¼ x4
+ y cos x + 2y + C
Jadi PUPD adalah :
37

4. ¼ x4
+ y cos x + y2
+ C
Secara singkat cara penyelsaian PD eksak adalah :
3.2.2 Persamaan yang dapat dipisahkan (separable equation)
Jika persamaan Mdx + Ndy = 0 dapat diubah menjadi f(x) dx + g(y) dy,
persamaan diferensial ini disebut PD yang dapat dipisahkan. Sedangkan
penyelesaiannya adalah :
∫ ∫ =+ Cdyygdxxf )()(
Contoh :
2. Selesaikan PD berikut ini :
x(1 + y2
)1/2
+ y(1+x2
)1/2
dy/dx = 0
Penyelesaian :
PD dapat diubah menjadi dalam bentuk :
x(1 + y2
)1/2
dx = - y(1+x2
)1/2
dy
Dipisahkan variabelnya :
2/122/12
)1()1( y
dyy
x
dxx
+
−
=
+
38
1. M diintegralkan terhadap x, akan diperoleh φ
2. φ dideferensialkan terhadap y
3. Samakan antara dφ/dy = N akan diperoleh f(y)
4. Masukan f(y) ke PUPD (φ)

5. 0
)1()1( 2/122/12
=
+
−
+
+ y
dyy
x
dxx
Jika diintegralkan :
0
)1()1( 2/122/12
=
+
+
+ ∫∫ y
dyy
x
dxx
PUPD :
(1 + x2
)1/2
+ (1 + y2
)1/2
= C
3.2.3. Persamaan Homogen
Persamaan diferensial disebut dengan persamaan homogen adalah jika
persamaannya berbentuk :
)(
x
y
f
dx
dy
= (1)
PD ini diselesaikan dengan substitusi
y = νx (2)
dy/dx = ν + x dν/dx (3)
Jika persamaan (3) disubtitusikan ke persamaan (1) akan diperoleh :
)(υ
υ
υ f
dx
d
x =+
υυ
υ
−= )(f
dx
d
x
υυ
υ
−
=
)(f
d
x
dx
(4)
Jika persamaan (4) diintegralkan akan diperoleh
C
f
d
x +
−
= ∫ υυ
υ
)(
ln
Contoh :
39

6. 3. Selesaikan PD dibawah ini
2xy dy/dx – y2
+ x2
= 0
Penyelesaian :
Jika PD dibagi dengan x2
akan menjadi :
012 2
2
=+−





x
y
dx
dy
x
y
Substitusikan persamaan (2) dan (4) ke persamaan di atas :
01)(2 2
=+−+ υ
υ
υυ
dx
d
x
0122 22
=+−+ υ
υ
υυ
dx
d
x
)1(2 2
υ
υ
υ −−=
dx
d
x
dx
x
d 1
)1(
2
2
−=
−υ
υυ
Jika diintegralkan akan diperoleh :
ln (1-ν2
) = - ln x + ln a
(1-ν2
) = Cx-1
1
2
2
1 −
=− Cx
x
y
Jadi PUPDnya adalah :
x2
– y2
= Cx
3.2.4. Faktor Integral
Persamaan umum PD yang dapat diselesaikan dengan faktor integral :
dy/dx + P(x)y = Q(y)
40

7. Faktor pengintegralan diberikan dalam bentuk :
∫=
dxxP
e
)(
µ
Persamaan umumnya dapat ditulis :
Q
dx
yd
µ
µ
=
)(
Dengan penyelsaian umumya :
∫ += CQdxy µµ
Atau,
∫ +∫=∫ CdxeQye
dxxPdxxP )()(
Contoh soal :
4. Selesaikan PD berikut ini :
dy/dx + y cotg x = tg x
Penyelesaian :
P(x) = cotg x
Q(x) = tg x
PUPD : ∫ +∫=∫ CdxeQye
dxxPdxxP )()(
Dimana :
xee xxdxg
sinsinlncot
==∫=µ
Jadi
y sin x = ∫ +Cxdxtgx sin
y sin x = Cdx
x
x
+∫ cos
sin2
Catatan :
Sin2
x = 1 – cos2
x
41

8. Sehingga :
y sinx = Cdx
x
x
+
−
∫ cos
)cos1( 2
y sin x = ∫∫ +− Cxdxdx
x
cos
cos
1
y sin x = ln (sec x + tan x) – sin x + C
Faktor Pengintegralan yang lain :
Misal terdapat suatu persamaan diferensial berbentuk :
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Dimana :
x
N
y
M
∂
∂
∉
∂
∂
Persamaan ini dapat diubah menjadi suatu PD eksak dengan mengalikannya
dengan suatu faktor µ.
µ M dx + µN dy =0
Dimana :
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂ )()( µµ
Sehingga persamaan ini dapat diselesaiak dengan PD eksak.
Contoh :
5. Selesaiak PD dibawah ini :
(3xy2
+ 2y) dy + (2x2
+ x)dy =0
Penyelesaian :
42

9. M = (3xy2
+ 2y)
N = (2x2
+ x)
26 +=
∂
∂
xy
y
M
14 +=
∂
∂
xy
x
N
Dapat dilihat bahwa :
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂ )()( µµ
Jika M dan N dikalikan dengan x maka akan menjadi
M = (3x2
y2
+ 2xy)
N = (2x3
+ x2
)
xyx
y
M
26 2
+=
∂
∂
xyx
x
N
26 2
+=
∂
∂
Dapat dilihat bahwa :
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
PD dapat diselesaikan dengan PD eksak.
2.3. Persamaan Diferensial Biasa Orde 2
Persamaan umum PDB order 2 adalah :
)(2
2
xRy
dx
dy
Q
dx
yd
P φ=++
Secara umum PDB order 2 dikelmpokkan menjadi 2 kelompok :
1. PDB order 2 non linier
43

10. a. Persamaan tidak mengandung y
b. Persamaan tidak mengandung x
c. Persamaan homogen
2. PDB order 2 linier
a. Koefisien dalam persamaan merupakan konstanta
b. Koefisien dalam persamaan merupakan fugsi x
2.3.1. PDB Order 2 Non Linier
a. Persamaan tidak mengandung y
PDB order 2 yang tidak mengandung y dapat berbentuk :
i. )(2
2
x
dx
yd
φ= Dalam hal ini tidak mengandung dy/dx dan y
Penyelesaiannya adalah dengan integrasi dua kali.
Contoh soal:
6. Selesaiak PDB order 2 dibawah ini :
y’’ = 2x + 2
Penyelesaian :
222
2
+=∫ x
xd
yd
1
2
2 Cxx
dx
dy
++=
Jika diintegralkan lagi akan menjadi :
Y = 1/3 x3
+ x2
+ C1x + C2
ii. ),(2
2
dx
dy
x
dx
yd
φ= Dalam hal ini tidak mengandung y
44

11. Penyelesaiannya adalah dengan substitusi P = dy/dx, sehingga akan
dihasilkan suatu PDB order 1.
Contoh soal :
7. Selesaikan PD dibawah ini :
ax
dx
dy
x
dx
yd
=+2
2
Penyelesaian :
Substitusi :
P = dy/dx
dP/dx = d2
y/dx2
Persamaan menjadi :
axxP
dx
dP
=+
Adalah PDB order 1 dan dapat diselesaikan .
b. Persamaan Tidak Mengandung x
Persamaan umumnya adalah :
),(2
2
dx
dy
y
dx
yd
φ=
Penyelesaiannya adalah dengan subtitusi ν = y’.
y’’ =
dx
dy
dx
dy
dy
d
dx
d
dx
yd
υ
υυ
===2
2
Akan diperoleh persamaan :
45

12. ),( υ
υ
υ yf
dy
d
=
Persamaan diatas merupakan PDB order 1
Contoh soal :
8. Selesaiakan PD dibawah ini :
0
3
2
2
=





+ y
dx
dy
dx
yd
Penyelesaian :
Subtitusi :
y’ = ν dan
dx
dy
dx
yd
υ=2
2
PD akan menjadi :
03
=+ y
dy
d
ν
ν
ν
ydy
d
−=2
2
ν
ν
2
2
1
y−=−
ν
2
2
/
1
y
dxdy
=
2
2
1
ydx
dy
=
2y2
dy = dx
Y3
= x + C
Jadi PUPD nya adalah :
Y3
– x + C = 0
46

13. 2.3.2. PDB Orde 2 Linier
Persamaan umum PDB order 2 adalah :
)(2
2
xRy
dx
dy
Q
dx
yd
P φ=++
Dimana P, Q, R adalah konstanta
Penyelesaian umum PDB order 2 linier :
Substitusi :
y = u + v
dx
d
dx
du
dx
dy ν
+=
2
2
2
2
2
2
dx
d
dx
ud
dx
yd ν
+=
Sehingga persamaan menjadi :
)()()()( 2
2
2
2
xvuR
dx
dv
dx
du
Q
dx
d
dx
ud
P φ
ν
=+++++
Persamaan diatas dapat dipecah menjadi dua :
+++ )( 2
2
Ru
dx
du
Q
dx
ud
P )()( 2
2
xRv
dx
dv
Q
dx
vd
P φ=++
0)( 2
2
=++ Ru
dx
du
Q
dx
ud
P (Complementary Function = CF)
)()( 2
2
xRv
dx
dv
Q
dx
vd
P φ=++ (Particular Integral = PI)
Persamaan kemudian diselesaiak perkelompok yaitu CF dan PI
PUPD = CF + PI = yc + yp
47

14. Penyelesaian Complementary Function (yc)
Contoh 9.
Selesaikan PD dibawah ini :
0652
2
=+− y
dx
dy
dx
yd
Penyelesaian :
Misal :
y = Am. emx
dy/dx = Am. m. emx
d2
y/dx2
= Am.m2
.emx
yc = Am1.em1x
+ Am2.em2x
yc = A em1x
+ B.em2x
Persamaan akan menjadi :
Am.m2
.emx
– 5. Am. m. emx
+ 6. Am. emx
= 0
Am.emx
(m2 – 5m + 6)=0
Am.emx
((m-2)+(m-3))=0
Jadi :
m1 = 2
m2 = 3 (AKAR-AKARNYA BERBEDA)
yc = A.e2x
+ B.e3x
Contoh 10.
Selesaiakan PD dibawah ini
y’’ + 6y’ + 6y = 0
48

15. Penyelesaian :
m2
+ 6m + 9 = 0
(m + 3)2
= 0
m1 = m2 = -3 (AKAR-AKARNYA SAMA)
yc = (Ax + B)e-3x
Contoh 11.
Selesaiakan PD dibawah ini
y’’ – 4 y’ + 5y = 0
Penyelesaian :
m2
- 4m + 5 = 0
a
acbb
m
2
42
2,1
−±−
=
1.2
5.1.444 2
2,1
−±−
=m
m1,2 = 2 42/1 −±
m1,2 = 2 12/1.2 −±
m1,2 = 2 i±
m1 = 2 + i
m2 = 2 – i (AKAR-AKARNYA IMAJINER)
yc = (A cos x + B sin x) e2x
Penyelesaian Particular Integral (yp)
Persamaan umum :
)()( 2
2
xRy
dx
dy
Q
dx
yd
P φ=++
49

16. φ(x) dapat konstanta ataupun variabel
Secara umum particular integral adapt diselesaikan dengan :
a. Metode Undetermined coefficient (Prinsip coba-coba)
b. Metode Invers Operator
Pada modul ini hanya akan dibahas metode undetermined coefficient
a. Jika φ(x) adalah konstanta ( K )
dicoba dengan asumsi :
yp = C , 0=
dx
dyp
, 02
2
=
dx
yd p
Jika dimasukkan ke PI maka
)()( 2
2
xRy
dx
dy
Q
dx
yd
P φ=++
0 + 0 + Ryp = K
yp = K/R
Contoh 12.
Selesaikan PD dibawah ini :
50
Jika pada suatu PI harga R=0, maka ambil harga coba-coba yp = Cx

17. 322
2
=++ y
dx
dy
dx
yd
Penyelesaian :
• Penyelesaian CF
m2
+ m – 2 = 0
(m – 1) (m + 2) = 0
M1 = 1
M2 = -2
Yc = A.ex
+ B.e-2x
• Penyelesaian PI
yp = C , 0=
dx
dyp
, 02
2
=
dx
yd p
masukkan ke PD
0 + 0 -2yp = 3
yp = -3/2
jadi PUPD : y = yc + yp
y = A.ex
+ B.e-2x
– 3/2
b. Jika φ(x) adalah polinomial
φ(x) = ao + a1 x + a2 x2
+ a3 x3
+ .......+ an xn
Maka penyelesaian PI adalah :
yp = αo + α1 x + α2 x2
+ α3 x3
+ .......+ αn xn
..............=
dx
dyp
..............2
2
=
dx
pdy
51

18. Subsitusikan ke PI kemudian disamakan.
Contoh 13.
Selesaikan PD dibawah ini
3
2
2
8444 xxy
dx
dy
dx
yd
+=+−
Penyelesaian :
• Penyelesaian CF
m – 4m + 4 = 0
(m – 2) (m – 2) =0
M1 =2
M2 = 2
yc = (Ax + B)e2x
• Penyelesaian PI
Dicoba
yp = p + q x + r x2
+ s x3
2
32 sxrxq
dx
dyp
++=
sxr
dx
pdy
622
2
+=
Jika dimasukan ke PD akan diperoleh
)62( sxr + )32(4 2
sxrxq ++− + 4 (p + q x + r x2
+ s x3
) = 4 x + 8x3
Samakan ruas kiri dengan ruas kanan untuk x dengan pangkat yang sama.
Xo
: 2r – 4q + 4p = 0
X1
: 6s – 8r + 4q = 4
52

19. X2
: -12s + 4r = 0
X3
: 4s + = 0
Jika diselesaikan akan diperoleh :
p = 7, q = 10, r = 6, s = 2
Jadi Yp nya adalah :
Yp = 7 + 10 x + 6 x2
+ 2 X3
Dan PUPDnya adalah :
y = yc + yp = (Ax + B)e2x
+ 7 + 10 x + 6 x2
+ 2 X3
c. Φ(x) adalah eksponensial
Φ(x) = T exp(rx)
Dicoba
yp = α erx
rx
re
dx
dyp
α=
rx
er
dx
pdy 2
2
2
α=
Jika disubtitusikan ke PDB order 2 akan diperoleh :
P rx
er 2
α + rx
reQ α. + R.α erx
= T erx
( P r2
+ Qr + R) α erx
= T erx
RQr
T
++
= 2
Pr
α
Harga α kemudian dimasukkan key p
d. Φ(x) adalah trigonometri
Φ(x) = G sin nx + H cos nx
Dicoba :
Yp = L sin nx + M cos nx
53

20. nxnMxnL
dx
dyp
sincos −=
nxMnxLn
dx
pdy
coscos 22
2
2
−−=
Jika disubstitusikan ke PDB order 2 akan diperoleh :
2222
2
)(
)(
QnPnR
nQHGPnR
L
+−
+−
=
2222
2
)(
)(
QnPnR
nQGHPnR
M
+−
+−
=
Coba dibuktikan sendiri !!!
54

21. 55