Επιμέλεια: Γιώργος Πολύζος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 1/4
ΠΡΟΤΑΣΗ:
Αν μια συνάρτηση :f A  είναι περιοδική, τότε ισχύουν τα ακόλουθα:
1. Αν η f είναι συνεχής και δεν είναι σταθερή, τότε θα έχει βασική περίοδο
0 0T  και το σύνολο P των περιόδων της θα είναι ίσο με το:
   0 0 0T kT k T
     P ,
όπου 0T η κυκλική προσθετική ομάδα με γεννήτορα το 0 0T  .
2. Αν η f δεν είναι συνεχής και δεν έχει βασική περίοδο, τότε το σύνολο P των
περιόδων της είναι πυκνό υποσύνολο του
ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Για την απόδειξη της πρότασης παραθέτουμε αρχικά δύο λήμματα, από τα οποία το
πρώτο χωρίς απόδειξη.
Λήμμα 1ο:
Αν μια συνάρτηση :f A  είναι περιοδική, τότε:
 Το άθροισμα και η διαφορά δύο περιόδων της είναι, επίσης, περίοδοι αυτής.
 Κάθε μη μηδενικό ακέραιο πολλαπλάσιο μιας περιόδου της είναι, επίσης,
περίοδος αυτής.
Λήμμα 2ο:
Αν μια περιοδική συνάρτηση :f A  δεν έχει βασική περίοδο, τότε υπάρχει
ακολουθία ( )nT θετικών περιόδων της, με lim 0n
n
T

 .
Απόδειξη του Λήμματος:
Έστω 1P τυχαία θετική περίοδος της f . Επειδή η f δεν έχει βασική περίοδο, θα
υπάρχουν θετικές περίοδοι 2 3 4, , ,..., ,...nP P P P της f τέτοιες, ώστε να ισχύει:
1 2 3 4 1... ... 0n nP P P P P P      
Ορίζεται, έτσι, μια ακολουθία ( )nP θετικών περιόδων της f , που είναι γνησίως
φθίνουσα και κάτω φραγμένη από το 0. Άρα , υπάρχει το lim 0n
n
P P
ορσ
  .
Ας θεωρήσουμε, τώρα, την ακολουθία 1 0,n n nT P P n 
    . Επειδή η διαφορά
δύο περιόδων της f είναι περίοδος αυτής, η ακολουθία ( )nT είναι μια ακολουθία
θετικών περιόδων της f για την οποία, επιπλέον, ισχύει:
 1lim lim 0n n n
n n
T P P P P
 
     .
Βρήκαμε, δηλαδή, μια ακολουθία ( )nT θετικών περιόδων της f , με lim 0n
n
T

 . Άρα
ισχύει το 2ο λήμμα.
Θα αποδείξουμε τώρα την πρόταση.
1. Αρχικά θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f έχει βασική περίοδο. Υποθέτουμε
ότι η συνάρτηση f δεν έχει βασική περίοδο και θα καταλήξουμε σε άτοπο,
14.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 21

2. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 2/4
αποδεικνύοντας ότι η f είναι σταθερή, που αντίκειται στην υπόθεση.
Πράγματι, για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή, αρκεί να
αποδείξουμε ότι για κάθε 0x A ισχύει 0( ) (0)f x f . Έστω τυχαίο 0x A . Για
να αποδείξουμε ότι 0( ) (0)f x f , αρκεί να αποδείξουμε ότι:
0( ) (0) , γιακάθε 0f x f ε ε  
Έστω τυχαίο 0ε  . Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής, θα υπάρχει 0δ 
τέτοιος, ώστε να ισχύει:
0 0 0( ) ( ) , γιακάθε , με ( , )f x f x x A x x xε δ δ      . (1)
Αν αποδείξουμε, τώρα, ότι υπάρχει όρος mT της ακολουθίας ( )nT του 1ου
λήμματος και ακέραιος 0k  τέτοιοι, ώστε να ισχύει:
0 0( , )mkT x xδ δ   , (2)
επειδή ο mkT , με 0k  , είναι περίοδος της f , θα ισχύει ( ) (0)mf kT f , οπότε,
λόγω των (2) και (1), θα έχουμε:
0 0(0) ( ) ( ) ( )mf f x f kT f x ε    ,
που ήταν το ζητούμενο προς απόδειξη.
Για να αποδείξουμε όμως τη σχέση (2) σκεφτόμαστε ως εξής:
Για να ισχύει η (2), αρκεί 0 0
,
m m
x x
k
T T
δ δ  
 
 
. Για να ισχύει, όμως αυτό, αρκεί
το πλάτος
2
mT
δ
του διαστήματος 0 0
,
m m
x x
T T
δ δ  
 
 
να είναι μεγαλύτερο του 2,
δηλαδή αρκεί να ισχύει mT δ . Κάτι τέτοιο, όμως, ισχύει, αφού lim 0n
n
T

 .
Ακολουθώντας την αντίστροφη πορεία του παραπάνω σκεπτικού, επειδή
lim 0n
n
T

 , έχουμε ότι υπάρχει όρος mT της ακολουθίας ( )nT τέτοιος, ώστε να
ισχύει mT δ , οπότε το πλάτος
2
mT
δ
του διαστήματος 0 0
,
m m
x x
T T
δ δ  
 
 
θα
είναι μεγαλύτερο του 2 και συνεπώς θα υπάρχει ακέραιος 0k  τέτοιος,
ώστε να ισχύει 0 0
,
m m
x x
k
T T
δ δ  
 
 
, οπότε θα ισχύει η (2), που ήταν το
ζητούμενο. Δείξαμε, έτσι, ότι η συνάρτηση f έχει βασική περίοδο, την οποία
ας ονομάσουμε 0T .
Θα αποδείξουμε τώρα ότι το σύνολο P των περιόδων της f είναι ίσο με το
σύνολο:
   0 0 0T kT k T
     P ,
όπου 0T η κυκλική προσθετική ομάδα με γεννήτορα το 0 0T  .
Πράγματι:
14.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 21

3. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 3/4
 Λόγω του 1ου λήμματος, κάθε στοιχείο του P είναι περίοδος της f . Άρα,
 P P .
 Έστω τυχαίο TP . Θα δείξουμε ότι υπάρχει k 
 τέτοιος, ώστε να
ισχύει 0T kT , οπότε θα ισχύει T P , απ’ όπου συνάγεται ότι P P .
Έτσι, θα έχουμε δείξει ότι  P P και P P , οπότε θα ισχύει P P .
Για να αποδείξουμε αυτό, υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει k 
 τέτοιος,
ώστε να ισχύει 0T kT και θα καταλήξουμε σε άτοπο. Πράγματι, αν δεν
υπάρχει k 
 τέτοιος, ώστε να ισχύει 0T kT , τότε θα υπάρχει k 

τέτοιος, ώστε να ισχύει 0 0( 1)kT T k T   , οπότε θα ισχύει 0 00 T kT T   .
Αυτό, όμως, είναι άτοπο, διότι, λόγω του 1ου λήμματος, ο αριθμός
0T T kT   είναι μια θετική περίοδος της f και δεν μπορεί να είναι
μικρότερη από την ελάχιστη θετική περιόδο αυτής.
2. Για να αποδείξουμε ότι το σύνολο P των περιόδων της συνάρτησης f είναι
πυκνό υποσύνολο του , αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε , ,α β
με α β , υπάρχει περίοδος TP τέτοια, ώστε να ισχύει ( , )T α β ή αρκεί να
αποδείξουμε ότι υπάρχει όρος mT της ακολουθίας ( )nT του 2ου λήμματος και
ακέραιος 0k  τέτοιοι, ώστε να ισχύει
( , )mT kT α β  (3)
Για να ισχύει η (3), αρκεί ,
m m
k
T T
α β 
 
 
. Για να ισχύει, όμως αυτό, αρκεί το
πλάτος
mT
β α
του διαστήματος Δ να είναι μεγαλύτερο του 2, δηλαδή αρκεί να
ισχύει
2
mT
β α
 . Κάτι τέτοιο, όμως, ισχύει, αφού lim 0n
n
T

 .
Ακολουθώντας την αντίστροφη πορεία του παραπάνω σκεπτικού, επειδή
lim 0n
n
T

 , έχουμε ότι υπάρχει όρος mT της ακολουθίας ( )nT τέτοιος, ώστε να
ισχύει
2
mT
β α
 , οπότε το πλάτος
mT
β α
του διαστήματος ,
m mT T
α β 
 
 
θα είναι
μεγαλύτερο του 2. Συνεπώς θα υπάρχει ακέραιος 0k  τέτοιος, ώστε να
ισχύει ,
m m
k
T T
α β 
 
 
, οπότε θα ισχύει η (3) , που ήταν το ζητούμενο και έτσι
η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
ΣΧΟΛΙΟ:
Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης f δεν έχει
μεμονωμένα σημεία (όπως είναι, για παράδειγμα, τα πεδία ορισμού των
συναρτήσεων y xημ , y xσυν , y xεφ και y xσφ ), το 1ο μέρος της
14.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 21

4. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 4/4
πρότασης που αφορά στην ύπαρξη βασικής περιόδου, μπορούμε να το
αποδείξουμε και ως εξής:
Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f δεν έχει βασική περίοδο και θα καταλήξουμε
σε άτοπο, αποδεικνύοντας ότι η f είναι σταθερή, που αντίκειται στην
υπόθεση.
Πράγματι, για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή, αρκεί να
αποδείξουμε ότι για κάθε 0x A ισχύει 0( ) (0)f x f . Έστω τυχαίο 0x A .
Επειδή η f είναι συνεχής, θα ισχύει
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x

 , οπότε θα έχουμε ότι:
0lim ( ) ( )n
n
f x f x

 , για κάθε ακολουθία ( )nx , με 0lim n
n
x x

 (4)
Αν σκεφτούμε με τον ίδιο τρόπο, όπως στην απόδειξη του 1ου μέρους της
πρότασης, παίρνοντας αντί για 0δ  το τυχαί
1
, γι οα n
n

 , επειδή
lim 0n
n
T

 , υπάρχει όρος nmT της ακολουθίας ( )nT τέτοιος, ώστε να ισχύει
1
nmT
n
 , οπότε θα υπάρχει nk 
 τέτοιος, ώστε να ισχύει
0 0
1 1
,nn n mx k T x x
n n
 
     
 
. Όμως, λόγω του 1ου λήμματος, ισχύει nx P .
Αποδείξαμε, δηλαδή ότι υπάρχει ακολουθία ( )nx περιόδων της f με:
0 0
1 1
nx x x
n n
    , για κάθε n 
 .
Τότε, όμως, θα ισχύει:
0lim n
n
x x

 και ( ) (0)nf x f , (5)
οπότε, λόγω των (4) και (5), θα ισχύει:
(4) (5)
0( ) lim ( ) lim (0) 0n
n n
f x f x f
 
   .
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:
1. W. J. Kaczor, M. T. Nowak, Problems in mathematical analysis 2. Continuity and
differentiation, American Mathematical Society (2001)
2. G.N. Yakovlev, D. Sc, High School Mathematics, Mir. Publishers- Moscow 1985
14.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 21

5. 14.01.2019Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.grPage 5 of 21

6. 14.01.2019Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.grPage 6 of 21

7. 14.01.2019Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.grPage 7 of 21

8. 14.01.2019Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.grPage 8 of 21

9. 14.01.2019Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.grPage 9 of 21

10. 14.01.2019Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.grPage 10 of 21

11. 14.01.2019Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.grPage 11 of 21

12. 14.01.2019Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.grPage 12 of 21

13. 14.01.2019Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.grPage 13 of 21

14. 14.01.2019Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.grPage 14 of 21

15. 14.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 15 of 21

16. 14.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 16 of 21

17. 14.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 17 of 21

18. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 1/4
ΠΡΟΤΑΣΗ:
Αν μια συνάρτηση :f A  είναι περιοδική, τότε ισχύουν τα ακόλουθα:
1. Αν η f είναι συνεχής και δεν είναι σταθερή, τότε θα έχει βασική περίοδο
0 0T  και το σύνολο P των περιόδων της θα είναι ίσο με το:
   0 0 0T kT k T
     P ,
όπου 0T η κυκλική προσθετική ομάδα με γεννήτορα το 0 0T  .
2. Αν η f δεν έχει βασική περίοδο, τότε το σύνολο P των περιόδων της είναι
πυκνό υποσύνολο του
ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Για την απόδειξη της πρότασης παραθέτουμε αρχικά δύο λήμματα, από τα οποία το
πρώτο χωρίς απόδειξη.
Λήμμα 1ο:
Αν μια συνάρτηση :f A  είναι περιοδική, τότε:
 Το άθροισμα και η διαφορά δύο περιόδων της είναι, επίσης, περίοδοι αυτής.
 Κάθε μη μηδενικό ακέραιο πολλαπλάσιο μιας περιόδου της είναι, επίσης,
περίοδος αυτής.
Λήμμα 2ο:
Αν μια περιοδική συνάρτηση :f A  δεν έχει βασική περίοδο, τότε υπάρχει
ακολουθία ( )nT θετικών περιόδων της, με lim 0n
n
T

 .
Απόδειξη του Λήμματος:
Έστω 1P τυχαία θετική περίοδος της f . Επειδή η f δεν έχει βασική περίοδο, θα
υπάρχουν θετικές περίοδοι 2 3 4, , ,..., ,...nP P P P της f τέτοιες, ώστε να ισχύει:
1 2 3 4 1... ... 0n nP P P P P P      
Ορίζεται, έτσι, μια ακολουθία ( )nP θετικών περιόδων της f , που είναι γνησίως
φθίνουσα και κάτω φραγμένη από το 0. Άρα , υπάρχει το lim 0n
n
P P
ορσ
  .
Ας θεωρήσουμε, τώρα, την ακολουθία 1 0,n n nT P P n 
    . Επειδή η διαφορά
δύο περιόδων της f είναι περίοδος αυτής, η ακολουθία ( )nT είναι μια ακολουθία
θετικών περιόδων της f για την οποία, επιπλέον, ισχύει:
 1lim lim 0n n n
n n
T P P P P
 
     .
Βρήκαμε, δηλαδή, μια ακολουθία ( )nT θετικών περιόδων της f , με lim 0n
n
T

 . Άρα
ισχύει το 2ο λήμμα.
Θα αποδείξουμε τώρα την πρόταση.
1. Αρχικά θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f έχει βασική περίοδο. Υποθέτουμε
ότι η συνάρτηση f δεν έχει βασική περίοδο και θα καταλήξουμε σε άτοπο,
14.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 18 of 21

19. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 2/4
αποδεικνύοντας ότι η f είναι σταθερή, που αντίκειται στην υπόθεση.
Πράγματι, για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή, αρκεί να
αποδείξουμε ότι για κάθε 0x A ισχύει 0( ) (0)f x f . Έστω τυχαίο 0x A . Για
να αποδείξουμε ότι 0( ) (0)f x f , αρκεί να αποδείξουμε ότι:
0( ) (0) , γιακάθε 0f x f ε ε  
Έστω τυχαίο 0ε  . Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής, θα υπάρχει 0δ 
τέτοιος, ώστε να ισχύει:
0 0 0( ) ( ) , γιακάθε , με ( , )f x f x x A x x xε δ δ      . (1)
Αν αποδείξουμε, τώρα, ότι υπάρχει όρος mT της ακολουθίας ( )nT του 1ου
λήμματος και ακέραιος 0k  τέτοιοι, ώστε να ισχύει:
0 0( , )mkT x xδ δ   , (2)
επειδή ο mkT , με 0k  , είναι περίοδος της f , θα ισχύει ( ) (0)mf kT f , οπότε,
λόγω των (2) και (1), θα έχουμε:
0 0(0) ( ) ( ) ( )mf f x f kT f x ε    ,
που ήταν το ζητούμενο προς απόδειξη.
Για να αποδείξουμε όμως τη σχέση (2) σκεφτόμαστε ως εξής:
Για να ισχύει η (2), αρκεί 0 0
,
m m
x x
k
T T
δ δ  
 
 
. Για να ισχύει, όμως αυτό, αρκεί
το πλάτος
2
mT
δ
του διαστήματος 0 0
,
m m
x x
T T
δ δ  
 
 
να είναι μεγαλύτερο του 2,
δηλαδή αρκεί να ισχύει mT δ . Κάτι τέτοιο, όμως, ισχύει, αφού lim 0n
n
T

 .
Ακολουθώντας την αντίστροφη πορεία του παραπάνω σκεπτικού, επειδή
lim 0n
n
T

 , έχουμε ότι υπάρχει όρος mT της ακολουθίας ( )nT τέτοιος, ώστε να
ισχύει mT δ , οπότε το πλάτος
2
mT
δ
του διαστήματος 0 0
,
m m
x x
T T
δ δ  
 
 
θα
είναι μεγαλύτερο του 2 και συνεπώς θα υπάρχει ακέραιος 0k  τέτοιος,
ώστε να ισχύει 0 0
,
m m
x x
k
T T
δ δ  
 
 
, οπότε θα ισχύει η (2), που ήταν το
ζητούμενο. Δείξαμε, έτσι, ότι η συνάρτηση f έχει βασική περίοδο, την οποία
ας ονομάσουμε 0T .
Θα αποδείξουμε τώρα ότι το σύνολο P των περιόδων της f είναι ίσο με το
σύνολο:
   0 0 0T kT k T
     P ,
όπου 0T η κυκλική προσθετική ομάδα με γεννήτορα το 0 0T  .
Πράγματι:
14.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 19 of 21

20. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 3/4
 Λόγω του 1ου λήμματος, κάθε στοιχείο του P είναι περίοδος της f . Άρα,
 P P .
 Έστω τυχαίο TP . Θα δείξουμε ότι υπάρχει k 
 τέτοιος, ώστε να
ισχύει 0T kT , οπότε θα ισχύει T P , απ’ όπου συνάγεται ότι P P .
Έτσι, θα έχουμε δείξει ότι  P P και P P , οπότε θα ισχύει P P .
Για να αποδείξουμε αυτό, υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει k 
 τέτοιος,
ώστε να ισχύει 0T kT και θα καταλήξουμε σε άτοπο. Πράγματι, αν δεν
υπάρχει k 
 τέτοιος, ώστε να ισχύει 0T kT , τότε θα υπάρχει k 

τέτοιος, ώστε να ισχύει 0 0( 1)kT T k T   , οπότε θα ισχύει 0 00 T kT T   .
Αυτό, όμως, είναι άτοπο, διότι, λόγω του 1ου λήμματος, ο αριθμός
0T T kT   είναι μια θετική περίοδος της f και δεν μπορεί να είναι
μικρότερη από την ελάχιστη θετική περιόδο αυτής.
2. Για να αποδείξουμε ότι το σύνολο P των περιόδων της συνάρτησης f είναι
πυκνό υποσύνολο του , αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε , ,α β
με α β , υπάρχει περίοδος TP τέτοια, ώστε να ισχύει ( , )T α β ή αρκεί να
αποδείξουμε ότι υπάρχει όρος mT της ακολουθίας ( )nT του 2ου λήμματος και
ακέραιος 0k  τέτοιοι, ώστε να ισχύει
( , )mT kT α β  (3)
Για να ισχύει η (3), αρκεί ,
m m
k
T T
α β 
 
 
. Για να ισχύει, όμως αυτό, αρκεί το
πλάτος
mT
β α
του διαστήματος Δ να είναι μεγαλύτερο του 2, δηλαδή αρκεί να
ισχύει
2
mT
β α
 . Κάτι τέτοιο, όμως, ισχύει, αφού lim 0n
n
T

 .
Ακολουθώντας την αντίστροφη πορεία του παραπάνω σκεπτικού, επειδή
lim 0n
n
T

 , έχουμε ότι υπάρχει όρος mT της ακολουθίας ( )nT τέτοιος, ώστε να
ισχύει
2
mT
β α
 , οπότε το πλάτος
mT
β α
του διαστήματος ,
m mT T
α β 
 
 
θα είναι
μεγαλύτερο του 2. Συνεπώς θα υπάρχει ακέραιος 0k  τέτοιος, ώστε να
ισχύει ,
m m
k
T T
α β 
 
 
, οπότε θα ισχύει η (3) , που ήταν το ζητούμενο και έτσι
η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
ΣΧΟΛΙΟ:
Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης f δεν έχει
μεμονωμένα σημεία (όπως είναι, για παράδειγμα, τα πεδία ορισμού των
συναρτήσεων y xημ , y xσυν , y xεφ και y xσφ ), το 1ο μέρος της
14.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 20 of 21

21. Γιώργος Χαρ. Πολύζος, τ. Μόνιμος Πάρεδρος του Π.Ι. 4/4
πρότασης που αφορά στην ύπαρξη βασικής περιόδου, μπορούμε να το
αποδείξουμε και ως εξής:
Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f δεν έχει βασική περίοδο και θα καταλήξουμε
σε άτοπο, αποδεικνύοντας ότι η f είναι σταθερή, που αντίκειται στην
υπόθεση.
Πράγματι, για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή, αρκεί να
αποδείξουμε ότι για κάθε 0x A ισχύει 0( ) (0)f x f . Έστω τυχαίο 0x A .
Επειδή η f είναι συνεχής, θα ισχύει
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x

 , οπότε θα έχουμε ότι:
0lim ( ) ( )n
n
f x f x

 , για κάθε ακολουθία ( )nx , με 0lim n
n
x x

 (4)
Αν σκεφτούμε με τον ίδιο τρόπο, όπως στην απόδειξη του 1ου μέρους της
πρότασης, παίρνοντας αντί για 0δ  το τυχαί
1
, γι οα n
n

 , επειδή
lim 0n
n
T

 , υπάρχει όρος nmT της ακολουθίας ( )nT τέτοιος, ώστε να ισχύει
1
nmT
n
 , οπότε θα υπάρχει nk 
 τέτοιος, ώστε να ισχύει
0 0
1 1
,nn n mx k T x x
n n
 
     
 
. Όμως, λόγω του 1ου λήμματος, ισχύει nx P .
Αποδείξαμε, δηλαδή ότι υπάρχει ακολουθία ( )nx περιόδων της f με:
0 0
1 1
nx x x
n n
    , για κάθε n 
 .
Τότε, όμως, θα ισχύει:
0lim n
n
x x

 και ( ) (0)nf x f , (5)
οπότε, λόγω των (4) και (5), θα ισχύει:
(4) (5)
0( ) lim ( ) lim (0) 0n
n n
f x f x f
 
   .
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:
1. W. J. Kaczor, M. T. Nowak, Problems in mathematical analysis 2. Continuity and
differentiation, American Mathematical Society (2001)
2. G.N. Yakovlev, D. Sc, High School Mathematics, Mir. Publishers- Moscow 1985
14.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 21 of 21