1. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
2ο
Υυλλάδιο
1ο
ΘΕΜΑ
Δίνεται συνάρτηση f(x) = x3
.
Α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf στο A(2, f(2))
Β. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εφαπτόμενη έχει με την Cf και άλλο κοινό σημείο Β, εκτός
του Α και να το βρείτε.
Γ. Να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτόμενης της Cf στο Β είναι τετραπλάσια από τη κλίση της
εφαπτόμενης της Cf στο Α.
ΛΤ΢Η
Α. Είναι: f(2) = 8,
3 2
f (x) (x ) 3x   άρα f (2) 12 
οπότε y x 8 12 2 16         
άρα ( ): y 12x 16  
Β. Είναι:     3
f(x) y x 12x 16
    3
x 12x 16 0

      
x 2
2
(x 2) (x 4) 0 x 4
Άρα:    B 4, f( 4) B 4, 64    
Γ. Είναι:
f (2) 12
f ( 4) 4f (2)
f ( 4) 48
  
   
   
άρα η κλίση της εφαπτόμενης της Cf στο Β είναι
τετραπλάσια από τη κλίση της εφαπτόμενης της Cf στο Α.
2ο
ΘΕΜΑ
Έστω g συνάρτηση παραγωγίσιμη και g(2) = 5 καθώς και g΄(2) = 3.
Αν f(x) = x2
∙g(x) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf στο Α(2, f(2))
ΛΤ΢Η
Είναι: f(2) = 2
2 g(2) 4 5 20    ,
2 2
f (x) (x g(x)) 2x g(x) x g (x)        άρα
            2
f (2) 2 2 g(2) 2 g (2) 4 5 4 3 20 12 32
οπότε 20 32 2 44      άρα ( ): y 32x 44  

2. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
3ο
ΘΕΜΑ
Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο g(x) =   )x(fxf  , x є (0, +∞), με f παραγωγίσιμη και
f(x) є (0, +∞) με f(2) = 4, f ΄(2) = 4, f(4) = 4, f ΄(4) = 4.
Α. Να βρείτε τη g΄(x).
Β. Αν η εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(1,
f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία ε: y = 1, να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη της γραφικής
παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο Β(1, g(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.
Γ. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης
g στο σημείο Γ(4, g(4))
ΛΤ΢Η
Α. Είναι:       
 f x1 f (x)
g (x) f x f(x) f x x f (x)
2 f(x) 2 x 2 f(x)
           
 
Β. Επειδή η εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο
Α(1, f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία ε: y = 1 άρα ισχύει: f (1) 0 
Άρα :
 f 1 f (1) f (1) f (1) 0 0
g (1) 0
2 1 2 f(1) 2 1 2 f(1) 2 1 2 f(1)
   
        άρα η εφαπτόμενη της
γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο Β(1, g(1)) είναι παράλληλη στον άξονα
x΄x.
Γ. Είναι: g(4) =    f 4 f(4) f 2 f(4) 4 4 4 2 6        ,
 f 4 f (4) f (2) f (4) 4 4
g (4) 1 1 2
4 42 4 2 f(4) 2 f(4) 2 4
   
          άρα
οπότε y x 6 2 4 2          άρα ( ): y 2x 2  

3. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
4ο
ΘΕΜΑ
Εταιρεία κατασκευής Ηλεκτρονικών υπολογιστών χρησιμοποιεί, ως μοντέλο πώλησης των
προϊόντων της, συναρτήσει του χρόνου τη σχέση:
4t
t80
)t(K 2

 , όπου t ο χρόνος κυκλοφορίας
του προϊόντος σε μήνες και K(t) το πλήθος των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών που πουλά στον
αντίστοιχο χρόνο σε χιλιάδες τεμάχια.
Α. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής των πωλήσεων της εταιρείας μετά την πάροδο ενός μήνα από
την κυκλοφορία κάποιου προϊόντος της στην αγορά.
Β. Να βρεθεί πότε οι πωλήσεις κάποιου προϊόντος της εταιρείας μεγιστοποιούνται.
Γ. Να βρεθεί η μέγιστη ποσότητα σε χιλιάδες τεμάχια που πουλά η εταιρεία.
ΛΤ΢Η
Α. Είναι:
     
 
2 2
22
80t t 4 80t t 4
K (t)
t 4
   
  

   
 
2
22
80 t 4 80t 2t
t 4
 
 

 
2 2
22
80t 320 160t
t 4
 
 

 
2
22
80t 320
t 4
 


Άρα
240
K (1) 9,6
25
   άρα η εταιρεία πουλά 9.600 Η/Υ το μήνα.
Β. Είναι:
 
 
    

2
22
80t 320
K (t) 0 0
t 4
    2
80t 320 0
  2
t 4
 t 2μήνες
   K (t) 0 t (0, 2) άρα η K(t) είναι γνησίως αύξουσα στο  0, 2
     K (t) 0 t (2, ) άρα η K(t) είναι γνησίως φθίνουσα στο  2,  

4. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
Άρα, η Κ(t) παρουσιάζει ολικό μέγιστο μετά την πάροδο 2 μηνών.
Γ. Είναι 2
80 2 160
K(2) 20
82 4

  

άρα 20.000 Η/Υ
5ο
ΘΕΜΑ
Μία βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π(x) κάθε μονάδας ενός προϊόντος συναρτήσει του
πλήθους x μονάδων παραγωγής σύμφωνα με τον τύπο Π(x) = 10008 –
3
x2
. Το κόστος
παραγωγής ανά μονάδα προϊόντος είναι 6 ευρώ και επιπλέον η βιομηχανία πληρώνει 2 ευρώ
φόρο για κάθε μονάδα προϊόντος.
Να βρείτε:
Α. Τα έσοδα Ε(x) από την πώληση x μονάδων προϊόντος
Β. Το κόστος Κ(x) των x μονάδων προϊόντος
Γ. Πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει η βιομηχανία ώστε να έχει το μέγιστο κέρδος;
Απάντηση
Α. Είναι:
2 3
x x
E(x) x Π(x) x 10008 10008x
3 3
 
       
 
 
με x 0
Β. Είναι: K(x) 6 x  με x 0
Γ. Έστω: f(x) η συνάρτηση κέρδους, τότε είναι:
3
x
f(x) E(x) K(x) 2x f(x) 10008x 6x 2x
3
        
3
x
f(x) 10000x
3
  
Είναι: 2
f (x) 10000 x  
   f (x) 0 x 100 άρα η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο  100,  
    f (x) 0 0 x 100 άρα η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο  0,100
Άρα, το κέρδος γίνεται μέγιστο για παραγωγή x = 100 μονάδων προϊόντος.

5. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
6ο
ΘΕΜΑ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2
– 6x.
Α. Να υπολογιστεί το όριο:
3x
)x(f
im
3x 



Β. Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτόμενης στο Α(–2, f(–2))
Γ. Να εξετάσετε αν η παραπάνω εφαπτόμενη τέμνει την γραφική παράσταση της f και σε άλλο
σημείο εκτός του Α.
Δ. Να αποδείξετε ότι: 2
x)x(f)x(fx 
Απάντηση
Α. Είναι:     2
f (x) (x 6x) 2x 6 άρα
x 3 x 3
f (x) 2x 6
im im
x 3 x 3 
 
 
 
 
  x 3
2(x 3) x 3
im
x 3 x 3
 
 
 
 
2 2x 3
2(x 3) x 3
im
x 3
 
 

 x 3
im 2 x 3 4 3

   
 
Β. Είναι: f(–2) = 16,
και    f ( 2) 10
οπότε            y x 16 10 ( 2) 4
άρα    ( ): y 10x 4
Γ. Είναι:       2
f(x) y x 6x 10x 4
    2
x 4x 4 0
     2
(x 2) 0 x 2 που είναι το σημείο επαφής.
Άρα, δεν υπάρχει άλλο σημείο τομής.
Δ. Είναι: x f (x) x (2x 6)    
2
2x 6x  

6. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
2 2
x x 6x   
2
f(x) x 
7ο
ΘΕΜΑ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3
+ 3x2
– 9x + α2
– 4α, x ∈ℝ όπου α πραγματική σταθερά
Α. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο.
Β. Αν f(x1) = 3f(x2) + 50, όπου x1 η θέση του τοπικού μεγίστου και x2 η θέση του τοπικού
ελαχίστου, να βρείτε την τιμή του πραγματικού α.
Γ. Για την τιμή του α που βρήκατε στο Β. ερώτημα να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων
της Cf που είναι κάθετες στο y΄y άξονα.
Δ. Να βρείτε την τιμή του x για την οποία ο ρυθμός μεταβολής γίνεται ελάχιστος.
Απάντηση
Α. Είναι: 2
f (x) 3x 6x 9   
2
f (x) 0 3x 6x 9 0      
2
x 2x 3 0    
Δ = 16 και x1 = 1 και x2 = –3
 f (x) 0 x 3,1     άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο  3,1
   f (x) 0 x , 3 1,        
άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα    , 3 , 1,   
Άρα, η f παρουσιάζει για x = –3, τοπικό μέγιστο, το 2
f( 3) α 4α 27   
Άρα, η f παρουσιάζει για x = 1, τοπικό ελάχιστο, το 2
f(1) α 4α 5  
Β. Είναι  2 2
f( 3) 3f(1) 50 α 4α 27 3 α 4α 5 50          
2
2α 8α 8 0    
2
α 4α 4 0    
2
(α 2) 0   
α 2 0   

7. ΥΡΟΝΣΙ΢ΣΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΣΟΤ – ΠΑΠΑΠΑΤΛΟΤ _
Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης – Μαθηματικός
α 2 
Γ. Είναι: 3 2
f(x) x 3x 9x 4    και 2
f(x) 3x 6x 9  
Εφαπτόμενες κάθετες στον y΄y σημαίνει οριζόντιες εφαπτόμενές,
άρα f (x) 0 x 3 ή x 1     
Για x = –3 είναι (ε1): y f( 3) 23  
Για x = 1 είναι (ε2): y f(1) 9  
Δ. Είναι: f (x) 6x 6  
Τότε: f (x) 0 6x 6 0     
x 1  
Είναι: f (x) 0 x 1     άρα η f γνησίως φθίνουσα στο  , 1 