2. 2.1 MEMAHAMI KONSEP HIMPUNAN
dan DIAGRAM VENN
Himpunan adalah kumpulan benda
yang didefinisikan dengan baik dan jelas.
Contoh :
a. Kumpulan bulan dalam 1 tahun yang
memiliki 30 hari merupakan
himpunan, karena dapat disebutkan
dan terdefinisi dengan jelas.
b. Kumpulan gadis – gadis cantik adalah
bukan himpunan, karena cantik tidak
dapat didefinisikan dengan jelas.
3. Unsur atau anggota suatu himpunan adalah semua
benda yang terdapat dalam himpunan tersebut.
Contoh :
Jika H adalah himpunan bilangan genap kurang dari 5,
maka :
2 adalah anggota dari H, atau 2 H
3 adalah bukan anggota dari H, atau 3 H
Cara menyatakan sebuah himpunan :
1. Menyatakan himpunan dengan kata-kata atau sifat
yang
dimiliki anggotanya.
Contoh : M adalah himpunan bilangan ganjil kurang
dari 8.
2. Menyatakan himpunan dengan menyebutkan
anggotanya.
Contoh : M = { 1, 3, 5, 7 }.
3. Menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk
himpunan.
Contoh : M = { x | x < 8, x himpunan bilangan
4. Konsep Himpunan Semesta dan
Diagram Venn
Himpunan Semesta adalah himpunan yang terdiri dari semua
anggota yang dibicarakan dan dinotasikan dengan S.
Contoh :
Himpunan Semesta adalah himpunan bilangan cacah, maka dapat
ditulis:
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Diagram Venn
Diagram Venn merupakan bentuk visualisasi dari himpunan ,
hubungan antar himpunan dan himpunan semestanya. Pada Diagram
Venn, himpunan semestanya dinyatakan dengan sebuah persegi
panjang dan himpunannya dinyatakan dengan lingkaran yang berada di
dalam persegi panjang.
Pada gambar di atas, S merupakan himpunan Semesta untuk himpunan
A. Daerah yang berada di dalam persegi panjang tetapi berada di luar
lingkaran dinyatakan sebagai komplemen dari A.
5. Kardinalitas Himpunan
Kardinalitas himpunan adalah
bilangan yang menyatakan banyaknya
anggota dari suatu himpunan dan
dinotasikan dengan n(A).
Contoh :
A = Himpunan bilangan ganjil antara 2
dan
10.
atau
A = {4, 6, 8} , maka n(A) = 3
6. Konsep Himpunan Kosong
Himpunan Kosong adalah himpunan
yang tidak memiliki anggota yang
dinotasikan dengan atau { } .
Contoh :
a. Himpunan bilangan prima yang
dapat dibagi dengan 4 merupakan
himpunan kosong karena tidak ada
anggota dari bilangan prima yang
dapat dibagi 4.
b. Misal A = {0} bukan himpunan
kosong, karena memiliki satu
anggota yaitu 0.
7. 2.2 MEMAHAMI RELASI
HIMPUNAN
Himpunan P merupakan himpunan bagian dari S jika
setiap anggota di P juga merupakan anggota di S.
Dapat ditulis : P S
Contoh :
A = { 1, 2, 3, 4, 5}
B = { 3, 4, 5}
B A , karena setiap anggota di B merupakan anggota
di A.
Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari
dirinya sendiri.
Jika A adalah sebuah himpunan maka A A.
Contoh :
A = { 5, 6}
F = { 5, 6}
F A, karena setiap anggota di F juga merupakan
anggota di A.
Karena F = A , maka A A.
8. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian
dari setiap himpunan.
Contoh:
Jika A = {1, 2} maka A.
Himpunan Kuasa himpunan A adalah himpunan-himpunan
bagian dari A, dan dilambangkan dengan
P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari
himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).
Jika A sebuah himpunan dan n(P(A)) = m, maka
banyaknya himpunan kuasa dari A adalah 2m
Contoh:
A = {a, b, c}
n(A) = 3
Banyaknya himpunan kuasa dari A adalah 23 = 8
yaitu : { a } , { b } , { c } , { a, b } , { a, c } , { b, c } , { a, b,
c } , { }
9. Kesamaan Dua Himpunan
Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya
jika
A B dan B A, dinotasikan dengan A = B.
Jika n(A) = n(B), maka himpunan A ekuivalen dengan
himpunan B.
Contoh :
Diketahui himpunan P = {a, b, c} dan Q = {c, a, b}.
Selidiki apakah P = Q?
Penyelesaian :
Setiap himpunan di P merupakan himpunan bagian dari
Q
atau P Q dan setiap himpunan Q merupakan
himpunan bagian dari P atau Q P.
Karena P Q dan Q P maka P = Q.
10. 2.3 MEMAHAMI OPERASI HIMPUNAN
IRISAN (Intersection)
Irisan himpunan A dan B, ditulis A B,
didefinisikan sebagai berikut:
A B = { x | x A dan x B}
Contoh:
a. Jika A = {Budi, Amir, Feri, Dani} dan B = {Johan,
Feri, Rudi},
maka A B = { Feri }, karena Feri A dan Feri B.
b. Jika P = {3, 5, 6, 7, 9} dan Q = {2, 3, 7, 10, 11, 12} ,
maka
P Q = { 3, 7 } karena 3 P, 3 Q dan 7 P, 7
Q.
c. Jika M = {, } dan N = {, } , maka M N = Ф
(himpunan kosong) karena tidak ada anggota x,
dimana
x M dan x N.
11. GABUNGAN (Union)
Gabungan himpunan A dan B adalah semua himpunan
yang memuat unsur di A dan B.
Jika D adalah himpunan gabungan dari A dan B, maka bisa
ditulis :
D = A B
Contoh:
a. Jika A = {-2, -1, 0} dan B = {1, 2, 3} maka
A B = { -2, -1, 0, 1, 2, 3 }
b. Jika P = {2, 3, 4, 5} dan Q = {3, 4, 5, 6} maka
P Q = { 2, 3, 4, 5, 6 }
c. Jika R = {5,6} dan T = {4, 5, 6, 7} maka
R T = { 4, 5, 6, 7 } atau R T = T
Secara umum, jika B A, maka A B = A.
d. Jika D = {3, 4, 5} dan E = {5, 4, 3} maka
D E = { 3, 4, 5 } = D = E
12. KOMPLEMEN
Jika S adalah himpunan semesta dari
himpunan B, maka komplemen himpunan B
adalah semua unsur yang ada di S dan bukan
anggota himpunan B.
Komplemen himpunan B ditulis B’ or BC.
Contoh :
a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {3, 5, 6}
B’ = {1, 2, 4 }
b. S = {a, b, c}
T = {a,c}
T’ = { b }
13. SELISIH
Selisih himpunan P dan Q, ditulis
P – Q, adalah anggota himpunan
yang ada di P tetapi tidak di Q.
P – Q = { x | x P and x Q }
Example:
P = {a, b, c, d, e }
Q = {c, d, e, f, g, h}
P – Q = {a, b}
Q – P = {f, g, h}
14. Sifat – sifat Operasi
Himpunan 1. Sifat Idempoten
Untuk sebarang himpunan A, berlaku : A A = A; A A =
A.
2. Sifat Identitas
Untuk sebarang himpunan A, berlaku :
A = A; A =
3. Sifat Komutatif
Misalkan A dan B adalah himpunan:
A B = B A ; A B = B A
4. Sifat Asosiatif
Untuk sebarang himpunan P, Q dan R, berlaku :
(P Q) R = P (Q R)
(P Q) R = P (Q R)
5. Sifat Distributif
Untuk sebarang himpunan P, Q dan R, berlaku:
P (Q R) = (P Q) (P R)
P (Q R) = (P Q) (P R)
