ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Ομάδες Προσανατολισμού
36 Προτάσεις (Σ-Λ) Πανελληνίων Εξετάσεων 2015 – 2018
32 Ασκήσεις για την Τελευταία Επανάληψη μαζί με Μικρό
Συνταγολόγιο !
Έκδοση 2019
Επιμέλεια : Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου , Msc μαθηματικού ΓΕ.Λ

2
ΕΝΟΤΗΤΑ : Για την τελευταία επανάληψη 2019
36 Προτάσεις (Σ-Λ) Πανελληνίων Εξετάσεων 2015 – 2018
2015 - ΗΜΕΡΗΣΙΑ
1. Αν 0)x(flim
0xx

, και f(x) > 0 κοντά στο xο, τότε 
 )x(f
lim
xx
1
0
2.
Αν για δυο συναρτήσεις f , g ορίζονται οι συναρτήσεις gf  και
fg  , τότε ισχύει πάντοτε gf  = fg  .
3. Για κάθε x R ισχύει (συνx)΄ = ημx.
4.
Έστω f(x) συνεχής στο [α, β]. Αν ισχύει ότι f(x) ≥ 0 για κάθε x στο [α,β]
και η συνάρτηση f(x) δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε
 

a
dx)x(f 0.
2015 - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ
5.
Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο xο και ισχύει f(x) ≤g(x) κοντά
στο xο , τότε )x(flim
xx 0
≤ )x(glim
xx 0
.
6.
Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλυτέρου ή ίσου του 2
της οποίας η γρ. παράσταση έχει ασύμπτωτη.
7. Αν )x(flim
xx 0
= - ∞ , τότε f(x) > 0 κοντά στο xο.
8.
Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση στο [α, β] και Gμια παράγουσα της
f στο [α, β] , τότε πάντοτε ισχύει :  


a
)(G)a(Gdx)x(f .
9.
Για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο [α, β] αν Gείναι μια παράγουσα της f
στο [α, β] , τότε :  


a
)(G)a(Gdx)x(f .
10.
Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο xο και ισχύει f(x) ≤g(x) κοντά
xx 0
≤ )x(glim
xx 0
.
11.
Μια συνάρτηση f(x) είναι 1-1 , αν και μόνο αν , για κάθε yτου συνόλου
τιμών της , η εξίσωση y = f(x)έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.

3
12.
Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α, β] , τότε η f παίρνει μια μέγιστη Μ και
μια ελάχιστη μ τιμή.
13.
Κάθε συνάρτηση f , για την οποία ισχύει f ΄(x) = 0 για κάθε
x ),x()x,a( oo  , είναι σταθερή στο ),x()x,a( oo  .
2016 -ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ
14. Αν f(x) = ln x , για κάθε x ≠ 0 , τότε f ΄(x) =
x
1
, για κάθε x≠0.
15.
Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο xο , τότε η f(x) δεν είναι
παραγωγίσιμη στο xο.
16. 1
1
0


 x
x
lim
x

17.
18.
Για μια συνεχή f(x) στο [α, β] ισχύει : Αν  

a
dx)x(f 0 , τότε f(x) > 0
στο [α, β].
19.
Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f: RR , g: RR, αν )x(flim
xx 0
=0 και
)x(glim
xx 0
= +∞ , τότε 0
0


)]x(g)x(f[lim
xx
.
20.
Αν f , g είναι δυο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα , τότε η
fg  ορίζεται αν  B)A(f .
21.
Για κάθε συνάρτηση f: RR που είναι παραγωγίσιμη και δεν
παρουσίαζει ακρότατα , ισχύει f ΄(x) ≠ 0 για κάθε x στο R.
22. Αν 0 < α < 1 , τότε 

x
x
alim .
23.
Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής
συνάρτησης f είναι διάστημα.
24.
Μια συνάρτηση f λέγεται γν. αύξουσα στο Δ του πεδίου ορισμού της ,
αν υπάρχουν x1 , x2Δ με x1<x2 , ώστε f(x1) <f(x2).

4
25.
Για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο [α, β] αν Gείναι μια παράγουσα της f
στο [α, β] , τότε :  


a
)(G)a(Gdx)x(f .
26.
Αν ένα σημείο Μ (α, β) ανήκει στη γρ. παράσταση μιας αντιστρέψιμης
συνάρτησης f , τότε το σημείο Μ΄(β,α) ανήκει στη γρ. παράσταση της f-1
27.
Για μια συνεχή f(x) στο [α, β] αν ισχύει  

a
dx)x(f 0 , τότε f(x) = 0
για κάθε x στο [α, β].
28.
Για κάθε συνεχή συνάρτηση f : [α, β] R , η οποία είναι παραγωγίσιμη
στο (α, β) , αν f(α) = f(β) , τότε υπάρχει ακριβώς ένα ξ (α, β) τέτοιο
ώστε f ΄(ξ) = 0.
2018 Ημερήσια Γε.Λ & Επαναληπτικές
29. Η συνάρτηση f(x) =ημx, xR έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου.
30.
Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x) σε ένα διάστημα Δ , η
οποία είναι γν. αύξουσα , ισχύει ότι f ΄(x) > 0 για κάθε xΔ.
31. Ισχύει , 0
1
0


 x
x
lim
x

32.
Αν η f(x) είναι αντιστρέψιμη , τότε οι γρ. παραστάσεις των f(x) , f-1 (x)
αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την y= x.
33.
Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη
γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x).
34.
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: RR μπορεί να τέμνει
την ασύμπτωτη της.
35.
Αν μια συνάρτηση f: RR είναι «1-1» τότε κάθε οριζόντια ευθεία
τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο.
36.
Αν οι συναρτήσεις f(x) , g(x) έχουν πεδίο ορισμού το [0,1] και
σύνολο τιμών το [2,3] , τότε ορίζεται η σύνθεση της g(x) με την
f(x) με πεδίο ορισμού το [0,1] και σύνολο τιμών το [2,3].
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Σ Λ Λ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Σ
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
Σ Σ Λ Λ Σ Λ Λ Λ Λ Σ

5
21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
Σ Σ Σ Λ Λ Σ Λ Λ Λ Λ
31. 32. 33. 34. 35. 36.
Σ Σ Σ Σ Σ Λ
1. [ Άσκηση αξιολόγησης 241, ΘΕΜΑ Β , φυλλαδίου Μέρος Β΄ ]
Δίνεται η f(x) = lnx – e1-x .
α ) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία – κυρτότητα.
β ) Να βρεθεί η εφαπτομένη (ε) της f(x) στο Μ(1, f(1)).
γ ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf την (ε) και την
ευθεία x = 2.
δ ) Αν Ε(λ) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από Cf τον χχ΄ και τις ευθείες χ = 1
και χ = λ , όπου 0 < λ < 1 , να βρεθεί το )(Elim 
 
 0
Ενδεικτική Λύση
α ) Α = (0,+∞) , f΄(x) = 0
1 1
 x
e
x
, άρα γν. αύξουσα στο Α.
f΄΄(x) = 0
1 1
2
 x
e
x
, ΚΟΙΛΗ στο Α.
β ) y – f(1) = f ΄(1)(x-1)  y + 1 = 2(x-1)  y = 2x-3.
γ )
Το ζητούμενο εμβαδόν λόγω
κυρτότητας της f(x) είναι ίσο με :
Ε = 


2
1
1
32 dx)exlnx( x
Άρα επειδή ,
.
e
dx)e(dxe xx 1
1
2
1
2
1
11
 

1222
1
2
1
 ln]xxlnx[dxxln

6
Υπολογίζεται εύκολα το ζητούμενο Ε.
δ ) Για x < 1 η f(x) είναι < 0 .
Άρα Ε(λ) =   
1
1111

 ]xxlnx[]e[dx)xlne( xx


lne 111
.
Αρκεί να υπολογιστεί το
)(Elim 
 
 0
= )lne(lim 


 
1
0
= e , γιατί ;;
2. [ Άσκηση , ΘΕΜΑ Β– Διαγώνισμα Λάλος , Ολοκληρώματα 2019 ]

7
3. [ Άσκηση, ΘΕΜΑ Γ – Διαγώνισμα Λάλος , Ολοκληρώματα 2019 ]

8
4. [ Άσκηση 10 Γ΄ Ομάδας σελίδα 235 σχολικού, Κεφάλαιο 3ο ]
5. [ Άσκηση 9 Γ΄ Ομάδας σελίδα 174 σχολικού, Κεφάλαιο 2ο ]
6. [ Ασκήσεις 11 , 12 , 13 (1ο Διαγώνισμα Προσομοίωσης Ι.Καραγιάννη 2019)
Β΄ Ομάδας, σχολικού σελίδα 153, Κεφάλαιο 2ο ]

10
7. [ Άσκηση, ΘΕΜΑ Δ – Διαγώνισμα Λάλος , Ολοκληρώματα 2019 ]

11
8. [ Θέμα Δ, 1ο Διαγώνισμα Προσομοίωσης Ι. Καραγιάννη 2019 ]
Ενδεικτικές Απαντήσεις εδώ :
https://blogs.sch.gr/iokaragi/files/2019/04/%CE%9B%CE%A5%CE%A3%CE%95%CE%99%CE
%A3-%CE%97%CE%9C%CE%95%CE%A1%CE%97%CE%A3%CE%99%CE%9F-2019-1.pdf
9. [ 1.42 Οδηγός Επανάληψης Μ. Στεργίου , Τεστ 19 Θέματα Ημέρας 2018]
Δίνεται η f(x) =





0,13
0,3
23
2
xxx
xax
α ) Να αποδειχθεί ότι α = 1. β ) Να βρεθούν οι f ΄(x) , f ΄΄(x).
γ ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα,
δ ) Να βρεθεί η εφαπτομένη της f(x) στο Μ(0, f(0)).
ε ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τα κοίλα και τα Σ.Κ.
στ ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f(x).
ζ ) Να υπολογιστεί το Ι = 
1
0
)( dxxf

12

13
10. [ 3.11 Οδηγός Επανάληψης Μ. Στεργίου , Τεστ 19 Θέματα Ημέρας 2018]
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex -1 + ln(x+1).
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x) , η f ΄(x) και η f ΄΄(x).
β ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η f(x) και να βρεθεί το f(Α).
γ ) Να λυθεί η εξίσωση : ex + ln(x+1) = 1.
δ ) Να αποδειχθεί ότι : e –x(1- ln(x+1)) > 1 , για κάθε -1 < x < 0.
στ ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f(x) στο Α(0, f(0)) και να
αποδειχθεί ότι : 1 + e –x ln(x+1) > (2x+1)e –x , x > 0.
ζ ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ την f(x) την
εφαπτομένη της στο Α και την ευθεία x = 1.

15
11. [ Θέμα Β , Ιωάννης Σαράφης 3ο Διαγώνισμα Προσομοίωσης 2018]
Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x).
https://drive.google.com/file/d/109X0KXowEOXyvmMsz9CGRo6rtSOnEPvQ
/view

16
12. [ Θέμα Δ , Ιωάννης Σαράφης 1ο Διαγώνισμα Προσομοίωσης 2018]
13. [ Θέμα Δ , Ιωάννης Σαράφης 3ο Διαγώνισμα Προσομοίωσης 2019]
https://drive.google.com/file/d/109X0KXowEOXyvmMsz9CGRo6rtSOnEPvQ/vi
ew

17
14. [ Θέμα Β , Ιωάννης Σαράφης 5ο Διαγώνισμα Προσομοίωσης 2019]
https://drive.google.com/file/d/109X0KXowEOXyvmMsz9CGRo6rtSOnEPvQ/view

18
15. [ Θέμα Β , 3ο Διαγώνισμα study4exams.gr - 2017]
https://drive.google.com/file/d/1uCu084sT9kW5UU_kObe2wELq6TK4ploS/view
16. [ Θέμα Γ , 9ο Διαγώνισμα study4exams.gr - 2018]
Έστω η συνεχής συνάρτηση f(x) : RR για την οποία ισχύει :
6
1x
5)2x(f
lim1x




α ) Να δειχθεί ότι f(3) = 5
β ) Να δειχθεί ότι f΄(3) = 6
γ ) Να υπολογιστεί το όριο
)3x(
)x(f2x
lim3x



δ ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ,
h(x) = x·f(x)-3x-7συνx , xR , τέμνει τον xx΄ τουλάχιστον σε ένα σημείο.
ε ) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση g :RR , για την οποία ισχύει
g΄(x)<f ΄(3) , για κάθε xR. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g(x) = x6 , έχει το
πολύ μια ρίζα μεγαλύτερη του 1.

19
α ) x + 2 = u , x1 τότε u3 , άρα 6
1x
5)2x(f
lim1x





6
3
5
3



 u
)u(f
lim
u
Θεωρώ τη συνάρτηση h(x) =
3
5


x
)x(f
 (x-3)h(x)+5 =f(x)
Η f(x) είναι συνεχής στο R άρα και στο 3. Συνεπώς f(3) = 5.
β ) Από (α) και 6
3
5
3



 u
)u(f
lim
u
, προκύπτει.
γ )
)3x(
)x(f2x
lim3x



=
)x(
))x(f()x(
lim
x 3
53
3 

 
= 5
3
3
31
3





x
)x(
)(f
lim
x 
δ ) Η h(x) είναι συνεχής στο [0,3] και h(0) = - 7 , h(3) = 15-9-7συν3 
h(3) = 6 – 7συν3 > 0 γιατί , το συν3 < 0 (2ο τεταρτημόριο).
Άρα από Θ. Μπολζάνο προκύπτει.
ε ) Είναι : g΄(x)<f ΄(3)  g΄(x)< 6.
Θεωρώ την κ(x) = g(x) - x6 και έστω ότι έχει 2 ρίζες 1<ρ1< ρ2 , τότε υπάρχει
ξ1(ρ1,ρ2) και ξ1> 1, ώστε κ΄(ξ1) = 0 g΄(ξ1)-6ξ15 = 0.
Όμως g΄(x)< 6 για κάθε x , άρα και για το ξ1.
Έχω : 6ξ15< 6  ξ15< 1 , ΑΤΟΠΟ , άρα η κ(x) =0 έχει το πολύ μια ρίζα
μεγαλύτερη του 1.
17. [ Προτείνεται από τον συνάδερφο κ. Αθ. Ξένο για τις Πανελλήνιες 2017,
Τεστ 3ο Θέματα Ημέρας 2018 , https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1376]
Δίνεται η συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το [-1,1] και για την οποία ισχύουν :
 συνx·(f΄΄(x) - f(x)) = 2ημx·f΄(x) , για κάθε xστο διάστημα [-1,1]
 Η Cf εφάπτεται της ευθείας y = x στο σημείο Α(0,f(0))
α ) Να αποδειχθεί ότι f(x) =
x
x

, x[-1,1]

20
β ) Αν α, β (0,1] και α < β , να αποδειχθεί ότι

 aa

γ ) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα , Ι = 

1
1
dx)x(f , J = 
4
6


dx
x
)x(f
δ ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την συνάρτηση
h(x) =
x
)x(f

, τον άξονα xx΄ και την ευθεία x =
4

.
α ) συνx·(f΄΄(x) - f(x)) = 2ημx·f΄(x) 
συνx·f΄΄(x) -ημx·f΄(x) = ημx·f΄(x)+συνxf(x)
 (συνxf ΄(x))΄ = (ημx· f(x))΄ συνx·f ΄(x) = ημx·f(x) +c
Για x = 0 , f΄(0) = c  c = 1.
Άρα συνx f΄(x) = ημxf(x) +1  συνxf΄(x) - ημxf(x) =1 (f(x)·συνx)΄=(x)΄
f(x)·συνx = x +c
Για x = 0 , f(0) = c  c = 0
Άρα για κάθε x[-1,1] , f(x) =
x
x

, συνεχής και παραγωγίσιμη.
β ) Η

 aa
 , γράφεται )a(f)(f
a
a
 


(1)
Θα εξετάσω τη μονοτονία της f(x) στο [0,1]
f΄(x) =
x
xxx
2

 
> 0 για κάθε x(0,1) άρα η f(x) γν.αύξουσα στο [0,1].
Προκύπτει η (1).

21
γ ) Ι = 0 , γιατί η f(x) είναι περιττή στο πεδίο ορισμού της.
J = 
4
6


dx
x
)x(f
= 
4
6
1

 
dx
x
= 


4
6
2
4
6
2
1



 



dx
x
x
dx
x
x
Θέτω u = ημx , u1 = ½ , u2 =
2
2
, du = συνxdx
Άρα , J = 

2
2
2
1
2
1
1
du
u
.
Αναζητούμε α, β για τα οποία ισχύει :
uu
a
u 



 111
1
2


α +β = 0 και α – β = 1 , άρα β = -
2
1
και α =
2
1
.
Συνεπώς J = 2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
]u[ln]u[lndu
u
du
u





=………….
δ ) h(x) = 0  f(x) =0 
x
x

= 0  x = 0. Άρα το ζητούμενο εμβαδόν
.ln]x[ln
xdx]xx[dx)x(xdx
x
x
dx
x
)x(f
2
2
44
4
0
4
0
4
0
4
0
4
0
2
4
0

 










22
18. [Θέμα Γ , 11ο Διαγώνισμα www.study4exams.gr - 2018 ]
19. [ Θέμα Β , 11ο Διαγώνισμα www.study4exams.gr - 2018 ]

23
20. [ 3.17 Οδηγός Επανάληψης Μ. Στεργίου , Τεστ 20 Θέματα Ημέρας 2018,
https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1376 ]
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) =2xlnx-x2+1 , g(x) = lnx+1-x.
α ) Να μελετηθεί η g(x) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β ) Να αποδειχθεί ότι f ΄(x) ≤ 0 για κάθε x > 0.
γ ) Να αποδειχθεί ότι f(x) > 0 για κάθε x στο διάστημα (0,1).
δ ) Να λυθεί η εξίσωση : 2ln(x) =
x
x 12

, x > 0.
ε ) Να αποδειχθεί ότι 1,
2
1
1
ln
2


x
x
xx
.
στ ) Να αποδειχθεί ότι 2g(
2
a
)> g(α) +g(β) , για κάθε 0<α<β.
ζ ) Να αποδειχθεί ότι f(ex) ≤ f(xe) για κάθε x > 0.
21. [ Θέμα Β , 1ο Διαγώνισμα προσομοίωσης Ι. Καραγιάννης 2018 ]

24
https://blogs.sch.gr/iokaragi/files/2018/03/%CE%9B%CE%A5%CE%A3%CE%95%CE%99%CE
%A3-%CE%A4%CE%A9%CE%9D-
%CE%98%CE%95%CE%9C%CE%91%CE%A4%CE%A9%CE%9D-
%CE%A0%CE%A1%CE%9F%CE%A3%CE%9F%CE%A3%CE%9C%CE%9F%CE%99%CE%A9%CE%
A3%CE%97%CE%A3-2018.pdf
22. [ Θέμα Γ , Διαγώνισμα προσομοίωσης Σumma - U blog site 2018 ]
https://drive.google.com/file/d/1D1xuh2NktL2Gw9KQFzFqgPfNryNwfEB3/view
23. [ Θέμα Β , Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2018 ]
Δίνεται η συνάρτηση f(x) =










1,
1,
1
2
xax
x
x
x
.

25
B1. Να υπολογιστεί ο πραγματικός α ώστε η f(x) να είναι συνεχής. (μον3)
Στα παρακάτω ερωτήματα θεωρήστε ότι α = 1.
Β2. Να εξετάσετε αν η f(x) ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Ρολ στο
διάστημα [
2
1
,4]. (μον6)
Β3. Να βρείτε τα σημεία της Cf στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς
την ευθεία y = -
4
1
x + 2018 και να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων στα
σημεία αυτά. (μον7)
Β4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf και να παραστήσετε γραφικά τη
συνάρτηση. (μον9)
https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1016
24. [ Θέμα Γ , Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2018 ]
Δίνεται η συνάρτηση f : [0,π]R, με τύπο f(x) = 2ημx – x.
Γ1. Να βρείτε τα ακρότατα της f(x) (τοπικά και ολικά). (μον5)
Γ2. Να αποδείξετε ότι για κάθε xο ],0[  η Cf και η εφαπτομένη της στο
Α(xο, f(xο)) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. (μον5)
Γ3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 


0
)( xdxxf (μον8)
Γ4. α ) Να αποδείξετε ότι .1
)(
lim
0

 x
xf
x
(μον2)
β ) Να υπολογίσετε το όριο ]ln))2()([(lim
0
xxfxf
x


(μον5)
https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1016
25. [ Εμπνευσμένη από Άσκηση 3 σχολικού βιβλίου σελίδα 150]
Δίνεται η συνάρτηση g(x) =





1,34
1,2
2
2
xxx
xaxx
.

26
Β1. Να βρεθεί ο πραγματικός α αν η g(x) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού
της. (μον 3)
Β2. Να υπολογιστεί η g΄(x) και η g΄΄(x) και να βρεθούν τα ακρότατα της
g(x). (μον 7)
Β3. Να βρεθούν όλες οι εφαπτομένες της g(x) που άγονται απ το (0,0) και να
γίνει η γραφική παράσταση της g(x). (μον 9)
Β4. Αν η ε : y = -4x είναι εφαπτομένη της g(x), να υπολογιστεί το Εμβαδόν
του χωρίου που περικλείεται απ την γραφική παράσταση της g(x) την
ευθεία ε , τον άξονα xx΄ και την ευθεία x = 1. (μον 6)

27
26. [ Εμπνευσμένη από την Άσκηση 2 και 5 σχολικού βιβλίου σελίδα 38 και
232 αντίστοιχα]
1x
x
e
e
, x R .
Γ1. Να δειχθεί ότι η f(x) είναι 1-1 και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. (μον7)
Γ2. Να δειχθεί ότι ο τύπος της αντίστροφης είναι f-1(x)= ln(
x
x
1
) και ότι
f-1(x) < 0 , για κάθε x
2
1
,0( ). (μον5)
Γ3. Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται απ την f-1(x) τον
άξονα xx΄ και τις ευθείες x =
2
1
και x = λ , όπου λ R και 0 < λ <
2
1
. (μον8)
Γ4. ι ) Να βρεθεί το όριο )(lim
0


E

(μον3)
ιι ) Να υπολογιστεί το όριο )
ln
)()((
(lim
0 x
xfxf
x



(μον2)

30
27. Δίνεται η f(x) = 𝑥 +
4
𝑥
.
Β1 ) Να την εξετάσετε ως προς τη μονοτονία – ακρότατα.
Β2 ) Κυρτότητα – Σ.Κ
Β3 ) Να βρεθούν οι κατακόρυφες και οι πλάγιες ασύμπτωτες της.
Β4 ) Ποιο το Σ.Τ της; Να γίνει η γραφική της παράσταση.
Β5 ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ την Cf και την
ευθεία y=5. Μονάδες (5+5+5+5+5)
28. Δίνεται η f(x) =
𝑥
𝑒 𝑥 .
Γ1 ) Να την εξετάσετε ως προς τη μονοτονία – ακρότατα.

31
Γ2 ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈(2,3) τέτοιο ώστε να ισχύει :
2e-2 > ξ𝑒−𝜉
>3𝑒−3
Γ3 ) Κυρτότητα και Σ.Κ.
Γ4 ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση : ex – ex = 0 έχει μοναδική ρίζα.
Γ5 ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο Α(2, f(2)).
Γ6 ) Να δειχθεί ότι για κάθε x≥2 ισχύει e2 ∙x∙𝑒−𝑥
≥ −𝑥 + 4 . Πότε ισχύει η ισότητα ;
Μονάδες (5+2+5+5+3+5)
29. Δίνεται η f(x) = lnx + 𝑒 𝑥−1
+ 𝑥 − 2
Γ1 ) Να την εξετάσετε ως προς τη μονοτονία – ακρότατα και να βρεθεί το Σ.Τ.
Γ2 ) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0 και το πρόσημο της f(x) .
Γ3 ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την
φ(x) = 2 x lnx + 2𝑒 𝑥−1
+ 𝑥2
− 6𝑥 + 2020
i ) Να δειχθεί ότι φ(x) – 2017 ≥ 0 για κάθε x∈ (0, +∞)
ii ) Να συγκριθούν οι αριθμοί φ(e) και φ(π)
Μονάδες (6+6+6+3+4)
30. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x): RR τέτοια ώστε
(1+ex) f ΄(x) = f(x) για κάθε x∈ 𝑅 και f(0) = 1.
Δ1 ) Να δειχθεί ότι f(x) =
2𝑒 𝑥
1+𝑒 𝑥 , για κάθε x∈ 𝑅.
Δ2 ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να δειχθεί ότι 0 < f(x) < 2 για κάθε
x∈ 𝑅.
Δ3 ) Κυρτότητα και να δειχθεί ότι η Cf έχει μοναδικό σημείο Καμπής το Α(0,1).
Δ4 ) Αν Μ(α, f(α)) και Ν(-α, f(-α)) , όπου α > 0 είναι σημείο της Cf , να δείξετε ότι
i ) Οι εφαπτομένες της Cf στα Μ, Ν είναι παράλληλες.
i i ) Το σημείο καμπής Α είναι μέσο του ευθ. Τμήματος ΜΝ.
Δ5 ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ την Cf και τους
άξονες xx΄ , y y΄ και την ευθεία x =1.
Μονάδες (4+5+4+(4+4)+4)

32
31. Δίνονται οι f(x) = 𝑙𝑛𝑥 +
2
𝑥
−
1
𝑥2 και g(x) = ex ∙lnx.
B1 ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα.
Β2 ) Να αποδειχθεί ότι η Cf έχει ένα μοναδικό κοινό σημείο με τον xx΄.
Β3 ) Να αποδείξετε ότι η g έχει μοναδικό σημείο καμπής.
32. Δίνεται η f(x) =( x-3)∙lnx
Γ1 ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο της Cf στο οποίο η εφαπτομένη είναι
παράλληλη με τον xx΄ .
Γ2 ) Να δειχθεί ότι 𝑓(2017) <
𝑓(2018)+ 𝑓(2016)
2
Γ3 ) Να λυθεί η εξίσωση :
1
3
𝑥𝑙𝑛𝑥 −
2
3
= 𝑙𝑛𝑥 −
2
3
𝑥
Γ4 ) Να βρεθούν , αν υπάρχουν , οι ασύμπτωτες της f(x) .
Γ5 ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στη Cf ,
τον xx΄ και τις ευθείες x = 1 , x = 3.

33
ΕΝΟΤΗΤΑ : Τι κάνω όταν ζητείται……. , «Μικρό Συνταγολόγιο» !
1. Υπάρχει ……
ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ
Χωρίς Παράγωγο Θ. Μπολτζάνο
Με Παράγωγο Θ.Ρολ
Με παράγωγο και τιμές
f(α) , f(x1) , f(xo)
Θ.Μ.Τ
Με τοπικό ακρότατο Θ. Φερμά
2. Ρίζες
ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Η εξίσωση f(x) = 0 έχει
μια τουλάχιστον ρίζα στο
(α,β).
Θ.Μπολτζάνο για την f(x)
ή Θ. Ρολ για την Αρχική
της f(x).
α ) Ν.δ.ο η παρακάτω
εξίσωση έχει μια
τουλάχιστον ρίζα στο
(0,1)
0
1
11 26





x
x
x
x
β ) Αν 0
234


,
να αποδείξετε ότι η
εξίσωση : αx3 +βx2 +γx = 0
, έχει μια τουλάχιστον λύση
στο (0,1).
Η εξίσωση f(x) = 0 έχει
το πολύ μια ρίζα στο
(α, β).
f(x) γνησίως μονότονη
στο (α, β) ή απαγωγή σε
άτοπο με Ρολ.
Δείξτε ότι η εξίσωση,
αx + βx = γx , με
0 < α < β < γ , έχει το πολύ
μια πραγματική λύση.
Να αποδείξετε ότι η
εξίσωση : συν2x = 3x+2
έχει το πολύ μια ρίζα στο R.
Η f(x) = 0 έχει ακριβώς
μια ρίζα στο (α, β).
Συνδυασμός των δυο
προηγουμένων. Η εξίσωση : 3χ =
x
1
έχει
ακριβώς μια ρίζα στο (0,1).

34
Η εξίσωση : f(x) = 0 έχει
τουλάχιστον ν ρίζες στο
(α, β).
Χωρίζουμε το διάστημα
σε ν ίσα διαστήματα και
αναγόμαστε στην πρώτη
περίπτωση.
Να δειχθεί ότι η εξίσωση :
x7-4x6+1 =0 έχει δυο
τουλάχιστον ρίζες στο
(-1, 1).
Η f(x) = 0 έχει το πολύ ν
ρίζες στο (α, β).
Άτοπος Απαγωγή και Θ.
Ρολ ,
επίσης κάνοντας χρήση
των προτάσεων :
Αν f ΄΄(x) ≠ 0 , τότε η
εξίσωση f(x) = 0 θα έχει το
πολύ δυο ρίζες, επίσης
αν f ΄΄΄(x) ≠ 0, η f(x) = 0
θα έχει το πολύ 3 ρίζες.
Η εξίσωση : e-x = αx ,
α R , έχει το πολύ 2
πραγματικές και άνισες
ρίζες.
f(x) = 0 και πλήθος
ριζών.
Προφανή ρίζα ,
μονοτονία ή χρήση των
παραπάνω Προτάσεων.
Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση
x5 + 2 x – 3 = 0 ;
3. Ανισότητες
Απόδειξη
Ανισότητας
μιας
μεταβλητής.
α ) Μονοτονία
β ) Ακρότατα
γ ) Κυρτότητα και
εφαπτομένη
1. x2 +3ln x + 2 > 3x , για κάθε x >1.
2. Έστω f(x) = (x+1) lnx
α) Να εξεταστεί ως προς την κυρτότητα.
β ) Να βρεθεί η εφαπτομένη της f(x) στο
σημείο με τετμημένη 1.
γ ) Να δειχθεί ότι : ,
x
x
xln
1
1
2
1



x (0,1).
3. Άσκηση 10 Γ΄ Ομάδας σελίδα 235
σχολικού.

35
Απόδειξη
διπλής
ανισότητας ή
ανισότητας με
δυο
μεταβλητές.
Θ.Μ.Τ και
μονοτονία της
f ΄(x)
Να αποδείξετε ότι : 1 - 1ln
1
 xx
x
για κάθε x > 0.
Αν 0 < α < β <
2

, να αποδείξετε ότι :
a22




 


Λύση
Ανίσωσης
Μονοτονία ex-1 ≥ 1-lnx
Από ανισότητα
σε ισότητα.
Θ.Φερμά Αν 0 < α ≠ 1 και xα ≤ αx για κάθε
πραγματικό x , τότε α = e.
Ανισότητα και
Υπάρχει
Απαγωγή σε Άτοπο
Ανισότητα και
Ολοκλήρωμα
Δες εδώ : https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1334
Ανισότητες
στη Γ΄ Λυκείου
Ν. Ζανταρίδης
Δες εδώ :
https://drive.google.com/file/d/1KYaHjO_iHGmQ3oMQJzBSSCATra3G90fe/view
4. Εύρεση Τύπου Συνάρτησης - « 9 Ενδεικτικά Παραδείγματα».
Α ) Έστω f(x) : R R συνεχής και για κάθε x ισχύει :
x∙f(x)+2 = f(x)+ 22
 xx
Να βρεθεί ο τύπος της f(x).
Β ) Αν η συνάρτηση f :  είναι συνεχής στο  και ισχύει :
f2(x) - 6f (x) = x2 – 5 , x 
Να βρεθεί ο τύπος της f (x).

36
Γ ) Αν για την f :  ισχύουν :
 f (x) παραγωγίσιμη στο 
 2x·f(x) + (x2+1)f ΄(x) = ex , x 
 f (0)=1
Nα βρεθεί ο τύπος της f (x).
Δ ) Αν η f (x) είναι παραγωγίσιμη στο  και ισχύουν :
 2f ΄(x) = )x(fx
e 
, x 
 f (0)=0
Nα δειχθεί ότι f (x) = ln
2
1x
e
, x 
Ε ) Βρείτε τον τύπο της f(x) : Δ  R στις περιπτώσεις :
α ) f ΄(x) = 3x2-6x+2 , xΔ και f(1) = 5
β ) f ΄΄(x) = ex – συνx , x Δ και f ΄(0) = 1 και f(0) = 3.
Στ ) f(x) : R R και f(0) = 3 , επίσης (x-2)f ΄(x) = x2-5x+6 για κάθε x R. Βρείτε
τον τύπο της f(x).
Ζ )
Η ) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f(x) : [1,3]R , για την οποία ισχύει :
  
3
1
3
1
2
786 dx)x(xfdx)x(f
α ) Να αποδειχθεί ότι : 789
3
1
2
 dxx
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x).
Θ ) Θέμα 19 του παρόντος αρχείου.
Καλή Επιτυχία στις Εξετάσεις της ζωής σας.

37
ΠΗΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
1. Διαγωνίσματα Προσομοίωσης Πανελληνίων 2018,2019 , Γιάννης
Καραγιάννης τέως Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών.
2. www.study4exams.gr/ , διαγωνίσματα σχολικού έτους 2017-2018,
προσπελάστηκε 06.04.17
3. Οδηγός Επανάληψης, Μαθηματικά Γ΄ , Μπάμπης Στεργίου-Χρήστος Νάκης,
Μαθηματική Λέσχη, Ιανουάριος 2018.
4. https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1900 , Προσομοίωση
Πανελλαδικών Εξετάσεων 2019,2018,2017, προσπελάστηκε 16.04.19.
5. Διαγωνίσματα Προσομοίωσης Πανελληνίων 2018, Ιωάννης Σαράφης,
Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί.
6. Διαγώνισμα στα Ολοκληρώματα που μου έστειλε ο διαδικτυακός μαθητής Α.
Λάλος, Φεβρουάριος 2019.
7. Διαγώνισμα προσομοίωσης Σumma - U blog site 2018 ,
https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1629 , προσπελάστηκε 16.04.19
8. Προτεινόμενο ΘΕΜΑ από τον συνάδερφο κ. Αθ. Ξένο για τις Πανελλήνιες
2017.
9. Προτάσεις Σ-Λ Πανελλαδικών Εξετάσεων και Επαναληπτικών Πανελλαδικών
Εξετάσεων 2015 – 2018.
10.Μαθηματικά Γ΄ , Μέρος Β΄ , σχολικό βιβλίο , έκδοση 2018.
11.Αναλύοντας την Ανάλυση, Γιώργος Τσαπακίδης , Εκδόσεις Μαυρίδη , 2017.
12.Ανισώσεις και Ανισότητες στα πλαίσια της Γ΄ Λυκείου, Παρουσίαση Ν.
Ζανταρίδη, Γιαννιτσά Απρίλιος 2019 , https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1928
13.Μαθηματικά Γ΄ Προσανατολισμού, Ν.Ζανταρίδης – Β. Μαυροφρύδης –
Π.Παντούλας – Κ. Τηλέγραφος, Εκδόσεις ΖΤ , 2017.
14.Μαθηματικά Γ΄ Γενικού Λυκείου, Τελική Επανάληψη, Π.Κανδύλας-
Γ.Δημητριάδης-Ι.Σαράφης-Α.Σιρδάρης-Ε.Γκόρα-Φ.Καλδή-Α.Καλαμπόκα-
Λ.Ζαχαριάδης, Εκδόσεις Κανδύλας .

Επανάληψη Μαθηματικών Γ ΄Λυκείου
21 Διαγωνίσματα
Σ-Λ Πανελληνίων Εξετάσεων 2015 - 2018
Σχολικά έτη 16-17, 17-18 , 18-19
Επιμέλεια : Ιορδάνη Κοσόγλου , Msc Μαθηματικού ΓΕΛ Εξαπλατάνου

[2]
Test 1
ΘΕΜΑ 1Ο Σ – Λ (Ενδοσχολικές Εξετάσεις 2016 Γε.Λ Εξαπλατάνου)
1. Αν μια συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄(1)= 0
τότε το f(1) είναι πάντα τοπικό ακρότατο .
Σ Λ
2. Αν 0)x(flim
0xx

, και f(x) < 0 κοντά στο xο, τότε 
)x(f
1
lim
0xx
. Σ Λ
3.
Σ Λ
4.
Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα
διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο
ορισμού της.
Σ Λ
5.
Αν δεν υπάρχουν τα όρια των f και g στο χο , τότε δεν μπορεί να
υπάρχει το όριο της συνάρτησης (f + g) στο χο.
Σ Λ
ΘΕΜΑ 2Ο ( Προτείνεται από το Υπουργείο – Ψηφιακό Υλικό )
1
32
2
3


x
xx
.
α ) Να δείξετε ότι αντιστρέφεται.
β ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της στο - ∞
ΘΕΜΑ 3Ο ( Προτείνεται από τον συνάδερφο Θ. Ξένο για τις Πανελλήνιες 2017)
Δίνεται η διαφορική εξίσωση : x∙f ΄(x)∙( )1)(1()1)(
 xxf
xexe
για κάθε x >0. Επίσης δίνεται : f(1) = 1 .
α ) Να δειχθεί ότι : f(x) = x + lnx
β ) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g(x) = f(lnx) είναι κοίλη στο πεδίο
γ ) Να δειχθεί ότι g(A) = R.

[3]
Test 2ο
ΘΕΜΑ 1Ο Σ – Λ (Ενδοσχολικές Εξετάσεις 2015 Γε.Λ Εξαπλατάνου)
1. Αν μια συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο Δ και παραγωγίσιμη
στο Δ , τότε f΄(x) > 0 για κάθε x στο Δ.
Σ Λ
2. Αν 0)(lim
0

xfxx
, τότε f(x) < 0 κοντά στο xο. Σ Λ
3.
Μια συνεχής συνάρτηση f(x) διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα
διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f(x) χωρίζουν το πεδίο
Σ Λ
4.
Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f(x) και f-1(x)
είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x που διχοτομεί τις γωνίες
xOy , xOy΄.
Σ Λ
5.
Αν μια συνάρτηση f(x) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος
του Rolle σε ένα διάστημα [α,β] , τότε η f(x) είναι γνησίως μονότονη.
Σ Λ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) =ln(x2) .
α ) Bρείτε το Π.Ο και την πρώτη παράγωγο της.
β ) Βρείτε τα σημεία της Cf στα οποία η εφαπτομένη της διέρχεται από την αρχή
των αξόνων.
γ ) Μονοτονία – Ακρότατα και σύνολο τιμών της f(x).
δ ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f(x).
ΘΕΜΑ 3Ο ( Θέμα Πανελληνίων)
Δίνεται η συνάρτηση : h(x) = x – ln(ex+1) .
α ) Εξετάστε την κυρτότητα της.
β ) Να λυθεί η ανίσωση :
1
2


e
e
e ))x(h(h
, x R
γ ) Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της h(x) στο +∞.
δ ) Δίνεται η f(x) = ex ∙(h(x)+ln2) , x R . Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από την Cf τον άξονα xx΄ και την ευθεία x = 1.

[4]
Test 3ο
ΘΕΜΑ 1Ο Σ – Λ (Επαναληπτικές Εξετάσεις 2016)
1.
Αν f(x) = x , για κάθε x≠0 , τότε f΄(x)=
x
1
, για κάθε x≠0. Σ Λ
2.
Aν η f(x) δεν είναι συνεχής στο χ0, τότε η f(x) δεν είναι
παραγωγίσιμη στο χ0.
Σ Λ
3.
Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού ν≥2, η οποία έχει
ασύμπτωτη.
Σ Λ
4.
Αν f(x) συνεχής στο [α,β] και  


0dx)x(f , τότε f(x) >0 για κάθε
x στο [α,β].
Σ Λ
Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει :
xe)x(fe x)x(f
 , x R .
α ) Να δείξετε ότι η f(x) είναι 1-1.
β ) Να λυθεί : f(lnx)= f(1-x2)
γ ) Να δείξετε ότι f(x) = x για κάθε x R .
δ ) Να λυθεί :
2
x
e - ex + x2 – x > 0 .
ΘΕΜΑ 3Ο ( Θέμα Επαναληπτικών Πανελληνίων 2016)
Δίνεται η f(x)= x3.
α ) Να δείξετε ότι είναι 1-1 και να βρεθεί η αντίστροφη.
β ) Να αποδείξετε ότι : f(ημx)> f(x -
6
1
x3) για κάθε x > 0.
γ ) Αν h(x) συνεχής στο R και άρτια συνάρτηση , να υπολογιστεί το
ολοκλήρωμα : 

1
1
dx)x(f)x(h .

[5]
ΘΕΜΑ 4Ο (Προτείνεται από τον συνάδερφο Θ. Ξένο για τις Πανελλήνιες 2017 )
Δίνεται η συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το [-1,1] και για την οποία ισχύουν :
 συνx·(f΄΄(x) - f(x)) = 2ημx·f΄(x) , για κάθε x στο διάστημα [-1,1]
 Η Cf εφάπτεται της ευθείας y = x στο σημείο Α(0, f(0))
α ) Να αποδειχθεί ότι f(x) =
x
x

, x[-1,1]
β ) Αν α,β (0,1] και α < β , να αποδειχθεί ότι

 aa

γ ) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα , Ι = 

1
1
dx)x(f , J = 
4
6


dx
x
)x(f
δ ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την συνάρτηση
h(x) =
x
)x(f

, τον άξονα xx΄ και την ευθεία x =
4

.

[6]
Test 4ο
ΘΕΜΑ 1Ο (Ενδοσχολικές Εξετάσεις 2016 Γε.Λ Εξαπλατάνου)
Έστω η συνεχής συνάρτηση f(x) : R R για την οποία ισχύει :
6
1x
5)2x(f
lim1x




α ) Να δειχθεί ότι f(3) = 5
β ) Να δειχθεί ότι f΄(3) = 6
γ ) Να υπολογιστεί το όριο
)3x(
)x(f2x
lim3x



δ ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ,
h(x) = x·f(x)-3x-7συνx , xR , τέμνει τον χχ΄ τουλάχιστον σε ένα
σημείο.
ε ) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση g :RR , για την οποία
ισχύει g΄(x)<f ΄(3) , για κάθε xR. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g(x)
= x6 , έχει το πολύ μια ρίζα μεγαλύτερη του 1.
Δίνεται η συνάρτηση f(x): R R τέτοια ώστε :
f(f(x)) + 2∙f(x) = 4 - x
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι 1-1.
Μονάδες 10
β ) Αν f(0) = 2 , να βρεθεί το f(2).
Μονάδες 6
γ ) Αν η f(x) είναι συνεχής στο R , να δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα xο (0,2) τέτοιο ώστε να ισχύει f(xο) = xο .
Μονάδες 9

[7]
Test 5ο
Δίνεται η συνάρτηση f(x) με τύπο : f(x) = 4∙ 2x
e + 3.
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. Μονάδες 7
β ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της. Μονάδες 10
γ ) Να ορίσετε την f-1(x). Μονάδες 8
Έστω f(x) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,2015] με f(0)=0 και
f(2015)=2015.
Να αποδειχθεί ότι :
α ) υπάρχει ένα τουλάχιστον x0  (0,2015) τέτοιο ώστε να ισχύει :
f(x0) + x0 = 2015 Μονάδες 9
β ) υπάρχουν τουλάχιστον ξ1 , ξ2  (0,2015) τέτοια ώστε :
f΄(ξ1)·f΄(ξ2) = 1.
Μονάδες 16
ΘΕΜΑ 3Ο (Επαναληπτικά Θέματα ΕΜΕ)
Έστω συνάρτηση f:RR , για την οποία ισχύει η σχέση :
f 3(x)+f(x)=(x2- ημ2x)3 (1) , για κάθε x R.
α ) Να αποδειχθεί ότι : 0 ≤ f(x) ≤ x2 - ημ2x , για κάθε x R.
β ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι συνεχής στο 0.
γ ) Να δειχθεί ότι : 020

 x
)x(f
lim
x

[8]
Test 6ο
Έστω μια συνάρτηση f(x) : R R για την οποία ισχύουν :
 )x(flim
0x 
= λ R
 f(x)ημ2χ χ3συν
x
1
, για κάθε χ R *
α ) Να δειχθεί ότι 0)
x
1
συνx(lim 2
0x


Μονάδες 10
β ) Να αποδειχθεί ότι λ = 0
Μονάδες 15
Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, + )R για την οποία
ισχύουν,
 x3∙ f ΄΄(x) = x
1
e για κάθε x > 0
 f(1) = e
 f΄(1) = 0
α ) Να δειχθεί ότι f(x) = x∙ x
1
e
Μονάδες 8
β ) Να εξετάσετε την f(x) ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών
της. Μονάδες 9
γ ) Να δειχθεί ότι : 2∙f(2015) < f(2014) + f(2016) Μονάδες 8

[9]
Test 7ο
ΘΕΜΑ 1Ο (Διαγώνισμα – Θέμα Επιπέδου Β)
Δίνεται η f(x) = 2· 311  )xln(
B1 ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
B2 ) Να αποδειχθεί ότι είναι 1-1.
B3 ) Να οριστεί η αντίστροφη.
B4 ) Να λυθεί η εξίσωση : f-1(1+x) = 2.
ΘΕΜΑ 2Ο (Διαγώνισμα – Θέμα Επιπέδου Δ )
Έστω μια συνάρτηση f(x) : R R για την οποία ισχύουν :
 είναι 2 φορές παραγωγίσισμη στο R
 f(0)=f΄(0) = 0
 ex·(f΄(x)+f΄΄(x)-1)=f΄(x)+x·f΄΄(x) , για κάθε x R.
Δ1 ) Να δειχθεί ότι : f(x) = ln(ex - x) , x R.
Δ2 ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Δ3 ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση : ln(ex-x) = συνx , έχει ακριβώς μια
λύση στο (0,
2

).
Δ4 ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα : 


1
0
1 dx
xe
)x(f
)e( x
x

[10]
Test 8ο
Δίνεται η συνάρτηση : f(x) =
x
4
,
Β1 ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f(x) στο τυχαίο Μ(xο ,
f(xο))
Β2 ) Να δειχθεί ότι το τρίγωνο το οποίο σχηματίζει η προηγούμενη
εφαπτομένη με τους άξονες έχει σταθερό εμβαδόν.
Β3 ) Αν Α και Β τα σημεία που η εφαπτομένη στο Μ τέμνει τους
άξονες , να δειχθεί ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ.
Έστω η συνάρτηση : f(x) =





11
11
2
x,)x(
x,x
Β1 ) Είναι συνεχής στο 1 ;
Β2 ) Είναι παραγωγίσιμη στο 1 ;
Β3 ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής
παράστασης της f(x) στο (2,1).
ΘΕΜΑ 3Ο (Διαγώνισμα – Θέμα Επιπέδου Β- Πανελλήνιες 2016)
12
2
x
x
Β1 ) Εξετάστε τη μονοτονία της.
Β2 ) Εξετάστε κυρτότητα και σημεία καμπής.
Β3 ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f(x) .
Β4 ) Να γίνει η γραφική της παράσταση.

[11]
Test 9ο
ΘΕΜΑ 1Ο (Διαγώνισμα – Θέμα Επιπέδου Γ – Πανελλήνιες)
Δίνεται η f(x) = αx – ln(x+1) , x > -1 , α > 0 και α≠1.
Γ1 ) Αν ισχύει f(x) ≥ 1 , για κάθε x > 1 , να δειχθεί ότι α = e.
Γ2 ) Για α = e ,
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι κυρτή.
β ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+∞)
και γνησίως φθίνουσα στο (-1,0].
γ ) Αν β , γ ),(),(  001 , να αποδειχθεί ότι η εξίσωση :
0
2
1
1
1






x
)(f
x
)(f 
, έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1,2).
ΘΕΜΑ 2Ο (Διαγώνισμα – Θέμα Επιπέδου Γ – Πανελλήνιες 2012)
Δίνεται η f(x) = (x-1)·lnx - 1 , x > 0.
Γ1 ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο [1,+∞) και
γνησίως φθίνουσα στο (0,1].
Γ2 ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση : xx-1 = e2013 , x > 0 , έχει ακριβώς
δυο θετικές ρίζες.
Γ3 ) Αν x1 , x2 με x1 < x2 είναι οι ρίζες του β) να αποδειχθεί ότι
υπάρχει xο ( x1 , x2) , τέτοιο ώστε να ισχύει :
f ΄(xο) + f(xο) = 2012
Γ4 ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την
συνάρτηση g(x) = f(x) + 1 ,με x > 0 , τον x ΄x και την ευθεία x = e.

[12]
Test 10ο
ΘΕΜΑ 1Ο (Διαγώνισμα – Θέμα Επιπέδου Γ – Πανελλήνιες)





00
0
x,
x,xlnx
,
α ) να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο 0.
β ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο
τιμών της.
γ ) Να βρεθεί το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της
εξίσωσης : x = x
a
e για όλες τις τιμές του πραγματικού α.
δ ) Να αποδειχθεί ότι : f ΄(x+1) > f(x+1) - f(x), για κάθε x >0.
ΘΕΜΑ 2Ο (Διαγώνισμα – Θέμα Επιπέδου Δ – Ζανταρίδης Ν.)
Έστω η f : RR , δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν :
 f(0) = 3 και f΄(0) = 1
 f(x)· f΄΄(x) – (f΄(x))2 = 2ex , για κάθε x R.
α ) Να αποδειχθεί ότι f(x) > 0 για κάθε x R.
β ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι κυρτή στο R.
γ ) Να αποδειχθεί ότι η g(x) = ln(f(x)) είναι κυρτή στο R.
δ ) Να αποδειχθεί ότι f(x) ≥ 3 3
x
e για κάθε x R.
ε ) Αν α , β , γ R με α+β+γ = 0 , να δειχθεί ότι : f(α)·f(β)·f(γ)≥27.

[13]
Test 11ο
ΘΕΜΑ 1Ο (Διαγώνισμα – Θέμα Επιπέδου Β– Ζανταρίδης Ν.)
Έστω η f : RR , δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν :
 f ΄΄(x) > 0 για κάθε x R.
 Για τους α < β < γ ισχύει : f(α) = β , f(β) = α , f(γ) = γ.
α ) Να δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x1 (α,β) τέτοιο ώστε να
ισχύει : f(x1) = x1
β ) Να δειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x2 (α,γ) τέτοιο ώστε να
ισχύει : f΄(x2) = 1.
γ ) Δείξτε ότι υπάρχουν ξ1 , ξ2 (α,β) διαφορετικά μεταξύ τους , τέτοια
ώστε να ισχύει : f΄(ξ1) f΄(ξ2) = 1.
x
xln
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα της και να
δειχθεί ότι :
x
e
xln
2
 για κάθε x > 0.
β ) Να συγκριθούν οι αριθμοί 11
10 , 10
11
γ ) Να βρεθούν οι α , β R αν ισχύει ότι :
e
a
a
ea



4


[14]
Test 12ο





00
02
x,
x,)x(lnx
,
α ) να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο 0.
β ) Να υπολογιστεί η f΄(x).
γ ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την f(x)
τον x ΄x και τις ευθείες x =1 και x = e.
ΘΕΜΑ 2Ο (Διαγώνισμα – Θέμα Επιπέδου Γ– Ζανταρίδης Ν.)
Έστω η f : RR , παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν :
 f(x) ≠ 0 για κάθε x >0.
 2111

)(fe )(f

)x(fx
)x(f
)x(f 2

 για κάθε x > 0.
α ) Να βρεθεί το f(1).
β ) Να δειχθεί ότι f(x) = x .
γ ) Να βρεθεί το όριο για τις διάφορες τιμές του λ R.
))x(f)xx(f(lim
x
22
54 


δ ) Να βρεθούν οι εφαπτομένες της f(x) που διέρχονται από το
(3,2).

[15]
Test 13ο
ΘΕΜΑ 1Ο (2o Διαγώνισμα Προσομοίωσης Πανελληνίων 2017– Θέμα Επιπέδου Β–
Καραγιάννης Γ.)
Δίνεται η f(x) με πεδίο ορισμού [-4 , 0) (0,5] R. Η γραφική της
παράσταση δίνεται παρακάτω :
α ) Να μελετηθεί η
f(x) ως προς τη
συνέχεια.
β ) Να υπολογιστούν
τα όρια )x(flim
x 
 0
, )x(flim
x 
 2
γ ) Ποια είναι τα
κρίσιμα σημεία της
στο (0,5].
δ ) Να βρεθεί η παράγωγος της f(x) στο (-4,-2).
ε ) Δίνεται η συνάρτηση g (x) = x + 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f g .
στ ) Πως με τη βοήθεια της f(x) μπορείτε να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση
της f g ; Αιτιολογήστε.
ΘΕΜΑ 2Ο (2o Διαγώνισμα Προσομοίωσης Πανελληνίων 2017– Θέμα Επιπέδου Γ–
Δίνεται η f(x) = x3 +x + 1.
α ) Να δείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
β ) Να δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των f , f-1 έχουν ακριβώς ένα κοινό
σημείο το (-1,-1).
γ ) Να αποδείξετε ότι : i ) )y(f)x(fyx)y(f)x(f   11
, x,yR
ii ) Η συνάρτηση f-1 είναι συνεχής στο R.
δ ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ(0,1) τέτοιο ώστε να ισχύει :
f-1(ξ)+2ξ = 0

[16]
ΘΕΜΑ 3Ο (2o Διαγώνισμα Προσομοίωσης Πανελληνίων 2017– Θέμα Επιπέδου Δ–

[17]
Test 14ο
ΘΕΜΑ 1Ο ( ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ τ.68 )
Δίνεται η f(x) = x
x
x
e
, χ > 0.
α ) να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β ) να δείξετε ότι : exf
e
 )(
4
2
, για κάθε χ[
2
1
,2]
γ ) να δείξετε ότι : e
x
ee
x
x
2
3
8
3 2
2
1
2
  .
ΘΕΜΑ 2Ο
Έστω f(x) = (x-1000)100 + x100 , χ .
α ) εξετάστε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β ) να δειχθεί ότι : 1000100 > 900100 + 100100
ΘΕΜΑ 3Ο
Έστω f(x) με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο R για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύει,
f(x+1) - f(x) =
2
2
x
για κάθε xR.
α ) να δείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον xο(0,1) τέτοιος ώστε η
εφαπτομένη της Cf στο Μ(xο , f(xο)) να είναι παράλληλη στην ψ =2018.
β ) να δείξετε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον πιθανή θέση σημείου καμπής της f(x).
γ ) να δείξετε ότι )(fdx)x(f)x( 02018
1
0
 .

[18]
Test 15
ΘΕΜΑ 1Ο (Θέμα Επιπέδου Δ–Ο.Ε.Φ.Ε 2005 )
Δίνεται συνάρτηση f(x) παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν :
 ex[f(x) + f ΄(x)]+ημx = - f ΄(x) για κάθε x  R
 f(0)=
2
1
Δ1 ) Να αποδειχθεί ότι ο τύπος της f είναι , f(x) = x
e
x
1

, x  R και ότι ισχύει
f(x) + f(-x)= συνx ,για κάθε x  R.
Δ2 ) Να βρεθεί το όριο )x(flim
x 
Δ3 ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Ι = 

2
2


dx)x(f .
Δ4 ) Να αποδειχθεί ότι , 0 ≤ 
2
0

dx)x(f ≤
4

ΘΕΜΑ 2Ο (Θέμα Επιπέδου Δ–Ο.Ε.Φ.Ε 2009 )
Έστω η συνάρτηση f(x) ορισμένη και παραγωγίσιμη για κάθε x >0 , για την
οποία ισχύουν : f ΄(
x
1
) = x
e
x 1
και f(1) = e-1
Δ1 ) Να δειχθεί ότι , f(x)= x xe
1

Δ2 ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f(x) στο σημείο με τετμημένη x=1.
Δ3 ) Να δειχθεί ότι 
2
1
dx)x(f >
e
2
Δ4 ) Αν g(x) = 3
x
)x(f
, να βρεθεί το εμβαδόν Ε(t) του χωρίου που περικλείεται
απ την γρ. παράσταση της g(x), τον x΄x και τις ευθείες x=1 , x = t , t >1

[19]
Test 16
ΘΕΜΑ ( Προτείνεται από τον συνάδερφο Γ.Μπαρακλιανό για τις Πανελλήνιες 2019)
Δίνονται οι συναρτήσεις f , h : RR για τις οποίες ισχύουν :
 Η f είναι άρτια
 f (x) – x2 ≤ h(x) ≤ f(x) για κάθε x στο R.
 8
240

 x
)x(f
lim
x
 )(f)x(flim
x
0
0


α ) Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια :
ι )
)x(f
x
lim
x
2
0


ιι )
x)x(f
x)x(fx
lim
x 
 
 0
ιιι ) ]
)x(f)x(f
)x(f
)x(f[lim
x 3
3 20 




β ) Αν η f (x) είναι γνησίως αύξουσα στο (-∞,0] , τότε
ι ) Να υπολογιστεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
g(x) = )x(h
)x(f
)x(f

1
ιι ) Να υπολογιστεί το όριο
)x(h
)x(h
lim
x

0
ιιι ) Θεωρώ τον περιορισμό της f (x) στο [0,+∞) R , αν υπάρχει η f-1(x) ,
σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται το γράφημα της ;

[20]
Test 17
ΘΕΜΑ ( Προτείνεται από τον κ. Σύμβουλο Ι.Καραγιάννη – Επανάληψη στα
Μαθηματικά)
Α. ι ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα : 
 
a
a
x
dx
e1
1
, όπου α > 0.
ιι ) Έστω f(x) συνεχής στο [-α , α], α > 0 και άρτια .
Να αποδειχθεί ότι  


a
a
a
dx)x(fdx)x(f
0
2
ιιι ) Για την παραπάνω f, να αποδειχθεί ότι :  



a
a
a
x
dx)x(fdx
e
)x(f
01
.
Β. ι ) Έστω h(x) συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο R , να αποδείξετε ότι η
h(h(x)) είναι γν. αύξουσα στο R.
ιι ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 

2
2


xdx.
ιιι ) Να αποδειχθεί ότι : 


2
2
02


 ))(h(hdx))x(h(hx

[21]
Test 18
ΘΕΜΑ ( Θέμα Επιπέδου Δ – Πανελλήνιες 2016)
Δίνεται συνάρτηση f(x) , δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και η f ΄΄(x) συνεχής
στο R. Για την f(x) ισχύουν :
 

 dxx))x(f)x(f(
0
 f(R ) = R
 1
0

 x
)x(f
lim
x 

x)x(f
e))x(f(fxe  , για κάθε x στο R.
Δ1 ) Να δειχθεί ότι f(π) = π και f ΄(0) = 1
Δ2 ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) δεν έχει ακρότατα στο R.
Δ3 ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γν. αύξουσα στο R.
Δ4 ) Να υπολογιστεί το όριο :
)x(f
xx
lim
x
 

Δ5 ) Να δείξετε ότι :
0 < 

e
dx
x
)x(lnf
1
< π2

[22]
Test 19ο
ΘΕΜΑ 1Ο ( Οδηγός Επανάληψης θέμα 3.11 )
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex -1 + ln(x+1).
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x) , η f ΄(x) και η f ΄΄(x).
β ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η f(x) και να βρεθεί το f(Α).
γ ) Να λυθεί η εξίσωση : ex + ln(x+1) = 1.
δ ) Να αποδειχθεί ότι : e –x(1- ln(x+1)) > 1 , για κάθε -1 < x < 0.
στ ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f(x) στο Α(0, f(0)) και να
αποδειχθεί ότι : 1 + e –x ln(x+1) > (2x+1)e –x , x > 0.
ζ ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ την f(x) την
εφαπτομένη της στο Α και την ευθεία x = 1.





0,13
0,3
23
2
xxx
xax
α ) Να αποδειχθεί ότι α = 1. β ) Να βρεθούν οι f ΄(x) , f ΄΄(x).
γ ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα,
δ ) Να βρεθεί η εφαπτομένη της f(x) στο Μ(0, f(0)).
στ ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f(x).
ζ ) Να υπολογιστεί το Ι = 
1
0
)( dxxf

[23]
Test 20ο
ΘΕΜΑ ( Οδηγός Επανάληψης θέμα 1.39 )
Δίνεται η f(x) = x3 - 3x+α , α R
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία.
β ) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα ως συνάρτηση του α.
γ ) Αν -2 < α < 2 , να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f(x) τέμνει τον
xx΄ ακριβώς σε ένα σημείο Μ(xο,0) με xο στο διάστημα (-1,1).
δ ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης x(x2-3) = - α για τις διάφορες
τιμές του πραγματικού α.
ε ) Για α = -2 , να γίνει η γραφική παράσταση της f(x).
στ ) Στην περίπτωση που α = 2 , να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται απ την f(x) και τον xx΄.
Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) =2xlnx-x2+1 , g(x) = lnx+1-x.
α ) Να μελετηθεί η g(x) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β ) Να αποδειχθεί ότι f ΄(x) ≤ 0 για κάθε x > 0.
γ ) Να αποδειχθεί ότι f(x) > 0 για κάθε x στο διάστημα (0,1).
δ ) Να λυθεί η εξίσωση : 2ln(x) =
x
x 12

, x > 0.
ε ) Να αποδειχθεί ότι 1,
2
1
1
ln
2


x
x
xx
.
στ ) Να αποδειχθεί ότι 2g(
2
a
)> g(α) +g(β) , για κάθε 0<α<β.
ζ ) Να αποδειχθεί ότι f(ex) ≤ f(xe) για κάθε x > 0.

[24]
Test 21ο





1,34
1,12
2
2
xxx
xxx
.
α ) Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια και να βρεθεί η f ΄(x).
β ) Να βρεθούν τα κρίσιμα σημεία της f(x) στο [0,2].
γ ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
δ ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα Ι = 
2
0
)( dxxf
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 12
x .
α ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f(x).
β ) Να βρεθούν οι f ΄(x) , f ΄΄(x) .
γ ) Να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f(x) καθώς και τη γραφική της
παράσταση.
δ ) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα 
1
0
)(
dx
xf
x
, 
1
0
)( dxxxf
ε ) Να βρεθεί το όριο ))12()1()((lim 

xfxfxf
x

[25]
Σωστά – Λάθος Πανελληνίων Εξετάσεων 2015-2018
1. Αν 0)x(flim
0xx

, και f(x) > 0 κοντά στο xο, τότε 
 )x(f
lim
xx
1
0
Σ Λ
2.
Σ Λ
3. Για κάθε x R ισχύει (συνx)΄ = ημx. Σ Λ
4.
Έστω f(x) συνεχής στο [α, β]. Αν ισχύει ότι f(x) ≥ 0 για κάθε x στο [α,β]
και η συνάρτηση f(x) δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε
 

a
dx)x(f 0.
Σ Λ
5.
Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο xο και ισχύει f(x) ≤ g(x) κοντά
xx 0
≤ )x(glim
xx 0
. Σ Λ
6.
Σ Λ
7. Αν )x(flim
xx 0
= - ∞ , τότε f(x) > 0 κοντά στο xο. Σ Λ
8.
Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση στο [α, β] και G μια παράγουσα της
f στο [α, β] , τότε πάντοτε ισχύει :  


a
)(G)a(Gdx)x(f .
Σ Λ
9.
Για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο [α, β] αν G είναι μια παράγουσα της
f στο [α, β] , τότε :  


a
)(G)a(Gdx)x(f .
Σ Λ
10.
Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν όριο στο xο και ισχύει f(x) ≤ g(x) κοντά
xx 0
≤ )x(glim
xx 0
. Σ Λ
11.
Μια συνάρτηση f(x) είναι 1-1 , αν και μόνο αν , για κάθε y του συνόλου
τιμών της , η εξίσωση y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.
Σ Λ

[26]
12.
Αν η f(x) είναι συνεχής στο [α,β] , τότε η f παίρνει μια μέγιστη Μ και μια
ελάχιστη μ τιμή.
Σ Λ
13.
Κάθε συνάρτηση f , για την οποία ισχύει f ΄(x) = 0 για κάθε
x ),x()x,a( oo  , είναι σταθερή στο ),x()x,a( oo  .
Σ Λ
2016 -ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ
14. Αν f(x) = ln x , για κάθε x ≠ 0 , τότε f ΄(x) =
x
1
, για κάθε x≠0. Σ Λ
15.
Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο xο , τότε η f(x) δεν είναι
παραγωγίσιμη στο xο.
Σ Λ
16. 1
1
0


 x
x
lim
x

Σ Λ
17.
Σ Λ
18.
Για μια συνεχή f(x) στο [α, β] ισχύει : Αν  

a
dx)x(f 0 , τότε f(x) > 0
στο [α,β].
Σ Λ
19.
Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f: RR , g: RR , αν )x(flim
xx 0
=0 και
)x(glim
xx 0
= +∞ , τότε 0
0


)]x(g)x(f[lim
xx
.
Σ Λ
20.
Αν f , g είναι δυο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα , τότε η
fg  ορίζεται αν  B)A(f .
Σ Λ
21.
Για κάθε συνάρτηση f: RR που είναι παραγωγίσιμη και δεν
παρουσίαζει ακρότατα , ισχύει f ΄(x) ≠ 0 για κάθε x στο R.
Σ Λ
22. Αν 0 < α < 1 , τότε 

x
x
alim . Σ Λ
23.
Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής
συνάρτησης f είναι διάστημα.
Σ Λ

[27]
24.
Μια συνάρτηση f λέγεται γν. αύξουσα στο Δ του πεδίου ορισμού της ,
αν υπάρχουν x1 , x2 Δ με x1 < x2 , ώστε f(x1) < f(x2).
Σ Λ
25.
Για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο [α, β] αν G είναι μια παράγουσα της
f στο [α, β] , τότε :  


a
)(G)a(Gdx)x(f .
Σ Λ
26.
Αν ένα σημείο Μ (α,β) ανήκει στη γρ. παράσταση μιας αντιστρέψιμης
συνάρτησης f , τότε το σημείο Μ΄(β,α) ανήκει στη γρ. παράσταση της f-1
Σ Λ
27.
Για μια συνεχή f(x) στο [α, β] αν ισχύει  

a
dx)x(f 0 , τότε f(x) = 0
για κάθε x στο [α,β].
Σ Λ
28.
Για κάθε συνεχή συνάρτηση f : [α,β] R , η οποία είναι παραγωγίσιμη
στο (α,β) , αν f(α) = f(β) , τότε υπάρχει ακριβώς ένα ξ (α,β) τέτοιο
ώστε f ΄(ξ) = 0.
Σ Λ
2018 Ημερήσια
29. Η συνάρτηση f(x) =ημx , x  R έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου. Σ Λ
30.
Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x) σε ένα διάστημα Δ , η
οποία είναι γν. αύξουσα , ισχύει ότι f ΄(x) > 0 για κάθε x Δ.
Σ Λ
31. Ισχύει , 0
1
0


 x
x
lim
x

Σ Λ
32.
Αν η f(x) είναι αντιστρέψιμη , τότε οι γρ. παραστάσεις των f(x) , f-1 (x)
αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την y = x.
Σ Λ
33.
Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη
γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x).
Σ Λ
34.
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: RR μπορεί να τέμνει
την ασύμπτωτη της.
Σ Λ
35.
Αν μια συνάρτηση f: RR είναι «1-1» τότε κάθε οριζόντια ευθεία
τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο.
Σ Λ
36.
Αν οι συναρτήσεις f(x) , g(x) έχουν πεδίο ορισμού το [0,1] και
σύνολο τιμών το [2,3] , τότε ορίζεται η σύνθεση της g(x) με την
f(x) με πεδίο ορισμού το [0,1] και σύνολο τιμών το [2,3].
Σ Λ

[28]
37.
Η γραφική παράσταση της | 𝑓| αποτελείται από τα τμήματα της
γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται πάνω απ τον άξονα xx΄ και
από τα συμμετρικά, ως προς τον xx΄ των τμημάτων της γραφικής
παράστασης της f που βρίσκονται κάτω από αυτόν τον άξονα.
Σ Λ
38. Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης f μπορεί να είναι μικρότερο από
ένα τοπικό ελάχιστο της f.
Σ Λ
39.
Μια πολυωνυμική συνάρτηση f : RR , διατηρεί πρόσημο σε κάθε ένα
απ τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το
πεδίο ορισμού της.
Σ Λ
Το Νέο Ερώτημα Θεωρίας απ΄ το 2017
[ Πανελλήνιες 2019 Ερώτημα Α4 ]

[29]
[ Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2018 Ερώτημα Α4 ]
[ Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2018 Ερώτημα Α3 ]

[30]
ΠΗΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
1. Πανελλαδικές Εξετάσεις Ημερησίων Λυκείων .
2. Ενδοσχολικές Εξετάσεις Γε.Λ Εξαπλατάνου , σχολικά έτη 14-15 , 15-16.
3. Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου, Επαναληπτικά Θέματα στα Πρότυπα του Σχολικού
Βιβλίου, Ν.Ζανταρίδης-Π.Παντούλας-Β.Μαυροφρύδης-Κ.Τηλέγραφος,
Εκδόσεις Ζανταρίδης Τηλέφραφος, Μάρτιος 2017.
4. Επανάληψη στα Μαθηματικά , Γιάννης Καραγιάννης Σχολικός Σύμβουλος
Μαθηματικών, Μάρτιος 2017.
5. 2ο Διαγώνισμα Προσομοίωσης Πανελληνίων 2017 , Γιάννης Καραγιάννης
Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών, Μάϊος 2017.
6. www.study4exams.gr/ Προσπελάστηκε 06.04.17
7. Επιλεγμένα Θέματα ΕΜΕ.
8. Επιλεγμένες Ασκήσεις Προετοιμασίας, Άσκηση Εβδομάδας, Γε.Λ Γιαννιτσών ,
σχολικό έτος 15-16 , http://eisatopon.blogspot.gr/.
9. Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου , Η Θεωρία των Εξετάσεων – Θέμα Α ,
Ν. Ζανταρίδης – Κ.Τηλέγραφος – Π.Παντούλας – Κ.Αθανασιάδης , Εκδόσεις
Ζανταρίδης-Τηλέγραφος , 2018.
10. Ευκλείδης Β΄, περιοδικό Ε.Μ.Ε , τεύχος 68.
11. Επαναληπτικά Κριτήρια Αξιολόγησης στα Μαθηματικά Θετικής &
Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Κώστας Γκατζούλης-Νίκος Ζανταρίδης ,
Εκδόσεις Γκατζούλη

[31]
12. Θέμα Δ , Ο.Ε.Φ.Ε , 2005, 2009.
13. Οδηγός Επανάληψης, Μαθηματικά Γ΄ , Μπάμπης Στεργίου-Χρήστος Νάκης,
Μαθηματική Λέσχη, Ιανουάριος 2018.

Σχ. Έτη 17 – 18, 18 - 19
Γ΄ Λυκείου
Μαθηματικά
Ομάδων Προσανατολισμού
F> Επιλεγμένες και Επώνυμες
Ασκήσεις
Επιμέλεια H Κοσόγλου Ιορδάνη Msc μαθηματικού

Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x1]
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να εξεταστούν ως τις τη μονοτονία οι κάτωθι συναρτήσεις H
α ) x@;@x+A : x³ ? β ) @xA +? γ )
3
x4 -
δ ) A+@ x1
e -
ε )
2x
x3
+
στ ) x + lnx
ζ )
1e
1e
x
x
+
-
2. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
f A(x) + f(x) + x
2
1
= > (?) για κάθε x oÎ <
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι «?;?»<
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f ;?(x)<
γ ) Να λυθεί η εξίσωση f ;?(xA ; x) = f ;?(A ; Ax)<
3. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) =
ae
e
x
x
+
και g (x) = ln(x+β) : όπου
α: β oÎ < Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον y΄y στο
2
1
- και η γραφική
παράσταση της g τέμνει τον x΄x στο @<
α ) Να βρεθούν οι αριθμοί α και β<
β ) Να ορίσετε την συνάρτηση f go <
γ ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f go με τη
γραφική παράσταση της h(x) =
4
x-
<
4. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει
@f(; x) + f(x) = αe;x + ex t x : για κάθε x oÎ και α oÎ < Αν η γραφική
παράσταση της f(x) τέμνει τον άξονα y΄y στο ? <
α ) Να βρεθεί ο αριθμός α<
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)<
γ ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία<
δ ) Να λυθεί η ανίσωση H 03222122
>-++- --
xxee xx
5. Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το R για την
οποία ισχύει f(ex+@) + f(x+A) = x : για κάθε x oÎ <

x2]
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι αντιστρέψιμη<
β ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της f(x) με τον x΄x<
γ ) Να λυθεί η ανίσωση H f(D ; f ;?(x@;B)) > ><
6. Δίνεται η συνάρτηση g (x) = ex + x t ?<
α ) Να μελετηθεί η g (x) ως προς τη μονοτονία<
β ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της g (x) με τον x΄x<
γ ) Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει H
( fg o )(x) = x ; ? : να αποδείξετε ότι η f(x) είναι προς ?;?<
δ ) Να βρείτε το f(?)<
7. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f H (>: +∞)à R καθώς και η
συνάρτηση g (x) = f(x) t lnx<
α ) Να αποδείξετε ότι η g (x) είναι γνησίως φθίνουσα<
β ) Να λύσετε την ανίσωση H f(ex) ; f(e@) < x t @<
8. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xA + α x + @ : α oÎ < Η γραφική παράσταση της
f o f τέμνει τον y΄y στο ?B<
α ) Να βρεθεί ο α<
β ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι αντιστρέψιμη<
γ ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων f(x) και f ;?(x)<
δ ) Να λύσετε την ανίσωση f( f( x ;@) ; C ) < f ;?(?B)<
9. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ex;? : α oÎ <
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι αντιστρέψιμη<
β ) Αν ισχύει f ;?(B) = ? : τότε να βρεθεί ο α <
γ ) Δίνεται η συνάρτηση g(x) = @ ex;A + x t @ : να αποδείξετε ότι η g (x) είναι
?;?<
δ ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων g (x) και g;? (x)<
10. Δίνεται η συνάρτηση f(x) H RàR για την οποία ισχύει
f A(x) + @ f(x) = ?@ex : x oÎ (?)<
α ) Να αποδειχθεί ότι f(x) > > για κάθε x oÎ <
β ) Να βρείτε τα σημεία τομής της f(x) με τον y΄y<
γ ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι ?;?<
δ ) Να λυθεί η εξίσωση H f( x ;A)= 2
22 1
e
lne ln
+ <

x3]
11. Δίνεται η f(x) H RàR για την οποία ισχύει H f(f(x);@) = x (?)
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι ?;?<
β ) Να αποδείξετε ότι f ;?(x) = f(x;@) : x oÎ <
γ ) Να λυθεί η εξίσωση H f(@ex ;?) = f ;?(A)<
12. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex + e;x : g (x) = Aσυνx;?<
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) έχει ελάχιστο το @<
β ) Να βρεθούν τα ακρότατα της g (x)<
γ ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f(x) : g (x) <
13. Δίνεται η συνάρτηση f H (>: +∞)à R : για την οποία ισχύουν
f(?) + f(e) = @e+A και f(x) ; f(y) = ln
y
x
+@(x;y) : x : yÎ (>: +∞)<
α ) Να βρεθούν τα f(?) και f(e)<
γ ) Να αποδείξετε ότι η f(x)είναι αντιστρέψιμη<
δ ) Να λύσετε την ανίσωση H B(x@ ; ?) <
83
10
2
2
+
+
x
x
ln <
14. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει H
f A(x) + Af(x) + x = > (?) : x oÎ <
α ) Να βρεθεί το f(>)
β ) Να αποδείξετε ότι η f(x)αντιστρέφεται και να βρεθεί η f ;?(x)<
γ ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα<
δ ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x)είναι
κάτω από τον x΄x
ε ) Να λυθεί η ανίσωση H f( f( x +?) t ?A ) < @<
15. Δίνεται η συνάρτηση f(x) για την οποία ισχύει H
f(f(x)) + x = @>>B : χ RÎ (?)
Να δείξετε ότι H
α ) η f(x) είναι ?;?:
β ) f ;?(x) = ; f(x) + @>>B:
γ ) η f(x) δεν είναι γνησίως μονότονη:
δ ) f(>) + f(@>>B) = @>>B<

x4]
16. Δίνεται η συνάρτηση f H Rà R για την οποία ισχύει H
f(α+β) = f(α) + f(β) : για κάθε α,β RÎ
α ) Να δείξετε ότι f(>) = >
β ) Να δείξετε ότι f(;x) = ; f(x)
γ ) Αν η f(x) = > έχει μοναδική ρίζα : να δείξετε ότι η f(x) αντιστρέφεται<
δ ) Να δειχθεί ότι H f;?(x+ψ) = f;?(x) + f;?(ψ) : x : ψ oÎ <
17. Έστω η f(x) η οποία για κάθε χ RÎ : ικανοποιεί τη σχέση H
fA(x) + Cf(x) + x = > (?)
α ) Αποδείξτε ότι η f(x) αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφη της<
β ) Βρείτε τα κοινά σημεία των Cf : Cf
;?<
18. Έστω f(x) για την οποία ισχύει H f(f(x)) = x A : για κάθε χ RÎ < (?)
α ) Αποδείξτε ότι η f(x) αντιστρέφεται<
β ) Να δειχθεί ότι H f(xA) = (f(x))A ΥΠΟΔΕΙΞΗ β ) βάλε όπου χ το f(x) στην (?)
γ ) Λύστε την εξίσωση H f(x) = x<
δ ) Αποδείξτε ότι H [f(;?)]A+ [f(?)]A = f(>)<
ε ) Αν f(F) = DB : υπολογίστε το f(@)<
19. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x
x
x
-
3
2
: g (x) =
x
x3
<
α ) Εξετάστε αν είναι ίσες οι f(x) : g (x)<
β ) Σχεδιάστε τη συνάρτηση h(x) =
î
í
ì
>
£-
0
0
x),x(f
x,x
και την ευθεία
y = ;x+@ στο ίδιο καρτεσιανό σύστημα και κατόπιν να λυθούν :
ι ) η εξίσωση h(x) + x t @ = >
ιι ) η ανίσωση h(x) + x t @ ≤ >
γ ) Η γραφική παράσταση της h(x) και η ευθεία y = ? σχηματίζουν
τρίγωνο: να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν Ε του μικτόγραμμου τριγώνου
είναι Ε < ? τ< μ
Δημοσιεύτηκε στο fb την @B<>D<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό

xR]
20. Δίνεται f(?;ex) = x : x ≥ ><
α ) Να υπολογιστεί ο τύπος και το πεδίο ορισμού της f(x)<
β ) Να αποδειχθεί ότι H f(?;π@) > f(@;π@) και ότι η f(x) έχει ελάχιστη τιμή
το ><
γ ) Δίνεται η ω(x) =
ï
î
ï
í
ì
Î
Î
Ax),x(g
Bx,
x
x3
: όπου g (x) = f(x) +f(;x) και Α,Β τα
ευρύτερα δυνατά σύνολα στο R<
ι ) Να βρεθούν τα Α και Β<
ιι ) Να δειχθεί ότι ω(;x) = ;ω(x) για κάθε x στο R<
ιιι ) Να δειχθεί ότι η καμπύλη της t(x) = x@+αx : α < > : τέμνει την
γραφική παράσταση της ω(x) σε ένα μόνο σημείο<
Δημοσιεύτηκε στο fb την A><>D<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
21. Δίνεται ότι f(@x+?) = @x;A : x oÎ <
α ) Να δειχθεί ότι f(x) = x;B : x oÎ <
β ) Αν Αf = [;?:@] : να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω
συναρτήσεων H g(x)=f(@x;?) : h(x) = f(ln(x+?)) :φ(x)=f(e;x)
γ ) Αν f(t(x)) = lnx t ? : x > > : να βρεθεί η συνάρτηση )x(t
δ ) ι ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της w(x) = lnf(x); ))x(f(f-
ιι ) Να δειχθεί ότι w(x) ≤ lnB : για κάθε x wAÎ <
Δημοσιεύτηκε στο fb την >?<>E<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
22. Δίνεται η f(x) =
x1x
1
++
: x ³ ><
α ) Nα δείξετε ότι: f(x) = x1x -+
β ) να αποδείξετε ότι f(x) > > για κάθε x ³ >
γ ) να αποδείξετε ότι η f(x) αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη
της<
δ ) Nα δειχθεί ότι για κάθε x ³ > ισχύει H f(x) £ ?
ε ) Να δειχθεί ότι η μέγιστη τιμή τις f(x) είναι το ?<
στ ) Nα λύσετε την εξίσωση H
( x1x -+ )( 1)8xx7xx 33
=-++-+ [ Ευκλείδης τεύχος CF ]

x6]
23. Δίνεται η f(x) = x+ 1x2
+ < Να αποδείξετε ότι H
α ) f(x) > > για κάθε x RÎ
β ) η f(x) αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της<[ Ευκλείδης τεύχος CF ]
24. Δίνεται η f(ex) = lnx t ? : x > ?<
α ) Να βρεθεί η f(x)<
β ) Να δειχθεί ότι f( x ) < f(x+?) για κάθε x >?
γ ) Να δειχθεί ότι f;?(x) =
1+x
e
e : x oÎ <
δ ) Να υπολογιστούν τα όρια H
ι ) 2
1 1)x(
)x(f
lim
x -+
>-
ιι ) 2
1
1 1)x(
)x(f
lim
x +
-
->-
ε ) Αν g(x) = f(ex) και το Ο(>:>) και Α(e:g(e)) και Γ(x: g(x)) με x > e : να
δειχθεί ότι η γωνία ΟΑΓ είναι μεγαλύτερη των G>><
Δημοσιεύτηκε στο fb την ?E<>F<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
25. Έστω f H (>:+∞) και για κάθε x > > ισχύει H x)x(fe )x(f
=× (?)
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γν.αύξουσα<
β ) Να υπολογιστεί το f(Α)<
γ ) Να λυθεί η f;?(ex) < lnB
δ ) Να βρεθεί το Π.Ο της g(x) = f(e+@συνx+?) και να λυθεί η g(x) = ?<
Δημοσιεύτηκε στο fb την ?F<>F<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
x·f(x)≤ x@+Ax : x oÎ :
και το όριο )x(flim
x 0>-
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός<
α ) Να αποδειχθεί ότι )x(flim
x 0>-
= A<
β ) Να βρεθεί το όριο
21
4132
0 -+
-+--
>- )x(f
)x(f)x(f)x(f
lim
x
<
20
24
3
0
=
-+
+
>- x
x)x(f
lim
x
hm
Να βρεθούν : αν υπάρχουν : τα όρια H

x7]
α ) )x(flim
x 0>-
β )
x
)x(f
lim
x 0>-
γ )
x
)x(f
lim
x hm0>-
δ ) 3
0
2
x
)x(f)x(f
lim
x
-
>-
1
5
24 2
2
=
-
--
>- x
)xx)(x(f
lim
x
Να βρεθούν : αν υπάρχουν : τα όρια H
α ) )x(flim
x 2>-
β ) )x(f)x(f)x(fxlim
x
2784 2
2
-+-
>-
]<
242
-+£- xx)x(f : για κάθε x oÎ <
Να βρεθούν τα όρια H
α ) )x(flim
x 0>-
β )
x
)x(f
lim
x 0>-
γ )
x
))x(f(
lim
x
hm
0>-
<
30. Έστω f(x) =
1
1
2
232
++
++-
xx
xx)(
l
ll
: λ oÎ <
α ) Να βρεθεί το )x(flim
x -¥>-
για κάθε λ oÎ <
β ) Αν λ = > : να υπολογιστούν H
ι ) )x(flim
x 1->-
ιι ) xx
xx
x e
)e)(x(f
lim
23
2
0 +-
+
>-
ιιι ) xx
xx
x e
)e)(x(f
lim
2
2
+
-
+¥>-
γ ) Αν λ = ? : να δειχθεί ότι H

x8]
ι ) 02018
=×
+¥>-
)x)
x
)x(f
((lim
x
hm
ιι ) f(x) > ? για κάθε x στο (;@:>)
ιιι ) 3
43
43
2018
1
=
+
-
+
+
-¥>-
xx
xx
x
))(x(f
lim
δ ) Το όριο της περιμέτρου ορθ< Παραλληλογράμμου με μήκη ? μον και
f(x) μονάδες όταν xà+∞ είναι B μον< Τι μπορούμε να ισχυριστούμε για
το ορθογώνιο όταν xà+∞<
Δημοσιεύτηκε στο fb την @><>F<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
31. Έστω f(x) μη σταθερή συνάρτηση απ το R στο R και για κάθε x : y oÎ
ισχύει H f(x+y) = Af(x)f(y)<
α ) Να δειχθεί ότι f(>) =
3
1
<
β ) Να δειχθεί ότι f(x) > > για κάθε x oÎ <
γ ) Επίσης : f(;x) =
)x(f9
1
<
δ ) Αν 0=
+¥>-
)x(flim
x
: τότε δείξτε ότι +¥=
-¥>-
)x(flim
x
<
Δημοσιεύτηκε στο fb τον Αύγουστο του ?F απ τον συνάδερφο Γ< Βεντούρη
32. Έστω f(x) = e;x t x και f(R) = R <
α ) Να δειχθεί ότι υπάρχει η f;?(x) και να συγκριθούν οι αριθμοί f;?(@>?F) :
f;?(@>?G)<
β ) Να λυθούν οι εξισώσεις
ι ) =- 2
x
e x@ + ? ιι ) f;?(x) = >
γ ) Να λυθούν οι ανισώσεις H
ι )
2
2
2 212
e
e
xxe xx -
++³--
ιι ) tlnx + 5
1 1
51
e
)(fe xln
+-³+ --
δ ) Να υπολογιστούν τα όρια H

x9]
ι ) ))x(f
x
(lim
x
-
+¥>-
hm2
1
ιι ) ]x)x(fxlim
x
2
+
+¥>-
ιιι ) )e)x(f(ln )x(f
x
lim +
-¥>-
Δημοσιεύτηκε στο fb την @C<>F<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
33. Έστω f H RàR με f(@x) = xx
xx
-
-
+
-
44
44
: x oÎ <
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) =
14
14
+
-
x
x
<
β ) Να βρεθούν τα όρια )x(flim
x +¥>-
και )x(flim
x -¥>-
<
γ ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της<
δ ) Να βρεθεί το f(Α)<
ε ) Να υπολογιστεί η f ;?(x)<
στ ) Να βρεθούν τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού της f ;?(x)<
Δημοσιεύτηκε στο fb την ?A<?><?F απ τον συνάδερφο Θ< Ξένο
34. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει H
f (
p
p
hmp 4232 -
=+- x
)x(f)e x
: για κάθε x oÎ
α ) Να αποδειχθεί ότι H f(?) + f(;?) = ;?
β ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο διάστημα [>:π] : τέτοιο
ώστε να ισχύει H
f(συνξ) = ;συν
2
x
35. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H Rà(;∞ : ?) με f(>) = f(?) =
2
1
και η συνεχής συνάρτηση g (x) H Rà (
2
1
: +∞) : με g (@) =A και g (A) = ?<
Να αποδείξετε ότι H
α ) υπάρχει x? στο διάστημα (>:?) ώστε να ισχύει H f(x?) = @x?<
β ) υπάρχει x@ στο διάστημα (@:A) ώστε να ισχύει H g (x@) = x@
γ ) υπάρχει ξ oÎ : ώστε H f(ξ)g(ξ) = ξ<

x10]
36. Δίνεται η συνάρτηση H f(x) = xlnxx ---1
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία<
β ) Να βρεθεί το f(Α)<
γ ) Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f(x) τέμνει τον άξονα x΄x
ακριβώς σε ένα σημείο<
37. Δίνεται η συνάρτηση H f(x) = xlnex x
-+-- -
1
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία<
β ) Να βρεθεί το f(Α)<
γ ) Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f(x) τέμνει τον άξονα x΄x
ακριβώς σε ένα σημείο<
38. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
f @(x) ; D f(x) = x@ : για κάθε x oÎ και
επιπλέον η γραφική παράσταση της f(x) τέμνει τον y΄y στο σημείο με
τεταγμένη B<
α ) Να αποδειχθεί ότι f(x) ≠ > : για κάθε x oÎ <
γ ) Να υπολογιστούν τα όρια H
)x(f
x
lim
x
hm
+¥>-
: )x)x(f(lim
x
+
-¥>-
<
39. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει f(@) = A
και f(x)·f(f(x)) = @B : για κάθε x oÎ <
α ) Να βρεθεί η τιμή f(A)<
β ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ oÎ τέτοιο ώστε f(ξ) = D<
γ ) Να βρεθεί η τιμή f(D)<
7
0
=
+
>- x
x)x(f
lim
x
hm
α ) Να βρεθεί το όριο )x(flim
x 0>-
<
β ) Ομοίως το όριο
x
)x(f
lim
x 30hm>-
<

x11]
ημ@x ≤ f(x) ≤ x@ : για κάθε x oÎ <
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι συνεχής στο ><
β ) Να βρεθεί το όριο
x
)(f)x(f
lim
x
0
0
-
>-
<
8
110
=
-+
-
>- x
x)x(f
lim
x
Να βρεθούν τα παρακάτω όρια H
α ) )x(flim
x 0>-
β ) )
x
)x(f(lim
x
1
0
hm
>-
γ )
x
)x(f
lim
x 50hm>-
43. Δίνεται η συνάρτηση f H με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το R :
επίσης για την f(x) ισχύει H
f A(x) +Af(x) ; @x = C : για κάθε x oÎ <
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι ?;?<
β ) Να οριστεί η αντίστροφη της<
γ ) Να βρεθεί το όριο
x
x)x(f
lim
x hm
hm 552 1
0
++-
>-
44. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
x·f(x)+ημAx = Bx ; Cx@ημ )
x
(
1
: για κάθε x oÎ <
α ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)<
β ) Να υπολογιστούν τα όρια H )x(flim
x -¥>-
και )x(flim
x +¥>-
γ ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = > έχει μια τουλάχιστον αρνητική
και μια τουλάχιστον θετική ρίζα<

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020

Similar to ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020 (20)

More from General Lyceum "Menelaos Lountemis"

More from General Lyceum "Menelaos Lountemis" (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ , ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ 2019-2020