يتناول المستند مسائل رياضية متعلقة بالزوايا والمثلثات في الصف الثالث الإعدادي، تتضمن حساب قياسات الزوايا واستخدام النسب المثلثية. كما يتطرق إلى استنتاجات حول المشاكل المختلفة باستخدام مفاهيم هندسية عن الأشكال والمثلثات. الهدف من المستند هو تعزيز مهارات الطلاب في حل المسائل الرياضية والتمكين من فهم العلاقات الهندسية.

1. 1
‫اإلعدادى‬ ‫الثالث‬ ‫الصف‬
(1)‫مت‬ ‫زاويتين‬ ‫قياسى‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬‫كاملتين‬7:9‫منهما‬ ‫لكل‬ ‫الستينى‬ ‫القياس‬ ‫فأوجد‬
(2)= ‫ب‬ ‫أ‬ : ‫حيث‬ ‫أ‬ ‫فى‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬9= ‫جـ‬ ‫أ‬ ، ‫سم‬12‫سم‬
1‫حـ‬ ‫ظا‬ ، ‫حـ‬ ‫حتا‬ ، ‫حـ‬ ‫حا‬ ، ‫ب‬ ‫ظا‬ ، ‫ب‬ ‫حتا‬ ، ‫ب‬ ‫حا‬ : ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫أوجد‬ )
2‫حـ‬ ‫حتا‬ ‫ب‬ ‫حا‬ : ‫أن‬ ‫أثبت‬ )= ‫حـ‬ ‫حا‬ ‫ب‬ ‫حتا‬ +1
(3)، ‫ب‬ ‫فى‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬
= ‫ب‬ ‫أ‬6= ‫جـ‬ ‫ظا‬ ، ‫سم‬
3
4
: ‫أوجد‬1‫أ‬ ‫حتا‬ +‫أ‬ ‫حا‬ )
2‫حا‬ )2
‫حا‬ + ‫حـ‬2
‫أ‬
(4‫كان‬ ‫فإذا‬ ‫ب‬ ‫فى‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ )2= ‫ب‬ ‫أ‬3‫المثلثية‬ ‫النسب‬ ‫فأوجد‬ ‫جـ‬ ‫أ‬
. ‫جـ‬ ‫للزاوية‬ ‫األساسية‬
(5‫شبه‬ ‫د‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ )‫فيه‬ ‫الساقين‬ ‫متساوى‬ ‫منحرف‬‫د‬ ‫أ‬̅//‫جـ‬ ‫ب‬̅̅̅̅̅= ‫د‬ ‫أ‬ ،4= ‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫سم‬5، ‫سم‬
= ‫جـ‬ ‫ب‬12: ‫أن‬ ‫أثبت‬ ‫سم‬
5‫جـ‬ ‫حتا‬ ‫ب‬ ‫ظا‬
‫ب‬ ‫جتا‬2 ‫حـ‬ ‫حا‬
2
=3
(6= ‫جـ‬ ‫أ‬ = ‫ب‬ ‫أ‬ ‫فيه‬ ‫مثلث‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ )11= ‫جـ‬ ‫ب‬ ، ‫سم‬12‫رسم‬ ، ‫سم‬‫د‬ ‫أ‬⃖‫جـ‬ ‫ب‬̅̅̅̅̅‫يقطعها‬
‫د‬ ‫فى‬‫(جـ‬ ‫حا‬ : ‫قيمة‬ ‫أوجد‬‫أ‬̂)‫د‬‫(جـ‬ ‫حتا‬ ،‫أ‬̂‫(جـ‬ ‫ظا‬ ، )‫د‬‫أ‬̂)‫د‬
: ‫أن‬ ‫أثبت‬‫حا‬ )‫أ‬2
‫حتا‬ + ‫جـ‬2
= ‫جـ‬1
> ‫جـ‬ ‫حتا‬ + ‫ب‬ ‫حا‬ )‫ب‬1
(7)‫حا‬ : ‫قيمة‬ ‫أوجد‬31‫حتا‬61‫حتا‬ +2
31+5‫ظا‬45-11‫حتا‬2
45
‫أ‬
‫ب‬‫جـ‬
6‫سم‬

2. 2
‫اإلعدادى‬ ‫الثالث‬ ‫الصف‬
(8‫أكم‬ )‫ــ‬‫ـل‬
1‫جا‬ )36°.................... =
2‫ظا‬ )25//
46/
51°.................... =
3= ‫هـ‬ ‫حا‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ )1,0............... = ‫هـ‬ ‫فإن‬
4= ‫هـ‬ ‫حتا‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ )1,7152............... = ‫هـ‬ ‫فإن‬
5= ‫هـ‬ ‫ظا‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ )1,5156............... = ‫هـ‬ ‫فإن‬
6، ‫أ‬ ( ‫النقطتين‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ )1( ، )1،1= ‫أ‬ : ‫فإن‬ ‫واحدة‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬ ‫هو‬ ).............
7‫ال‬ ‫فى‬ )‫إذا‬ ‫د‬ ‫جـ‬ ‫أب‬ ‫مربع‬‫كا‬( ‫أ‬ ‫ن‬3،5( ‫ب‬ ، )4،2....= ‫المربع‬ ‫مساحة‬ ‫فإن‬ ).............
‫وحد‬‫ة‬‫مساحة‬.
(9: ‫المعطاه‬ ‫اإلجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫اختر‬ )
1= ‫جـ‬ ‫حا‬ : ‫كانت‬ ‫إذا‬ )
1
2
............... = )‫جـ‬ <( ‫ق‬ : ‫فإن‬ ‫حادة‬ ‫زاوية‬ ‫جـ‬ ‫حيث‬
)‫أ‬31)‫ب‬61)‫جـ‬45‫د‬)91
2= ‫س‬ ‫حا‬ : ‫وكان‬ ‫حادة‬ ‫زاوية‬ ‫قياس‬ ‫س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ )
1
2
‫حا‬ ‫فإن‬2
............... = ‫س‬
)‫أ‬1)‫ب‬
1
4
)‫جـ‬
3
2
)‫د‬
1
2
3: ‫كان‬ ‫إذا‬ )2‫ح‬‫ت‬‫ظا‬ = ‫س‬ ‫ا‬61............. = )‫س‬ <( ‫ق‬ : ‫فإن‬ ‫حادة‬ ‫زاوية‬ ‫قياس‬ ‫س‬ ‫حيث‬
)‫أ‬31)‫ب‬45)‫جـ‬61)‫د‬41
4‫إذ‬ ): ‫كان‬ ‫ا‬‫ح‬‫ا‬2= ‫س‬
3
2
‫حيث‬2............... = )‫س‬ <( ‫ق‬ : ‫فإن‬ ‫حادة‬ ‫زاوية‬ ‫س‬
)‫أ‬15)‫ب‬31)‫جـ‬61)‫د‬45
5‫حتا‬ : ‫كان‬ ‫إذا‬ )
‫س‬
2
=
1
2
‫حيث‬
‫س‬
2
............... = )‫س‬ <( ‫ق‬ : ‫فإن‬ ‫حادة‬ ‫زاوية‬
)‫أ‬31)‫ب‬45)‫جـ‬61)‫د‬121

3. 3
‫اإلعدادى‬ ‫الثالث‬ ‫الصف‬
6: ‫كان‬ ‫إذا‬ )+ ‫(س‬ ‫حتا‬11= )
1
2
+ ‫(س‬ ‫حيث‬11............... = ‫س‬ : ‫فإن‬ ‫حادة‬ ‫زاوية‬ )
)‫أ‬31)‫ب‬41)‫جـ‬51)‫د‬71
7‫ظا‬ )75............... =
)‫أ‬
75 ‫حتا‬
75 ‫حا‬
)‫ب‬
75 ‫حا‬
75 ‫حتا‬
)‫جـ‬3‫ظا‬25)‫د‬3‫حا‬25‫حتا‬25
0‫ظا‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ )3= ‫س‬3‫حيث‬3‫حادة‬ ‫زاوية‬ ‫س‬....... = )‫س‬ <( ‫ق‬ ‫فإن‬
)‫أ‬11°)‫ب‬21°)‫جـ‬41°)‫د‬61°
9‫مسافة‬ ‫األصل‬ ‫نقطة‬ ‫عن‬ ‫تبعد‬ ‫التى‬ ‫النقطة‬ ‫متعامد‬ ‫إحداثى‬ ‫مستوى‬ ‫فى‬ )2‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬
................... ‫تكون‬
( )‫أ‬1،2)( )‫ب‬2،1)( )‫جـ‬1،2)( )‫د‬-3،5)
5( ‫النقطة‬ ‫بعد‬ )2،-3= ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫عن‬ ). ‫طول‬ ‫وحدة‬ ...................
)‫أ‬2)‫ب‬-3)‫جـ‬13)‫د‬3
(11: ‫يأتى‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫س‬ ‫قيمة‬ ‫أوجد‬ )
1)‫س‬‫حا‬31‫حتا‬2
45‫حتا‬ =2
31
2‫حا‬ = ‫س‬ ‫حا‬ )61‫حتا‬31-‫حتا‬61‫حا‬31‫حادة‬ ‫زاوية‬ ‫س‬ ‫حيث‬
(11: ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ )
: ‫فيه‬ ‫مستطيل‬ ‫د‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬
= ‫ب‬ ‫أ‬15‫سم‬= ‫جـ‬ ‫أ‬ ،25‫سم‬
: ‫أوجد‬1)‫ب‬ ‫جـ‬ ‫أ‬ <( ‫ق‬ )
2‫المس‬ ‫مساحة‬ )‫ت‬‫د‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫طيل‬
‫أ‬‫د‬
‫جـ‬ ‫ب‬
15‫سم‬

4. 4
‫اإلعدادى‬ ‫الثالث‬ ‫الصف‬
(21: ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ )
= )‫جـ‬ < ( ‫ق‬41°= ‫جـ‬ ‫أ‬ ،12، ‫سم‬
‫واحد‬ ‫عشرى‬ ‫رقم‬ ‫ألقرب‬ ‫أوجد‬
‫طول‬‫ب‬ ‫أ‬̅̅̅̅‫طول‬ ،‫جـ‬ ‫ب‬̅̅̅̅̅. ‫سم‬ ‫ألقرب‬
(13)( ‫أ‬ ‫حيث‬ ً‫ا‬‫مثلث‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫كان‬ ‫إذا‬1،1( ‫ب‬ ، )3،4( ‫جـ‬ ، )-4،3)
‫محيط‬ ‫أوجد‬‫جـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬
(14)( ‫أ‬ : ‫النقط‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬-2،7( ‫ب‬ ، )-3،4( ‫جـ‬ ، )1،16. ‫واحدة‬ ‫استقامة‬ ‫على‬ ‫تقع‬ )
(15)( ‫أ‬ : ‫رؤوسه‬ ‫الذى‬ ‫المثلث‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬3،2( ‫ب‬ ، )-4،1( ‫جـ‬ ، )2،-1‫الزاوية‬ ‫قائم‬ )
‫وأ‬. ‫مساحته‬ ‫وجد‬
‫أ‬
‫ب‬‫جـ‬ 41°

5. 5
‫اإلعدادى‬ ‫الثالث‬ ‫الصف‬
(1)7+ ‫س‬9= ‫س‬101
16= ‫س‬101←= ‫س‬
91
0
= ‫األولى‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬
91
0
×7
= ‫الثانية‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬
91
0
×9
(2)
( ‫ق‬‫أ‬̂= )91°
= ‫جـ‬ ‫ب‬2
9+2
12=15‫سم‬
= ‫ب‬ ‫حا‬
12
15
=
4
5
= ‫ب‬ ‫حتا‬
9
15
=
3
5
= ‫ب‬ ‫طا‬
12
9
=
4
3
= ‫جـ‬ ‫حا‬
9
15
=
3
5
‫جـ‬ ‫حتا‬=
12
15
=
4
5
= ‫حـ‬ ‫طا‬
9
12
=
3
4
‫حـ‬ ‫حا‬ ‫ب‬ ‫حتا‬ + ‫حـ‬ ‫حتا‬ ‫ب‬ ‫حا‬=
4
5
×
4
5
+
3
5
×
3
5
=
25
25
=1
(3)= ‫أ‬ ‫حتا‬ + ‫أ‬ ‫حا‬
‫ب‬ ‫أ‬
‫جـ‬ ‫ب‬
=
3
4
←
6
‫جـ‬ ‫ب‬
=
3
4
‫ب‬= ‫جـ‬
6×4
3
=0‫سم‬
‫فيثاغورث‬ ‫من‬= ‫جـ‬ ‫أ‬11‫سم‬
1= ‫أ‬ ‫حتا‬ + ‫أ‬ ‫حا‬ )
0
11
+
6
11
=
14
11
=1,4
2‫حا‬ )2
‫حا‬ + ‫حـ‬2
= ‫أ‬
36
111
+
64
111
=
111
111
=1
1616
‫أ‬
‫ب‬
‫جـ‬
9‫سم‬
15‫سم‬
12‫سم‬

6. 6
‫اإلعدادى‬ ‫الثالث‬ ‫الصف‬
(4)
‫ب‬ ‫أ‬
‫حـ‬ ‫أ‬
=
3
2
= ‫حـ‬ ‫حا‬
3
2
= ‫حـ‬ ‫حتا‬
1
2
= ‫حـ‬ ‫طا‬3
(5)‫تطابق‬ ‫من‬∆∆
‫د‬ ، ‫س‬ ‫ب‬ ‫أ‬‫ح‬‫ص‬ ‫ـ‬
= ‫س‬ ‫ب‬= ‫ص‬ ‫حـ‬
12-4
2
=4‫سم‬
= ‫ص‬ ‫د‬ = ‫س‬ ‫أ‬ ‫فيثاغورث‬ ‫من‬3‫سم‬

5‫جـ‬ ‫حتا‬ ‫ب‬ ‫ظا‬
‫ب‬ ‫جتا‬2 ‫حـ‬ ‫حا‬
2
=
4
5
3
4
5
(
4
5
)
2
(
3
5
)
2
=3
(6)‫حـ‬ ‫أ‬ = ‫ب‬ ‫أ‬
،‫د‬ ‫أ‬̅‫حـ‬ ‫ب‬̅̅̅̅̅
‫د‬ ‫حـ‬ = ‫د‬ ‫ب‬=
12
2
=6‫سم‬
= ‫د‬ ‫أ‬2
11–2
6=0‫سم‬
‫(حـ‬ ‫حا‬‫أ‬̂= )‫د‬
6
11
=
3
5
‫حتا‬‫(حـ‬‫أ‬̂= )‫د‬
0
11
=
4
5
‫(حـ‬ ‫طا‬‫أ‬̂= )‫د‬
6
0
=
3
4
: ‫أن‬ ‫أثبت‬
‫حا‬ )‫أ‬2
(‫حتا‬ + )‫حـ‬2
= )‫(حـ‬(
6
11
)
2
+(
0
11
)
2
=
111
111
=1
= ‫حـ‬ ‫حتا‬ + ‫ب‬ ‫حا‬ )‫ب‬
6
11
+
0
11
=1,4>1
‫ب‬
‫أ‬
‫جـ‬
32
1
‫أ‬
4‫سم‬12‫سم‬
‫د‬
4‫سم‬
‫ب‬
‫س‬‫ص‬
‫جـ‬
4‫سم‬
5‫سم‬5‫سم‬
‫أ‬
‫ب‬‫د‬
‫حـ‬
11‫سم‬ 11‫سم‬
12‫سم‬

7. 7
‫اإلعدادى‬ ‫الثالث‬ ‫الصف‬
(7)
1
4
+
3
4
+5–11×
1
2
=1
(8)1)1,50702)1,225
3)40//
7/
53°4)25//
21/
44°
5)59//
34/
56°6)1
7)11‫مربعة‬ ‫وحدات‬
(9)1)31°2)
1
4
3)31°
4)31°5)121°6)51°
7)
‫حا‬75°
‫حت‬‫ا‬75°
0)21°9( )1،2)
(11)1= ‫س‬ )32)31°
(11)‫(أ‬ ‫حا‬‫جـ‬̂= )‫ب‬
15
25
=
3
5
‫(أ‬ ‫ق‬‫حـ‬̂= )‫ب‬12//
52/
36°
‫فيثاغورث‬ ‫من‬
= ‫حـ‬ ‫ب‬2
25–2
15=21‫سم‬
= ‫د‬ ‫حـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫المستطيل‬ . ‫م‬15×21=311‫سم‬2
(12)‫حا‬41=
‫ب‬ ‫أ‬
‫حـ‬ ‫أ‬
‫حا‬41=
‫ب‬ ‫أ‬
12
= ‫ب‬ ‫أ‬12‫حا‬41~7,7‫سم‬
)‫حـ‬ ‫(ب‬2
)‫حـ‬ ‫(أ‬ =2
–)‫ب‬ ‫(أ‬2
= ‫حـ‬ ‫ب‬144–59,5=9,2
= ‫حـ‬ ‫ب‬9,2‫سم‬

8. 8
‫اإلعدادى‬ ‫الثالث‬ ‫الصف‬
(13)= ‫ب‬ ‫أ‬32
+42
=5‫طول‬ ‫وحدة‬
= ‫حـ‬ ‫ب‬2
7+2
1=52‫طول‬ ‫وحدة‬
= ‫حـ‬ ‫أ‬2
4+2
3=5‫طول‬ ‫وحدة‬
‫محيط‬∆= ‫حـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬5+5+52=11+52‫طول‬ ‫وحدة‬
(14)= ‫ب‬ ‫أ‬12
+32
=11‫طول‬ ‫وحدة‬
= ‫حـ‬ ‫ب‬16+144=411‫طول‬ ‫وحدة‬
= ‫حـ‬ ‫أ‬9+01=311
‫حـ‬ ‫ب‬ = ‫حـ‬ ‫أ‬ + ‫ب‬ ‫أ‬‫واحدة‬ ‫إستقامة‬ ‫على‬ ‫حـ‬ ، ‫ب‬ ، ‫أ‬
(15))‫ب‬ ‫(أ‬2
( =3+4)2
( +2–1)2
=51
)‫حـ‬ ‫(ب‬2
( =-4–2)2
( +1+1)2
=41
)‫حـ‬ ‫(أ‬2
( =3–2)2
( +2+1)2
=11
)‫حـ‬ ‫(أ‬2
)‫حـ‬ ‫(ب‬ +2
)‫ب‬ ‫(أ‬ =2
∆‫حـ‬ ‫فى‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫حـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬
= ‫مساحته‬
1
2
×11×41=11‫مساحة‬ ‫وحدة‬