Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakis

13,393 views

Published on

Οι νέες σημειώσεις (σχ. έτος 2015-16) του Μίλτου Παπαγρηγοράκη για το lisari

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Cgen sxol 2015-2016_papagrigorakis

  1. 1. Γ Λυκείου 4ο ΓΛΧ 2015 ‐ 2016 M.Ι.Παπαγρηγοράκης Χανιά [Μαθηματικά] και Στοιχεία Στατιστικής 15.07
  2. 2. Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Γενική Παιδεία Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Έκδοση 15.07 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μαθηματικός MEd Χανιά 2015 Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr
  3. 3. Γ Λυκείου – 1 ΣΥΝ 1.01 Βρ συναρτήσεω Γ)   x 4x f x e  Ε)   x f x x  Ζ)  f x x   1.02 Να συναρτήσεω  k x 12   r x x  1.03 Να των: Α) f Γ) f Ε) s 1.04 Να όταν: Α) f Β)  f x 1  1.05 Να με τις γραφι A)  f x 2 Γ)  f x l 1.06 Η 3 f(x) αx 5  τα σημεία  και να λυθεί Μαθηματικά ΝΑΡΤΗΣΕ ρείτε τα πεδία ων Α) f(x) l x 2 1   x 1 x 1   5 3 1  α βρείτε τα π ων:   2 1 f x x  2 x x  2 x 1 α γίνουν οι γ  1 x x    x x e 2  x ln x  α ορίσετε τις   x ln x 1  2 x x 1,  α βρείτε τα κ ικές παραστά 3 2 2x x 5x    ln 2 x γραφική παρ 2 5x β x 1  2,25 και 1 ί η ανίσωση ά Γενικής Παι ΕΙΣ α ορισμού τω 2 og(9 x ) Β Δ)  f x η  Στ)  g x  Η) f(x)  πεδία ορισμού  1 ln x 2 x    x φ(x) ln x   t x log(2 γραφικές πα Β) p Δ) g Ζ) g συναρτήσεις 1 και  g x ,4 και g x κοινά σημεία άσεις των συν 2 B f Γ f ράσταση της , α,β R , δ 1,0 . Να βρε f(x) 0 ιδείας ων Β) f(x) 1  2εφx ημx ημ2x 2x² 5x x 4   1 ln x ύ των 2 2 log x) αραστάσεις  p x x 1     2 g x 1 x   g x 2ημx ς f g , f g 4 x  x x α των αξόνων ναρτήσεων   x 2 x e 1    x ημ2x ς συνάρτησης ιέρχεται από εθούν οι α, β x ν 1 ς ό 1 γρ f 1 ώ 1 ση 1 f 1 f 1 2 1 y 1 Ν απ α 1 συ h λ .07 Να β ραφικών πα   3 x x x  κ .08 Αν f στε η fC να .09 Αν ημείων Α1, .10 Αν f 1 f(x) x        κ .11 Για μ    2 x f x  .12 Για μ   1 f x 3f x        .13 Να β  2 y λ 2λ x  .14 Δίνε Να βρεθεί το π ποδείξετε ότι fα,β D .15 Nα ε υναρτήσεων   2x 1 h x e     2 λ x x βρεθούν τα κ αραστάσεων τ και   2 g x x  f x α x  διέρχεται απ   2 f x x  , να ,f(1) και Β    x 1 f x x 1    και 1 f x        μια συνάρτη x , x R να μια συνάρτη 2 x    , x  0. Ν βρείτε το λ  x 1 και y   εται η συνάρτ πεδίο ορισμο ι    f α f β εξετάσετε την  f x 2x  κοινά σημεία των συναρτή 2 1 3 τότε να βρ πό το M 4,2 α βρεθεί η απ  1,f( 1)  τότε να απο 1 f(x)   ηση f ισχύει βρείτε τα f ηση f ισχύει Να βρείτε το R αν οι ευ 1 είναι παρ τηση  f x  ού της f και ν α β f 1 αβ        γ ν μονοτονία 2 g x   2 k x , x    μ x x 1  α των ήσεων ρεθεί το α  πόσταση των δείξετε ότι 0 ,  f 1 ο  f 2 θείες ράλληλες 1 x log 1 x   . να για κάθε των   x ln 1 x  x>0 1 3
  4. 4. 4 http://users.s Όρια - Συν 1.16 Nα A) x lim  Γ) x lim  1.17 Nα Α) t lim  1.18 Nα Α) 3 3x 1 x x lim x x   Γ) 3 x 1 x 5 lim   1.19 Nα Α) π x 2 σ lim 1  Γ) x 3 lim x  1.20 Nα Α) 2 2x 1 x lim x Γ) x 3 lim 2 x  1.21 Nα Α) 3x 0 lim x  Γ) x 2 lim  2 x x 1.22 Nα Α) x lim  Γ) x lim  sch.gr/mipapa νέχεια α υπολογίσετ 2 3 x 9 m x 3   3 1 x 1 m x 1   α υπολογίσετ 3 2 2 t 4t 4 m (t 2)(t 3     α υπολογίσετ 2 2 x 2x 2 x 3x 3     2 2 5x 8x 4 x 1    α υπολογίσετ 3 2 υν x ημ x 2 x 9 1 7 x     α υπολογίσετ 4x 3 x 2 2      3 x 6 3 x 1     α υπολογίσετ x 1 1  5 x 1 x 2 x      α υπολογίσετ 0 x m x 3 3   2 x 2 m 2 x   agr τε τα παρακά B) 2x 3 (x lim x  Δ) 2 2x 5 x lim x   τε τα παρακά 4t 3) Β) x l τε τα παρακά Β) x 2 x lim x Δ) x 2 lim  τε τα παρακά Β) 2x 4 3 lim x  Δ) x 4 x 1 lim   τε τα παρακά Β) x li  Δ) x li  τε τα παρακά Β) x li  Δ) x li  τε τα παρακά 3 Β) x l Δ) x li  άτω όρια: 2 3) 9   7x 10 2x 15     άτω όρια: x 2 im  2 2 x 5x x 4    άτω όρια: 5 4 x 32 x 16   3 x 3x 2 x 2    άτω όρια: 2 x 5 16   1 x 5 x 4    άτω όρια: 25 x x x 5 m x 6x 5    21 3 x 3 im x x   άτω όρια: 2 1 x 3x 2 m x 4 x 3     20 x 5 5 im x 4 4     άτω όρια: x 5 x 5 im x 5   2 2x 4 im 2 2x   6 5 5 2 3 5 4 1 Α Γ) 1 Α Γ) 1 Α Ε) 1 Α Γ) 1 Α Γ) 1 Α συ Β) ώ .23 Nα υ Α) x 1 lim  ) x 1 lim  .24 Nα υ Α) x 2 x 7 lim x 2   ) x 1 lim  2 x x  .25 υπολ Α) x 0 lim  1 x x  ) 2 2x 4 x lim 2x   .26 Nα υ Α) 2 x 5 x 3 lim 2( x   ) x 0 lim  1 x .27 Nα υ Α) x 3 lim  2 x  ) 2x 3 x 1 lim x  .28 Αν f Α) Να β υνάρτησης ) Να β στε η συνάρτ υπολογίσετε 2 2 1 x x 3 2    Β 2 x 1 x 1   Δ υπολογίσετε 3 2  Β 3 2x 1    Δ λογίσετε τα π x 1 Β 3x 8 7x 4   Σ υπολογίσετε x 10 4 3)    Β 1 x x   Γ υπολογίσετε 2 x 9 3x x 3     x 1 9    2 16 x f(x) 4 x α 2        βρεθεί το πεδ βρεθεί ο πρα τηση να είνα τα παρακάτ Β) 2x 4 x 2 lim x 1   Δ) 2 x 3 x 9 lim x 3   τα παρακάτ Β) x 0 x² lim 4 x  Δ) x 3 x lim x 1  παρακάτω όρ Β) 2 x 7 x lim x²  Στ) 2 x 3 x lim x  τα παρακάτ Β) 2 x 2 2x lim x   Γ) x 5 lim  2x 5   τα παρακάτ Β) x lim  2 x x 4 x 2α x 4   δίο ορισμού αγματικός αρ αι συνεχής στ Ανάλυσ τω όρια: 2 6 9 3 τω όρια: ² x² 2 3 1 x 1    ρια: 7x 7   4x 3 3    τω όρια: 3x 2 2x  10 5x τω όρια: 3 x 3 m x 1 2    τότε της ριθμός α το 4 ση
  5. 5. Γ Λυκείου – Πράγωγος 1.29 Ν συναρτήσεω A)  f x 2x B)  f x x  Δ)  f x 3  Στ)   2 f x x Η)   x f x x  1.30 Να συναρτήσεω Α)   2 f x x  Γ)  f x 3η Ε)   f x x x Στ)   x f x  1.31 Να συναρτήσεω A)   2 3 e f x e  Γ)  f x ln Ε)   1 f x η 3  Ζ)  f x ημ 1.32 Να συναρτήσεω Α)  f x ημ Β)  f x ln Δ)  f x xe    1.33 Να συναρτήσεω Μαθηματικά ς – Κανόνε α βρείτε τις π ων: 3 2 x 3x x   ln x 2ημx συνx  2 x ημx e ημx x 2xe α 1   , α  α βρείτε τις π ων: 2 1 3 x x   2 ημxσυνθ x 2 3 x 1 x 2  2 x x α e  ,α R α βρείτε τις π ων: x x 1 1   n(x² e) 3 21 ημ x συν 2   μ συν2x α βρείτε τις π ων:   μ 2x συν 2 x e 1 x        1 x       α βρεθεί η δε ων   3 f x x ln ά Γενικής Παι ες παραγώγ πρώτες παρα ln 2 Γ) f x x Ε) f x x Ζ) f x R Θ) f x πρώτες παρα Β) f , θ R Δ) f( 2x ημθ ,  R ` Ζ) f πρώτες παρα B) f Δ) f 2 x Στ) f Η) f πρώτες παρα 2x 3 Γ)   1 f x 2  Ε)  f x 1  εύτερη παράγ n x και g(x) ιδείας γισης αγώγους των  2 x x ln x  3 x 2 x x    2 2 x x 1 x x 1     2 x x x 1   γώγους των   2 x ln x x x 1    x x (x) e 1   R   xημx x 1 εφx   γώγους των   x 4x e x 1 2e    x εφx   2 f x x συν   x ln ln x γώγους των  x x e e  ημx συνx γωγος των ) ln(ημx) ν x  x 1 ν x x 1 συ x 2 f 1 x A B) 1 Ν f 1 ώ 1 ευ χρ Α Β) 1 όρ 1 όρ 1 1 h li .34 Αν f υναρτήσεις σ R , να απο  2 x g (x) g  .35 Έστω R A) Nα α ) Λύσ .36 Έστω Να βρείτε: Τις    x 2f x  .37 Βρεί στε να ισχύε .38 Η θέ υθύγραμμη κ ρόνου t από Α) Τη μέση τα ) Τη στιγμια .39 Αν f ριο  h 0 f 1 lim   .40 Αν f ριο  x 0 f x lim   .41 Αν f .42 Να υπ 1 h 0 e e im h    , f,g είναι πα στο R και ισχ οδείξετε ότι   2 g(x) g x ω η συνάρτη αποδείξετε ότ τε την εξίσωσ ω η συνάρτη ς τιμές του α,  3f x , για ίτε πολυώνυμ ι  P 0 1 , P έση ενός κινη κίνηση δίνετα τον τύπο S αχύτητα του αία ταχύτητά  2 x x x     h f 1 h    x x x e e   1 1 x   x ln x 1  β πολογίσετε τα x 1 x 0 e e lim x    , αραγωγίσιμες χύει: 1 f(x) g   f (x) f(x)  ηση 2 f(x) e ότι f (x) 4f(  ση 1 f(x) f 2  ση f με  f x , ώστε να ισχ α κάθε x  R. μο  P x δευτέ  P 1 6 , P ητού που εκτ αι συναρτήσ   2 t 3t t  . κινητού στο ά του όταν t  1 να υπολ e να υπολογ βρείτε το x lim  α όρια , x 0 x lim      ς x 1 1 g(x) e  , x 2x e  , x) 2 x f (x) 2e  αx e , α R  χύει η σχέση έρου βαθμού  0 3  τελεί σει του Να βρείτε: ο  2,4 3 ογίσετε το γίσετε το   0 f x 1 1 m x   1 2 x      5 . ύ
  6. 6. 6 Παράγωγο 1.43 Να παράστασης εφαπτόμενες Α) 2 f(x) x 1.44 Αν να βρείτε τα της g να έχε των x στα ση 1.45 Αν βρείτε τις εξι γραφικής πα στην ευθεία 1.46 Έσ x R . Να β fC , που σχη 1.47 Δίν Α) Τη γωνία fC στο σημε Β) Το σημεί παράλληλη 1.48 Έσ 3 f(x) x 3x  Α) Να της γραφική το ρυθμό μετ αυτά. Β) Στ τετμημένη ν 1.49 Δίν   x f x αe   Α) τα α,β ώσ  0,1 να είν Β) την εξίσω ος –Εφαπτ α βρείτε τα σ ς της συνάρτη ς είναι παρά 6x 1  Β) f ν 2 g(x) x  α α, β έτσι ώσ ει εφαπτομέν ημεία με τετμ ν   31 f x x 3  ισώσεις των ε αράστασης τη y x 3  . στω η συνάρ ρείτε την εξί ηματίζει με το νεται η  f x α που σχηματ είο της A 1,f ίο όπου η εφ στο x´x στω η συνάρτ 2 x 3x 10  α βρείτε τα σ ής παράσταση ταβολής της ο σημείο (του να βρεθεί η εξ νεται η συνά β x 1  x στε η εφαπτο ναι παράλληλ ωση της παρα τομένη σημεία της γρ ησης f στα ο άλληλες στον   x f x ln x  Γ αx βln(x  στε η γραφική νη παράλληλ μημένες x 0 2 x 2x 1   εφαπτομένω ης f, που είνα ρτηση  f x  σωση της εφ ον x΄x γωνία 2 x ln x . Να τίζει η εφαπτ f(1) ,με τον απτόμενη είν τηση σημεία όπου η ης της f , έχε παραγώγου υ α ερωτ.) με ξίσωση της εφ άρτηση f με R , α,β R ομένης της C λη στην y  απάνω εφαπτ ραφικής οποία οι x x όταν Γ)   x e f x x  1) , x 1  , ή παράσταση λη στον άξονα 0 και x 1,5 , x R , να ν της αι παράλληλ 2 x 3x 1  , απτομένης τη α 135. α βρείτε : τομένη (ε) τη άξονα x x . ναι η εφαπτομέν ει κλίση ίση μ f στα σημε ε τη μικρότερ φαπτομένης. R . Nα βρείτε fC στο σημείο 2x 1 τομένης , η α 5 λες της ς νη με εία ρη . ο 1 f α γρ τε 1 γρ ση 1 πρ A τη συ 1 πα Ν τη 1 f τη συ 1 βρ εί 1 x ση C .50 Δίνε   2 x 2x α  α,β ώστε η y ραφικής παρ ετμημένη 2 . .51 Να α ραφικής παρ ημεία που τέ .52 Αν ροσδιορίσετε  A 2, 10 να ης f και η εφα υντελεστή δι .53 Έστω αραγωγίσιμη Να βρείτε την ης   g x f ln .54 Δίνε  : 0, R  ην εφαπτομέν υνάρτησης f .55 Έστω ρεθούν οι τιμ ίναι εφαπτομ .56 Έστω 0 . Αν η f ημείων Α κα fC στο Μ 1,f εται η συνάρ x β , α,β  3x 1  να ε ράστασης της αποδείξετε ότ ράστασης τη μνει τους άξο   3 f x αx  ε τα α, β R ανήκει στη γ απτομένη της εύθυνσης τον ω ότι η συνάρ η στο R και ν εξίσωση της n(x) στο ox εται η παραγ R με  2 f x 4 νη της γραφ στο σημείο A ω η  f x ln μές των α, β μένη της fC σ ω τα σημεία  x εκφράζει ι Β, να βρείτ f(1) ρτηση f με R . Να υπολ είναι εφαπτο ς f στο σημε ότι οι εφαπτο ης   x f x x    ξονες είναι πα 2 βx 9x 12  ώστε το σημ γραφική παρ ς C στο σημε ν αριθμό 3 ρτηση f είνα είναι  f 1  ς εφαπτομένη e γωγίσιμη συν  3 4x x ln x  φικής παράστ  A 5,f(5) .   22 n x 1 α  ώστε η y 2 στο ox 0  Α ln x,0 κ ει την απόστα τε την εφαπτο Ανάλυσ ογίσετε τα ομένη της είο της με μένες της 4 2 στα αράλληλες 2 , να μείο ράσταση C είο Α να έχει . αι  2f 1 e  . ης στη γ.π. νάρτηση x . Να βρείτε τασης της αx β . Να 21x 35 να και  x B 0,e , αση των ομένη της ση
  7. 7. Μ Γ Λυκείου – Μονοτονί 1.57 Να τα ακρότατα Α) f Β) g( 1.58 Να τα ακρότατα Α) f Γ) f 1.59 Έσ α R Α) Αποδείξτ B) Να βρείτ  1,f(1) να ε Γ) Για την τι f ως προς τη 1.60 Δί   2 f x κx  Α) Να θέση ox 1 1.61 Αν Α) Να τους οποίους Β) Αν ακρότατα τη 1.62 Δίν Α) Να βρείτ Β) Να αποδ 1.63 Αν και q θετικ έχει τη μέγισ Μαθηματικά ία - Ακρότα α μελετήσετε α κάθε μια απ  4 2 x x 8x  2 x 2x x x) e   α μελετήσετε α κάθε μια απ x x 6 x   ln x 2 x x   στω η συνάρτ τε ότι  f΄΄ x τε το α ώστε είναι παράλλ ιμή του α πο μονοτονία κ ίνεται η συνά λx 3 , x R α βρείτε τα κ τοπικό ακρό ν   3 f x αx  α βρείτε τους ς ισχύει f  ν α=1 και β= ης f . νεται η συνά τε τα ακρότα δείξετε ότι 1 ν  V r 100p κές σταθερές, στη τιμή του ά Γενικής Παι ατα ως προς τη μ πό τις συναρ 5 Γ)  f x ως προς τη μ πό τις συναρ Β)  f x Δ) f(x) τηση  f x e  f x 2  η εφαπτόμεν ληλη στον x΄ ου βρήκατε, ν και τα ακρότ άρτηση f με R , κ, λ R . κ, λ ώστε η f ότατο ίσο με 2 βx 3x 1   ς αριθμούς α   1 f 1 0   0, τότε να βρ άρτηση  f x  ατά της x 1 x xe 2e    p(1 ln r) 1  να αποδείξε όταν p r q  . ιδείας μονοτονία κα ρτήσεις:  2 2 x (1 x)  μονοτονία κα ρτήσεις:  2 x x e  2 2 3x 4x 5   x 2 e x 5x α    x f΄ x e νη στο σημεί x. να μελετηθεί τατα. να έχει στη 2 . 1 τότε α,β R για 0 . ρείτε τα τοπικ x x xe 2e  1 , x R 00qr , όπου p ετε ότι το V αι αι α ίο η κά p 1 θε ελ 1 Α μο Β) ln 1 Α Β) 1 πα εφ δι 1 Α μο Β) 1 Α Β) 1 Α μο Β) 1 f Ν f .64 Έστω ετικοί πραγμ λάχιστη τιμή .65 Δίνετα Α) Να με ονοτονία κα ) Αν 0    α β n αβ αβ   .66 Δίνετα Α) Να βρ ) Να απ .67 Σε π αράστασης τ φαπτομένη έχ ιεύθυνσης; .68 Δίνετα Α) Να με ονοτονία κα ) Να απ .69 Έστω Α) Να με ) Να απ .70 Έστω Α) Να με ονοτονία κα ) Να απ .71 Έστω   2 x x λx  Να βρείτε για παίρνει τη μ ω   x f x αe ματικοί αριθμ της f είναι αι η συνάρτη ελετήσετε την ι τα ακρότατ α β  , να α β 2 αι η συνάρτη ρείτε τα ακρό ποδείξετε ότι ποιο σημείο τ της συνάρτησ χει τον ελάχι αι η συνάρτη ελετήσετε την ι τα ακρότατ ποδείξετε ότι η συνάρτηση ελετήσετε τη μ ποδείξετε ότι η συνάρτηση ελετήσετε την ι τα ακρότατ ποδείξετε ότι η συνάρτηση λ, λ R  . ποια τιμή το μέγιστη τιμή x x βe  , όπο μοί. Να αποδ 2 αβ . ηση  f x ln ν f ως προς τα αποδείξετε ό ηση  f x xe ότατά της ι x 1 1 xe 2   της γραφικής σης  f x xl ιστο συντελε ηση   x f x ln  ν f ως προς τα. ι 2015 2016 2 η   x f x e  μονοτονία τ ι 3 2 e e  η   x e f x x 2   ν f ως προς τα ι βα e e α 2 β 2    η ου λ η ελάχ ή της. ου α,β δείξετε ότι η 1 n x x  τη ότι x x e 2e x 1 2e  ς 2 ln x η εστή x nx . τη 2016 2015 x 1 , x R της f 3 2 2 , x 2  τη 2 2 e  ιστη τιμή της 7 ς
  8. 8. 8 Προβλήμα 1.72 Σώ ακολουθώντ   3 x t t 6t  Α Πο το σώμα βρί Β Πό Ποια η θέση Γ. Πο πρώτα 2sec τ 1.73 Οι αυτοκινήτου t 1000 f(t) 1 e    χρόνος σε μή Να προσδιο οποία ο ρυθμ πωλήσεων γ τιμή του. 1.74 Να τρίγωνα, πο ακτίνας R, τ 1.75 Εν km με σταθε κοστίζουν 0 2 x 2 400  lt/h φορτηγού αν Α) να αυτής ως συν Β) βρ το φορτηγό , Γ) πό 1.76 Δίν το σημείο τη το σημείο A ατα ώμα κινείται τας τη συνάρ 2 t 9t 5  (t οια η ταχύτη ίσκεται στη θ ότε το σώμα έ και η επιτάχ οιο διάστημα της κίνησης τ ι συνολικές π υ δίνονται απ 10 0 10  , όπο ήνες από την ρίσετε τη χρο μός αύξησης γίνεται μέγιστ α αποδείξετε υ είναι εγγεγ ο ισόπλευρο να φορτηγό δ ερή ταχύτητα 0,8 €/lt και κ h . Αν τα υπό νέρχονται σε α εκφράσετε τ νάρτηση της ρείτε την ταχύ , ώστε τα έξο όσα είναι τα ε νεται η ευθεί ης ευθείας αυ  A 9,4 τη μικ σε οριζόντιο ρτηση θέσης σε sec, x σε m τα και η επιτ θέση 25m; έχει μηδενική χυνση αυτή τ α διένυσε το σ του; πωλήσεις ενό πό τη συνάρ ου  t 0,20 ν έναρξη των ονική στιγμή ς των συνολικ τος καθώς κα ότι από όλα γραμμένα σε έχει μεγαλύ διανύει καθη α x km/h . Τ καταναλώνο όλοιπα έξοδα ε 9 € την ώρ το κόστος της ς ταχύτητας x ύτητα που πρ οδά του να εί ελάχιστα αυτ ία y 2x 3   υτής το οποίο κρότερη δυνα ο άξονα m) τάχυνση ότα ή ταχύτητα. τη στιγμή; σώμα τα ς μοντέλου τηση είναι ο ν πωλήσεων. ή κατά την κών αι τη μέγιστη α τα ισοσκελή ε κύκλο τερο εμβαδό μερινά 100 Τα καύσιμα νται με ρυθμ α του ρα, τότε: ς διαδρομής x , ρέπει να έχει ίναι ελάχιστα τά έξοδα; 3 . Να βρείτε ο απέχει από ατή απόστασ αν η ή ό. μό ι α, ε ση. 1 πο 1 24 1 πα 1 ση Ο 1 βά δί σε Α επ συ Β) ση Γ) 1 ευ τα O τα O ( t Α O Β) E εί .77 Απ’ οιο είναι εκε .78 Από 4cm βρείτε εκ .79 Να β αραβολής y .80 Βρεί ημείο  3,4 Οx και Oy τ .81 Η θέ άλλεται, με φ ίνεται από το ε sec) Α) Να β πιτάχυνση το υμπεραίνετε ) Να β ημείου και το ) Σε π .82 Δίνε υθύγραμμο τ α άκρα A κα Oy και Ox α αχύτητα u  Ox δίνεται απ t ο χρόνος σε Α) Να β OAB ως συνά ) Ποιο  E t τη στιγμ ίναι 6 m; όλα τα ορθο ίνο που έχει ό όλα τα ορθο κείνο με το μ βρεθεί το πλη 2 x στην ευ ίτε την ευθεία και σχηματίζ ρίγωνο ελαχ έση ενός υλικ φορά προς τα ον τύπο  y t βρείτε την τα ου σημείου ότ για την κίνη βρείτε την αρ ο μέγιστο ύψ ποια στιγμή τ εται ορθή γων τμήμα AB μή αι B ολισθαί αντίστοιχα. Τ m 2 sec και η πό την συνάρ ε sec) βρεθεί το εμβ άρτηση του t ος είναι ο ρυ ή κατά την ο ογώνια με εμ τη μικρότερ ογώνια με πε μεγαλύτερο ε ησιέστερο ση υθεία y 3x α που διέρχε ζει με τους η χίστου εμβαδ κού σημείου α πάνω, από   5t 20 t  αχύτητα και όταν t 11se ησή του τη στ ρχική ταχύτη ψος στο οποίο το ύψος του ωνία xOy κα ήκους 10 m ίνουν πάνω Το σημείο B θέση του στο ρτηση  S t  βαδό  E t το t υθμός μεταβο οποία το μήκ Ανάλυσ βαδό 2 64m η περίμετρο. ερίμετρο εμβαδόν. ημείο της 5 . ται από το μιάξονες δού. που το έδαφος (t ο χρόνος την ec. Τι τιγμή αυτή; ητα του ο φτάνει. είναι 375 m αι το m του οποίου στις πλευρές κινείται με ον άξονα  ut,t 0,5  ου τριγώνου ολής του κος του OA ση . ς m ς
  9. 9. Γ Λυκείου – Γενικές Ασ 1.83 Έστω σημεία: A(1 Α) Να β Β) Να β Γ) Βρεί τριγώνου πο Δ) Δείξ Ε) Να β Στ) Να υ 1.84 Αν παράλληλη Α) Να Β) Να 1.85 Διν Α) Τα Γ) Να Δ) Να 1.86 Έσ A) Να B) Nα 1.87 Έν sec) να δίνετ Α) την Β) τις 1.88 Θεωρο    f 2 f 2  A) Αν η ε είναι παράλ συνάρτησης B) Να βρ Μαθηματικά σκήσεις στ ω η συνάρτη 3 ,e ) και B( βρεθεί ο τύπο βρεθεί το σημ ίτε την εξίσω ου ορίζει αυτ ξτε ότι f"(x)  βρεθεί ο ρυθ υπολογίσετε ν η εφαπτομέ στην ευθεία α βρείτε τον α αποδείξετε νεται η συνα α σημεια όπυ α βρεθει το f α βρεθει η εξι στω ότι  f x α βρείτε την α βρείτε τα δ να σώμα κινε ται από τον τ ν ταχύτητα τ ς χρονικές στ ούμε τη συνά    f 4 f 4  εξίσωση της ε λληλη στην ευ ς g στο σημε ρεθεί η εξίσω ά Γενικής Παι τις Συναρτ ση f με f(x) 1,e) : ος της μείο τομής τη ση της εφαπτ τή με τους άξ f´(x) 4x 1   μός μεταβολ το 2 1 x 0 e lim   ένη  ε στη γ x y 2 0    f 1 ότι η  ε εφ αρτηση f(x)  η fC τεμνει e f 2      ισωση της εφ 2 x 1 x e ,    εξίσωση της ιαστήματα μ είται ευθύγρα τύπο  x t t του κινητού τ τιγμές που το άρτηση g µε  4 . εφαπτομένης υθεία  ε : y είο  B 1,g(1) ωση της ευθεία ιδείας τήσεις 2 αx βx ) e   με ης fC με τον τόμενης της ξονες. 2 1 4 f(x)  λής του συντε   2 x 1 x 3 e x     γραφική παρ τότε: φάπτεται στη ln(2x) . Να ι τους αξονες φαπτομενης τ , x R εφαπτομένη μονοτονίας κ αμμα πάνω σ 3 2 t 12t 45  τη χρονική σ ο σώμα είναι τύπο  g x  ς της γραφικ 1 , να απο , είναι παρά ας η οποία εφ α,β R , τη ν άξονα yy´ fC στο παρα ελεστή διεύθυ ράσταση μια gC με  g x βρείτε : ς και το διάα της fC που ε ης της fC στο και τα τοπικά σε άξονα ώστ 5t σε μέτρα (m στιγμή t ακίνητο και   f x f x κής παράστα δείξετε ότι η άλληλη στον φάπτεται στη ης οποίας η γ απάνω σημεί υνσης της εφ ας συνάρτηση  2 f x x 1   αστημα στο ο είναι παράλλ ο σημείο της ά ακρότατα τ τε η θέση του m). Να βρείτ ι την απόστα x , x 0,  σης της συνά εφαπτομένη άξονα x x . η gC της g γραφική παρά ο καθώς και φαπτόμενης γ ης f : R R 1 1 στο ση οποιο η fC ε ληλη στην y  A 1,f(1) . της f . υ την τυχαία τε: αση των θέσεω  ,   f x 0 άρτησης f στ η της γραφική στο σημείο Γ άσταση διέρ το εμβαδόν για x 2 στο A 1,f(1 ημείο της B 0 είναι πανω α 2 x 3 e   χρονική στι ων τις στιγμέ 0, , το σημείο A κής παράστασ  Γ 4,g(4) . χεται από τα του 1) είναι 0,g(0) από την y=e γμή t (σε ές αυτές  1,f(1) σης της 9 α
  10. 10. 10 1.89 Η Ο ιδιοκτήτης Το κόστος γι να επιλεγούν ιδιοκτήτης θ 1.90 Δίν Α) την Β) τα 1.91 Δίν Α. Να Β. Να Γ. Με περίμετρο Π Δ. Να Ε. Να Στ. Να 1.92 Δίν Α) Να Β) Να Γ) Να Δ) Να Ε) Να Ε) Να Στ) Να 1.93 Μί πλήθους x τ μονάδα προ βρεθεί πόσες πλευρά ΑΔ ο ς πρόκειται ν ια τις πλευρέ ν οι διαστάσ θα διαθέσει 1 νονται οι συν ν εξίσωση τη α,β ώστε η νεται η συνά α υπολογίσετ α υπολογίσετ ε διαστάσεις Π και το εμβα α βρεθεί το π α βρεθεί για α βρεθεί για νεται η συνά α βρείτε το π α βρείτε τη μ α υπολογίσετ α προσδιορίσ α μελετήσετε α αποδείξετε α λύσετε την ία βιομηχανί των μονάδων οϊόντος είναι ς μονάδες πρ ορθογωνίου να περιφράξ ές ΑΒ, ΓΔ είν σεις του οικοπ 20 ευρώ για ναρτήσεις f ης εφαπτομέν  ε να εφάπ άρτηση f(x)  τε το όριο x lim  τε την τιμή το x και f(x) κα αδόν Ε του ο πεδίο ορισμού ποιά τιμή το ποιά τιμή το άρτηση f(x)  εδίο ορισμού μονοτονία τη τε το συντελε σετε το πρόση την f ως προ ότι xln(x  εξίσωση xln ία καθορίζει ν παραγωγή 20€ και επιπ ροϊόντος θα π οικοπέδου Α ξει τις πλευρέ ναι 3 ευρώ αν πέδου ώστε α την περίφρα    2 x ln x  νης  ε της C πτεται στη C 2 9x – x , x 9 f(x) m f'(x) 3   ου κ R ώστ ατασκευάζου ορθογωνίου ω ύ αυτών των ου x η περίμετ ου x το εμβαδ xln(1 x)– x  ύ της f, την f’ ς f’ εστή διεύθυν ημο της f’ ος τη μονοτο 1)– x ln(x  n(x 1)– x ln  την τιμή πώ ς σύμφωνα μ πλέον η βιομ πρέπει να πα ΑΒΓΔ μεταβλ ές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ νά μέτρο, ενώ αυτό να έχει αξη; x 1  και g fC στο σημεί gC στο σημείο R και η συ 3 στε η g να είν υμε ορθογώνι ως συνάρτησ ν συναρτήσεω ετρος γίνεται δόν γίνεται μ x ln(1 x)–  ’ και την f’’ νσης της εφαπ ονία και δείξτ 2 3 x x 1) 2 6    2 x n(x 1) 2   ώλησης  Π x με τον τύπο: μηχανία πληρ αράγει η βιομ λητών διαστά Δ. ώ για την ΒΓ το μέγιστο εμ   2 g x x αx  ίο της A 1,f( ο της B 2,g( υνάρτηση g ναι συνεχής σ ιο παραλληλ ση του x. ων. ι μέγιστη. μέγιστο. 2 3 x x – 2 6  . πτομένης της τε ότι η f έχει 3 για κάθε x 3 x 6   κάθε μονάδ Π(x) 195  ρώνει φόρο 6 μηχανία ώστ άσεων συνορ είναι 4 ευρώ μβαδόν, με δ x β , α,β R (1) 2) .   t 1 g x lim         στο ox =9 λόγραμμο. Ν ς Cf στην αρχ ι ολ. ελάχιστο x > – 1. δας προϊόντο 2 x 3  € . Το κό 6 € για κάθε τε να έχει το μ ρεύει με ένα π ώ ανά μέτρο. δεδομένο ότι R . Να βρείτε 3 2 2 f(x) f'(x) 3 t 3t 2t t 1      Να εκφράσετε χή των αξόνω ο το οποίο ν ος συναρτήσ όστος παραγ ε μονάδα προ μέγιστο δυνα Ανάλυσ ποτάμι. Πώς πρέπει ι ο ε: ,x 9 ,x 9   ε την ων α βρείτε ει του γωγής ανά οϊόντος. Να ατό κέρδος. ση
  11. 11. Γ Λυκείου – 2 ΣΤΑ 2.01 Να ΠΙΝΑΚΑΣ 1 ix 1x 2x 3x 4x 5x ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ 2 ix -2 0 1 3 5 ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ 3 ix 1 2 3 5 ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ 4 ix -5 -3 0 1 ΑΘΡ ΠΙΝΑΚΑΣ 5 ix iν 1 5 2 3 4 4 5 6 ΑΘ Μαθηματικά ΑΤΙΣΤΙΚΗ α συμπληρωθ iν 18 10 0 iν 160 iν 12 24 iν 8 iN if 25 50 ά Γενικής Παι Η θούν οι πίνα if f 0,2 0,16 if if f 0,05 if f 0,05 0,2 iF if % ιδείας ακες if % 4 if % 15 25 40 15 if % 40 if % 40 iF % 16 60 ΠΙ ΠΙ ΠΙ Π Π ΙΝΑΚΑΣ 6 ix -1 0 2 3 ΑΘΡ 4 ΙΝΑΚΑΣ 7 ix ν 2 5 7 1 8 ΑΘΡ ΙΝΑΚΑΣ 8 ix iν 0 10 20 30 5 40 ΑΘ ΙΝΑΚΑΣ 9 ix iν 10 5 20 30 12 40 Σ ΙΝΑΚΑΣ 10 ix iν 1 8 2 3 5 4 5 Σύν iν if % 30 6 40 iν if 0,4 2 if if % 0,15 if if % 30 if iΝ 0,4 10 0,25 15 iN 4 0 iN F 2 60 iN iF 0,6 20 iN iF 0,675 iF if % 0,9 10 1 iF 0,1 iF % 20 iF % 10 60 iF % % iF % 11
  12. 12. 12 2.02 Σε Οι Οι Οι Πέ Το Να κάνετε το 2.03 Σε 18 Το Το 11 Το Να κάνετε το 2.04 Έσ και i 1 f 2(i   2.05 Έσ 1 2 3 4f ,f ,f ,f 2.06 Έσ Α) Αν Β) Αν 2.07 Έσ δείγμα μεγέθ Α) Να Β) Για 2.08 Έσ δείγμα μεγέθ Α) Να μια τάξη Λυ ι 20 μαθητές ι 18 έχουν το ι 19 έχουν το έντε οικογένε ο 15% των οικ ον πίνακα κ μια πόλη η μ ημέρες είχαν ο 85% του πλή ο πλήθος των ο 55% του πλή ον πίνακα κ στω 1 2x , x ,... 1) , i 2,3,4 στω 1 2 3x , x ,x στω 1 2 3x ,x ,x ν 2 iν i 2i  ν i 2 1 f i 1   , στω 1 2x ,x ,..., θους ν . Αν α βρεθεί ο κ α 15 κ 2  να στω 1 2x ,x ,..., θους ν . Αν α βρεθεί ο κ υκείου όπου ς έχουν κανέν ουλάχιστον 1 ο πολύ 3 αδέ ειες των μαθη κογενειών τη ατανομής συ μικρότερη θε ν θερμοκρασ ήθους των ημ ν ημερών με θ ήθους των ημ ατανομής συ 4.,x οι τιμές 4 να βρεθεί 3 4,x οι τιμές 3 οι τιμές μια , i 1,2,3 ν i 2,3 να β 5,x με 1x x ισχύει if 2  βρείτε την F 5,x με 1x x ισχύει iF %  δεν υπάρχου να ή 1 ή 2 ή 3 1 αδερφό ρφια ητών έχουν 3 ην μαθητών έ υχνοτήτων: ν ερμοκρασία σία το πολύ 1 μερών η θερμ θερμοκρασία μερών η θερμ υχνοτήτων: ν μιας μεταβλη η 1f ς μιας μεταβλ ας μεταβλητή να βρεθεί ο ν βρεθεί την 1f 2 5x ... x  οι i 2κ , i 1,2,.. 3F % 2 5x ... x  οι i κ  , i 1,2,. Β) Για υν συμμαθητ 3 ή 4 αδέρφι 3 ή 4 παιδιά έχουν 4 τουλ i i iν , f , f %, N επί 20 συνεχ 15 μοκρασία ήτ α 13ήταν διπ μοκρασία ήτ i i i iν , f , N , F λητής Χ ως πρ λητής Χ ενός ής Χ ως προς ν ι τιμές μιας μ .,5 Γ) Αν ι τιμές μιας μ ..,5 τότε: 1 κ 20  να β τές που να είν α λάχιστον παι i i iN , F , F % χείς ημέρες ή ταν τουλάχισ λάσιο του πλ ταν 13 ή 15 i i i, f %, F % ρος την οποί ς δείγματος. Α την οποία εξ μεταβλητής Χ 3N 30 να μεταβλητής Χ βρείτε την 2f ναι αδέρφια διά ήταν 10, 11, 1 στον 11 λήθους των η α εξετάζουμε Αν 1 2f 2f  ξετάζουμε έν Χ ως προς τη βρείτε το μέγ Χ ως προς τη α: 15, 13 και 16 ημερών με θε ε ένα δείγμα 3 43f 4f  να να δείγμα με ην οποία εξετ γεθος του δεί ην οποία εξετ Στατιστικ ερμοκρασία α μεγέθους ν α βρείτε τις γέθους ν τάζουμε ένα ίγματος. τάζουμε ένα κή
  13. 13. Γ Λυκείου – http://users.s Γραφικη π 2.09 Η διπλανό πίν σχετικών συχ 2.10 Στ Να κατασκε συχνοτήτων 2.11 Σ το έτος 1980 είναι 180. Τ τετραπλάσιε ραβδόγραμμ 2.12 Σε επιχείρησης Λυκείου Γ΄ Κατηγορ εργαζόμενος Στην Α΄ κατ αντιστοιχεί σ κατηγορίας Α. Να Β. Να 2.13 Σε 900 ατόμων κυκλικού το ξανθά μαλλι συμπληρώσε ραβδόγραμμ 2.14 Ο α μιας περιοχή διάγραμμα σ Α το επισκέψεις ε Β τον επισκέψεις ε Μαθηματικά sch.gr/mipapa παρασταση βαθμολογία νακα. Να κάν χοτήτων ο διπλανό πί ευάσετε ραβδ ν Σε ένα κυκλικ ανάλογα με Το 14% της αξ ες σε αξία απ μα σχετικών ένα κυκλικό σε τέσσερις κ ρία: Πτυχιού ς ανήκει σε μ τηγορία ανήκ στους εργαζό είναι εξαπλά α υπολογίσετ α μετατρέψετ ένα κυκλικό ν. Το 30% τω μέα για τα κ ιά είναι διπλ ετε τον διπλα μα συχνοτήτ αριθμός των ής στα διάφο σχετικών συχ ποσοστό επί ετησίως, ν αριθμό των ετησίως. ά Γενικής Παι agr η κατανομη μιας ομάδα νετε το διάγρ ίνακα φαίνο δόγραμμα συ κό διάγραμμ ε το μέσο μετα ξίας των εξαγ πό αυτές που συχνοτήτων ό διάγραμμα κατηγορίες. ύχοι Ανωτάτη μία μόνον απ κει το 25% τω όμενους της άσιοι των εργ τε τον αριθμό τε το κυκλικό ό διάγραμμα ων ατόμων έχ καστανά μαλλ λάσια από αυ ανό πίνακα των. ν ετήσιων επι ορα μουσεία χνοτήτων. Ν ί τοις εκατό τ ν μαθητών π ιδείας ης συχνοτη ς φοιτητών σ ραμμα συχνο ονται τα βιβλ υχνοτήτων κα α παριστάνο αφοράς. Η γ γωγών έγινε έγιναν “αερ ν. α παριστάνετ Α΄ Κατηγορ ης Εκπαίδευσ πό τις κατηγο ων εργαζομέν Δ΄ κατηγορί γαζομένων τ ό των εργαζο ό διάγραμμα α, παριστάνετ χουν μαύρα λιά είναι 3α υτά με κόκκιν και να κατασ σκέψεων ενό της χώρας δ Να βρείτε: των μαθητών που κάνει δύο ητων σε ένα μάθημ οτήτων και τ λία που έχει μ αι κυκλικό δ ονται οι εξαγ γωνία του κυ ε “σιδηροδρο ροπορικώς”. Ν ται το μορφω ρία: Απόφοιτ σης Δ΄ Κατ ορίες αυτές. νων της επιχ ίας είναι 18. της Γ΄ κατηγο ομένων κάθε α σε ραβδόγρ ται το χρώμα μαλλιά. Η γ ο 3 144 . Τα να μαλλιά. Ν σκευάσετε το ός δείγματος ίνεται από το ν που κάνει α ο τουλάχιστο μα φαίνεται σ ο πολύγωνο μια βιβλιοθή διάγραμμα γωγές της χώρ κλικού τομέα ομικώς”. Οι μ Να μετατρέψ ωτικό επίπεδο τοι Γυμνασίο τηγορία: Κάτ χείρησης. Η γ Οι εργαζόμε ορίας. ε κατηγορίας ραμμα συχνο α μαλλιών ωνία του άτομα με Να ο ς 80 μαθητών ο διπλανό ακριβώς δύο ον στο Β ήκη. Είδο Ισ Λογ Μα Τα Εγκυ ρας μας αξία α για μέσο μ μεταφορές πο ψετε το κυκλι ο των 400 εργ ου Β΄ Κ τοχοι Μεταπ γωνία του κυ ενοι της επιχ ς. οτήτων. Χρώμα μαλλιών Κόκκινα Μαύρα Καςτανά Ξανθά Σύνολο: ν Βαθμός Π 4 5 6 7 8 ος βιβλίων στορικά ογοτεχνικά αθηματικά αξιδιωτικά υκλοπαιδικά ας 97.000.000 μεταφοράς “θ ου έγιναν “ο ικό διάγραμ γαζομένων μ Κατηγορία: Α πτυχιακού Τί υκλικού τομέ χείρησης της iν 1 Πλήθος φοιτητών 2 3 7 5 3 Πλήθος βιβλίων 2 30 36 24 18 0 euro κατά θαλασσίως” οδικώς” ήταν μα σε μιας Απόφοιτοι τλου . Κάθε έα που Β΄ if % iα 13 ν
  14. 14. 14 Ομαδοποί 2.15 Να κλάσεις ίσου Κλάσεις  …-… …-… …-… …-… 2.15.1.1.1 2.16 Η πίνακα: Α) Να κατα Β) Να βρείτε α) β) Γ)Το ποσοστ 2.17 Στ ομαδοποιημ έγιναν από τ i) Πό ii) Να α)τ β)τ iii) Πό α) 2.18 Στ σχετικών συ Να βρείτε: i) Το βαθμό α) το 70% τ ii) Το ποσοσ 2.19 Το από τις ευθεί B) Να 2.20 Έν Δίνεται το π A) Να B) Να Γ) Αν ίηση Παρατ α συμπληρώσ υ πλάτους  .. .. … … … … βαθμολογία ασκευάσετε το ε το βαθμό κ Το 20% των Το 40% των τό των μαθη ο σχήμα είνα μένων πωλήσ τους πωλητές όσοι είναι οι α κατασκευά το ιστόγραμμ το πολύγωνο όσοι πωλητές 60000 euro; ο σχήμα έχου υχνοτήτων μ κάτω από το των μαθητών στό των μαθη ο πολύγωνο σ ίες y x 1  α βρεθεί το π να δείγμα ομ πολύγωνο if % α εκφράσετε α βρείτε τα c, ν 1f % 25 , ν τηρήσεων σετε τους πα ix 6 … … 18 40 μαθητών ο πολύγωνο άτω από το ο ν μαθητών ν μαθητών. τών που έχει αι το πολύγω σεων σε δεκά ς μια εταιρεί πωλητές; άσετε: μα συχνοτήτ ο αθροιστικώ ς έκαναν πωλ β) 50000 eu υμε το πολύγ ιας βαθμολο ον οποίο πήρ ν β) το ητών που πήρ συχνοτήτων και y x   πλάτος και τα μαδοποιήθηκ % το οποίο έχ το c συναρτή , κ. να κατασκευά ρακάτω πίνα Κλάσεις .. 5-.. ..-.. …-23 ..-.. ν σε ένα διαγ αθροιστικών οποίο έχει: ι γράψει: του ωνο συχνοτήτ δες χιλιάδες ίας σε ένα έτο των ών συχνοτήτω λήσεις κάτω uro; γ) 45000 γωνο αθροισ ογίας μαθητώ ρε: ο 30% των μ ρε βαθμό μέχ μιας ομαδοπ 13 . A) α άκρα κάθε κε σε κ κλάσει χει σχήμα τρ ήσει του κ. άσετε το ιστό ακες στους οπ .. ix γώνισμα φαί ν σχετικών σ υλάχιστον 14 των των euro που ος. ων από: 0 euro; στικών ών μαθητών χρι 13 ποιημένης κα Να βρεθε κλάσης. Γ) ις, ίσου πλάτ ριγώνου. όγραμμα if % 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100αριθμόςπωλητών ποίους έχουμ Κλάσε … … … 1 ίνεται στο διπ συχνοτήτων % 4 ατανομής με ί το πλήθος τ Να βρεθ τους c. . 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 4 μαθητές 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 με ομαδοποιή ις  .. .. …-.… …-… …-… 7-… πλανό % Β 5 ισοπλατεί του δείγματο θεί η συχνότη 8 12 βαθμολογί 3 5 πω λήσεις ιήσει τρία δεί ix … 11 … … Βαθμός  ,  0,4  4,8  8,12  12,16  16,20 ίς κλάσεις απ ος. ητα κάθε κλά Στατιστικ 16 20 α 7 9 ίγματα σε μαθητές 4 8 16 10 2 ποτελείται άσης. κή
  15. 15. Μ Γ Λυκείου – http://users.s Μέση τιμή 2.20.1.1.1 2.21 Οι 20 λεπτά. Τ τουλάχιστον 2.22 Στ Να βρείτε τα 2.23 Μι Α) Να α) β) γ) Β) Αν μηνιαίος μισ 2.24 Σε ότι οι 10 πα τις υπόλοιπε παρατηρήσε 2.25 Μι βαθμών των παιδιών ήτα 2.26 Σε πήραν αύξη καθένας. Αν εργαζόμενοι 2.27 Σε A) Το γίνει ίσος με B) Για αυτοί έχουν Γ ) Αν 2.28 Έν υπαλλήλους μισθό 3600 Αν προσληφ τμήματα δεν Μαθηματικά sch.gr/mipapa ή ι χρόνοι που ο 20% κάνει ν 16 λεπτά. Ν ο διπλανό πί α α, β αν η ια βιοτεχνία α βρείτε το μ ένας εργαζό προσληφθο πάρει σύντα ν προσληφθε σθός όλων να 20 παρατηρ αρατηρήσεις ες είχαν υποε εων αυτών. ια τάξη έχει ν αγοριών ήτ αν 14,5 , να μια επιχείρη ση στο μηνια ν η μέση τιμή ι του κάθε τμ μια εταιρία ο 20% των υπ ε τη μέση τιμή α λόγους μείω μέσο μηνιαί ν σε όλους το να εργοστάσι ς στο Τμήμα Β €. Να βρεθεί φθούν 2 υπά ν μεταβληθού ά Γενικής Παι agr κάνουν οι μ ι χρόνους κά Να βρείτε το ίνακα φαίνε μέση βαθμολ έχει 10 εργα έσο μισθό ότ όμενος με 12 ύν δύο εργα αξη ένας με μ εί ένας εργαζ α είναι 1210 ρήσεις μιας μ από αυτές εί εκτιμηθεί κατ 12 αγόρια κ ταν 14 , ενώ βρεθεί το πλ ηση είναι 50 αίο μισθό 10 ή όλων των μ μήματος. οι 200 υπάλλ παλλήλων έχε ή , ποια θα ε ωσης του κόσ ίο μισθό 2800 ους υπάλληλο ιο απασχολεί Β με μέσο μη ί ο μέσος μην άλληλοι στο Τ ύν, να βρεθε ιδείας μαθητές ενός άτω από 8 λε ο μέσο χρόνο ται η βαθμολ λογία είναι 5 αζόμενους μ ταν: 200 μισθό π ζόμενοι ακόμ μισθό 1190 ζόμενος , ποιο  μεταβλητής X ίχαν εσφαλμ τά 10 μονά και άγνωστο των κοριτσιώ λήθος των κορ εργαζόμενο 00 ο καθένα ηνιαίων μισθ ληλοι έχουν ει μέσο μισθό ίναι η νέα μέ στους απολύ 0 € . Να βρεθ ους δοθεί αύ ί 5 υπαλλήλ ηνιαίο μισθό νιαίος μισθός Τμήμα A , 4 ί η νέα μέση σχολείου να επτά το 50% ο των μαθητώ λογία 20 φο 5,9 με μέσο μηνια πάρει σύνταξ μη με μισθό και προσλη ος πρέπει να X βρήκαμε μ ένα υπερεκτ άδες η κάθε μ αριθμό κορι ών ήταν 14, ριτσιών. οι στα τμήμα ας, ενώ στο τ θών αυξήθηκ μέσο μισθό 2 ό 1800 € .Αν έση τιμή του ύεται το 15% θεί η νέα μέσ ξηση 3,5% π λους στο Τμή 2800 € και ς όλων των υ 4 στο Τμήμα τιμή . α πάνε από το % κάνει χρόν ών. οιτητών σε έν αίο μισθό 12 ξη. 850 ο καθ ηφθούν τρεις α είναι ο μηνι μέση τιμή x ιμηθεί κατά μια. Να βρείτ ιτσιών. Σε έν 875 . Αν η μέ ατα A και B τμήμα B πήρ κε κατά 70 2500 €. ο μισθός αυτ υ μισθού ; των υπαλλήλ ση τιμή του μ οια η νέα μέσ ήμα A με μέσ 4 υπαλλήλο υπαλλήλων . Γ και οι μέσ ο σπίτι στο σχ ους κάτω απ να μάθημα. 00. ένας. ς με μισθό 85 ιαίος μισθός 60 . Διαπισ 5 μονάδες κ τε τη σωστή μ α διαγώνισμ έση τιμή των . Οι εργαζόμ ραν αύξηση , να βρείτε π τών των υπαλ λων της εται μισθού . ση τιμή του μ σο μηνιαίο μ ους στο Τμήμ σες τιμές των σχολείο είναι πό 12 λεπτά κ Βαθμός 4 5 6 8 50 ο καθένα ς του ώστε ο μ στώθηκε όμω κάθε μια ενώ μέση τιμή των μα η μέση τιμ ν βαθμών όλω μενοι στο τμή στο μισθό, 5 πόσοι είναι ο αλλήλων αυξ ιρίας . Οι υπά μισθού ; μισθό 2490 € μα Γ με μέσο ν μισθών στα 1 από 4 έως και το 15% Φοιτητές 2 α 8 β ας μέσος ως στο τέλος ώ οι 9 από ν μή των ων των ήμα A 50 ο οι ξηθεί ώστε να άλληλοι €, 6 ο μηνιαίο α δύο αυτά 15 α
  16. 16. 16 2.29 Η βρεθεί η μέσ 2.30 Σε βαθμολογία 17,1 Να βρεθ 2.31 Ο μ Επειδή συγκ αποφάσισε ν είναι τώρα η 2.32 Οι διαγωνίσματ Α) Να Β) Αν το μέσο όρο 2.33 Η Να βρείτε τη Α) 1t 2.34 Σ’ τετράμηνο ή μονάδες ο κα βρείτε πόσοι βαθμολογία 2.35 Έν 2.36 Αν 2.37 Σ 2.38 Να η μέση τιμή μέση τιμή 10 ση τιμή των υ ένα Λύκειο α 17,5 το δεύτ θεί η μέση βα μέσος όρος β κριτικά με το να δώσει μια η νέα μέση τι ι αριθμοί α, β τα. Δίνεται ό α βρείτε τους ν οι συντελεσ των βαθμών μέση τιμή τω η μέση τιμή τ 2λ,t λ,...,  ένα Λύκειο φ ήταν 15. Στο αθένας, ενώ ι μαθητές βελ α όλων στο Β’ να δείγμα έχε ν είναι 5 i=1 x  Στη διπλανή κ α υπολογίσετ τους είναι x 00 αριθμών υπολοίπων.; τα τρία τμήμ τερο 27 μαθη αθμολογία τω βαθμολογίας ους μέσους όρ α μονάδα σε ό ιμή της βαθμ β, 17 , γ έχου ότι το εύρος τ ς βαθμούς το στές βαρύτητ ν του μαθητή ων παρατηρή των παρατηρ ν,t λ φοιτούν 300 ο Β’ τετράμην οι υπόλοιπο λτίωσαν τη β ’ τετράμηνο έ ει μέγεθος ν ix 3 και 5 i=  κατανομή να τε το πλήθος ln2004 ν  είναι 24 και ματα της Πρώ ητές και μέση ων μαθητών ς 1ου τετραμή ρους άλλων μ όλους τους μ ολογίας υν διαταχθεί των βαθμών υ μαθητή. τας των βαθμ ή. ήσεων 1 2t ,t ,. ρήσεων: Β) 1λt , 0 μαθητές κα νο, ένας ορισ ι μείωσαν τη βαθμολογία τ έγινε 17. 8 , 8 i 1 (2x   5 2 i 1 x 23  , να α υπολογίσετ ν των παρα ι η μέση τιμή ώτης Τάξης έ η βαθμολογί της Πρώτης ήνου 20 μαθη μαθημάτων η μαθητές, εκτό σε αύξουσα είναι 2, η διά μών είναι 0, ν...,t μιας με 2 ν, λt ,..., λt αι η μέση βαθ σμένος αριθμ η βαθμολογία τους και πόσ ix 6) 752  κ α υπολογίσετ τε τη μέση τι ατηρήσεων x ή των 60 πρώ έχουν: Το πρ ία 18,2 το τρ τάξης ητών ενός τμή η βαθμολογί ός από δυο μ σειρά και είν άμεσος και η 5 0,7 1 εταβλητής Χ Γ) 1λt κ, λt θμολογία του μός μαθητών α τους κατά σοι την χειρο και S 2 . Ν τε τα  5 i=1 x  μή 1 2x ln2, x ώτων από αυ ρώτο 25 μαθη ρίτο 23 μαθητ ήματος στη σ ία θεωρήθηκε μαθητές που ε ναι οι βαθμο η μέση τιμή 1 1 και 0,8 ενός δείγματ 2 νt κ,..., λt  υς στα Μαθη αύξησε τη βα 2 μονάδες ο τέρευσαν, αν Να βρείτε η ix 10 και 3 ln 2  , 3x  υτούς είναι 1 ητές και μέση τές και μέση στατιστική ε ε χαμηλή, ο κ είχαν εικοσά οί ενός μαθητ 16. 8 αντίστοιχα τος μεγέθους κ ηματικά στο Α αθμολογία τ ο κάθε μαθητ ν γνωρίζουμ x και το 8 i    5 i i=1 2x 3  x 3 4 5 9 ν 4 ln , ,x 3   Στατιστικ 16 . Να η βαθμολογία ίναι 14,4. καθηγητής άρια. Ποια τή σε τέσσερα α να βρείτε ς ν είναι x . Α’ του κατά 4 τής. Να ε ότι η μέση 8 2 i 1 x   . 2 ix iv 3 3 4 2 5 9 2 ν 1 ln ν   , αν κή α α ν
  17. 17. 2 σ σ Α Β Γ Λυκείου – http://users.s Διάμεσος 2.39 Να 2.40 Να ένα διαγώνι 2.41 Αν αυτούς είναι 2.41.1.1.1 2.42 Στ αθροιστικές μέση τιμή 5, 2.43 Σ’ έ σε 200 ερωτή στην ερώτησ Α) Να εκτιμή Β) Να εκτιμή 2.44 Οι 2.45 Το μαθητής δεν υπερβαίνει τ 2.46 Δίν δείγματος (τ 2.47 Το ανάστημα μ 2.48 Να ΠΙ Χρόνo 8 9 10 11 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Fi% Μαθηματικά sch.gr/mipapa α βρείτε τη δ α βρείτε τη δ ισμα αν τα π ν η μέση τιμή ι οι 0, 1, 5, ο διπλανό πί σχετικές συχ ,5 ένα τεστ πήρ ήσεις. Η βαθμ ση. Ο επόμενο ήσετε γραφικ ήσετε το ποσ ι παρατηρήσε ο μέσο ύψος τ ν έχει ανάστη τα 180 cm. νεται ο αριθμ των 9 αριθμ ο μέσο ύψος τ μικρότερο των α βρείτε το α ΙΝΑΚΑΣ 1 oς Μαθητέ 5 7 8 7 0 4 8 βαθμός ά Γενικής Παι agr ιάμεσο των χ ιάμεσο των β ολύγωνα αθ ή πέντε αριθμ 21, να βρείτ ίνακα φαίνο χνότητές τους ραν μέρος 10 μολογία είνα ος πίνακας δ κά τη διάμεσ σοστό των μα εις ενός δείγμ των 30 μαθητ ημα μικρότερ μός α R κα μών) είναι x των 30 μαθητ ν 160 cm. Ν  α 0,1,2 ώ Π Χρό 8 9 10 11 ς 12 16 20 ς ιδείας χρόνων φαίν βαθμών των ροιστικών σχ μών είναι διπ τε τον πέμπτο ονται οι τιμές ς. Να βρείτε 0 μαθητές πρ αι 1 ή 0, ανάλ δείχνει τα απ σο. αθητών που έ ματος είναι τών και μαθη ρο των 160 c αι επιπλέον 64 κ αι ισχ τών μιας τάξ Να αποδείξετε ώστε οι αριθμ ΠΙΝΑΚΑΣ 2 νος Μαθητ 8 7 9 6 0 10 1 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 Fi% νονται στους μαθητών της χετικών συχν πλάσια της δ ο αριθμό. ς μιας μεταβλ τους α, β, γ ροκειμένου ο λογα αν ο μα ποτελέσματα έγραψαν από 4, 8, 3, x, α, ητριών μιας cm. Να αποδ 8 διαδοχικο χύει α 50, ξης είναι 170 ε ότι η διάμε μοί α - 2, α  τές Π Χρό 8 9 10 11 4 8 12 βαθμός ς παραπάνω ς Α΄ Λυκείου νοτήτων είνα διαμέσου δ λητής Χ με τι γ αν η διάμε ο καθένας να αθητής απαντ της βαθμολο ό 80 ως 110 24 2x, 5 κ τάξης είναι δείξετε ότι η δ οί περιττοί ακ ,80 , να βρε 0 cm Υποθέτο εσος του δείγ 2 3 1, α 1, α ΠΙΝΑΚΑΣ 3 όνος Μαθη 8 30 9 25 0 35 1 10 16 20 Fi% πίνακες. υ του κάθε τμ αι τα παρακά με 0 δ 5  ις αντίστοιχε εσος είναι 6 α απαντήσει τάει ή όχι ογίας και έχουν δ  170 cm Υπο διάμεσος του κέραιοι. Αν η θεί η διάμεσο ουμε ότι καν γματος δεν υπ 1 , να έχου Χρτές 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 3 6 9 μήματος που άτω και οι τέσσε ες και η x 2 3 5 7 9 Βαθμοί  60,80  80,100  100,120  120,140  140,160  160,180 8 . Βρείτε τ οθέτουμε ότι κ υ δείγματος δ η μέση τιμή τ σος του δείγμ νένας μαθητή περβαίνει τα υν διάμεσο δ ΠΙΝΑΚΑΣ 4 ρόνος Μαθ 8 3 9 2 10 4 11 1 9 12 15 1 βαθμός 1 υ πήραν σε ερις από ix iF % 2 10 3 30 5 α 7 β 9 γ Συχνότη 5 20  26  30  15  4 η x και το α κανένας δεν του ματος ής δεν έχει α 180 cm. δ 1 4 θητές 30 20 40 10 8 17 α
  18. 18. 18 Τυπική Απ 2.49 Οι στο διπλανό 2.50 Έν μία νέα τιμή τυπική απόκ 2.51 Ρω κυμαίνονταν τέσσερις μαθ μια λογοτεχν 2.52 Η για τις δεκαε 2.53 Αν 2.54 H τ x η μέση τιμ 2.55 Έσ τυπική απόκ Α) τη Β) την 2.56 Θε πλήθος αριθ Α. Η 2.57 Τέσ A) Να B) Αν Γ) Aν 1 2 3x , x , x , x απόκλιση τω πόκλιση ι χρόνοι αναμ ό πίνακα. Να να δείγμα με ή της μεταβλη κλιση του νέο ωτήθηκαν 40 ν από 0 έως θητές πάνω α νική σειρά δ μέση τιμή κα εννέα τιμές ι ν για ένα σύν τυπική απόκ μή, δείξτε ότι στω t1, t2, …,t κλιση s1 = 2, ε μέση τιμή το ν τυπική από εωρούμε 1α τ θμών που έχο μέση τιμή τω σσερις αριθμ α αποδείξετε ν η διακύμαν ν στους παρα 4 5 6x , x , x τέτ ων 10 αριθμώ μονής σε στά α βρείτε την τ εγέθους ν 3 ητής και δημ ου δείγματος 0 μαθητές ενό ς και 20 . Οκ από 16 και δ δωρεάν , πόσα αι η διακύμα ισχύει  19 i 1 x   νολο παρατη κλιση μιας με ι 1 2t t ...   100 οι τιμές μ ενώ οι υπόλο ου συνόλου, όκλιση s του το πλήθος αρ ουν διακύμαν ων 1 2α α αρ μοί x,y,z,w ότι x 1 κα νση των τεσσ απάνω τέσσερ τοιους ώστε  ών. άση λεωφορε τυπική απόκλ 35 έχει μέση μιουργούμε έ ς. ός Λυκείου π κτώ μαθητές α δέκα πάνω απ α τουλάχιστο ανση των 20 2 ix x 79  , ηρήσεων ισχύ εταβλητής Χ vt =x . ιας μεταβλητ οιπες έχουν μ υ συνόλου. ριθμών που έ νση 2 2s και τη ριθμών είναι με x y z   αι w 5 σάρων αριθμώ ρις αριθμούς 6 i i 1 x 38    κ είων 20 ατόμ κλιση. τιμή x και τ ένα δείγμα μ πόσα λογοτεχ απάντησαν κ πό 12 . Αν γ ον βιβλία πρ τιμών ενός , να βρεθεί η ύει ότι ν i 1 x   είναι ίση με τής. Οι πρώτ μέση τιμή 2x έχουν διακύμ ην ίδια μέση ι x και η δια w έχουν μέ ών είνα 5 2 ν ς προσθέσουμ και 6 2 i i 1 x    μων φαίνετα τυπική απόκ εγέθους ν  χνικά βιβλία κάτω από 4 για τους 2 πο ρέπει να έχει δείγματος εί εικοστή τιμή 2 i 88 , s  το μηδέν. Αν τες 20 παρατη 2 = 20 και s2 = μανση 2 1s και τιμή x . Να ακύμανση του έση τιμή 3, δ να βρείτε του με και άλλου 244 να βρε ι Χρόν 1,3 3,5 5,7 7,9 λιση s . Παίρ 36 . Να βρεθ α έχουν διαβά , είκοσι μαθη ου διαβάζουν διαβάσει κά ίναι x 6 κα ή. 7 , x 2 , να ν 1 2 vt ,t ,...,t ηρήσεις έχου = 5. Να βρείτ ι μέση τιμή x α αποδείξετε ό υς είναι 2 s  ιάμεσο 3 και υς αριθμούς y υς 6 αριθμού είτε την μέση νος 3 5 7 9 ρνουμε την μ θεί η μέση τιμ άσει . Οι απ ητές κάτω απ ν ποιο πολύ άποιος για να αι 2 s 4 , αν α βρεθεί το v είναι οι τιμ υν μέση τιμή τε: . Όμοια θεω ότι: 2 2 1 1 2 2 1 2 α s α s α α    ι εύρος 4. y και z . ύς τους η τιμή και την Στατιστικ Μαθητές 6 8 4 2 μέση τιμή ως μή και η αντήσεις πό 8 , τους δοθεί α κερδίσει; ντίστοιχα. Αν v ές της x και 1x = 10 με ωρούμε 2α το ν τυπική κή ς ν
  19. 19. Γ Λυκείου – http://users.s CV 2.58 Σε 2.59 Έν να βρείτε το 2.60 Οι πόσοι είναι ο 2.61 Στ σχετικών συχ σε ένα μάθημ Δίνεται ότι 2 Α) Να Β) Να Γ) Να ομοιογενές ω 2.62 Σε Α. Αν των υπαλλήλ Β. Θε α) 34600000 ευ β) γ) μέσος μισθός κάνει η εταιρ 2.63 Τα μαθητές. Σε αS 2,5 και A) Απ B) Να 2.64 Θε , Μ τον στα 0,1α 0,1β 2 21 s α   Μαθηματικά sch.gr/mipapa ένα δείγμα ι να σύρμα μήκ συντελεστή ι βαθμοί των οι μαθητές το ο διπλανό σχ χνοτήτων τη μα. Η βαθμο 20 μαθητές έ α αποδείξετε α βρείτε τη δ α εξετάσετε α ως προς την μια εταιρεία ν οι εργάτες ε λων (εργατώ εωρούμε ότι η Αν η τυπική υρώ ,τότε να Να εξετάσετ Η εταιρεία ς των υπαλλή ρεία. α δύο τμήματ ένα κοινό δι ι του B είναι πό τις βαθμολ α βρείτε την τ εωρούμε το δ αθμικό μέσο τ 0,1γ β γ δ  να ά Γενικής Παι agr ισχύει ότι x  κους 20 c  μεταβολής τ μαθητών εν ου τμήματος χήμα δίνεται ης βαθμολογί ολογία κυμαί έχουν βαθμό ότι ο αριθμό ιάμεσο. αν το δείγμα βαθμολογία α ο μηνιαίος είναι τετραπλ ών και στελεχ η εταιρεία έχ ή απόκλιση τ βρείτε τον α τε αν υπάρχε αποφασίζει ν ήλων ,να μην τα της Γ΄ τάξη ιαγώνισμα, η ι βS 1,5 ,ενώ λογίες των δ τυπική απόκ δείγμα α, β, του δείγματο 0,1δ και s βρείτε τα μ ιδείας 4s 0  . Να cm κόβεται σ των 1 2, ,...  ός τμήματος ς; ι το πολύγων ίας μιας ομά ίνεται από 0 ό μικρότερο τ ός των μαθητ των 80 μαθη . μισθός των ε λάσιοι σε αρ χών) της εται χει ν υπαλλήλ των μισθών ε αριθμό των υπ ει ομοιογένει να αυξήσει κ ν υπερβαίνει η ενός λυκείο η τυπική από ώ η μέση βαθ δύο τμημάτων κλιση της βαθ γ, δ με α β ος με αντίστο s τη τυπική α , s, CV βρείτε το συ σε δέκα κομμ 10., . ς έχουν μέση νο αθροιστικ άδας μαθητών 0 έως 20 . του 6 . τών είναι 80 ητών είναι εργατών είνα ριθμό από τα ιρείας. λους με μισθ είναι 140 ευρ παλλήλων π ια στους μισ κατά α ευρώ ει τα 900 ευρ ου έχουν:το τ όκλιση της βα θμολογία τω ν, ποια έχει τ θμολογίας όλ β γ δ  . Ον οιχους συντε απόκλιση του Fi% υντελεστή μετ μάτια με μήκη τιμή 12 και κών ν αι 750 € ενώ στελέχη της θούς ix ,όπου ρώ και το άθ που απασχολε θούς των υπα τους μισθούς ρώ. Να βρείτε τμήμα A έχε αθμολογίας τ ων δύο τμημά τη μεγαλύτερ λων των μαθ νομάζουμε μ λεστές στάθμ υ δείγματος . 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 4 ταβολής. η 1 2, ,...,   CV 0,25 . ώ των στελεχ εταιρείας ,να υ i 1,2,...,v θροισμα των εί η εταιρεία αλλήλων. ς των εργατώ ε την μέγιστη ει 18 μαθητέ των μαθητών άτων είναι η ρη ομοιογένε θητών της τάξ τον αριθμη μισης . Αν μ Μ 2  8 12 βαθμολογία 10 Αν  10 i 1    . Αν ν 2 i i 1 x   χών είναι 110 να βρείτε το μ v . τετραγώνων α. ών ,έτσι ώστε η αύξηση ,πο ές και το τμή ν του τμήματ ίδια. εια; ξης αυτής. ητικό μέσο το 21 και 1 16 20 2 i 2 90   , 3060 00 € μέσο μισθό ν τους είναι ε ο νέος ου μπορεί να ήμα B 22 τος A είναι ου δείγματος 19 , α ς
  20. 20. 20 2.65 Οι 2 s 4 . Να β 1 2 νx , x ,...,x 2.66 Έσ μέση τιμή 8 1 2A , A ,...,A 2.67 Έσ βρείτε πόσες να είναι ομο 2.68 Τα εργοστάσιο σ Να βρείτε: τη και τον συντ 2.69 Η αντίστοιχα. Β) πό 2.70 Οι Α) να Β) πρ Γ) αν ατόμων 2.71 Δεί σειρά είναι : Α) Να αν προστεθε 2.72 Δίν ιστόγραμμα Α Να Β Να Γ Να Δ Να ι παρατηρήσε βρείτε το συν αν ελαττώσ στω ευθεία (ε 8 και τυπική 9A . στω 1 2x , x ,... ς μονάδες -το οιογενές. α χρόνια εργα σχηματίζουν η διάμεσο, τη τελεστή μετα μέση τιμή κα Αν για τις εν όσες μονάδες ι σημερινές η α βρεθεί η μέσ ριν πόσα χρό ν το άθροισμα ίγμα μεγέθου 3, s 1, 5, μ α αποδείξετε εί σε κάθε μια νεται ότι 2F % α α συμπληρωθ α βρεθούν μέ α βρεθούν μέ α εξετασθεί α εις 1 2x , x ,... ντελεστή μετα σουμε κάθε μ ε) : y=-3x+2 ή απόκλιση 2 ν.,x οι παρα ουλάχιστον- ασίας ενός δ ν το διπλανό η μέση τιμή, αβολής ύστερ αι ο συντελεσ ννέα τιμές ισ τουλάχιστον ηλικίες κάποι ση σημερινή νια από σήμ α των τετράγ υς 10 έχει εύ μ, μ, μ 1, μ ότι μ δ α από τις παρ % 30 και το θεί ο πίνακα έτρα απόλυτη έτρα σχετική αν το δείγμα ν,x ενός δείγ αβολής των π μια κατά 20% και τα σημεί 2 . Να βρείτε ατηρήσεις ενό πρέπει να αυ είγματος εργ ό πολύγωνο α την τυπική α α από 5 χρό στής μεταβολ σχύει ότι: 9 i 1  ν πρέπει να α ιων ατόμων έ τους ηλικία μερα το δείγμ γωνων των σ ύρος R , μέση 1, 10, 11, μ Β) Να ρατηρήσεις τ ο παρακάτω ς κατανομής ης διασπορά ς διασποράς είναι ομοιογ Y cX c  γματος μεγέθ παρατηρήσε % και μετά π ία της 1A , A ε το συντελεσ ός δείγματος υξήσουμε την γαζομένων σ αθροιστικών απόκλιση όνια. λής των 10 τ  2 i 1 x x 3   αυξηθεί κάθε έχουν 1CV  μα των ηλικιώ σημερινών ηλ η τιμή μ , τυ μ 5 R  βρείτε τα μ, του παραπάν πολύγωνο σ ς. άς. ς. γενές. θους ν έχουν ων 1 2y , y ,.. ροσθέσουμε 2 9A ,...,A με τ στή μεταβολή ς που έχουν μ ν κάθε μια α σε ένα συχνοτήτων τιμών ενός δε 3975 να βρεί ε τιμή του δε 0,05 ενώ πρ ών τους ήταν λικιών είναι πική απόκλι s, R Γ) Να νω δείγματος συχνοτήτων α 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 Ni ν μέση τιμή x ν.,y που προ σε κάθε μια τετμημένες x ής των τεταγ μέση τιμή και από τις παρατ ν. είγματος είνα ίτε: Α) είγματος ώστ ριν από 16 χ ν για πρώτη 1604 να βρε ση s και οι τ α βρείτε τον ς αυτό θα μετ από 6 12 18 χρόνια εργασία x 3 και δια οκύπτουν απ το 1,6 1 2 9x , x ,...,x π γμένων των σ αι διακύμανσ τηρήσεις ώστ αι x 80 κα τη δέκα τε να γίνει ομ χρόνια είχαν φορά ομογεν εθεί το πλήθο τιμές του κατ ελάχιστο φυ τατραπεί σε Στατιστικ 8 24 30 ας ασπορά πό τις που έχουν σημείων ση 4. Να τε το δείγμα αι CV 25% τη τιμή μοιογενές ν 2CV 25% νές; ος των τά αύξουσα σικό κ που ομοιογενές . κή
  21. 21. Γ Λυκείου – http://users.s Κανονική 2.73 Οι παρατηρήσε παρατηρήσε 2.74 Η βαθμό το πο να να εξετά 2.75 Τα κατανομή. Δ πόσα άτομα 2.76 Οι παρατηρήσε Α) Να Β) Να 2.77 Έσ –περίπου- R Α) Να Β) Να Γ) Να 2.78 Έν Αν 10 i i 1 x    2.79 Η μηχανή, ότα δείγματος εί Α) Να Γ) Θε βρέθηκαν 15 2.80 Έν των βιδών ω το 95% περί cm τότε Α) Να Β) Αν ελαττωματικ Γ) Σε ελαττωματικ Μαθηματικά sch.gr/mipapa κατανομή ι παρατηρήσε εων είναι μεγ εων από 20 ε βαθμολογία ολύ 12 και 5 άσετε αν το δε α νούμερα τω Δέκα άτομα φ φοράνε παπ ι παρατηρήσε εις είναι μικρ α βρείτε κατά α εξετάσετε α στω μεταβλητ R 36 και CV α υπολογίσετ α αποδείξετε α βρείτε τη μ να δείγμα έχε 2,4 και 10 i 1  διάρκεια ζωή αν λειτουργεί ίναι 20 και 2 α εξετάσετε α εωρούμε μια 5 ηλεκτρικές να μηχάνημα ως προς το μή ίπου των βιδ α βρείτε το π ν μία βίδα έχ κή. Να βρείτε ποιοτικό έλε κές. Η πρότα ά Γενικής Παι agr ή εις μιας μετα γαλύτερες το εως 35 200 μαθητώ 5 μαθητές το είγμα των βα ων παπουτσιώ φοράνε παπο πούτσια από εις μια μεταβ ρότερες του 1 ά προσέγγιση αν το δείγμα τή Χ η οποία V 20% τε το ποσοστό ότι αν οι τιμ μικρότερη τιμ ει μέγεθος ν= 0 2 i 1 x 4,86  τ ής (σε χιλιάδ ί κανονικά, 200 ηλεκτρικ αν το δείγμα συσκευή ελα ς συσκευές πο α κατασκευάζ ήκος τους, είν δών που κατα οσοστό των χει μήκος μικ ε το ποσοστό εγχο 10000 β αση: «Το μηχά ιδείας αβλητής X α υ 30 και το ών σε ένα δια υλάχιστον 1 αθμών είναι ών ενός δείγμ ούτσια με νο νούμερο 37 βλητής X με 18 και 128 μ η το εύρος το των παρατη α παίρνει θετ ό των ατόμω μές της Χ αυ μή του ω , ώσ =10 και η μετ τότε να βρείτ δες ώρες) ενό ακολουθεί κ κές συσκευές είναι ομοιογ αττωματική ό ου έχουν διά ζει βίδες. Ότ ναι κανονική ασκευάζει το βιδών που έχ κρότερο ή ίσο ό των ελαττω βιδών που κα άνημα παρο ακολουθούν τ 84% μεγαλύ αγώνισμα είν 16 . Να βρείτ ομοιογενές. ματος 400 α ούμερο τουλά 7 έως 43 εγέθους 800 μεγαλύτερες ου δείγματος ηρήσεων είνα τικές τιμές, α ων που η τιμή υξηθούν κατά στε το δείγμα ταβλητή ακολ τε το συντελε ός δείγματος κανονική ή π έχουν ζωή το γενές. όταν έχει διά άρκεια ζωής κ ταν το μηχάν ή με μέση τιμ ο παραπάνω χει μήκος μετ ο των 5,4 cm ωματικών βιδ ατασκευάζει ουσιάζει πρόβ την κανονική ύτερες του 15 ναι περίπου τε πόσοι μαθ ατόμων ακολ άχιστον 43 κ ακολουθούν του 36 . ς. αι ομοιογενές ακολουθεί τη ή τους είναι μ ά ω 0 , ο C α να γίνει ομ λουθεί την κ εστή CV 8000 ηλεκτρ περίπου κανο ουλάχιστον άρκεια ζωής κ κάτω από 17 νημα λειτουρ μή x (σε cm) μηχάνημα έχ ταξύ 5,8 cm m ή μεγαλύτε δών. ι το μηχάνημ βλημα λειτου ή κατανομή. 5 να βρείτε τ κανονική. Εκ ητές έχουν β λουθούν περί και 64 άτομα ν την κανονικ ς. ν κανονική κ μεταξύ 24 κα V θα μειωθε οιογενές. ανονική κατ ρικών συσκευ ονική κατανο 22 κάτω από 17 7 , εξετάστε α ργεί σωστά, η και τυπική α χουν μήκος μ m και 6 cm ερο ή ίσο των μα, 45 βίδες υργίας» είνα . Αν το 2,5% το ποσοστό τω κατό μαθητέ βαθμό από 8 ίπου την καν α το πολύ 37 ική κατανομή κατανομή κα αι 42 εί τανομή. υών που παρ ομή. Η διάμε 7 . Αν στο δεί αν η μηχανή η κατανομή σ απόκλιση s μεταξύ 5,6 c ν 6,6 cm τότ βρίσκονται αι Σωστή ή Λ 2 % των ων ές έχουν έως 16 και νονική 7 . Να βρείτε ή. Είκοσι αι έχει εύρος ράγει μια εσος του ίγμα έχει βλάβη. συχνοτήτων (σε cm). Αν cm και 6,4 τε θεωρείται άθος; 21
  22. 22. 22 3 ΠΙΘ Δειγματικ 3.01 Σ’ (Λ). Να βρεθ Α) Επ Β) Επ Γ) Επ 3.02 Μ βρεθούν 2 ελ Α) Το Β) Τα 3.03 Δύ τελειώνουν αγώνες ανεξ α) Το β) Τα γ) Πό δ) Τι Ερωτή 3.04 * Ρ αντίστοιχα α αυτού είναι: Δ. 3.05 * Ε Ο δειγματικ Α. Ω = {Κ, Σ} 3.06 * Έ αποτέλεσμα Α. Α  Β. 3.07 * Τ Η φράση «το Α. α  Α΄. παραπάνω. ΘΑΝΟΤΗΤ κός χώρος ένα κουτί υπ θεί ο δειγματ πιλέγουμε τυχ πιλέγουμε τυχ πιλέγουμε τυχ Μια δισκογρα λαττωματικά ο δειγματικό α ενδεχόμενα ύο ομάδες Ο1 ποτέ με ισοπ ξαρτήτως σει ο δειγματικό α ενδεχόμενα όσους αγώνε παρατηρείτε ήσεις πολλαπλ Ρίχνουμε μια ανά δύο έδρε Α. Ω = {3}. Ω = {1,1, 1,2, Ελέγχουμε δι κός χώρος Ω τ }. Β. Ω Έστω Α = {1, της ρίψης εί Β. Α΄. Τα Α και Β εί ο Α πραγματ Β. α  ΤΕΣ - Ενδεχόμ πάρχουν 4 ομ τικός χώρος τ χαία ένα μολ χαία ένα μολ χαία ένα μολ αφική εταιρεί ά CD ή όταν χώρο Ω. α: α) Α β) τουλ γ) το πο 1, Ο2 παίζουν παλία). Νική ράς. Να βρεί χώρο Ω των α: i) Ακ ii) τουλ ς το πολύ θα ε για τα ενδε λής επιλογής α φορά έναν ες του και κα , 1,3, 2,1, 2,2, ιαδοχικά βιβ του πειράματ = {ΚΚ, ΚΣ}. 3, 5} και Β = ίναι ο αριθμό Γ. Β. ίναι ενδεχόμε τοποιείται»  Α΄ - Β. μενα μοιόμορφα μ του πειράμα λύβι. λύβι, το τοπο λύβι και μετά ία ελέγχει τα έχουν ελεγχθ Ακριβώς 2 ελα λάχιστον 2 ελ ολύ 2 ελαττω ν μεταξύ του ήτρια θεωρεί ίτε: αποτελεσμά κριβώς μία ν λάχιστον μία α είχε μία τέτο εχόμενα β(ii) κύβο ο οποίο αταγράφουμε Β. Ω = {1, 2 , 2,3, 3,3}. βλία μέχρι να τος είναι Γ. Ω = {ΚΚ {2, 4, 6} δύο ός 3 τότε πρα Δ. Α ενα ενός πειρ διατυπωμένη Γ. α  μολύβια 1 κό ατος στις ακόλ οθετούμε ξαν ά επιλέγουμε α compact dis θεί 4 CD. Να αττωματικά C λαττωματικά ωματικά CD ς σε μια σχο ίται η ομάδα άτων των αγώ νίκη της ομάδ α νίκη της ομ οια ποδοσφα και β(iii); ος έχει καθέν ε το αποτέλε 2, 3}. Ε. {1 α βρούμε ένα Κ, ΣΣ}. Δ. Ω ενδεχόμενα αγματοποιείτ Α  Β. ράματος τύχ η σε γλώσσα Α΄  Β. όκκινο (Κ), 1 λουθες περιπ νά στο κουτί ε άλλο ένα (χ sks (CD) που α βρείτε: CD, ά CD, . ολική ποδοσφ α που θα νική ώνων της συν δας Ο1, άδας Ο1. αιρική συνάν ναν από τους σμα. Ο δειγμ Γ. Ω = {1 1,2, 2,1, 1,3, 3 α κακοτυπωμ Ω = {Κ, ΣΚ, Σ της ρίψης εν ται το ενδεχό Ε. Β΄  Α χης και α ένα α συνόλων είν Δ. α  Α πράσινο (Π) πτώσεις: (μας και μετά επιλ χωρίς επανα υ παράγει. Ο φαιρική συνά ήσει σε δύο α νάντησης. ντηση; ς αριθμούς 1, ματικός χώρο 1,1, 2,2, 3,3}. 3,1}. μένο (Κ) ή δύ ΣΣ}. Ε. {Κ, νός ζαριού μι όμενο Α΄. α αποτέλεσμα ναι ισοδύναμ Α. Ε. κ ), 1 μαύρο (Μ ς ενδιαφέρει ιλέγουμε άλλ ατοποθέτηση) Ο έλεγχος στα άντηση (οι α αγώνες στη σε , 2, 3 γραμμέ ος Ω του πειρ ύο σωστά τυπ ,ΣΣ}. μια φορά. Αν α του πειράμ μη με την κανένα από τ Στατιστικ Μ), 1 λευκό το χρώμα) λο ένα ). αματά όταν αγώνες δεν ειρά ή σε δύο ένους ράματος πωμένα (Σ). ν το ατος αυτού. τα κή ο
  23. 23. Γ Λυκείου – http://users.s Ερωτή 3.08 Ο Χαρακτηρή Α  Β Γ  Δ  Α (Γ  Δ)  Α Ερωτη 3.08.1.1.1 Ερωτή 3.10 Σ πίνακα γρά για τα ενδε ενός πειράμ γράφονται ισχυρισμοί γλώσσα τω αποτέλεσμα αυτού). Αν κατάλληλα στήλης Α μ στήλης Β. Μαθηματικά sch.gr/mipapa ήσεις «Σωστό Οι παρακάτω ήστε κάθε μια Β  Α Β  Γ = Α = Α (Γ  ησεις συμπληρ 3.09 Συ πίνακα βάζο Β τον χαρακ (σωστό) ή Λ βάλατε Λ (λ συμπληρώσ τη σωστή σχ το δεξιό μέλ αντίστοιχης ήσεις αντιστοί Στη στήλη Α τ άφονται ισχυ εχόμενα Α κα ματος. Στη σ ι ισοδύναμοι ί διατυπωμέν ν συνόλων (w α του πειράμ ντιστοιχίστε α κάθε στοιχε με ένα μόνο τ ά Γενικής Παι agr - Λαθος» ω σχέσεις ανα α από αυτές Γ  Β = Β Β  Γ  Δ)  Α = Β ρωσης υμπληρώστε οντας στη στ κτηρισμό Σ Λ (λάθος). Όπ λάθος) στε στη στήλη χέση διορθών λος της ς ισότητας. ίχισης του υρισμοί αι Β στήλη Β ι νοι στη w ένα ματος είo της της 1 2 πρ 3 κα 4 5 πρ 6 7 8 9 ιδείας αφέρονται στ ως (Σ) ή (Λ) Δ  Γ Γ  Δ = Α Β  Δ = τον τήλη που η Γ ντας Α  Α Α   Α   Α΄  Α Α΄  Α Ω΄ = Ω (Α΄)΄ = Α  Β ΄ = Ω Αν Α Α΄  Α Α΄  Α (Α΄)΄ = Αν Α Σ Το Α δεν πραγ Ένα τουλάχιστ ραγματοποιείτα Πραγματοποιο αι το Β. Το Α πραγματ Κανένα από τα ραγματοποιείτα Πραγματοποιε Το Β πραγματο Πραγματοποιε Πραγματοποιε το διπλανό δ Γ Γ  Δ Α  Β = Β = Δ Α = A  = Α  = Α Α = Ω Α =  Ω = Ω = Β  Α Ω  Β τότε Α  Α = Ω Α =  = Α  Β τότε Α  Στήλη Α γματοποιείται. τον από τα Α κ αι. ούνται συγχρόν τοποιείται. α Α και Β δεν αι. είται μόνο το Α οποιείται είται μόνο το Α είται μόνο το Β ιάγραμμα το Δ  Α Γ Α  Β = Β (Γ  Β Β = Β Β = Α αι Β νως και το Α ή μόνο το Β. Α. Β. ου Venn.  Δ  Β Β )  Α = Γ Α) w  A Β) w  (A  Γ) w  ( A΄ - Δ) w  (A  Ε) w  (A  Ζ) w  A΄ Η) w  (A  Θ) w (Α  Ι) w  Β Κ) w (Α  Λ) w (Β  Μ) w  (B  Ν) w  (A  Ξ) w  (A΄ Ω A Γ Στήλη Β  B΄) - Α)  Β)  Β)  B)΄ Β΄) (Α΄   Β΄) Α΄)  A)΄ B)΄  Β) 2 B Γ Δ Β) 23
  24. 24. 24 ΠΙΘΑΝΟΤ Ισοπίθανα 3.11 Έσ τυχαία ένα σ Α) στο 3.12 Ρίχ 3.13 Έσ όπου: Α το ε 3.14 Σε πιθανότητα βρείτε: Α) Β) Γ) 3.15 Η επέλεξαν το βόλεϋ είναι 3.16 Έν πιθανότητα: 3.17 Σ ένα μάθημα βαθμό: 3.18 Σ Αν εκλέξου Α) λιγό Γ) Κάτ ΤΗΤΕΣ α ενδεχόμε στω τα σύνολ στοιχείο του ο Α και όχι σ χνουμε δύο ζ στω το σύνολ ενδεχόμενο η ένα Λύκειο να είναι μαθ το πλήθος ό το πλήθος τ την πιθανότ Α΄τάξη Λυκε βόλεϋ. Επιλέ 0,4 να βρείτ να κουτί περι : Α) Β) Γ) Στο διπλανό π α. Αν εκλέξο Α) 8 Β) Το Γ) Του Δ) 5 ή Στο διπλανό π υμε τυχαία έν ότερο από 2 τω από 15 απ ενα λα: Ω 1,2, Ω , να βρείτ στο Β Β) ζάρια μαζί Ν λο Ω 1,0,  η εξίσωση 2 x οι μαθητές τ θητής της Α τ όλων των μαθ των μαθητών τητα να είνα είου έχει 50 έγουμε τυχαί τε: Την ιέχει 2 άσπρε να είναι δύ να είναι η π να είναι κα πίνακα έχου ουμε τυχαία έ πολύ 6 υλάχιστον 5 ή 7 πίνακα έχου να μαθητή το 0 απουσίες πουσίες 3,4,5 , Α  ε τις πιθανότ σε ένα το π Να βρείτε την 1,2 . Εκλέγο 2x λ 0   ης Α τάξης ε τάξης είναι 0 θητών του Λ ν της Β τάξης αι ένας μαθητ αγόρια και κ ία ένα άτομο πιθανότητα ες και 3 κόκκ ύο κόκκινες πρώτη άσπρη αι οι δύο άσπ με τη βαθμολ ένα φοιτητή με τις απουσ ου τμήματος Β) Το Δ) Το ω Ω /ω  τητες να ανή πολύ από τα ν πιθανότητ ουμε τυχαία έχει δύο ρίζε είναι 54 . Αν 0,36 και η π Λυκείου τής που εκλέξ κορίτσια. Το ο. Αν η πιθαν να είναι κορ κινες σφαίρες η και η δεύτε πρες ολογία μιας ο να βρείτε τη σίες των μαθη να βρείτε τη ουλάχιστον ουλάχιστον 4 , B ω  ήκει: Α και Β α να φέρουμ ένα λ Ω , ες άνισες εκλέξουμε τυ ιθανότητα ν ξαμε τυχαία ο 20% των αγ νότητα να είν ρίτσι και να μ ς. Βγάζουμε δ ερη κόκκινη ομάδας φοιτη ν πιθανότητ ητών ενός τμ ην πιθανότητ 10 απουσίες 23 απουσίες Ω /ω περιττ με 6 στο ένα να βρείτε τη υχαία ένα μα να είναι της Β μαθητής της γοριών και τ ναι αγόρι κα μην επέλεξε β διαδοχικά δύ ητών σε α να έχει Β 4 5 6 7 μήματος. τα να έχει: ς ς. τός . Αν εκλ α και 5 στο ην πιθανότητ αθητή του Λυ Β τάξης είναι ς Γ τάξης. τα 2 5 των κο αι να μην επέ βόλεϋ ύο σφαίρες. Ν Βαθμός 4 5 6 7 Απουσίες  0,10  10,20  20,30  30,40 Πιθανότητε λέξουμε άλλο τα του  Ρ Α υκείου η ι 0,34 . Να ριτσιών έλεξε το Να βρεθεί η Φοιτητές 2 6 8 4 Μαθητές 5 10 20 15 ες
  25. 25. Λ Γ Λυκείου – http://users.s Λογισμός 3.19 Έσ i)  P A B ii) η πιθανότ 3.20 Αν    P Β P Α 3.21 Αν τότε βρείτε τ 3.22 Θε   2 P A 3   , P 3.23 Αν να υπολογίσ 3.24 Αν υπολογίσετε 3.25 Αν 3.26 Αν υπολογίσετε 3.27 Αν   P A 2P Β 3.28 Δύ βρεθεί η πιθα 3.29 Εσ και  Ρ Β β  P A B  Μαθηματικά sch.gr/mipapa Πιθανοτή στω Α, Β ενδε   P A P A  τητα να πραγ ν Α,Β ενδεχ 1 3  να βρεθ ν Α,Β ενδεχ τις πιθανότητ εωρούμε τα ε   1 P A B 4   ν για δύο ενδ σετε την πιθα ν για δύο ενδ ε την πιθανότ ν 3 2 Ρ(Α ) Ρ(Α   ν για δύο ενδ ε την πιθανότ ν για δύο ενδ Β 1 και 2P ύο συμπληρω ανότητα του στω A, B δύο β . Να βρεθού  P A B  ά Γενικής Παι agr των εχόμενα ενός A B , P A γματοποιηθε όμενα ενός δ θούν οι πιθα όμενα ενός δ τες P A B  ενδεχόμενα A 1 4 . Να βρείτε δεχόμενα A, ανότητα P A δεχόμενα A, τητα P Β Α 25 Α) 6  να β δεχόμενα A, τητα  P Β δεχόμενα A,  P A B 1  ωματικά ενδε υ καθενός ο ενδεχόμενα ύν οι πιθανό P A ιδείας ς δειγματικού   A B P B  εί ένα μόνο α δειγματικού ανότητες P A δειγματικού  και P A  A,B ενός πει τις πιθανότη B ενός δειγμ A B B ενός δειγμ Α βρείτε τις P A B ενός δειγμ B ενός δειγμ να υπολογίσ εχόμενα ενός α ενός δειγμα ότητες: B P A ύ χώρου Ω .   P A B  από τα ενδεχ χώρου Ω κα A ,  P Β , P χώρου Ω κα B . ιράματος τύχ ητες:  P A , ματικού χώρ ματικού χώρ A και P A ματικού χώρ ματικού χώρ σετε τις πιθα ς δειγματικού ατικού χώρο A B Να αποδειχ . χόμενα A, B αι ισχύουν Α  Α Β και αι ισχύουν P χης, με πιθαν  P B , P A  ρου Ω ισχύου ρου Ω ισχύου  ρου Ω ισχύει ρου Ω ισχύει νότητες P Α ύ χώρου έχου ου Ω για τα ο θεί ότι: είναι  P A Α Β ,  P A   P Α Β .   1 P A B 4   , νότητες τέτοι B  . υν:  P A B υν:   1 P A 2   :  3P A B  ότι:  P A  Α Β , P Β  υν γινόμενο οποία ισχύου   P B 2P    5 P Β 12   κ ,   1 P A 3  , ιες ώστε: P A  2 5  ,  P A 1 2 ,  P A B 1 3Ρ Α    3P Α , Α , P A  πιθανοτήτω υν A B Ω  2  A B . και   2 P B 3  ,  3 A B 4   ,   11 P Β 10    5 6  να Β να B  ων 2 9 . Να Ω ,  Ρ Α α , 25 ,
  26. 26. 26 3.30 Αν  P A B  3.31 Αν και P A Β Α)  P A Β 3.32 Δίν 1 P(A B) 4   πραγματοπο 3.33 Δίν P(A B) P  3.34 Να διαδοχικοί ό 3.35 Έσ ισχύει ότι: Ρ 3.36 Έσ Να πραγματ συγχρόνως κ Α) ένα Γ) κα Ε) μό 3.37 Έσ   1 P A B 6   Α) Γ. « Β) Δ: 3.38 Έσ   1 Ρ Β 2   . Ν ν A, B ενδεχ  A B   ν A,B είναι  2 Β 15  , να βρ  Β) P νονται δύο ε , P(A B) 4  οιηθεί μόνο έ νονται τα εν (A B) 0,5  α αποδείξετε όροι αριθμητ στω Α,Β δύο    Ρ Α Ρ Α  στω Α,Β δύο τοποιείται το και τα δύο εί α τουλάχιστο ανένα από τα όνο ένα από τ στω Α, Β ενδε 1 6 . Να βρεθο «Πραγματοπ «Δεν πραγμ στω Α,Β δύο Να βρείτε την χόμενα ενός 1 6 , να βρείτε ενδεχόμενα ρείτε τις  A Γ) P ενδεχόμενα A 1 20  και P ένα από τα εν νδεχόμενα A 5 και  P A ότι αν οι πιθ τικής προόδο ο ενδεχόμενα   2 Ρ Α Ρ Β  ο ενδεχόμενα ο Α είναι 1 5 ίναι 1 6 . Να β ον από τα Α α Α και Β τα Α και Β εχόμενα ενός ούν οι πιθανό ποιείται ένα ατοποιείται ο ενδεχόμενα ν πιθανότητα δειγματικού ε την πιθανότ ενός δειγματ  B Δ) P A και B ενό   1 B A 2    . νδεχόμενα Α ,B,Γ του ίδι  0,8 . Να β θανότητες P ου , τότε τα εν α ενός δειγμα Β . Να αποδ α ενός δειγμα , Να μην πρ βρείτε την πι και Β ς δειγματικού ότητες των εν μόνο από τα ούτε το A ο α ενός δειγμα α να μην πρα ύ χώρου Ω κ τητα P A τικού χώρου  P A Β  ός δειγματικο Να βρείτε τ Α και Β . ιου δειγματικ βρείτε την P P(A), P A B νδεχόμενα Α ατικού χώρου δείξετε ότι το ατικού χώρου ραγματοποιε ιθανότητα να Β) το π Δ) μόν ΣΤ) Το Α ύ χώρου Ω τ νδεχομένων. α A και B ». ούτε το B ». ατικού χώρου αγματοποιεί αι ισχύουν P B . Ω και ισχύο Ε) P A ού χώρου Ω την πιθανότη κού χώρου Ω  B . B , P(B), είνα Α,Β είναι ισοπ υ Ω με μη μη Α είναι βέβ υ Ω για τα ο είται το Β είν α πραγματοπ πολύ ένα από νο το Α Α ή να μην τέτοια, ώστε υ Ω για τα ο ίται κανένα   2 P A B 3   ουν οι ισότητ A Β για τα οποία ητα του ενδεχ Ω για τα οπο αι με τη σειρ πίθανα. ηδενικές πιθ βαιο ενδεχόμ οποία ισχύει ναι 3 5 και να ποιείται: : ό τα Α και Β πραγματοπο   1 Ρ Α 3  , Ρ οποία ισχύει από τα Α κ 2 3 και τες   1 P A 6  α ισχύουν: χομένου να οία ισχύει : ρά που δίνον θανότητες, γι μενο και το Β ι ότι η πιθανό α πραγματοπ οιείται το Β   1 Ρ Β 4  και ι ότι: Ρ Α Β και Β Πιθανότητε 1 6 ,   1 P A 6  νται , ια τα οποία Β αδύνατο. ότητα:: ποιούνται ι  1 Β 4  και ες

×