Thewria_oriwn_2020

1. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη Μαθηματικών Ν. Ορεστιάδας 1
ΘΕΩΡΙΑ : ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Περιέχει :
▪ Βασικές έννοιες ορίων .
▪ Ορισμούς.
▪ Θεωρήματα.
▪ Αποδείξεις.
▪ Ερωτήσεις Σωστού –Λάθους (και Πανελληνίων ).
▪ Ερωτήσεις Σωστού –Λάθους με Αιτιολόγηση.
Λέσχη Μαθηματικών Ν. Ορεστιάδας .
Ουντζούδης Δημήτρης

2. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη Μαθηματικών Ν. Ορεστιάδας 2
ΟΡΙΑ στο 0x R
Βασικές έννοιες ορίων .
Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο 0x , πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουμε “κοντά στο 0x ”, δηλαδή
η f να είναι ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής 0 0(α,x ) (x ,β) ή 0(α,x ) ή 0(x ,β) .
— Το 0x μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ή να μην ανήκει σ’ αυτό
— Η τιμή της f στο 0x , όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο 0x ή διαφορετική από
αυτό.
Τους αριθμούς 1
0x x
lim f(x)

 και 2
0x x
lim f(x)

 τους λέμε πλευρικά όρια της f στο 0x και συγκεκριμένα
το 1 αριστερό όριο της f στο 0x , ενώ το 2 δεξιό όριο της f στο 0x .
Προσοχή :Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο 0x , τότε αυτό είναι μοναδικό και
συμβολίζεται, όπως είδαμε, με
x x0
lim f(x)

.
Ιδιότητες
▪ Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής 0 0(α,x ) (x ,β) , τότε ισχύει η ισοδυναμία:
0x x
lim f(x)

 
0 0x x x x
lim f(x) lim f(x)
  
 
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ :
Αν το πεδίο ορισμού της f είναι της μορφής 0x ,α τότε
x x0 x x
0
lim f(x) lim f(x)
 

Αν το πεδίο ορισμού της f είναι της μορφής  0α,x  τότε
x x0 x x0
lim f(x) lim f(x)
 

1. Ερωτήσεις κατανόησης των παραπάνω .
Α) Να εξετάσετε αν είναι καλώς ορισμένα τα όρια :
i) 20
x 0
lim x x 1

  ii) 20
x 0
lim x x 1

 
iii) 3
x 0
lim[ln(x x 1)]

  iv) 3
x 0
lim[ln(x x 1)]

  .
Β)Αν  x 1
lim f x 2

 , να επιλέξτε τη σωστή πρόταση :
i) η f είναι ορισμένη στο σύνολο    1,1 1,2 
ii) η f είναι ορισμένη κοντά στο 0x 1 .
Γ) Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως σωστή ή λανθασμένη .
Αν  f 2 3 τότε  x 2
lim f x 3

 .
Δ) Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως σωστή ή λανθασμένη και να αιτιολογήσετε την
απάντησή σας .
Αν 2
x x0
lim f(x) α

 και 2
x x0
lim f(x) β

  τότε α=β=0 .
Ε) Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο 0 0(α,x ) (x ,β) , με 2
x x0
lim f(x) λ 6

  και
x x
0
lim f(x) λ

 .
Να βρείτε τις τιμές του λ R , για τις οποίες υπάρχει το
x x0
lim f(x)

.
Ζ) Έστω η συνάρτηση f : A R . Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής .
Αν 0x A τότε δεν έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου
x x0
lim f(x)

Ζ) Έστω η συνάρτηση f : A R . Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως αληθής ή ψευδής .
Αν 0x A και υπάρχει σύνολο της μορφής 0 0(α,x ) (x ,β) τέτοιο ώστε 0 0(α,x ) (x ,β) A  τότε δεν έχει νόημα η
αναζήτηση του ορίου
x x0
lim f(x)


3. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη Μαθηματικών Ν. Ορεστιάδας 3
Ιδιότητες – Θεωρήματα
Ισχύουν
(α)
0x x
lim f(x)

 
0
0
x x
lim (f(x) )

 
(β)
0x x
lim f(x)

  0
0h
lim f(x h)

 
Όριο και διάταξη
Αν
0
0
x x
lim f(x)

 , τότε 0f(x)  κοντά στο 0x
Αν
0
0
x x
lim f(x)

 , τότε 0f(x)  κοντά στο 0x
ΘΕΩΡΗΜΑ
Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο 0x και ισχύει f(x) g(x) κοντά στο 0x , τότε
0 0x x x x
lim f(x) lim g(x)
 

Παρατήρηση .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι :αν
0x x
lim f(x) α , α R

  τότε f(x) α κοντά στο 0x .
Απόδειξή :
Έχουμε  
0 0 0
0 0
x x x x x x
lim f(x) α lim f(x) α lim f(x) α
  
       οπότε  0f(x) α f x α    κοντά στο 0x .
Γενικά .
Αν
x x x x0 0
lim f(x) lim g(x)
 
 τότε f(x) g(x) κοντά στο 0x .
Απόδειξη .
Αφού ισχύει ότι :
x x x x0 0
lim f(x) lim g(x)
 
 αυτό σημαίνει ότι τα όρια
x x x x0 0
lim f(x) , lim g(x)
 
υπάρχουν , οπότε :
 x x x x x x x x x x0 0 0 0 0
lim f(x) lim g(x) lim f(x) lim g(x) 0 lim f(x) g(x) 0
    
      
άρα f(x) g(x) 0 f(x) g(x)    κοντά στο 0x .
( Προσοχή : Για χρησιμοποιήσω σε άσκηση κάτι από τα παραπάνω , πρέπει πρώτα να το αποδείξω.)
Τα δύο βασικά όρια 0
0x x
lim x x

 ,
0x x
lim c c

 και το θεώρημα που ακολουθεί διευκολύνουν τον υπολογισμό
των ορίων.
ΘΕΩΡΗΜΑ
Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο 0x , τότε:
1.
x x x x x x0 0 0
lim (f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)
  
  
2.
x x x x0 0
lim (κf(x)) κ lim f(x)
 
 , για κάθε σταθερά κ R
3.
x x x x x x0 0 0
lim (f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)
  
  
4.
x x0
x x0
x x0
lim f(x)
f(x)
lim
g(x) lim g(x)



 , εφόσον
x x0
lim g(x) 0


5.
x x x x0 0
lim | f(x)| lim f(x)
 

6. k
k
x x x x0 0
lim f(x) lim f(x)
 
 , εφόσον f(x) 0 κοντά στο 0x .
Οι ιδιότητες 1 και 3 του θεωρήματος ισχύουν και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις.
Άμεση συνέπεια αυτού είναι:
0 0
ν
ν
x x x x
lim [f(x)] lim f(x)
 
 
  
 
, *
v N

4. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη Μαθηματικών Ν. Ορεστιάδας 4
Προσοχή , οι παραπάνω ιδιότητες ισχύουν με την προϋπόθεση ότι υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων
f και g στο 0x .
2. Ερωτήσεις με αιτιολόγηση . ( Να θυμάμαι τις παρακάτω αιτιολογήσεις )
Να απαντήσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθής ή ψευδής αιτιολογώντας την απάντηση σας .
Α. Αν  
0x x
lim | f x | R

  τότε ισχύει πάντα ότι :    
0 0x x x x
lim f x ή lim f x
 
  
Απ. είναι ψευδής
Παράδειγμα : Αν
| x |
f(x) , x 0
x
  τότε
x 0 x 0 x 0
| x | x
lim | f(x)| lim lim 1
x x  
  
Όμως
x
, x>0
1 , x>0xf(x)
x -1 , x<0
, x<0
x

 
  
 

άρα
x 0 x 0
lim f(x) 1 , lim f(x) 1
  
   οπότε δεν υπάρχει το όριο
x 0
lim f(x)

.
Β. Αν υπάρχει το
x x0
lim (f(x) g(x))

 τότε ισχύει πάντα ότι :
x x x x x x0 0 0
lim (f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)
  
  
Απ. είναι ψευδής .
Παράδειγμα : Έστω οι συναρτήσεις
1 , x>1 1 , x>1
f(x) , g(x)
1 , x 1 1 , x 1
 
  
   
τότε   
0 , x>1
f g x
0 , x 1

  

οπότε:
           
x 1 x 1 x 1 x 1
lim f g x 0 , lim f g x 0 άρα υπάρχει το lim f g x και ειναι lim f g x 0
    
      
‘Όμως
x 1x 1 x 1
x 1x 1 x 1
lim f(x) 1 , lim f(x) 1 ,οπότε δενυπάρχει το όριο lim f(x) 1
lim g(x) 1 , lim g(x) 1 , οπότε δενυπάρχει το όριο lim g(x) 1
   
   
   
   
Άρα δεν ισχύει πάντα ότι :
x 1 x 1 x 1
lim(f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)
  
  
Γ. Αν  
0x x
lim | f x | 0

 τότε  
0x x
lim f x 0

 .
Δ. Αν    
0
f 0
x x
f x 0 , x D τότε lim f x 0 , x R { , }

        .
Θεώρημα μα απόδειξη .
Να αποδείξετε ότι κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής , αφού για κάθε 0x R ισχύει :
0
0
x x
lim P(x) P(x )

 .
Απόδειξη
Έστω το πολυώνυμο 1
1 0 0
v v
ν νP(x) α x α x ... α και x R
     τότε :
   
   
0 0 0 0 0
0 00
1 1
1 0 1 0
1 1
1 0 0 1 0 0
v v v v
ν ν ν ν
x x x x x x x x x x
v v ν ν
ν ν ν ν
x x x xx x
lim P(x) lim (α x α x ... α )= lim α x lim α x ... lim α
α lim x α lim x ... lim α α x α x ... α
 
 
    
 
 
 
       
       
Όριο στο 0x R ρητής συνάρτησης .
Έστω η ρητή συνάρτηση
P(x)
f(x)
Q(x)
 , όπου P(x) , Q(x) πολυώνυμα του x και 0 Rx  με 0 0Q(x )  . Τότε,
0 0
0 0 0
0
x x
x x x x
x x
lim P(x)
P(x )P(x)
lim f(x) lim
Q(x) lim Q(x) Q(x )

 

  
Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής .
Απ.Έστω οι συναρτήσεις f,g,h . Αν
 h(x) f(x) g(x)  κοντά στο 0x και

x x x x0 0
lim h(x) lim g(x)
 
  ,
τότε
x x0
lim f(x)

 .

5. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη Μαθηματικών Ν. Ορεστιάδας 5
Σημαντική ανίσωση .
|ημx| |x| , για κάθε x R  . Η ισότητα ισχύει μόνο για x=0 .
Ισχύουν :
0
0
x x
lim ημx ημx

 και
0
0
x x
lim συνx συνx


Όρια τα οποία χρησιμοποιούμε χωρίς απόδειξη .
0
1
x
ημx
lim
x
 ,
0
1
0
x
συνx
lim
x


Δεν έχουν όλες οι συναρτήσει όριο .
Για παράδειγμα, η συνάρτηση
| x |
f(x)
x
 δεν έχει όριο στο 00 x , αφού:
— για 0x είναι 1
x
f(x)
x

   , οπότε
0
1
x
lim f(x)

  , ενώ
— για 0x  είναι 1
x
f(x)
x
  , οπότε
0
1
x
lim f(x)

 , και έτσι
0 0x x
lim f(x) lim f(x)
  

3. Ερωτήσει σωστού λάθους από πανελλήνιες .
1. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο    0 0α,x x ,β .
Τότε
0x x
lim f(x)

 αν και μόνο αν
0 0x x x x
lim f(x) lim f(x)
 
 
  Σ Λ
2. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο    0 0α,x x ,β και ένας πραγματικός αριθμός . Τότε ισχύει η ισοδυναμία :
0x x
lim f(x)

 
0
0
x x
lim (f(x) )

  Σ Λ
3. Αν υπάρχει το όριο της f στο 0x και
0
0
x x
lim | f(x)|

 τότε
0
0
x x
lim f(x)

 Σ Λ
4. Αν
0
0
x x
lim f(x)

 , τότε 0f(x)  κοντά στο 0x Σ Λ
5.Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο 0x και ισχύει f(x) g(x) κοντά στο 0x , τότε
0 0x x x x
lim f(x) lim g(x)
 
 Σ Λ
6. Αν υπάρχει το όριο
0x x
lim (f(x) g(x))

 τότε κατ’ ανάγκη υπάρχουν τα όρια :
0 0x x x x
lim f(x) και lim g(x)
 
7. Να χαρακτηρίσετε την παρακάτω πρόταση ως Σωστή ή Λάθος και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας .
Για κάθε συνάρτηση f : A R , όταν υπάρχει το όριο της f καθώς το x τείνει στο 0x A , τότε αυτό το όριο ισούται
με την τιμή της f στο 0x . ( 2019)
4. Ερωτήσει σωστού λάθους
Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ)
1. Πάντα ισχύει ότι :αν
0x x
lim f(x) l

 και
0x x
lim g(x) m

 τότε
0x x
lim (f(x) g(x)) l m

   Σ Λ.
2. Αν f :R R και
0
x x
lim f(x) 0

  τότε f(x)>0 για κάθε x R . Σ Λ
3. Αν
0x x
lim | f(x)|

 τότε
0x x
lim f(x)

 ή
0x x
lim f(x)

  Σ Λ
4. Αν f :(α,β)  R τότε
x αx α
lim f(x) lim f(x)
 
 Σ Λ
5. Ισχύει 0
0h
lim f(x h)

  
0x x
lim f(x)

 Σ Λ
6. Αν f(x)<g(x) κοντά στο 0x τότε
0 0x x x x
lim f(x) lim g(x)
 
 Σ Λ
7.Αν υπάρχει το
0x x
lim f(x)

 , τότε
0 0x x x x
lim f(x) lim f(x)
 
 , εφόσον f(x)  0 κοντά στο 0x . Σ Λ
8. Αν υπάρχουν τα
0x x
lim f(x)

και
0x x
lim g(x)

τότε κατ’ ανάγκή υπάρχει το
0x x
lim (f(x) g(x))

 . Σ Λ
9. Αν υπάρχει το
0x x
lim f(x)

<0 , τότε f(x)<0 κοντά στο 0x . Σ Λ
10 . Αν  
0x x
lim f(x) g(x) k

  τότε
0 0x x x x
lim f(x) lim g(x) k
 
  Σ Λ
1= f(x)
O
f(x)=1
x
x x
y
42

6. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη Μαθηματικών Ν. Ορεστιάδας 6
5. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανθασμένες και να αιτιολογήσετε
σε κάθε περίπτωση την απάντηση σας .
1. Έστω η συνάρτηση f : A R και 0x A , τότε πάντα υπάρχει το όριο
0x x
lim f(x)

. Σ Λ
2. Ισχύει
x 0
1
lim x ημ 0
x
 
  
 
Σ Λ
3.Έστω οι συναρτήσεις f,g,h , αν h(x) f(x) g(x)  κοντά στο 0x και
x x x x0 0
lim h(x) lim g(x)
 
 τότε δεν υπάρχει το
όριο
x x0
lim f(x)


ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 0 R
Βασικές έννοιες .
— Στο σχήμα 54 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f κοντά
στο 0x . Παρατηρούμε ότι, καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο
πάνω στον άξονα x x πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό
0x , οι τιμές f(x) αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται
μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ. Στην περίπτωση αυτή λέμε
ότι η συνάρτηση f έχει στο 0x όριο  και
γράφουμε
x x0
lim f(x)

 
— Στο σχήμα 55 έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f κοντά
στο 0x . Παρατηρούμε ότι, καθώς το x κινούμενο με οποιονδήποτε τρόπο
πάνω στον άξονα x x πλησιάζει τον πραγματικό αριθμό
0x ,οι τιμές f(x) ελαττώνονται απεριόριστα και γίνονται
μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό M (M 0) .
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο 0x όριο  και
γράφουμε
x x0
lim f(x)

  .
1.Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος
1) Αν
x 1
lim f(x)

  τότε υπάρχει σύνολο της μορφής     fα,1 1,β D  τέτοιο ώστε   6
f x 10 για κάθε
   x α,1 1,β  Σ Λ
2) Αν
x 2
lim f(x)

  τότε υπάρχει 1x κοντά στο 2 τέτοιο ώστε   10
1f x 10  Σ Λ
3) Αν
x 1
lim f(x)

  και
x 2
lim f(x)

  τότε η f δεν μπορεί να έχει σύνολο τιμών το    ff D 3,10 Σ Λ
4) Αν
x 2
lim f(x)

  τότε
 
 
2
x 2
f x
lim
| f x |
  Σ Λ
O x0 xx
M
f(x)
x
y 54
O
x0 xx
-M
f(x)
x
y
55

7. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη Μαθηματικών Ν. Ορεστιάδας 7
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται
σε ένα σύνολο της μορφής 0 0(α,x ) (x ,β) , ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες:
x x0 x x x x0 0
lim f(x) lim f(x) lim f(x)
   
     
x x0 x x x x0 0
lim f(x) lim f(x) lim f(x)
   
      .
Αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες:
 Αν
x x0
lim f(x)

  , τότε f(x) 0 κοντά στο 0x , ενώ
αν
x x0
lim f(x)

  , τότε f(x) 0 κοντά στο 0x .
 Αν
x x0
lim f(x)

  , τότε
x x0
lim ( f(x))

   , ενώ
αν
x x0
lim f(x)

  , τότε
x x0
lim ( f(x))

   .
 Αν
x x0
lim f(x)

  ή  , τότε
x x0
1
lim 0
f(x)
 .
 Αν
x x0
lim f(x) 0

 και f(x) 0 κοντά στο 0x , τότε
x x0
1
lim
f(x)
  , ενώ αν
x x0
lim f(x) 0

 και f(x) 0
κοντά στο 0x , τότε
x x0
1
lim
f(x)
  .
 Αν
x x0
lim f(x)

  ή  , τότε
x x0
lim | f(x)|

  .
 Αν
x x0
lim f(x)

  , τότε k
x x0
lim f(x)

  .
Σύμφωνα με τις ιδιότητες αυτές έχουμε:
20
1
lim

  και γενικά
2ν0
1
lim

  , *
ν N (Σχ. 57α)
y
x

1
2
(α)
O x
y
y
x

1
(β)
O x
y
57
0
1
lim

  και γενικά
2 1
0
1
lim

  , ν N
ενώ
0
1
lim

  και γενικά
2ν 1
0
1
lim

  , ν N (Σχ. 57β).
Επομένως, δεν υπάρχει στο μηδέν το όριο της
2ν 1
1
f(x)
x 
 , ν N .

8. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη Μαθηματικών Ν. Ορεστιάδας 8
Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα:
ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (όριο αθροίσματος)
Αν 0x R τότε :
0x x
lim f(x)

Rα  Rα     
0x x
lim g(x)

     
0x x
lim (f(x) g(x))

     ; ;
ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (όριο γινομένου)
Αν 0x R τότε :
0x x
lim f(x)

0α  0α  0α  0α  0 0    
0x x
lim g(x)

         
0x x
lim (f(x) g(x))

     ; ;    
Στους παραπάνω πίνακες , οπού υπάρχει (;) σημαίνει απροσδιοριστία .
Οι απροσδιόριστες μορφές που θα συναντήσουμε σε αυτή την παράγραφο είναι
         
0
0
,0,,, 



ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Έστω η συνάρτηση f : A R και g:B R .
Αν γνωρίζουμε ότι υπάρχουν τα όρια
0x x
lim f(x)

,
0x x
lim g(x)

τότε οι παρακάτω ιδιότητες είναι αρκετά χρήσιμες σε
ασκήσεις :
1. Αν f(x) g(x) για κάθε x A B  και
0x x
lim f(x)

  τότε
0x x
lim g(x)

  .
2. Αν f(x) g(x) για κάθε x A B  και
0x x
lim g(x)

  τότε
0x x
lim f(x)

  .
Ερωτήσει σωστού λάθους
Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ)
1. Αν
0x x
lim f(x)

  ή
0x x
lim f(x)

  τότε
0
1
0
x x
lim
f(x)
 . Σ Λ
2. Αν
0x x
lim f(x)

  ή
0x x
lim f(x)

  τότε
0x x
lim | f(x)|

  . Σ Λ
3. Αν
0x x
lim | f(x)|

  τότε
0x x
lim f(x)

  ή
0x x
lim f(x)

  . Σ Λ
4. Αν
0x x
lim f(x)

  και
0x x
lim (α f(x))

   τότε α<0 . Σ Λ
5 . Αν
0x x
lim f(x)

  ή
0x x
lim g(x) k R

  τότε  
0x x
lim f(x) g(x)

   . Σ Λ
6. Αν
0x x
lim f(x)

  ή
0x x
lim g(x) k

 τότε  
0x x
lim f(x) g(x)

   . Σ Λ
7. Έστω η συνάρτηση f : A R .
Αν
1
f(x)
x
 για κάθε  0x ,  τότε
0x
lim f(x)


  Σ Λ
8.
2 10
1
lim

  Σ Λ
Από πανελλήνιες
Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ)
2 10
1
vx
lim , για κάθε v N
x 
 
   
 

9. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη Μαθηματικών Ν. Ορεστιάδας 9
ΟΡΙΑ ΟΤΑΝ x  
Στα παρακάτω σχήματα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων hgf ,, σε ένα διάστημα της
μορφής ),( α .
Cf
f(x)
(a)
O

+x
x
y
Cg
g(x)
(β)
O +
+
x
x
y
Ch
h(x)
O
(γ)
+

x
x
y
58
Παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο,
— το )(xf προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό  . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f έχει στο 
όριο το  και γράφουμε


)(lim xf
x
— το )(xg αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο  όριο το  και γράφουμε


)(lim xg
x
— το )(xh μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο  όριο το  και γράφουμε


)(lim xh
x
.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f στο  , πρέπει η f να είναι
ορισμένη σε διάστημα της μορφής ),( α .
Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν, όταν x για μια συνάρτηση που είναι ορισμένη σε διάστημα της
μορφής ),( β . ΄Ετσι, για τις συναρτήσεις hgf ,, των παρακάτω σχημάτων έχουμε:

f(x)
(α)
O x
x
y
Cf
Cg
O
g(x)
(β)

+
x x
y
Ch
O
h(x)
(γ)


x
x
y
59


)(lim xf
x


)(lim xg
x
και 

)(lim xh
x
.
Για τα όρια στο  ,  ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο 0x με την προϋπόθεση ότι:
— οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και
— δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή.
Για τον υπολογισμό του ορίου στο  ή  ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω
βασικά όρια:
ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ
1. v
x
lim x , v N

  
2. v
x
αν ν θετικός περιττός
lim x
αν ν θετικός άρτιος

 


10. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη Μαθηματικών Ν. Ορεστιάδας 10
3. 

 Nv,0
x
1
lim vxχ
.
ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ
Αν να 0 τότε :  ν ν 1 v
ν ν 1 0 v
x x
lim α x α x .... α lim (α x )

 
   
ΟΡΙΟ ΡΗΤΗΣ
ν ν 1 ν
ν ν 1 0 ν
v μ μ μ 1 μx x
μ μ 1 0 μ
α x α x .... α α x
Αν α ,β 0 τότε : lim lim
β x β x ... β β x


 

  
 
  
ΟΡΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ – ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Αν α>1 τότε : 0x x
x x
lim α , lim α
 
  
Αν 0<α<1 τότε 0x x
x x
lim α , lim α
 
  
0x x
lim lnx , lim lnx
 
   
ΟΡΙΣΜΟΣ
Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση α:N R

ΟΡΙΣΜΟΣ
Θα λέμε ότι η ακολουθία v(α ) έχει όριο R και θα γράφουμε v
v
lim α

 , όταν για κάθε ε>0 , υπάρχει
0v N
 τέτοιο ,ώστε για κάθε 0v v να ισχύει v| α - |< ε .
Ισχύει  
0 0x x x x
1
lim f x lim 0
f(x) 
    , 0x R { , }   
y=ax
y
1
1
y=logax
O x
60
y=ax
y=logax
1
1
O x
y
61

11. Ουντζούδης Δημήτρης Λέσχη Μαθηματικών Ν. Ορεστιάδας 11
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
1. Αν 0<α<1 τότε 0x x
x x
lim α , lim α
 
   Σ Λ
2. Αν α>1 τότε : 0x
x
lim α

 Σ Λ
3. Ισχύει 1
x
ημx
lim
x
 Σ Λ
4. Ισχύει
1
1
x
lim xημ
x
 Σ Λ
5. Ισχύει 0x
x
lim e

 Σ Λ
6. Αν ισχύει :
2
1
3 2
3
4κx
x
lim
x 



τότε κ=3 Σ Λ .
7. Ισχύει: α)
x
1
lim xημ 1
x
 
 
 
Σ Λ
β)
x
ημx
lim 1
x
 . Σ Λ
8. Αν
2
1
f(x)
x
 , x (α, )  , τότε κατ’ ανάγκη θα είναι
x
lim f(x) 0

 . Σ Λ
9. Αν
x 1
2x 1
lim
x α

 

τότε α=-1 . Σ Λ
10. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση .
Το
3 2 3 2
2x
| x x 1| x x
lim
x
   
είναι ίσο με:
Α)  Β)  Γ) 1 Δ) 1 Ε) 0.
11. Ποια από τα παρακάτω από είναι καλός ορισμένα ;
2 1
1 1 1x
x x x
i) lim x x ii) lim iii) lim e
x

  
   
12. Ισχύει ότι
1
x
lim
ημx
ln
x

 
 
 
 
Σ Λ