Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
(ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ-ΡΥΘΜΟ-DE L’HOSPITAL) – ΤΜΗΜΑ Γ3 – 7-2-201...
ΘΕΜΑ Γ
Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση  f : 2,3   για την οποία γνωρίζουµε ότι η γραφική της
παράσταση βρίσκεται ολόκληρ...
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ
ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ A :
Α1. Θεωρία, απόδειξη σελίδα 111
A2. 1  Λ (όπως φαίνεται στο σχήµα στη γραφική
π...
ii. Η σχέση    f x f x 2x 1    γίνεται
           
22 2 2 2 2 2
f x 2xf x 1 f x 2xf x x 1 x f x x 1 ...
         23
x 2 x 2 x 2
x 22 x x 2 0g x g 2
lim lim lim
x 2 x 2  
    
 
 
 
23
x 2
x 2
 

 ...
στο σηµείο   0 0x ,f x ή το 0 0
6 3
x , x
5 5
 
 
 
.
Αν      g 2 g 3 0 g 2 0      ή    g 3 0 ...
 
 
 
     
x x
x
x xxxx x x
x
9 9
f f 9 1
lim lim lim
2 f2 f ff
12 1
22
  
    
    
 ...
Δ2. Ορίζουµε τη συνάρτηση  
2α +β α +β
h x f(x) + f x -f -f
3 3 2
      
      
     
. Επειδή γι...
               
  
 
2
x 1 x 1 u 1 u 1
f x f 1h x h 1 f u f 1 f u f 1
lim lim lim lim u 1
x 1 x 1 u ...
         g 0 3f 1 f 1 2f 1 2f 1 10        µε την εφαπτοµένη της Cg στο   B 0,g 0 ή  B 0, 10
να έ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Διαγώνισμα από το Αρσάκειο ΓΕΛ 2018 / 3ο διαγώνισμα από θεωρήματα συνέχειας μέχρι ρυθμό μεταβολής

20,511 views

Published on

Αποκλειστικά από το lisari.blogpsot.gr

Published in: Education
  • Be the first to comment

Διαγώνισμα από το Αρσάκειο ΓΕΛ 2018 / 3ο διαγώνισμα από θεωρήματα συνέχειας μέχρι ρυθμό μεταβολής

  1. 1. ΤΡΙΩΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ-ΡΥΘΜΟ-DE L’HOSPITAL) – ΤΜΗΜΑ Γ3 – 7-2-2018 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ………………………………………………………………………. ΘΕΜΑ A Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο 0x , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιµη στο 0x και ισχύει        0 0 0f g x f x g x     . ( Μονάδες 10) A2. Να εξετάσετε αν οι ακόλουθοι ισχυρισµοί είναι σωστοί ή λάθος. i. Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα  ,  µε    f f   και παίρνει κάθε ενδιάµεση τιµή µεταξύ των  f  και  f  , τότε η f είναι υποχρεωτικά συνεχής στο κλειστό διάστηµα  ,  . ii. Είναι δυνατόν η συνάρτηση g f να είναι παραγωγίσιµη στο 0x χωρίς να είναι η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο 0x ή η συνάρτηση g παραγωγίσιµη στο  0f x . iii. Υπάρχει συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιµη σε καθένα από τα διαστήµατα    α,β , β,γ και δεν είναι παραγωγίσιµη στο x β . ( Μονάδες 3X2=6 ) A3. Στο διπλανό σχήµα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης g και της παραγώγου f της συνάρτησης f. Αν η ευθεία (ε) είναι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της g στο σηµείο της   1,g 1 και επιπλέον ισχύει  f 1 1 , να υπολογιστούν οι αριθµοί : i.  g 1 ii.    fog 1 iii.    f g 1 ( Μονάδες 3Χ3=9 ) ΘΕΜΑ B Β1. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :   µε  f x x για κάθε x   . Aν είναι:   x 2018 x lim f x x ln 0 2017        και     f x f x 2x 1    για κάθε πραγµατικό αριθµό x. Nα αποδείξετε ότι i. για κάθε x   είναι  f x x 0  ii.   2 f x x x 1   για κάθε x   iii. η εξίσωση  f x 2 x 1 x   έχει µία τουλάχιστον αρνητική και µία τουλάχιστον θετική ρίζα. ( Μονάδες 4+5+6=15 ) Β2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης       23 g x 2 x x 2    . ( Μονάδες 10 ) 13.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 10
  2. 2. ΘΕΜΑ Γ Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση  f : 2,3   για την οποία γνωρίζουµε ότι η γραφική της παράσταση βρίσκεται ολόκληρη µέσα στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ (µέσα ή πάνω στις πλευρές) µε κορυφές    A 3,3 , 2, 3   και πλευρές παράλληλες στους άξονες xx΄ και yy΄. Γ1. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέµνει τη διαγώνιο ΑΓ του ορθογωνίου. ( Μονάδες 8 ) Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα  2,3  , τέτοιο ώστε να ισχύει        2f 2 3f 0 5f 1 f 10      . ( Μονάδες 8 ) Γ3. Αν  2,3  και  f 0  , να υπολογίσετε το όριο     x xxx 9 f lim 2 f           . ( Μονάδες 9 ) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση :f   η οποία είναι συνεχής στο  . Δ1. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, να λύσετε την εξίσωση    2018 2017 f x f x x . ( Μονάδες 5 ) Δ2. Για τον περιορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης f στο διάστηµα [α,β], να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλαχ. ένα  ,   µε 2α +β α +β f(ξ) + f = f + f 3 3 2                     . ( Μονάδες 5 ) Δ3. Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο 0x 1 , τότε i. η συνάρτηση h µε       2 f x , αν x 1 h x f 2x 1 , αν x 1       είναι παραγωγίσιµη στο 0x 1 . ( Μονάδες 5 ) ii. αν επιπλέον ισχύει 2x 1 f(x) (x 1) lim 2 x 1      α. να αποδείξετε οι συναρτήσεις h και        g x 3f x 1 f 1 x 2f 1     έχουν κοινή εφαπτοµένη. ( Μονάδες 5 ) β. να υπολογίσετε το όριο:         5 2 x 1 x 1 ln x 1 10 x 1 lim h x       . ( Μονάδες 5 ) Καλή επιτυχία !!!!!!! 13.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 10
  3. 3. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ A : Α1. Θεωρία, απόδειξη σελίδα 111 A2. 1  Λ (όπως φαίνεται στο σχήµα στη γραφική παράσταση της διπλανής συνάρτησης   2 2 2 x , αν 1 x 0 f x 1 x , αν 0 x 1            2 Σ (Για τις συναρτήσεις   2 f x 2x , x  και  g x x , x  ορίζεται η συνάρτηση gof µε    2 gof x 2x , x  που είναι παραγωγίσιµη στο 0x 0 ενώ η f είναι παραγωγίσιµη στο 0x 0 και η g ΔΕΝ είναι παραγωγίσιμη στο  f 0 0 ). 3 Σ (αφού η παραγωγισιµότητα στα διαστήµατα    α,β , β,γ δεν σηµαίνει κατ΄ ανάγκη παραγωγισιµότητα στο x β . Όπως στο σχήµα για τη συνεχή στο x 1 συνάρτηση   2 2 1 x , αν 1 x 1 f x x 4x -3 , αν 1 x 3             που είναι παραγωγίσιµη στα [-1,1] και [1,3] , αφού     x 1 f x f 1 lim 2 x 1      ,     x 1 f x f 1 lim 2 x 1     ). A3. Είναι από το σχήµα i.   3 g 1 150 30 3             ii. Είναι    g 1 0,f 0 2   και              3 3 2 3 fog 1 f g 1 g 1 f 0 2 3 3 3                           iii. Είναι  f 1 1 ,  f 1 3   και             3 3 f g 1 f 1 g 1 f 1 g 1 3 0 1 3 3                     ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ B : B1. i. Αρχικά η συνάρτηση    g x f x x  είναι συνεχής στο  ως διαφορά συνεχών και αφού ισχύει  f x x για κάθε x   θα είναι    g x f x x 0   . Αυτό δίνει ότι η g στο  διατηρεί πρόσηµο οµόσηµο κάποιας τιµής της. Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 2018 η σχέση  x 2018 x lim f x x ln 0 2017        γράφεται   2018 f 2018 2018 ln 0 2017       2018 f 2018 2018 ln 0 2017     ή  g 2018 0 . Άρα    g x 0 f x x 0    για κάθε x   . 13.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 10
  4. 4. ii. Η σχέση    f x f x 2x 1    γίνεται             22 2 2 2 2 2 f x 2xf x 1 f x 2xf x x 1 x f x x 1 x f x x 1 x                 . Από το ερώτηµα (B1. i.) όµως είναι  f x x 0  για κάθε x   και έτσι έχουµε    2 2 f x x 1 x f x x 1 x       για κάθε x   . iii. Η εξίσωση  f x 2 x 1 x   για x 0 και x 1   ισοδύναµα γράφεται    xf x 2 x 1 0   . Ορίζουµε τη συνάρτηση      h x xf x 2 x 1   µε   2 f x x 1 x   για κάθε x   . Παρατηρούµε ότι  h 0 2 0   και    h 1 f 1 1 2 0       , άρα 0 και (-1) ΔΕΝ είναι ρίζες. Θα εφαρµόσουµε Θεώρηµα Bolzano για την h στα διαστήµατα [-2,0] και [0,2].  Η συνάρτηση h είναι συνεχής στα διαστήµατα [-2,0] και [0,2] ως πράξεις συνεχών.           h 2 2f 2 2 1 2 2 5 2 2 3 5 0              ,    h 0 0 f 0 2 2 0      και        h 2 2f 2 6 2 2 5 6 2 5 1 0        . Άρα είναι    h 2 h 0 0   και    h 0 h 2 0  . Έτσι η εξίσωση  h x 0 έχει από µία τουλάχιστον ρίζα στα διαστήµατα (-2,0) (που ΔΕΝ είναι το (-1)) και (0,2), δηλαδή έχει µία τουλάχιστον αρνητική και µία τουλάχιστον θετική ρίζα όπως και η ισοδύναµή της  f x 2 x 1 x   . Υπάρχουν και άλλα διαστήµατα στα οποία µπορούµε να δουλέψουµε! Π.χ [-2,-1] στα αρνητικά και [1,2] στα θετικά ή άλλα. Β2. H συνάρτηση γράφεται             23 23 23 2 x 2 x , αν x 2 g x 2 x x 2 0 , αν x 2 2 x x 2 , αν x 2                   . Έτσι  Αν x<2 η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη ως γινόµενο των παραγωγίσιµων συναρτήσεων  2 x και   23 2 x ( η συνάρτηση   23 2 x είναι παραγωγίσιµη ως σύνθεση των παραγωγίσιµων συναρτήσεων   2 2 x και 3 x ) µε παράγωγο                 2 2 1 2 233 3 3 3 2 5 5 g (x) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 3 3                             Αν x>2 η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη ως γινόµενο των παραγωγίσιµων συναρτήσεων  2 x και   23 x 2 ( η συνάρτηση   23 x 2 είναι παραγωγίσιµη ως σύνθεση των παραγωγίσιµων συναρτήσεων   2 x 2 και 3 x ) µε παράγωγο                 2 2 1 2 233 3 3 3 2 5 5 g (x) 2 x x 2 x 2 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 3 3 3                            .  Αν x=2 έχουµε           23 x 2 x 2 x 2 x 22 x 2 x 0g x g 2 lim lim lim x 2 x 2                 23 2 x x 2    0           23 x 2 x 2 x 2 x 22 x x 2 0g x g 2 lim lim lim x 2 x 2                 23 x 2 x 2    0 Άρα  g 2 0  ή αλλιώς 13.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 10
  5. 5.          23 x 2 x 2 x 2 x 22 x x 2 0g x g 2 lim lim lim x 2 x 2              23 x 2 x 2     0 g 2  , οπότε       23 23 23 5 2 x , αν x 2 3 5 g (x) 0 , αν x 2 x 2 3 5 x 2 , αν x 2 3                 για κάθε x   . ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ Γ : Γ1. Το ορθογώνιο µε κορυφές    A 3,3 , 2, 3   και πλευρές παράλληλες στους άξονες xx΄ και yy΄ έχει τις άλλες κορυφές του λόγω συµµετρίας να είναι οι  3, 3  και  2,3  . Επιπλέον, δίνεται ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται ολόκληρη µέσα στο ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Αυτό σηµαίνει ότι ισχύει  3 f x 3   για κάθε  x 2,3  . Η διαγώνιος ΑΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης     3 3 6 3 2 5         και εξίσωση   6 6 3 y 3 x 3 y x 5 5 5       . Για να δείξουµε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέµνει τη διαγώνιο ΑΓ του ορθογωνίου, αρκεί να δείξουµε ότι η εξίσωση     6 3 f x x 5f x 6x 3 0 5 5       έχει µια, τουλάχιστον λύση στο διάστηµα  2,3 . Θεωρούµε τη συνάρτηση    g x 5f x 6x 3   , µε  x 2,3  , η οποία είναι συνεχής στο διάστηµα  2,3 µε βάση τις ιδιότητες των συνεχών και επιπλέον ισχύει ότι    g 2 5 f 2 3      . Όµως        3 f 2 3 0 f 2 3 6 0 5 f 2 3 30 0 g 2 30                    . Ακόµη    g 3 5 f 3 3    . Όµως    3 f 3 3 6 f 3 3 0            30 5 f 3 3 0 30 g 3 0           . Άρα, τελικά    g 2 g 3 0   . Διακρίνουµε τις περιπτώσεις: Αν    g 2 g 3 0   τότε η συνάρτηση g πληροί τις υποθέσεις του θεωρήµατος Bolzano στο διάστηµα  2,3 . Ως εκ τούτου υπάρχει ένα τουλάχιστον  0x 2,3  τέτοιο, ώστε  0g x 0 , δηλαδή, τέτοιο, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να τέµνει τη διαγώνιο ΑΓ 13.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 10
  6. 6. στο σηµείο   0 0x ,f x ή το 0 0 6 3 x , x 5 5       . Αν      g 2 g 3 0 g 2 0      ή    g 3 0 f 2 3     ή  f 3 3 , τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέµνει τη διαγώνιο ΑΓ στα σηµεία  2, 3   και  A 3,3 αντίστοιχα. Γ2. Δίνεται ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο  2,3 , ως εκ τούτου, σύµφωνα µε το θεώρηµα µέγιστης και ελάχιστης τιµής, αυτή θα παίρνει στο διάστηµα αυτό µια ελάχιστη τιµή m και µια µέγιστη τιµή M . Εποµένως, θα υπάρχουν    1 2x ,x 2,3 τέτοια ώστε αν  1f x m και  2f x M να ισχύει  m f x M  , για κάθε    x 2,3 . Οπότε θα έχουµε: m f( 2) M 2m 2f( 2) 2M       m f(0) M 3m 3f (0) 3M     m f(1) M 5m 5f (1) 5M     Προσθέτοντας κατά µέλη τις οµοιόστροφες ανισότητες και διαιρώντας µε 10 προκύπτει ότι:      2f 2 3f 0 5f 1 m M 10      . Διακρίνουµε τις περιπτώσεις: Αν m M , τότε η συνάρτηση f είναι σταθερή και για τυχαίο  ξ 2,3  θα ισχύει το ζητούµενο, δηλαδή, ότι:        2f 2 3f 0 5f 1 f ξ 10     . Αν m M , τότε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f είναι το  m,M . Εποµένως αφού         2f 2 3f 0 5f 1 η m,M 10      θα υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ 2,3  τέτοιο, ώστε:        2f 2 3f 0 5f 1 f ξ 10     . Γ3. Εφόσον  2,3  και  f 0  , θα ισχύει  0 f 3   και         1 1 9 9 9 0 f 3 0 0 0 3 3 f 3 f f                . Διακρίνουµε τις περιπτώσεις:  Αν  f 3  , τότε το ζητούµενο όριο υπολογίζεται ως εξής: x x x x x x xx x x 9 3 33 lim lim lim 2 3 2 3            x 3 xx x 1 lim 1 22 11 33                   , αφού x x 2 lim 0 3       .  Αν  f 2  , τότε το ζητούµενο όριο υπολογίζεται ως εξής: x x x x x xx x x 9 9 1 92 2 lim lim lim 2 2 2 2 2 4                             , αφού x x 9 lim 4        .  Αν  0 f 2   , τότε το ζητούµενο όριο υπολογίζεται ως εξής: 13.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 10
  7. 7.             x x x x xxxx x x x 9 9 f f 9 1 lim lim lim 2 f2 f ff 12 1 22                                                        , αφού είναι    f 0 f 2 0 1 2        με   x x f lim 0 2       ,       9 21 1 9 9 0 f 2 2 f 4 2f              9 9 1 4 2f     οπότε   x x 9 lim 2 f         .  Αν  2 f 3   , τότε το ζητούµενο όριο υπολογίζεται ως εξής:               x x x x x2xxx x x x 9 9 f f 9 1 lim lim lim f2 f 22 1f 1 ff                                                         , αφού είναι         f 0 21 1 1 2 2 2 f 3 1 3 f 2 3 f               με   x x 2 lim 0 f       και         9 2 2 2 2 2 1 1 1 9 9 2 f 3 2 f 3 1 9 f 4 f 4                 οπότε   x 2x 9 lim f        . Τελικά         x xxx 9 f , αν 0 f 3 lim 1 , αν f 32 f                   . ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΟΣ Δ Δ1. Η εξίσωση    2018 2017 f x f x x γράφεται    f x x f 2018x 2018x   . Ορίζουµε τη συνάρτηση    g x f x x , x   για την οποία θα αποδείξουµε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο  . Για τυχαία 1 2x ,x  µε 1 2x x έχουµε ότι    1 2f x f x καθώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο  . Προσθέτοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουµε        1 1 2 2 1 2f x x f x x g x g x     που σηµαίνει ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο  , άρα και «1-1». Τότε η εξίσωση    f x x f 2018x 2018x   γίνεται     g"1 1" g x g 2018x x 2018x 2017x 0 x 0         ΜΟΝΑΔΙΚΗ λύση. 13.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 10
  8. 8. Δ2. Ορίζουµε τη συνάρτηση   2α +β α +β h x f(x) + f x -f -f 3 3 2                     . Επειδή για την f ισχύει ότι  x ,   για την f x 3        ισχύει  x , 3           . Τότε όμως x 3         3 2 4 x x 3 3 3 3                        . Επειδή 4 3 3 3 3 3                  , 2 6 4 2 3 3 6 3 2                       που ισχύει καθώς    . Συναληθεύοντας λοιπόν τις σχέσεις  x ,   και 2 4 x 3 3         έχουμε 2 x 3      . Εφαρμόζουμε λοιπόν το Θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση h στο διάστημα 2 , 3        . Έτσι  Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο διάστημα 2 , 3        ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων 2α +β α +β f(x),f x ,-f -f 3 3 2                    (σταθερή), µε τη συνάρτηση f x 3        συνεχή ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων x 3    και f .  2 2 h f 3 3                2 2α +β + f -f 3 3 3                  α +β α +β -f f -f 0 2 2               καθώς       f , α +β f f f -f 0 2 2 2                            . Επίσης είναι   0 0 2α +β α +β α +β 2 2α +β h f( ) +f -f -f f( )-f + f -f 0 3 3 2 2 3 3                                                  γιατί είναι       f , α +β f f f -f 0 2 2 2                            και 2 2α +β f -f 0 3 3                 f , 2 2α +β 2 2α +β f f 2 2α +β 3 3 3 3                                 που ισχύει. Έτσι υπάρχει τουλάχιστον ένα   2 , , 3            τέτοιο ώστε  h 0   2α +β α +β 2α +β α +β f(ξ) +f -f -f 0 f (ξ) + f = f + f 3 3 2 3 3 2                                             . Αλλιώς εναλλακτικά μπορούμε να δουλέψουμε με Θεώρημα Bolzano για την f στο 2 , 3 2         . Δ3. Αφού η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο 0x 1 υπάρχει στο  το όριο           x 1 x 1 f x f 1 f x f 1 f 1 lim lim x 1 x 1           (σχέση 1) Τότε είναι i.         2 x 1 x 1 f x f 1h x h 1 lim lim x 1 x 1        . Στην περίπτωση του ορίου αυτού µπορούµε να θεωρήσουµε ότι  x 0,1 , οπότε θέτοντας x 0 2 u x x u     µε 2 x 1 x 1 lim u lim x 1      έχουµε 13.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 10
  9. 9.                      2 x 1 x 1 u 1 u 1 f x f 1h x h 1 f u f 1 f u f 1 lim lim lim lim u 1 x 1 x 1 u 1 u 1 u 1                                 u 1 f u f 1 lim u 1 2f 1 u 1          . Αλλιώς                 2 2 2 x 1 x 1 x 1 f x f 1 f x f 1h x h 1 lim lim lim x 1 f 1 2 x 1 x 1 x 1                    , γιατί  x 1 lim x 1 2    και θέτοντας 2 u x µε 2 x 1 x 1 lim u lim x 1      είναι           2 2 x 1 u 1 f x f 1 f u f 1 lim lim f 1 x 1 u 1          .          x 1 x 1 h x h 1 f 2x 1 f 1 lim lim x 1 x 1          . Στην περίπτωση του ορίου αυτού θέτουµε v 1 v 2x 1 x 2      µε  x 1 x 1 lim v lim 2x 1 1       έχουµε     x 1 h x h 1 lim x 1                      x 1 v 1 v 1 v 1 f 2x 1 f 1 f v f 1 f v f 1 f v f 1 lim lim lim lim 2 2f 1 v 1 v 1x 1 v 11 2 2                        . Από τα παραπάνω η συνάρτηση h παρατηρούµε ότι είναι παραγωγίσιµη στο 0x 1 µε    h 1 2f 1  και    h 1 f 1 . ii. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο 0x 1 . Έτσι      2 2x 1 x 1 x 1 f(x) (x 1) (x 1) 1 f 1 limf(x) lim f (x) (x 1) (x 1) lim x 1 x 1 x 1 x 1                           1 2 0 0 2          ή  f 1 0 καθώς   x 1 u x 1 x 1 limu 0 u 0 x 1 u lim lim 1 x 1 u            . Επίσης       x 1 f x f 1 f 1 lim     x 1    2x 1 x 1 f(x) (x 1) (x 1) f(x) (x 1) (x 1) lim lim x 1 2 2 1 5 x 1 x 1 x 1                                . Έτσι είναι    h 1 2f 1 2 5 10     ,    h 1 f 1 0  και η εφαπτοµένη της Ch στο   A 1,h 1 ή  A 1,0 έχει εξίσωση  y h 1     h 1 x 1 y 10 x 1 y 10x 10        . Επίσης η συνάρτηση g µε            g x 3f x 1 f 1 x 2f 1 3f x 1 f 1 x 10          είναι παραγωγίσιµη στο 0 ως πράξεις παραγωγωγίσιµων καθώς οι συναρτήσεις  f x 1 και  f 1 x είναι παραγωγίσιµες στο 0. Αυτό συµβαίνει γιατί οι συναρτήσεις  1k x x 1  και  2k x 1 x  είναι παραγωγίσιµες στο 0 και η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο   1f k 0 1 και   2f k 0 1 . Τότε        g 0 3f 1 1 f 1 1 0 2f 1 10          και 13.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 10
  10. 10.          g 0 3f 1 f 1 2f 1 2f 1 10        µε την εφαπτοµένη της Cg στο   B 0,g 0 ή  B 0, 10 να έχει εξίσωση     y g 0 g 0 x 0 y 10 10x y 10x 10         . Άρα η εφαπτοµένη της Ch στο   A 1,h 1 και η εφαπτοµένη της Cg στο   B 0,g 0 είναι κοινή µε εξίσωση y 10x 10  . iii. Για το όριο         5 2 x 1 x 1 ln x 1 10 x 1 lim h x       . Αρχικά είναι         x 1 20u x 1 5 2 5 2 5 6 5lim u 0 D.L.Hx 1 u 0 u 0 u 0 u 0 1 2ln u ln u 2ln uulim x 1 ln x 1 lim u ln u lim lim lim u 5u 5u                                     5 6D.L.H u 0 u 0 2 2ulim lim u 0 25u 25                   και       h ή 1 x 1 lim h x h 1 f 1 0       , οπότε στο όριο         5 2 x 1 x 1 ln x 1 10 x 1 lim h x       έχουµε απροσδιοριστία 0 0 στην οποία ΔΕΝ µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε κανόνα De L’ Hospital αφού η h και η f ΔΕΝ ξέρουµε αν έχουν συνεχείς παραγώγους. Έτσι               5 42 2 x 1 x 1 x 1 ln x 1 10 x 1 x 1 ln x 1 10 lim lim h x 0h x x 1                            4 2 x 1 x 1 ln x 1 10 0 10 10 lim 1 h x h 1 h 1 10 x 1                 , καθώς όμοια με το προηγούμενο όριο     5 2 x 1 lim x 1 ln x 1 0           είναι και     4 2 x 1 lim x 1 ln x 1 0           . 13.02.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 10

×