Η Ασκηση της Ημερας

1. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Έχουμε:
      f(x) 3x α εφx 2ημx 0 f 0 για κάθε
 
  
 
π π
x ,
2 2
άρα η f παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο 0
x 0
β) Η f είναι παραγωγίσιμη στο
 
 
 
π π
,
2 2
άρα και στο 0
x 0 οπότε
 
   


 
x 0
f x f 0
f 0 lim
x 0
Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0
x 0 το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος
 
 
 
π π
,
2 2
, άρα από το θεώρημα του Fermat έχουμε:
  f 0 0
Επομένως:
   
 
 
 




 


 
 
 


   
  
 
  
 
  
 
  
 

 
 
         
x 0 x 0
x 0
x 0
0
0
x 0
2
x 0
3x α εφx 2ημx 0f x f 0
lim 0 lim 0
x 0 x 0
3x α εφx 2ημx
lim 0
x
3x α εφx 2ημx
lim 0
x
3x α εφx 2ημx
lim 0
x
α
3 2συνx
συν xlim 0
1
3 α 2 0 α 1 0 α 1
γ) Έχουμε:
 
     
 
π π
f(x) 3x εφx 2ημx , x ,
2 2
Αναζητούμε το πρόσημο της συνάρτησης  3x εφx 2ημx, άρα θέτουμε:
   
     
 
π π
g x 3x εφx 2ημx, x ,
2 2
Λύνει ο Μάκης Χατζόπουλος

2. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
η οποία είναι παραγωγίσιμη στο
 
 
 
π π
,
2 2
με
 
  
 
   
  
   

 
   
  
2
3 2
2
2
2
2
2
1
g x 3 2συνx
συν x
2συν x 3συν x 1
=
συν x
συνx 1 2συν x συνx 1
συν x
1
2 συνx 1 συνx
2
0
συν x
αφού  
1
συνx 0
2
για κάθε
 
  
 
π π
x ,
2 2
και η ισότητα ισχύει για x 0.
Το πρόσημο της  g x και η μονοτονία της g φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
x 
π
2
0
π
2
 g x  
g > >
Η g είναι συνεχής στο 0
x 0 άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
 
 
 
π π
,
2 2
, οπότε:
          
π
0 x g x g 0 g x 0
2
και
        
π
x 0 g x g 0 0
2
Επομένως:
 
 
 

  
     
  


    
 
    

π
g x , x 0
2f(x) 3x εφx 2ημx g x
π
g x ,0 x
2
π
3x εφx 2ημx , x 0
2
π
3x εφx 2ημx ,0 x
2

3. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
   
  0
π π
f(x) = 3x + α εφx - 2ημx 0, για κάθε x (- , ) Α και
2 2
f(0) = 0, άρα f(x) f(0), για κάθε x A, οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0.
Η f είναι παραγωγίσιμη στο Α, άρα είναι παραγωγίσιμη και στο
α)
β)
 
  

 
  


 
 

x 0 x 0
x>0
x 0 x 0 x 0
x 0
0 Α. Δηλαδή
f(x)- f(0) f(x)-f(0)
lim = lim , (1)
x - 0 x-0
3x+α εφx-2ημx 3x+α εφx-2ημxf(x)-f(0)
lim lim lim
x x x
εφx ημx
lim 3 + α - 2 = 3 + α - 2 = α +1 (2)
x x
li   
  

         
   
 

x<0
x 0 x 0 x 0
(2),(3)
3x+α εφx-2ημx εφx ημxf(x)- f(0)
m = lim lim 3 α 2 3 α-2 α+1 (3)
x x x x
(1) α +1 = - α +1 2 α +1 = 0 α +1 = 0 α = -1.
π π
Έστω g(x) = 3x -εφx - 2ημx, x (- , ) Α, άρα f(x) = g(x) .
2 2
Για κάθε x A,
γ)

3 2
2 2
3 2 3 2 2 2
2 2
1 -2συν x + 3συν x -1
g'(x) = 3- - 2συνx = .
συν x συν x
-2w + 3w -1 = -2w + 2w + w -1 = -2w (w -1) +(w -1)(w +1)
= (w -1)(-2w + w +1) = -(w -1) (2w +1).
(σ
Άρα, για w = συνx, είναι g'(x)= 
  
     
2
2
υνx-1) (2συνx+1)
0, με g'(x)=0, μόνο για x=0.
συν x
Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο Α.
π
΄Ετσι, για κάθε x (- ,0), x < 0 g(x) > g(0) g(x) > 0
2
π
και για κάθε x [0, ), x 0 g(x) g(0) g(x) 0.
2



 

Άρα τελικά η συνάρτηση f είναι
π
g(x) = 3x -εφx - 2ημx, x (- ,0)
2f(x) =
π
g(x) = -3x+εφx+2ημx, x [0, )
2
Λύνει η Ντίνα Ψαθά

4. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Για συνάρτηση f ισχύει:
 
        
 
π π
f(x) 3x aεφx 2ημx 0 f(0), x ,
2 2
,
αυτό σημαίνει ότι η f παρουσιάζει ‘’ολικό ‘’ ελάχιστο στη θέση 0
x 0 .
β) Στη θέση 0
x 0 ισχύει το θεώρημα Fermat
 
 
 
 
 
0
0
0
x ,είναι εσωτερικό σημείο
x , είναι θέση ακροτάτου
στο x ,η f παραγωγίζεται
, οπότε
    

        
x 0 x 0 x 0 x 0
f(x) f(0) f(x) f(x) f(x)
f (0) 0 lim 0 lim 0 lim lim 0
x 0 x x x
Έτσι από   
  
   
    
x 0 x 0 x 0
3x αεφx 2ημx 3x αεφx 2ημxf(x)
lim 0 lim 0 lim 0
x x x


                 
x 0
εφx ημx
lim 3 α 2 0 3 α 1 2 1 0 α 1 0 α 1 0 α 1
x x
Σχόλιο:


x 0
ημx
lim 0,
x
(βασικό όριο) και
   
 
       
 x 0 x 0 x 0 x 0
εφx ημx ημx1 1 1
lim lim lim lim 1 1
x x συνx x συνx συν0
( η συνάρτηση συνx είναι
συνεχής στο ).
γ) Αφού  α 1 τότε   f(x) 3x εφx 2ημx .
Θεωρούμε την συνάρτηση
 
     
 
π π
g(x) 3x εφx 2ημx, x ,
2 2
, έχουμε:
  
    
3 2
2 2
1 2συν x 3συν x 1
g (x) 3 2συνx
συν x συν x
, στην συνέχεια μελετάμε το πρόσημο της

        
θέτουμε, συνχ ω
3 2 3 2
A(x) 2συν x 3συν x 1 Α(ω) 2ω 3ω 1 με σχήμα Horner:
 
 

2 3 0 1 1
2 1 1
2 1 1 0
και δευτεροβάθμια καταλήγουμε: Α(ω)=   
   
 
2 1
ω 1 ω
2
δηλ.


 
     
 
2
0
0
1
Α(x) (συνx 1) συνx 0
2
, το ίσον ισχύει μόνο στη θέση 0
x 0 , άρα
 
     
 
π π
g (x) 0, x ,
2 2
, το ίσον ισχύει μόνο στη θέση 0
x 0 ,οπότε η συνάρτηση
g είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και επομένως
Λύνει ο Κωνσταντίνος Μόσιος

5. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Αν
 
    
 
π
x ,0 , τότε g(x) g(0) 0
2
και άρα    f(x) 3x εφx 2ημx
Αν
 
   
 
π
x 0, , τότε g(x) g(0) 0
2
και άρα   f(x) 3x εφx 2ημx
Συνοψίζουμε:
  
      
  
 
       
π
3x εφx 2ημx ,x ,0
2
f(x)
π
3x εφx 2ημx ,x 0,
2

6. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Προφανώς  f(x) f(0) 0.
΄Αρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0
x 0 , το f(0) 0 .
β) Εφ όσον η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη , θα είναι παραγωγίσιμη και στο 0
x 0
δηλαδή 



x 0
f(x) f(0)
f'(0) lim
x
= 


x 0
f(x) f(0)
lim
x
.
Όμως
 


x 0
f(x) f(0)
lim
x  
  

x 0
3x α εφx 2ημx
lim
x  
  
x 0
3x α εφx 2ημx
lim
x
 
  
 
x 0
3x α εφx 2ημx
lim
x 

   
x 0
εφx ημx
lim 3 α 2
x x
1 α .
΄Όμοια:




x 0
f(x) f(0)
lim
x 

  

x 0
3x α εφx 2ημx
lim
x
- 

  
x 0
3x α εφx 2ημx
lim
x


  
  
x 0
3x α εφx 2ημx
lim
x 

    
x 0
εφx ημx
lim 3 α 2
x x
- 1 α .
Επόμενα:
1 α =- 1 α   1 α 0   α 1.
Άρα
 
     
 
π π
f(x) 3x εφx 2ημx , x ,
2 2
.
γ) Θέτω   g(x) 3x εφx 2ημx ,
 
  
 
π π
x ,
2 2
.
Τότε
f(x) g(x) ,   2
1
g'(x) 3 2συνx
συν x
=
  3 2
2
2συν x 3συν x 1
συν x
=
 

2
2
(2συνx 1)(συνx 1)
συν x
< 0   
π π
x ( ,0) (0, )
2 2
.
Επειδή η g'(x) διατηρεί πρόσημο στο 
π π
( ,0) (0, )
2 2
και g συνεχής στο 0
x 0 , η g είναι
γνησίως φθίνουσα στο 
π π
( , )
2 2
.
Επίσης η g ως γνήσια μονότονη είναι και 1-1 στο πεδίο ορισμού της.
Συνεπώς     g(x) 0 g(x) g(0) x 0.
Λύνει ο Τάκης Καταραχιάς

7. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Οπότε : για         
π
x 0 g(x) g(0) 0 f(x) g(x)
2
 3x εφx 2ημx,
για        
π
0 x g(x) g(0) 0 f(x) g(x)
2
-  3x εφx 2ημx.
Άρα:
αν   
π
x 0
2
τότε f(x)  3x εφx 2ημx,
αν  
π
0 x
2
τότε f(x) -  3x εφx 2ημx.

8. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Α) Αφού
 
     
 
π π
f(0) 0 και f(x) 0, x ,
2 2
, η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0
x 0 , το
μηδέν.
Β) Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της για την παράγωγό της στο 0
x 0
θα ισχύει;
 
 
 
 
x 0 x 0
f(x) f(0) f(x) f(0)
lim lim
x x
 
 
       
 
x 0 x 0
3x α εφx 2 ημx 3x α εφx 2 ημx
lim lim
x x
 
 
       
  
x 0 x 0
3x α εφx 2 ημx 3x α εφx 2 ημx
lim lim
x x
 
 
       
  
x 0 x 0
3x α εφx 2 ημx 3x α εφx 2 ημx
lim lim
x x
 
 
       
  
x 0 x 0
3x α εφx 2 ημx 3x α εφx 2 ημx
lim lim
x x
 
 
 
            
 x 0 x 0
ημx ημx ημx ημx3x 1 3x 1
lim α 2 lim α 2
x x συνx x x x συνx x
             1 α 1 α 2 1 α 0 1 α 0 α 1
Γ) Θεωρώ την συνάρτηση
 
     
 
π π
g(x) 3x εφx 2ημx , x ,
2 2
που είναι παραγωγίσιμη
και για την οποία ισχύει g(0)=0. Είναι:
      
       
2
2 3
;
2 2 2
2συνx 1 συνx 11 3συν x 1 2συν x
g (x) 3 2συνx .... 0
συν x συν x συν x
Επειδή:
 
     

  
ο ο
22
1. από το πεδίο ορισμού (4 και 1 τεταρτημόριο) συνx 0 2συνx 1 0
2. συν x 0 , συνx-1 0 και η ισότητα ισχύει μόνο αν x 0 (διπλή ρίζα)
Επομένως η g
είναι συνεχής, γνησίως φθίνουσα στο
 
 
 
π π
,
2 2
και άρα1:1 αφού δε g(0)=0 προκύπτει:
Λύνει ο Σπύρος Χαλικιόπουλος

9. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
  
        
  

          
π
x ,0 g(x) g(0) g(x) 0
2
π
x 0, g(x) g(0) g(x) 0
2
Οπότε:
  
         
    

π
3x εφx 2ημx , x ,0
2
f(x) g(x)
π
3x εφx 2ημx , x [0, )
2

10. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Για την συνάρτηση f, ως απόλυτη τιμή , θα ισχύει: f(x) 0 .
Επίσης: f(0)=0. Άρα f(x) f(0). Επομένως για x=0 η f παρουσιάζει ελάχιστη τιμή το 0.
β) Η f για x=0 παρουσιάζει ακρότατο. Επειδή
 
   
 
f
π π
0 A ,
2 2
και η f είναι παραγωγίσιμη σε
αυτό, από Θ. Fermat θα ισχύει:  f (0) 0.
Δηλαδή:  
 
 
 
x 0 x 0
f(x) f(0) f(x) f(0)
lim lim 0
x x
.
   

   
   
  
x 0
x 0 x 0 x 0 x 0
3x αεφx 2ημx 3x αεφx 2ημxf(x) f(0) f(x)
lim lim lim lim
x x x x


  
x 0
εφx ημx
lim 3 α 2
x x
(1).
Εξετάζουμε αν υπάρχει το όριο που βρίσκεται εντος της απόλυτης τιμής.


 
    
 x 0
εφx ημx
lim 3 α 2 1 α
x x
διότι: 

 
 
 x 0
ημx
lim 1
x
και  
 
   
      
   x 0 x 0
εφx ημx 1
lim lim 1 1 1
x x συνx
.
Άρα από την σχέση (1) έχουμε: 


 
x 0
f(x) f(0)
lim 1 α
x
.Επίσης:
   

   
   
  

x 0
x 0 x 0 x 0 x 0
3x αεφx 2ημx 3x αεφx 2ημxf(x) f(0) f(x)
lim lim lim lim
x x x x
 
 
 
        
x 0 x 0
3x αεφx 2ημx εφx ημx
lim lim 3 α 2 1 α
x x x
όπως παραπάνω.
Τελικά:        1 α 1 α 0 α 1
γ) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση
 
  
 
π π
g : ,
2 2
Rμε τύπο:
  g(x) 3x εφx 2ημx .Τότε:    2
1
g (x) 3 2συνx
συν x
.
Η g΄ είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με:
   
         
   
3
3 3 3
1 1 συν x 1
g (x) 2ημx 2ημx 2ημx 1 2ημx
συν x συν x συν x
.
Ισχύει:          3 3
0 συνx 1 0 συν x 1 1 συν x 1 0.
Άρα


3
3
συν x 1
0
συν x
.
Λύνει ο Δημήτρης Σαριβασίλης

11. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
Για
 
  
 
π
x ,0
2
ισχύει: ημx 0 και τότε:  g (x) 0 .
Για
 
 
 
π
x 0,
2
ισχύει: ημx 0 και τότε:  g (x) 0 .
Άρα η g΄ παρουσιάζει για x 0 μέγιστο το     g (0) 3 1 2 0 .
Δηλαδή:   g (x) g (0) 0. Τότε η συνάρτηση g είναι φθίνουσα και θα ισχύει:
για
 
  
 
π
x ,0
2
ισχύει:     x 0 g(x) g(0) g(x) 0
για
 
 
 
π
x 0,
2
ισχύει:     x 0 g(x) g(0) g(x) 0.
Τελικά ο τύπος της f είναι:
  
     
  
  
         
π
3x εφx 2ημx ,x ,0
2
f(x)
π
3x εφx 2ημx ,x 0,
2

12. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Αν    g(x) 3x α εφx 2ημx η f(x) g(x) έχει ελάχιστο στο 0 το f(0) 0 , γιατί είναι
f(x) f(0)στο
 
 
 
π π
,
2 2
.
β) Είναι

 
x 0
g(x)
lim α 1
x
και
       
            
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
g(x) g(x) g(x) g(x)f(x)
lim f (0) lim lim lim lim α 1 0 α 1
x x xx x
R
γ)         
      
3 2 3 2 2
2 2 2
1 2συν x 3συν x 1 2συν x 2συν x συν x 1
g x 3 2συνx
συν x συν x συν x
      
          
2
2
2 2
1
2 συνx 1 συνx
συνx 1 2συν x συνx 1 2
0
συν x συν x
με το = μόνο στο 0.
Δηλαδή η g στο
 
 
 
π π
,
2 2
και για     
π
x 0 g(x) 0
2
ενώ για    
π
0 x g(x) 0
2
.
Λύνει ο Κώστας Δεββές

13. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
α) Παρατηρούμε ότι: για x 0 έχουμε   f 0 0και προφανώς     f x f 0 0για κάθε
 
  
 
π π
x ,
2 2
οπότε η f παρουσιάζει O.E. το 0 στη θέση 0
x 0 .
β) Έστω    g x 3x αεφx 2ημx, με   g 0 0 . Επιπλέον g συνεχής στο
 
 
 
π π
,
2 2
.
Άρα    f x g x , με
 
  
 
π π
x ,
2 2
.
ΠΙΘΑΝΟΙ ΤΎΠΟΙ ΤΗΣ f:
1)    f x g x ,
 
  
 
π π
x ,
2 2
2)     f x g x ,
 
  
 
π π
x ,
2 2
3)  
 
 
  
   
 
 
  
  
  
π
g x ,x ,0
2
f x 0 ,x 0
π
g x ,x 0,
2
4)  
 
 
  
    
 
 
  
  
  
π
g x ,x ,0
2
f x 0 ,x 0
π
g x ,x 0,
2
Επειδή η f έχει Ο.Ε. στο 0 και απο υπόθεσηf παραγωγίσιμη στο 0 , ισχύει το Θ.Fermat,
οπότε   f' 0 0 . Οι τύποι 3,4 για την f λόγω παραγωγισιμότητας στο 0
( με τον ορισμό  
       
 
 
 
  
 x 0 x 0
f x f 0 f x f 0
f' 0 lim lim 0
x 0 x 0
) μας δίνουν  α 1.
Επίσης και οι τύποι 1,2 μας δίνουν την τιμή  α 1.
γ) Άρα ηf μπορεί να έχει έναν απο τους παρακάτω τύπους:
1)    f x 3x εφx 2ημx,
 
  
 
π π
x ,
2 2
, 3)  
  
     
 
 
  
    
  
π
3x εφx 2ημx,x ,0
2
f x 0 ,x 0
π
3x εφx 2ημx,x ,0
2
Λύνει ο Κώστας Τσόλκας

14. ___________________________________________________________________________
18η ΑΣΚΗΣΗ η άσκηση της ημέρας από το http://lisari.blogspot.gr σχ. έτος 2016-΄17
2)     f x 3x εφx 2ημx,
 
  
 
π π
x ,
2 2
, 4)  
  
      
 
 
  
    
  
π
3x εφx 2ημx,x ,0
2
f x 0 ,x 0
π
3x εφx 2ημx,x ,0
2
Για να γράψουμε την f χωρίς την απόλυτη τιμή εργαζόμαστε ως εξής:
Ξαναγυρίζοντας στην αρχή απορρίπτουμε τους τύπους 1, 2 ως εξής:
Για τον 1) έχουμε     2
1
f' x 3 2συνx 0
συν x
,
 
  
 
π π
x ,
2 2
(το ίσον ισχύει για x 0 μόνο) ,
οπότε δεν παρουσιάζει ακρότατο στο 0.
Για τον 2) έχουμε      2
1
f' x 3 x συνx 0
συν
,
 
  
 
π π
x ,
2 2
(το ίσον ισχύει για x 0 μόνο) , οπότε δεν παρουσιάζει ακρότατο στο 0 .
O τύπος 4) απορρίπεται γιατί τότε η συνάρτηση f παρουσιάζει τότε Ο.Μ. (αλλάζει η
μονοτονία εκατέρωθεν του 0, αύξουσα-φθίνουσα , και f παραγωγίσιμη-συνεχής στο 0)
Επίσης για τον τύπο 3 πληρούνται οι προυποθέσεις όλες οπότε τελικά έχουμε:
 
  
     
 
 
  
    
  
π
3x εφx 2ημx,x ,0
2
f x 0 ,x 0
π
3x εφx 2ημx,x ,0
2