Επιμέλεια: lisari.blogspot.com

1. lisari.blogspot.com
ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΌΔΕΙΞΗ
1) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ . Αν η f είναι γνησίως
αύξουσα στο Δ τότε για κάθε 1 2x ,x Δ ισχύει η ισοδυναμία:
   1 2 1 2x x f x f x  
2) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ . Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα
στο διάστημα Δ, τότε για κάθε 1 2x ,x Δ ισχύει η ισοδυναμία:
   1 2 1 2x x f x f x  
3)
x 0
1
lim x ημ 0
x
 
  
 
Με την βοήθεια αυτής μπορούμε να υπολογίσουμε και τα εξής όρια:
 ν ν 1
x 0 x 0
1 1
lim x ημ lim x x ημ 0
x x

 
   
       
   
με  ν 0,1 n

x
u
α
ν ν 1 ν 1
x 0 x 0 x 0 x 0
u 0
α x 1 1
lim x ημ lim x α ημ lim u α u ημ 0
xx α u
α

 
   

 
    
             
    
 
,α 0

1
u
x
x x x x 0
u 0
ημx 1 1 1
lim lim ημ lim u ημ 0
1x x u
x



   

 
    
        
    
 
4) Έστω δυο συναρτήσεις f,g με    f x g x κοντά στο 0x .
 αν  
0x x
lim f x

  τότε και  
0x x
lim g x

 
 αν  
0x x
lim g x

  τότε και  
0x x
lim f x

 
5) Ισχύει ότι ln x x 1  για κάθε x 0 με την ισότητα μόνο για x 1 .
6) Ισχύει ότι x
e x 1  για κάθε xR με την ισότητα μόνο για x 0 .
Άμεσες συνέπειες
 x
e x 1 x 1 ln x     για κάθε x 0
 x
e x για κάθε xR και ln x x για κάθε x 0 κατ’ επέκταση  
 f x
e f x για
κάθε fx D ή    lnf x f x για κάθε fx D με  f x 0 .
 x
e ln x 2  για κάθε x 0 (με πρόσθεση κατά μέλη)
7) Αν δυο συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο  α,β και ισχύει    f x g x για κάθε
 x α,β τότε:    
β β
α α
f x dx g x dx 
Μάλιστα, αν οι f,g δε είναι παντού ίσες στο  α,β τότε ισχύει    
β β
α α
f x dx g x dx 
8)       x
f x f x f x c e    