SlideShare a Scribd company logo

Presentasi Coding versi Beta(belum final)

•
•
Hir Wanto
Hir Wanto

Dokumen tersebut membahas tentang BCH Codes yang merupakan kelas penting dari kode siklik yang dikembangkan oleh Bose, Chaudhuri, dan Hocquenghem untuk memperbaiki kesalahan ganda. Dokumen tersebut menjelaskan dasar teori lapangan hingga, ring polynomial, suku banyak minimal, dan cyclotomic coset yang terkait dengan konstruksi dan dekoding BCH Codes.

EducationTechnologyEntertainment & Humor
1 of 82
Download to read offline
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan BCH Codes (Bose -Chaudhuri- Hocquenghem Codes) Wawin1 Qori Maryamah1 Aliyah1 Hirwanto1 1Universitas Gadjah Mada,Yogyakarta, Indonesia Presentasi Paper BCH Codes, 2013 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Motivasi 3 Dasar Teori Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 4 Pembahasan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code 5 Kesimpulan Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan BCH Codes BCH codes merupakan salah satu kelas yang sangat penting dari kode siklik yang mulai dikembangkan pada tahun 1960 oleh R.C. Bose dan D.Ray-Cahudhuri kemudian dilanjutkan oleh A. Hocquenghem sehingga biasa disebut BCH codes (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codes) dan merupakan generalisasi dari Hamming code untuk mengoreksi kesalahan ganda( multiple error correction). BCH code didefinisikan oleh kelipatan persekutuan terkecil (f1(x), f2(x), ..., ft (x)) suku banyak yang diberikan. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Motivasi Secara khusus, kode siklik didapat dari generator suku banyaknya. Bagaimanapun, umumnya kita kesulitan dalam mendapatkan informasi pada jarak minimum(minimum distance) kode siklik dari generator suku banyaknya, meskipun kita dapat melengkapi hasilnya. Dengan kata lain, kita perlu memilih beberapa generator khusus suku banyaknya sehingga kita bisa mendapatkan informasi dengan algoritma yang lebih sederhana dan lebih efisien. Kita selanjutnya akan mendiskusikan salah satu generator khusus yang kita pilih yaitu BCH-code, dan juga bagaimana kita membentuk algoritma untuk BCH- codes. Untuk generator khusus yang lain seperti Reed Solomon, Quadratic-Residus Code. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Finite Field Definisi 3.1 Field dengan | F |< ∞ disebut lapangan hingga(finite field) dan F∗ sebagai himpunan F {0}. Definisi 3.2 Misalkan F lapangan. Karakteristik F adalah bilangan bulat positif terkecil m dengan demikian bahwa m i=1 1 = 1 + 1 + . . . + 1 = 0 dimana 1 ∈ F. Jika m tidak ada maka karakteristiknya 0. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Finite Field Definisi 3.1 Field dengan | F |< ∞ disebut lapangan hingga(finite field) dan F∗ sebagai himpunan F {0}. Definisi 3.2 Misalkan F lapangan. Karakteristik F adalah bilangan bulat positif terkecil m dengan demikian bahwa m i=1 1 = 1 + 1 + . . . + 1 = 0 dimana 1 ∈ F. Jika m tidak ada maka karakteristiknya 0. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Lemma Lemma 3.3 Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka (α + β)p = αp + βp Definisi 3.4 Anggota α ∈ F lapangan hingga dikatakan generator F∗ atau elemen primitif jika {αi : i ≥ 0} = F∗ Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Lemma Lemma 3.3 Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka (α + β)p = αp + βp Definisi 3.4 Anggota α ∈ F lapangan hingga dikatakan generator F∗ atau elemen primitif jika {αi : i ≥ 0} = F∗ Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Lemma Lemma 3.3 Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka (α + β)p = αp + βp Definisi 3.4 Anggota α ∈ F lapangan hingga dikatakan generator F∗ atau elemen primitif jika {αi : i ≥ 0} = F∗ Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Contoh Contoh 3.5 Diberikan GF(9) yang dikontruksikan menggunakan polynomial yang irreducible f(x) = x2 + 1 ∈ Z3[x]. Carilah elemen primitif. Kita akan mencoba bahwa α = x + 1 merupakan elemen primitif maka (1 + x)0 = 1 (1 + x)4 = 2 (1 + x)1 = 1 + x (1 + x)5 = 2 + 2x (1 + x)2 = 2x (1 + x)6 = x (1 + x)3 = 1 + 2x (1 + x)7 = 2 + x Jadi α = 1 + x merupakan elemen primitif untuk GF(9) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Ring Polynomial Definisi 3.6 Misalkan F merupakan lapangan. Himpunan F[x] = { n i=0 aixi : ai ∈ F, n ≥ 0} disebut sebagai ring polynomial atas F. Teorema 3.7 Misalkan f(x) suku banyak atas F dengan derajat(degree) ≥ 1. Maka F[x]/(f(x)) bersama dengan operasi penjumlahan dan perkalian berbentuk gelanggang. Lebih jauh, F[x]/(f(x)) adalah lapangan jika dan hanya jika irreducible. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Lemma Lemma 3.8 Untuk setiap anggota tak nol α ∈ GF(q), αq−1 = 1. Selanjutnya, α ∈ GF(qm) jika hanya jika αq = α. Lemma 3.9 Untuk setiap elemen β dari finite field F dengan q elemen, kita mempunyai βq = β Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Minimal Polynomial Definisi 3.10 Misalkan F lapangan dengan karakteristik p dan misalkan α ∈ F∗. Suku banyak minimal α terhadap GF(p) merupakan suku banyak monic m(x) derajat terkecil di GF(p)[x] dengan demikian m(α) = 0. Teorema 3.11 Suku banyak minimal anggota α tunggal. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 1. Bukti Teorema 3.2 Andaikan F = GF(q) dan F mempunyai karakteristik p. Mengikuti Lemma 3.8 bahwa α memenuhi suku banyak xq−1 − 1 ∈ GF(p)[x]. Ketika terdapat suatu suku banyak GF(p)[x] dengan α akarnya maka ada salah satu dari akarnya dengan derajat terkecil. Ini mengatakan bahwa ada suku banyak minimal yaitu m(x). Andaikan ada dua suku banyak monic m1(x) dan m2(x) dengan derajat terkecil mempunyai akar α. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 1. Bukti Teorema 3.2 Andaikan F = GF(q) dan F mempunyai karakteristik p. Mengikuti Lemma 3.8 bahwa α memenuhi suku banyak xq−1 − 1 ∈ GF(p)[x]. Ketika terdapat suatu suku banyak GF(p)[x] dengan α akarnya maka ada salah satu dari akarnya dengan derajat terkecil. Ini mengatakan bahwa ada suku banyak minimal yaitu m(x). Andaikan ada dua suku banyak monic m1(x) dan m2(x) dengan derajat terkecil mempunyai akar α. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 2. Lanjutan Bukti Teorema 3.2 Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat m1(x) = l(x)m2(x) + r(x), dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0 dan m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x) mempunyai derajat terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x) membagi m1(x). Dengan cara yang sama, m1(x) membagi m2(x) dan ketika keduanya merupakan suku banyak monic, maka m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal. Teorema 3.12 Untuk α ∈ F∗, suku banyak minimal α, maka m(α)(x) adalah suku banyak yang irreducible. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 2. Lanjutan Bukti Teorema 3.2 Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat m1(x) = l(x)m2(x) + r(x), dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0 dan m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x) mempunyai derajat terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x) membagi m1(x). Dengan cara yang sama, m1(x) membagi m2(x) dan ketika keduanya merupakan suku banyak monic, maka m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal. Teorema 3.12 Untuk α ∈ F∗, suku banyak minimal α, maka m(α)(x) adalah suku banyak yang irreducible. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 2. Lanjutan Bukti Teorema 3.2 Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat m1(x) = l(x)m2(x) + r(x), dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0 dan m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x) mempunyai derajat terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x) membagi m1(x). Dengan cara yang sama, m1(x) membagi m2(x) dan ketika keduanya merupakan suku banyak monic, maka m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal. Teorema 3.12 Untuk α ∈ F∗, suku banyak minimal α, maka m(α)(x) adalah suku banyak yang irreducible. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Definisi 3.13 Untuk α ∈ F, misalkan t bilangan bulat positif terkecil dengan demikian αpt = α, maka himpunan conjugates dari α(terhadap GF(p)) adalah C(α) = {α, αp , αp2 , αp3 , . . . , αpt−1 } C(α) = C(αpi ), ∀i ∈ F lapangan dengan karakteristik p Lemma 3.14 Misalkan F lapangan hingga dengan karakteristik p, misalkan α ∈ F∗, dan C(α) himpunan konjugat α terhadap GF(q), maka m(x) = β∈C(α) (x − β) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Bukti Lemma 3.5 Misalkan m(x) = t i=0 mixi dengan koefisien mi ∈ F, kita catatan bahwa m(x)p = β∈C(α)(xβ)p = β∈C(α)(xp − βp) = β∈C(α)(xp − β) = m(xp) = t i=1 xip Dengan mengikuti Lemma 3.3 didapat bahwa {β : β ∈ C(α)} = {βp : β ∈ C(α)} Dilain pihak, kita dapatkan bahwa m(x)p = t i=1 (mixi )p = t i=1 mp i xip Jadi, mi = mp i dan dengan menggunakan Lemma 3.8 sehingga terbukti bahwa mi ∈ GF(p), 0 ≤ i ≤ t. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Teorema 3.15 Untuk α ∈ F, suku banyak minimal α diberikan oleh mα(x) = β∈C(α) (x − β) Contoh 3.16 Kontruksikan lapangan F = GF(23). Hal pertama yang diperlukan adalah suku banyak pangkat tiga atas Z2. Misalkan kita mengambil f(x) = x3 + x + 1 dan anggota-anggota F adalah {0, 1, x, x + 1, x + x2 , x2 , 1 + x2 , 1 + x + x2 }. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 1. Penyelesaian Contoh 3.7 Ketika x3 + x + 1 = 0 mod f(x), maka kita mempunyai x3 ≡ −x − 1 = x + 1(mod(f(x))), dan 1 = −1 ∈ Z2. Selanjutnya kita tuliskan anggota lapangan dengan a0 + a1x + a2x2, maka didapatkan 0 = (000) x2 = (001) 1 = (100) 1 + x2 = (101) x = (010) x + x2 = (011) 1 + x = (110) 1 + x + x2 = (111) Jika kita mengambil α, maka dengan mudah kita dapatkan bahwa α merupakan generator F. Andaikan kita mengambil β = (101) dan kita akan dicari mβ(x). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 2. Lanjutan Penyelesaian Contoh 3.7 Dengan menggunakan Teorema 3.15 diatas mβ(y) = δ∈C(β) (y − β)(y − β2 )(y − β4 ) dan ketika β8 = β dan kita akan menghitung (y − β)(y − β2)(y − β3)= y3 + (β + β2 + β4)y2 + (ββ2 + ββ4 + β2β4)y + ββ2β4 Dengan menggunakan representasi setiap anggota tak nol sebagai akar dari generator α, dengan mengambil α = x, kita dapatkan α0 = (100) α4 = (011) α1 = (010) α5 = (111) α2 = (001) α6 = (101) α3 = (110) α7 = (100) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 3. Lanjutan Penyelesaian Contoh 3.7 Ketika β = α6, maka β2 = α12 = α5 = dan β4 = α24 = α3, diperoleh β + β2 + β4 = α6 + α5 + α3 = (101) + (111) + (110) = 100 ββ2 + ββ4 + β2β4 = β3 + β5 + β6 = α18 + α30 + α36 = α4 + α2 + α = 0 ββ2β4 = β7 = α42 = 1 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 4. Lanjutan Penyelesaian Contoh 3.7 Jadi, didapat suku banyak minimal β2 dan β4 yaitu mβ(y) = y3 + y2 + 1 Sedangkan suku banyak minimal α juga merupakan suku banyak minimal α2 dan α4 yaitu mα(y) = y3 + y + 1 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Definisi Cyclotomic Coset Definisi 3.17 Diberikan q dan n dan bilangan bulat i, 0 ≤ i ≤ n − 1, cyclotomic coset (q modulo n) memuat i didefinisikan oleh Ci = {i, iq, iq2 , . . . , iqn−1 } dimana anggota-anggota himpuna mengambil modulo n, dan s bilangan bulat terkecil dengan demikian iqs ≡ i(modn). C = {Ci : 0 ≤ i ≤ n − 1} disebut himpunan cyclotomic coset q modulo n Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Contoh 3.18 Untuk n = 9 dan q = 2, didapat C1 = [1, 2, 4, 8, 7, 5] = C2 = C4 = C8 = C7 = C5 C − 3 = [3, 6] = C6 C − 0 = [0] Teorema 3.19 Misalkan f(x) = xn − 1 suku banyak atas GF(q). Banyaknya faktor irreducible dari f(x) adalah sama dengan banyak cyclotomic coset q modulo n. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Pengantar Suku banyak monic g(x) ∈ GF(q)[x] dikatakan sebagai split didalam perluasan field GF(qm) dari GF(q) jika g(x) bisa difaktorkan sebagai hasil kali suku banyak linear di GF(qm), kita bisa menuliskannya ; g(x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αn) dimana αi ∈ GF(qm) dan GF(qm) disebut sebagai splitting field dari g(x). Secara umum, dapat didefinisikan bahwa splitting field dari g(x) ∈ GF(qm) sebagai lapangan terkecil GF(qm), dengan kata lain lapangan terkecil yang memuat semua akar -akar dari g(x). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Splitting field g(x) bisa didapatkan dari derajat faktor irreducible atas GF(q). Catatan bahwa g(x) boleh irreducible atas GF(q), tetapi selalu faktor- faktornya sebagai hasil kali suku banyak linear yang berbeda di splitting field. Untuk contoh, g(x) = x2 + x + 1 adalah merupakan irreducible atas GF(2) dan tidak mempunyai akar di GF(2), tetapi atas GF(4), g(x) = (x + α)(x + α2 ) dan mempunyai akar-akarnya adalah α dan α2, dimana GF(4) = {0, 1, α, α2} dengan α2 + α + 1 = 0 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.1 Diberikan suku banyak dibawah ini g(x) = 1 + x3 + x5 + x6 + x8 + x9 + x1 0 atas GF(2), dapat dicek bahwa g(x) tidak mempunyai akar di GF(2), ataupun GF(22), GF(23), dan GF(24), tetapi menggunakan GF(5) didapat akar -akar α dari h(x) = 1 + x2 + x5 yaitu α, α3, dan anggota kojugatenya adalah α, α2, α4, α8, α16 dan α3, α6, α12, α24, α17 adalah merupakan akar -akar dari g(x), dan semua akar dari g(x) di GF(25) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.2 Diberikan suku banyak dibawah ini : g(x) = 2 + 2x + x4 + 2x5 + x6 + x7 atas GF(3) dan hanya memiliki satu akar dengan yaitu 1, dan tidak ada akar dari persamaan tersebut di GF(32), sedangkan dengan mengggunakan GF(33) didapat akar α dari h(x) = 1 + 2x2 + x3 yaitu; 1, α2 , α6 , α18 , α4 , α12 , α10 Akar -akar diatas merupakan akar α dari g(x). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.3 Diberikan g(x) = 1 + x + x3 yang merupakan generates dari kode biner (7, 4) − codeC. Ketika g(x) membagi x7 − 1 atas GF(2),dan 23 ≡ 1(mod 7) yang merupaka semua akar dari g(x) di GF(23). Jika kita misalkan α ∈ GF(23), dengan akar -akarnya dari g(x) adalah α, α2, dan α4. Kita cukup mengatakan bahwa α merupakan akarnya ketika α2 dan α4 elemen konjugate dari α sehingga parity check matrix nya adalah 1 α α2 α3 α4 α5 α6 =   1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1   Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code BCH Codes Definisi 4.4 Misalkan kita mempunyai sebanyak t suku banyak f1(x), f2(x), . . . , ft (x) ∈ F[x], maka kelipatan persekutuan terkecil dari f1(x), f2(x), . . . , ft (x) adalah suku banyak monic dengan derajat terkecil dan merupakan perkalian dari semua suku banyak f1(x), f2(x), . . . , ft (x). Selanjutnya, dinotasikan sebagai lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft (x)). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code BCH Codes Jika f1(x), f2(x), ..., ft (x) ∈ Fq[x] dapat difaktorisasi menjadi f1(x) = a1.p1(x)e1,1 . . . pn(x)e1,n f2(x) = a2.p1(x)e2,1 . . . pn(x)e2,n ... ... ft (x) = at .p1(x)et,1 . . . pn(x)et,n dimana pi(x) merupakan suku banyak monic yang irreducible atas Fq maka lcm(f1(x), f2(x), ..., ft (x)) = p1(x)max{e1,1,...,et,1} ...pn(x)max{e1,n,...,et,n} Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.5 Diberikan polinomial biner, f1(x) = (1 + x)2(1 + x + x4)3 f2(x) = (1 + x)(1 + x + x2)2 f3(x) = x2(1 + x + x4) sehingga, lcm(f1(x), f2(x), f3(x)) = x2(1 + x)2(1 + x + x2)2(1 + x + x4)3 Lemma 4.6 Diberikan f1(x),f2(x), . . ., ft (x) suku banyak atas Fq. Jika f(x) habis dibagi oleh semua suku banyak fi(x), ∀i = 1, 2, . . . , t maka f(x) habis dibagi oleh lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft (x)) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Lemma 4.6 Bukti. Ambil g(x) = lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft (x)). Menggunakan algoritma pembagian maka ada dua suku banyak u(x) dan r(x) atas Fq dengan demikian deg(r(x)) < deg(g(x)) dan f(x) = u(x)g(x) + r(x). Jadi, r(x) = f(x) − u(x)g(x), dan selanjutnya r(x) juga habis dibagi oleh semua fi(x). Ketika g(x) mempunyai derajat terkecil,dengan jelas bahwa r(x) = 0. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.7 Suku banyak f(x) = x15 − 1 ∈ F2[x] dibagi oleh f1(x) = 1 + x + x2 ∈ F2[x] habis dibagi oleh f1(x) = 1 + x + x2 ∈ F2[x], f2(x) = 1 + x + x4 ∈ F2[x], dan f3(x) = (1 + x + x2)(1 + x3 + x4) ∈ F2[x]. Maka f(x) habis dibagi oleh lcm(f1(x), f2(x), f3(x)) = (1 + x + x2)(1 + x + x4)(1 + x3 + x4). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Definisi 4.8 Misalkan α elemen primitif dari Fqm dan dinotasikan oleh Mi(x) merupakan polynomial minimal dari αi terhadap Fq. Sebuah primitif BCH code atas Fq dengan panjang n = qm − 1 didesain dengan distance δ adalah q-ary cyclic code yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(a)(x), M(a+1)(x), . . . , M(a+δ−2)(x)) untuk suatu bilangan bulat a. Lebih jauh, code ini disebut sebagai narrow sense jika a = 1. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.9 Misalkan β merupakan akar dari 1 + x + x2 ∈ F2[x], maka F4 = F2[β]. Misalkan α menjadi akar dari β + x + x2 ∈ F4[x]. Maka α elemen primitif dari F16. Diberikan narrow-sense 4−ary BCH code dengan panjang 15 didesain dengan distance 4, maka generator polynomialnya adalah g(x) = lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x)) = 1 + βx + βx2 + x3 + x4 + β2x5 + x6. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.9 Misalkan β merupakan akar dari 1 + x + x2 ∈ F2[x], maka F4 = F2[β]. Misalkan α menjadi akar dari β + x + x2 ∈ F4[x]. Maka α elemen primitif dari F16. Diberikan narrow-sense 4−ary BCH code dengan panjang 15 didesain dengan distance 4, maka generator polynomialnya adalah g(x) = lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x)) = 1 + βx + βx2 + x3 + x4 + β2x5 + x6. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Parameter BCH Code Teorema 4.10 Diketahui panjang dari BCH code adalah qm − 1. Dimensi dari q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(α) (x), M(α+1) (x), ..., M(α+δ−2) (x) tidak tergantung dari pemilihan elemen primitif α q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang didesain dengan distance δ memiliki dimensi setidaknya qm − 1 − m(δ − 1) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Parameter BCH Code Teorema 4.10 Diketahui panjang dari BCH code adalah qm − 1. Dimensi dari q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(α) (x), M(α+1) (x), ..., M(α+δ−2) (x) tidak tergantung dari pemilihan elemen primitif α q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang didesain dengan distance δ memiliki dimensi setidaknya qm − 1 − m(δ − 1) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh dari Teorema 4.10 Contoh 4.11 (i) Diberikan cyclotomic cosets 2 modulo 15 dibawah ini : C2 = {1, 2, 4, 8} C3 = {3, 6, 12, 9}. Maka dimensi dari binary BCH Codes dengan panjang 15 dan didesign dengan distance 3 yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(2), M(3)(x)) adalah 15− | C2 ∪ C3 |= 15 − 8 = 7 (ii) Cyclotomic cosets dari 3 modulo 26 yaitu, C1 = C3 = {1, 3, 9} C2 = {2, 6, 18} C4 = {4, 10, 12} Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Contoh 4.11 Kemudian dimensi dari ternary BCH codes dengan panjang 26 dan didesain dengan distance 5 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x), M(4)(x)) adalah 26 − |C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4| = 26 − 9 = 17 Proposisi 4.12 Narrow sense binary BCH code dengan panjang n = 2m − 1 dan didesain dengan distance δ = 2t + 1 mempunyai dimensi sedikitnya n − m(δ − 1)/2. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Contoh 4.11 Kemudian dimensi dari ternary BCH codes dengan panjang 26 dan didesain dengan distance 5 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x), M(4)(x)) adalah 26 − |C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4| = 26 − 9 = 17 Proposisi 4.12 Narrow sense binary BCH code dengan panjang n = 2m − 1 dan didesain dengan distance δ = 2t + 1 mempunyai dimensi sedikitnya n − m(δ − 1)/2. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Proposisi 4.12 Bukti. Sebagaimana cyclotomic cosets Ci dan C2i adalah sama, maka dimensi k memenuhi k = 2m − 1− | 2t i=1 Ci | = 2m − 1− | t i=1 C2i−1 | ≤ 2m − 1 − t i=t | C2i−1 | ≤ 2m − 1 − tm = 2m − 1 − m(δ − 1)/2 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.13 Narrow sense binary BCH code dengan panjang 63 didesain dengan distance δ = 5 mempunyai dimensi 51 = 63 − 6(5 − 1)/2. Bagiamanapun, narrow sense binary BCH code dengan panjang 31 didesain dengan distance δ = 11 mempunyai dimensi 11 yang lebih besar daripada 31 − 5(11 − 2)/2. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lemma 4.14 Misalkan C q-ary cyclic code dengan panjang n dan generator polynomial g(x). Andaikan α1, . . . , αr akar -akar dari g(x) dan polynomial g(x) tidak mempunyai akar ganda. Maka elemen c(x) ∈ Fq[x]/(xn − 1) adalah codeword C jika hanya jika c(αi) = 0, untuk setiap i = 1, . . . , r. Bukti. Jika c(x) codeword C, maka ada polynomial f(x) dengan demikian c(x) = g(x)f(x). Jadi kita mempunyai c(αi) = g(αi)f(αi) = 0 untuk semua i = 1, . . . , r. Secara konvers, jika c(αi) = 0 untuk i = 1, . . . , r maka c(x) habis dibagi oleh g(x) ketika g(x) tidak mempunyai akar ganda. Ini mengartikan bahwa c(x) adalah codeword C. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.15 Diberikan binary [7, 4]−Hamming code dengan generator polynomial g(x) = 1 + +x + x3. Semua elemen dari F8{0, 1} adalah akar-akar c(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = (x7 − 1)/(x − 1), semua akar dari g(x) adalah akar-akar c(x). Jadi, 1111111 adalah codeword. Teorema 4.16 BCH code didesain dengan distance(designed distance) δ mempunyai minimum distance sedikitnya δ. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.15 Diberikan binary [7, 4]−Hamming code dengan generator polynomial g(x) = 1 + +x + x3. Semua elemen dari F8{0, 1} adalah akar-akar c(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = (x7 − 1)/(x − 1), semua akar dari g(x) adalah akar-akar c(x). Jadi, 1111111 adalah codeword. Teorema 4.16 BCH code didesain dengan distance(designed distance) δ mempunyai minimum distance sedikitnya δ. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Misalkan α merupakan elemen primitif dari Fqm dan misalkan C adalah BCH code yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(a)(x), M(a+1)(x), . . . , M(a+δ−2)(x)). Dengan jelas bahwa elemen αa, . . . , αa+δ−2 adalah akar-akarnya g(x). Andaikan bahwa minimum distance d dari C lebih kecil daripada δ. Maka ada codeword tak nol c(x) = c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1 dengan demikian wt(c(x)) = d < δ. Menggunakan Lemma 4.14, kita mempunyai c(αi) = 0 untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2; Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Andaikan bahwa minimum distance d dari C lebih kecil daripada δ. Maka ada codeword tak nol c(x) = c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1 dengan demikian wt(c(x)) = d < δ. Menggunakan Lemma 4.14, kita mempunyai c(αi) = 0 untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2;        1 αa (αa)2 . . . (αa)n−1 1 αa+1 (αa+1)2 . . . (αa+1)n−1 1 αa+2 (αa+2)2 . . . (αa+2)n−1 ... ... ... . . . ... 1 αa+δ−2 (αa+δ−2)2 . . . (αa+δ−2)n−1               c0 c1 c2 ... cn−1        = 0. (1) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Andaikan bahwa minimum distance d dari C lebih kecil daripada δ. Maka ada codeword tak nol c(x) = c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1 dengan demikian wt(c(x)) = d < δ. Menggunakan Lemma 4.14, kita mempunyai c(αi) = 0 untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2;        1 αa (αa)2 . . . (αa)n−1 1 αa+1 (αa+1)2 . . . (αa+1)n−1 1 αa+2 (αa+2)2 . . . (αa+2)n−1 ... ... ... . . . ... 1 αa+δ−2 (αa+δ−2)2 . . . (αa+δ−2)n−1               c0 c1 c2 ... cn−1        = 0. (1) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id }, cj = 0 jika hanya jika j ∈ R. Maka persamaan (1) menjadi        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... ... ... (αa+δ−2)i1 (αa+δ−2)i2 (αa+δ−2)i3 . . . (αa+δ−2)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (2) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id }, cj = 0 jika hanya jika j ∈ R. Maka persamaan (1) menjadi        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... ... ... (αa+δ−2)i1 (αa+δ−2)i2 (αa+δ−2)i3 . . . (αa+δ−2)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (2) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id }, cj = 0 jika hanya jika j ∈ R. Maka persamaan (1) menjadi        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... ... ... (αa+δ−2)i1 (αa+δ−2)i2 (αa+δ−2)i3 . . . (αa+δ−2)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (2) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga didapatkan :        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... . . . ... (αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (3) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga didapatkan :        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... . . . ... (αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (3) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga didapatkan :        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... . . . ... (αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (3) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga didapatkan :        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... . . . ... (αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (3) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Determinan D koefisien matriks persamaan diatas adalah sama dengan D = d j=1 (αa )ij det        1 1 1 . . . 1 αi1 αi2 αi3 . . . αid (α2)i1 (α2)i2 (α2)i3 . . . (α2)id ... ... ... . . . ... (αd−1)i1 (αd−1)i2 (αd−1)i3 . . . (αd−1)id        (4) = d j=1 (αa )ij k>l (αik − αil ) = 0. Dengan mengkombinasikan persamaan (44) dan (4), kita mendapatkan (ci1 , . . . , cid ) = 0 sehingga kontradiksi. Jadi terbukti Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Determinan D koefisien matriks persamaan diatas adalah sama dengan D = d j=1 (αa )ij det        1 1 1 . . . 1 αi1 αi2 αi3 . . . αid (α2)i1 (α2)i2 (α2)i3 . . . (α2)id ... ... ... . . . ... (αd−1)i1 (αd−1)i2 (αd−1)i3 . . . (αd−1)id        (4) = d j=1 (αa )ij k>l (αik − αil ) = 0. Dengan mengkombinasikan persamaan (44) dan (4), kita mendapatkan (ci1 , . . . , cid ) = 0 sehingga kontradiksi. Jadi terbukti Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.17 Misalkan α akar dari 1 + x + x3 ∈ F2[x], dan misalkan C binary BCH code dengan panjang 7 didesain dengan distance 4 yang dibangun oleh g(x) = lcm(M(0) (x), M(1) (x), M(2) (x)) = 1 + x2 + x3 + x4 Maka d(C) ≤ wt(g(x)) = 4. Disisi lain dengan menggunakan teorema 4.16 didapat d(C) ≥ 4. Jadi, d(C) = 4. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH Codes Pada bagian akan diberikan algoritma dalam decoding BCH code yang dibagi menjadi 3 yaitu : Menghitung syndrome Menemukan error locator polynomial Menemukan semua akar dari error locator polynomial Untuk menyederhanakannya, kita hanya akan mendiskusikan decoding narrow sense binary BCH codes. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH Codes Pada bagian akan diberikan algoritma dalam decoding BCH code yang dibagi menjadi 3 yaitu : Menghitung syndrome Menemukan error locator polynomial Menemukan semua akar dari error locator polynomial Untuk menyederhanakannya, kita hanya akan mendiskusikan decoding narrow sense binary BCH codes. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH Codes Pada bagian akan diberikan algoritma dalam decoding BCH code yang dibagi menjadi 3 yaitu : Menghitung syndrome Menemukan error locator polynomial Menemukan semua akar dari error locator polynomial Untuk menyederhanakannya, kita hanya akan mendiskusikan decoding narrow sense binary BCH codes. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH Codes Misalkan C narrow sense binary BCH codes dengan panjang n = 2m − 1 dan design distance δ = 2t + 1 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(1)(x), M(2)(x), . . . , M(δ−1)(x)), dimana M(i)(x) adalah polynomial minimal dari αi terhadap F2 untuk elemen primitif α ∈ F2m . Ambil H =        1 α (α)2 . . . (α)n−1 1 α2 (α2)2 . . . (α2)n−1 1 α3 (α3)2 . . . (α3)n−1 ... ... ... . . . ... 1 αδ−1 (αδ−1)2 . . . (αδ−1)n−1        (5) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH codes Maka bisa ditunjukkan bahwa word c ∈ Fn 2 adalah codeword C jika hanya jika cHT = 0. Selanjutnya, kita bisa mendefinisikan sindrome SH(w) dari w ∈ Fn 2 terhadap H adalah wHT . Andaikan bahwa w(x) = w0 + w1x + . . . + wn−1xn−1 word yang diterima dengan error polynomial e(x) memenuhi wt(e(x)) ≤ t. Ambil c(x) = w(x) − e(x) maka c(x) adalah codeword. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH codes Maka bisa ditunjukkan bahwa word c ∈ Fn 2 adalah codeword C jika hanya jika cHT = 0. Selanjutnya, kita bisa mendefinisikan sindrome SH(w) dari w ∈ Fn 2 terhadap H adalah wHT . Andaikan bahwa w(x) = w0 + w1x + . . . + wn−1xn−1 word yang diterima dengan error polynomial e(x) memenuhi wt(e(x)) ≤ t. Ambil c(x) = w(x) − e(x) maka c(x) adalah codeword. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Tahap 1. Menghitung Sindrome Sindrome w(x) adalah (s0, s1, . . . , sδ−2) := (w0, w1, . . . , wn−1)HT sehingga si = w(αi+1) = e(αi+1) untuk setiap i = 0, 1, . . . , δ − 2, ketika αi+1 adalah akar-akar dari g(x). Asumsikan bahwa error diambil di posisi i0, i1, . . . , il−1 dengan l ≤ t didapat e(x) = xi0 + xi1 + · · · + xil−1 (6) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Maka kita mendapatkan sistem persamaan αi0 + αi1 + · · · + αil−1 = s0=w(α), (αi0 )2 + (αi1 )2 + · · · + (αil−1 )2 = s1 =w(α2), ... ... ... (αi0 )δ−1 + (αi1 )δ−1 + · · · + (αil−1 )δ−1 = sδ−2=w(αδ−1). (7) sebarang metode diatas untuk menyelesaikan sistem persamaan diatas merupakan algoritma decoding untuk BCH codes. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Tahap 2. Menemukan error locator polynomial Untuk e(x) = xi0 + xi1 + · · · + xil−1 , didefinisikan error locator polynomial oleh σ(z) := l−1 j=0 (1 − αij z). Ini dapat ditemukan bahwa posisi error ij sejauh semua akar-akar σ(z) yang diketahui. Untuk tahap ini, kita harus menentukan error locator polynomial σ(z). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Teorema Andaikan polynomial sindrome s(z) = δ−2 j=0 sjzj adalah bukan polynomial nol. Maka terdapat polynomial tak nol r(z) ∈ F2m [z] dengan demikian deg(r(z)) ≤ t − 1, gcd(r(z), σ(z)) = 1 dan r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod zδ−1 ) (8) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lebih jauh, untuk sebarang pasangan (u(z), v(z)) polynomial tak nol atas F2m memenuhi deg(u(z)) ≤ t − 1, deg(v(z)) ≤ t dan u(z) ≡ s(z)v(z) (mod zδ−1 ) (9) Kita mempunyai σ(z) = βv(z), r(z) = βu(z), (10) untuk elemen tak nol β ∈ F2m . Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Tahap 3. Menemukan akar -akar error locator polynomial Untuk melakukannya, kita bisa mencari semua kemungkinan akar -akar dengan menggunakan σ(z) di αi, untuk semua i = 1, 2, . . . . . Setelah semua akar -akarnya αi1 , . . . , αil dari σ(z) ditemukan, kita mendapatkan error polynomial persamaan (??) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.18 Misalkan α akar dari g(x) = 1 + x + x3 ∈ F2[x]. Maka Hamming code yang dibangun oleh g(x) =lcm(M(1)(x), M(2)(x)) mempunyai design distance δ = 3. Andaikan bahwa w(x) = 1 + x + x2 + x3 word yang diterima. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Menghitung sindrome : (s0, s1) = (w(α), w(α2 )) = (α2 , α4 ) Menemukan error locator polynomial : Selesaikan kongruensi polynomial r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod z2 ) dengan deg(r(z)) = 0 dan deg(σ(z)) ≤ 1, dan s(z) = α2 + α4 z. Kita mempunyai σ(z) = 1 + α2z dan r(z) = α2. Selanjutnya didapat error di tempat ketiga. Jadi, kita bisa memperbaiki(decode) w(x) ke w(x) − x2 = 1 + x + x3 = 1101000. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Kesimpulan BCH Code merupakan generalisasi dari Hamming code dan didefinisikan dari kelipatan persekutuaan terkecil dari suku banyak monic dengan derajat terkecil atau lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft (x)) Didalam pembahasan paper ini hanya dibahas BCH code sebagai suku banyak. Adapun penerapan dari BCH codes sendiri adalah sistem komunikasi via satelit, pemutar CD(compact disk), DVD, disk drivers, dan barcode dua dimensi. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes

Recommended

Bch codes final slide
Bch codes final slide Bch codes final slide
Bch codes final slide Hirwanto Iwan
 
Transparansi Background with LaTeX beamer
Transparansi Background with LaTeX beamerTransparansi Background with LaTeX beamer
Transparansi Background with LaTeX beamerHirwanto Iwan
 
A Beautiful Beamer LaTeX
A Beautiful Beamer LaTeXA Beautiful Beamer LaTeX
A Beautiful Beamer LaTeXHirwanto Iwan
 
Papercoding Final
Papercoding FinalPapercoding Final
Papercoding FinalHirwanto Iwan
 
Bch codes
Bch codesBch codes
Bch codesHirwanto Iwan
 
maksimum dan minimum
maksimum dan minimummaksimum dan minimum
maksimum dan minimumFazar Ikhwan Guntara
 
-integral
-integral-integral
-integraldihdih
 
Kalkulus modul viii turunan
Kalkulus modul viii turunanKalkulus modul viii turunan
Kalkulus modul viii turunanLukmanulhakim Almamalik
 

Recommended

Bch codes final slide
Bch codes final slide Bch codes final slide
Bch codes final slide Hirwanto Iwan
 
Transparansi Background with LaTeX beamer
Transparansi Background with LaTeX beamerTransparansi Background with LaTeX beamer
Transparansi Background with LaTeX beamerHirwanto Iwan
 
A Beautiful Beamer LaTeX
A Beautiful Beamer LaTeXA Beautiful Beamer LaTeX
A Beautiful Beamer LaTeXHirwanto Iwan
 
Papercoding Final
Papercoding FinalPapercoding Final
Papercoding FinalHirwanto Iwan
 
Bch codes
Bch codesBch codes
Bch codesHirwanto Iwan
 
maksimum dan minimum
maksimum dan minimummaksimum dan minimum
maksimum dan minimumFazar Ikhwan Guntara
 
-integral
-integral-integral
-integraldihdih
 
Kalkulus modul viii turunan
Kalkulus modul viii turunanKalkulus modul viii turunan
Kalkulus modul viii turunanLukmanulhakim Almamalik
 
terapan turunan
terapan turunan terapan turunan
terapan turunan IKHTIAR SETIAWAN
 
Bab 8
Bab 8Bab 8
Bab 8Hidayati Rusnedy
 
06 intergral reimann
06 intergral reimann06 intergral reimann
06 intergral reimannZhand Radja
 
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsi
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsiModul matematika-kelas-xi-turunan-fungsi
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsiSepkli Eka
 
Integral Riemann Stieltjes
Integral Riemann StieltjesIntegral Riemann Stieltjes
Integral Riemann StieltjesJoko Soebagyo
 
Bab 3 Aljabar Boole
Bab 3 Aljabar BooleBab 3 Aljabar Boole
Bab 3 Aljabar BooleMustahal SSi
 
Matematika Diskrit part 1
Matematika Diskrit part 1Matematika Diskrit part 1
Matematika Diskrit part 1radar radius
 
Klp 1 metode numerik lanjut
Klp 1 metode numerik lanjutKlp 1 metode numerik lanjut
Klp 1 metode numerik lanjutAriy Anto
 
mtk suku banyak
mtk suku banyakmtk suku banyak
mtk suku banyakHadi Syahir
 
Reed Solomon Code
Reed Solomon CodeReed Solomon Code
Reed Solomon Codeadi234
 
Teorema Dasar Kalkulus
Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus
Teorema Dasar KalkulusNida Shafiyanti
 
TEOREMA DASAR KALKULUS
TEOREMA DASAR KALKULUSTEOREMA DASAR KALKULUS
TEOREMA DASAR KALKULUSNurul Ulfah
 
Turunan numerik
Turunan numerikTurunan numerik
Turunan numerikBobby Chandra
 
Fungsi
FungsiFungsi
FungsiImamz Miiztik
 
Continuity and Gauges
Continuity and GaugesContinuity and Gauges
Continuity and GaugesNida Shafiyanti
 
Bab 7 penggunaan turunan
Bab 7 penggunaan turunanBab 7 penggunaan turunan
Bab 7 penggunaan turunanDaud Sulaeman
 
Teorema faktor
Teorema faktorTeorema faktor
Teorema faktorCristover Fernando
 
Materi aljabar boolean
Materi aljabar booleanMateri aljabar boolean
Materi aljabar booleanMustahal SSi
 
Ujian akhir semester ganjil 2013 metode numerik
Ujian akhir semester ganjil 2013 metode numerikUjian akhir semester ganjil 2013 metode numerik
Ujian akhir semester ganjil 2013 metode numerikEdi Irwadi
 
Suku Banyak
Suku BanyakSuku Banyak
Suku BanyakNamasaya Abi
 
67 FPB or FPT.ppt
67 FPB or FPT.ppt67 FPB or FPT.ppt
67 FPB or FPT.pptHendartoCahyono1
 
15023 pr04
15023 pr0415023 pr04
15023 pr04Mutia Sari
 

More Related Content

What's hot

06 intergral reimann
06 intergral reimann06 intergral reimann
06 intergral reimannZhand Radja
 
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsi
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsiModul matematika-kelas-xi-turunan-fungsi
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsiSepkli Eka
 
Integral Riemann Stieltjes
Integral Riemann StieltjesIntegral Riemann Stieltjes
Integral Riemann StieltjesJoko Soebagyo
 
Bab 3 Aljabar Boole
Bab 3 Aljabar BooleBab 3 Aljabar Boole
Bab 3 Aljabar BooleMustahal SSi
 
Matematika Diskrit part 1
Matematika Diskrit part 1Matematika Diskrit part 1
Matematika Diskrit part 1radar radius
 
Klp 1 metode numerik lanjut
Klp 1 metode numerik lanjutKlp 1 metode numerik lanjut
Klp 1 metode numerik lanjutAriy Anto
 
Reed Solomon Code
Reed Solomon CodeReed Solomon Code
Reed Solomon Codeadi234
 
TEOREMA DASAR KALKULUS
TEOREMA DASAR KALKULUSTEOREMA DASAR KALKULUS
TEOREMA DASAR KALKULUSNurul Ulfah
 
Bab 7 penggunaan turunan
Bab 7 penggunaan turunanBab 7 penggunaan turunan
Bab 7 penggunaan turunanDaud Sulaeman
 
Materi aljabar boolean
Materi aljabar booleanMateri aljabar boolean
Materi aljabar booleanMustahal SSi
 
Ujian akhir semester ganjil 2013 metode numerik
Ujian akhir semester ganjil 2013 metode numerikUjian akhir semester ganjil 2013 metode numerik
Ujian akhir semester ganjil 2013 metode numerikEdi Irwadi
 

What's hot (20)

terapan turunan
terapan turunan terapan turunan
terapan turunan
 
Bab 8
Bab 8Bab 8
Bab 8
 
06 intergral reimann
06 intergral reimann06 intergral reimann
06 intergral reimann
 
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsi
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsiModul matematika-kelas-xi-turunan-fungsi
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsi
 
Integral Riemann Stieltjes
Integral Riemann StieltjesIntegral Riemann Stieltjes
Integral Riemann Stieltjes
 
Bab 3 Aljabar Boole
Bab 3 Aljabar BooleBab 3 Aljabar Boole
Bab 3 Aljabar Boole
 
Matematika Diskrit part 1
Matematika Diskrit part 1Matematika Diskrit part 1
Matematika Diskrit part 1
 
Klp 1 metode numerik lanjut
Klp 1 metode numerik lanjutKlp 1 metode numerik lanjut
Klp 1 metode numerik lanjut
 
mtk suku banyak
mtk suku banyakmtk suku banyak
mtk suku banyak
 
Reed Solomon Code
Reed Solomon CodeReed Solomon Code
Reed Solomon Code
 
Teorema Dasar Kalkulus
Teorema Dasar KalkulusTeorema Dasar Kalkulus
Teorema Dasar Kalkulus
 
TEOREMA DASAR KALKULUS
TEOREMA DASAR KALKULUSTEOREMA DASAR KALKULUS
TEOREMA DASAR KALKULUS
 
Turunan numerik
Turunan numerikTurunan numerik
Turunan numerik
 
Fungsi
FungsiFungsi
Fungsi
 
Continuity and Gauges
Continuity and GaugesContinuity and Gauges
Continuity and Gauges
 
Bab 7 penggunaan turunan
Bab 7 penggunaan turunanBab 7 penggunaan turunan
Bab 7 penggunaan turunan
 
Teorema faktor
Teorema faktorTeorema faktor
Teorema faktor
 
Materi aljabar boolean
Materi aljabar booleanMateri aljabar boolean
Materi aljabar boolean
 
Ujian akhir semester ganjil 2013 metode numerik
Ujian akhir semester ganjil 2013 metode numerikUjian akhir semester ganjil 2013 metode numerik
Ujian akhir semester ganjil 2013 metode numerik
 
Suku Banyak
Suku BanyakSuku Banyak
Suku Banyak
 

Similar to Presentasi Coding versi Beta(belum final)

PENERAPAN DIFFERENSIASI
PENERAPAN DIFFERENSIASIPENERAPAN DIFFERENSIASI
PENERAPAN DIFFERENSIASIOng Lukman
 
Modul 4 kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linierModul 4 kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linierAcika Karunila
 
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatikametode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatikarukmono budi utomo
 
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).ppt
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).pptmateri matkul MetNum3-PersNonLInier (1).ppt
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).pptasmaun4
 
Pengertian polinomial, contoh soal polinomial dengan pembahasanya
Pengertian polinomial, contoh soal polinomial dengan pembahasanyaPengertian polinomial, contoh soal polinomial dengan pembahasanya
Pengertian polinomial, contoh soal polinomial dengan pembahasanyafetrina suwarna
 
Menentukan faktor penyebab penggunaan kacamata pada penggunaan turunan dalam ...
Menentukan faktor penyebab penggunaan kacamata pada penggunaan turunan dalam ...Menentukan faktor penyebab penggunaan kacamata pada penggunaan turunan dalam ...
Menentukan faktor penyebab penggunaan kacamata pada penggunaan turunan dalam ...Linda Rosita
 
Contoh soal dan penyelesaian metode biseksi
Contoh soal dan penyelesaian metode biseksiContoh soal dan penyelesaian metode biseksi
Contoh soal dan penyelesaian metode biseksimuhamadaulia3
 
Limit Fungsi di Ruang Metrik
Limit Fungsi di Ruang MetrikLimit Fungsi di Ruang Metrik
Limit Fungsi di Ruang MetrikNida Shafiyanti
 

Similar to Presentasi Coding versi Beta(belum final) (20)

67 FPB or FPT.ppt
67 FPB or FPT.ppt67 FPB or FPT.ppt
67 FPB or FPT.ppt
 
15023 pr04
15023 pr0415023 pr04
15023 pr04
 
PENERAPAN DIFFERENSIASI
PENERAPAN DIFFERENSIASIPENERAPAN DIFFERENSIASI
PENERAPAN DIFFERENSIASI
 
Modul 4 kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linierModul 4 kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linier
 
Makalah mtk
Makalah mtkMakalah mtk
Makalah mtk
 
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatikametode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
metode numerik stepest descent dengan rerata aritmatika
 
Akar persamaan
Akar persamaanAkar persamaan
Akar persamaan
 
Andi navira
Andi naviraAndi navira
Andi navira
 
Andi navira
Andi naviraAndi navira
Andi navira
 
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).ppt
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).pptmateri matkul MetNum3-PersNonLInier (1).ppt
materi matkul MetNum3-PersNonLInier (1).ppt
 
Andi navira indyani
Andi navira indyaniAndi navira indyani
Andi navira indyani
 
Andi navira indyanii
Andi navira indyaniiAndi navira indyanii
Andi navira indyanii
 
kuliah ecc
kuliah ecckuliah ecc
kuliah ecc
 
Pengertian polinomial, contoh soal polinomial dengan pembahasanya
Pengertian polinomial, contoh soal polinomial dengan pembahasanyaPengertian polinomial, contoh soal polinomial dengan pembahasanya
Pengertian polinomial, contoh soal polinomial dengan pembahasanya
 
Menentukan faktor penyebab penggunaan kacamata pada penggunaan turunan dalam ...
Menentukan faktor penyebab penggunaan kacamata pada penggunaan turunan dalam ...Menentukan faktor penyebab penggunaan kacamata pada penggunaan turunan dalam ...
Menentukan faktor penyebab penggunaan kacamata pada penggunaan turunan dalam ...
 
Contoh soal dan penyelesaian metode biseksi
Contoh soal dan penyelesaian metode biseksiContoh soal dan penyelesaian metode biseksi
Contoh soal dan penyelesaian metode biseksi
 
Pp 12(bab6)
Pp 12(bab6)Pp 12(bab6)
Pp 12(bab6)
 
Polinomial editan
Polinomial editanPolinomial editan
Polinomial editan
 
Fungsi pecah pada aljabar
Fungsi pecah pada aljabarFungsi pecah pada aljabar
Fungsi pecah pada aljabar
 
Limit Fungsi di Ruang Metrik
Limit Fungsi di Ruang MetrikLimit Fungsi di Ruang Metrik
Limit Fungsi di Ruang Metrik
 

Recently uploaded

Modul 5 Simetri (simetri lipat, simetri putar)
Modul 5 Simetri (simetri lipat, simetri putar)Modul 5 Simetri (simetri lipat, simetri putar)
Modul 5 Simetri (simetri lipat, simetri putar)BashoriAlwi4
 
MODUL AJAR SENI TARI KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI TARI KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR SENI TARI KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI TARI KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdfAndiCoc
 
MODUL AJAR IPAS KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR IPAS KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR IPAS KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR IPAS KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfAndiCoc
 
PPT BAHASA INDONESIA KELAS 1 SEKOLAH DASAR
PPT BAHASA INDONESIA KELAS 1 SEKOLAH DASARPPT BAHASA INDONESIA KELAS 1 SEKOLAH DASAR
PPT BAHASA INDONESIA KELAS 1 SEKOLAH DASARElviraDemona
 
PPT PENDIDIKAN KELAS RANGKAP MODUL 3 KELOMPOK 3.pptx
PPT PENDIDIKAN KELAS RANGKAP MODUL 3 KELOMPOK 3.pptxPPT PENDIDIKAN KELAS RANGKAP MODUL 3 KELOMPOK 3.pptx
PPT PENDIDIKAN KELAS RANGKAP MODUL 3 KELOMPOK 3.pptxJawahirIhsan
 
SISTEM SARAF OTONOM_.SISTEM SARAF OTONOM
SISTEM SARAF OTONOM_.SISTEM SARAF OTONOMSISTEM SARAF OTONOM_.SISTEM SARAF OTONOM
SISTEM SARAF OTONOM_.SISTEM SARAF OTONOMhanyakaryawan1
 
Webinar 1_Pendidikan Berjenjang Pendidikan Inklusif.pdf
Webinar 1_Pendidikan Berjenjang Pendidikan Inklusif.pdfWebinar 1_Pendidikan Berjenjang Pendidikan Inklusif.pdf
Webinar 1_Pendidikan Berjenjang Pendidikan Inklusif.pdfTeukuEriSyahputra
 
Asimilasi Masyarakat Cina Dengan Orang Melayu di Kelantan (Cina Peranakan Kel...
Asimilasi Masyarakat Cina Dengan Orang Melayu di Kelantan (Cina Peranakan Kel...Asimilasi Masyarakat Cina Dengan Orang Melayu di Kelantan (Cina Peranakan Kel...
Asimilasi Masyarakat Cina Dengan Orang Melayu di Kelantan (Cina Peranakan Kel...luqmanhakimkhairudin
 
KISI-KISI SOAL DAN KARTU SOAL BAHASA INGGRIS.docx
KISI-KISI SOAL DAN KARTU SOAL BAHASA INGGRIS.docxKISI-KISI SOAL DAN KARTU SOAL BAHASA INGGRIS.docx
KISI-KISI SOAL DAN KARTU SOAL BAHASA INGGRIS.docxDewiUmbar
 
MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdfAndiCoc
 
Aksi Nyata profil pelajar pancasila.pptx
Aksi Nyata profil pelajar pancasila.pptxAksi Nyata profil pelajar pancasila.pptx
Aksi Nyata profil pelajar pancasila.pptxTekiMulyani
 
AKSI NYATA DISIPLIN POSITIF MEMBUAT KEYAKINAN KELAS_11zon.pptx
AKSI NYATA DISIPLIN POSITIF MEMBUAT KEYAKINAN KELAS_11zon.pptxAKSI NYATA DISIPLIN POSITIF MEMBUAT KEYAKINAN KELAS_11zon.pptx
AKSI NYATA DISIPLIN POSITIF MEMBUAT KEYAKINAN KELAS_11zon.pptxcupulin
 
IPS - karakteristik geografis, sosial, budaya, dan ekonomi di ASEAN
IPS - karakteristik geografis, sosial, budaya, dan ekonomi di ASEANIPS - karakteristik geografis, sosial, budaya, dan ekonomi di ASEAN
IPS - karakteristik geografis, sosial, budaya, dan ekonomi di ASEANGilangNandiaputri1
 
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdfAndiCoc
 
PPT kerajaan islam Maluku Utara PPT sejarah kelas XI
PPT kerajaan islam Maluku Utara PPT sejarah kelas XIPPT kerajaan islam Maluku Utara PPT sejarah kelas XI
PPT kerajaan islam Maluku Utara PPT sejarah kelas XIHepySari1
 
konsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatan
konsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatankonsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatan
konsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatanSuzanDwiPutra
 
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptxfurqanridha
 
Laporan RHK PMM Observasi Target Perilaku.docx
Laporan RHK PMM Observasi Target Perilaku.docxLaporan RHK PMM Observasi Target Perilaku.docx
Laporan RHK PMM Observasi Target Perilaku.docxJajang Sulaeman
 
Detik-Detik Proklamasi Indonesia pada Tahun 1945
Detik-Detik Proklamasi Indonesia pada Tahun 1945Detik-Detik Proklamasi Indonesia pada Tahun 1945
Detik-Detik Proklamasi Indonesia pada Tahun 1945nrein671
 
Materi Bab 6 Algoritma dan bahasa Pemrograman
Materi Bab 6 Algoritma dan bahasa PemrogramanMateri Bab 6 Algoritma dan bahasa Pemrograman
Materi Bab 6 Algoritma dan bahasa PemrogramanSaeranSaeran1
 

Recently uploaded (20)

Modul 5 Simetri (simetri lipat, simetri putar)
Modul 5 Simetri (simetri lipat, simetri putar)Modul 5 Simetri (simetri lipat, simetri putar)
Modul 5 Simetri (simetri lipat, simetri putar)
 
MODUL AJAR SENI TARI KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI TARI KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR SENI TARI KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI TARI KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
MODUL AJAR IPAS KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR IPAS KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR IPAS KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR IPAS KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
PPT BAHASA INDONESIA KELAS 1 SEKOLAH DASAR
PPT BAHASA INDONESIA KELAS 1 SEKOLAH DASARPPT BAHASA INDONESIA KELAS 1 SEKOLAH DASAR
PPT BAHASA INDONESIA KELAS 1 SEKOLAH DASAR
 
PPT PENDIDIKAN KELAS RANGKAP MODUL 3 KELOMPOK 3.pptx
PPT PENDIDIKAN KELAS RANGKAP MODUL 3 KELOMPOK 3.pptxPPT PENDIDIKAN KELAS RANGKAP MODUL 3 KELOMPOK 3.pptx
PPT PENDIDIKAN KELAS RANGKAP MODUL 3 KELOMPOK 3.pptx
 
SISTEM SARAF OTONOM_.SISTEM SARAF OTONOM
SISTEM SARAF OTONOM_.SISTEM SARAF OTONOMSISTEM SARAF OTONOM_.SISTEM SARAF OTONOM
SISTEM SARAF OTONOM_.SISTEM SARAF OTONOM
 
Webinar 1_Pendidikan Berjenjang Pendidikan Inklusif.pdf
Webinar 1_Pendidikan Berjenjang Pendidikan Inklusif.pdfWebinar 1_Pendidikan Berjenjang Pendidikan Inklusif.pdf
Webinar 1_Pendidikan Berjenjang Pendidikan Inklusif.pdf
 
Asimilasi Masyarakat Cina Dengan Orang Melayu di Kelantan (Cina Peranakan Kel...
Asimilasi Masyarakat Cina Dengan Orang Melayu di Kelantan (Cina Peranakan Kel...Asimilasi Masyarakat Cina Dengan Orang Melayu di Kelantan (Cina Peranakan Kel...
Asimilasi Masyarakat Cina Dengan Orang Melayu di Kelantan (Cina Peranakan Kel...
 
KISI-KISI SOAL DAN KARTU SOAL BAHASA INGGRIS.docx
KISI-KISI SOAL DAN KARTU SOAL BAHASA INGGRIS.docxKISI-KISI SOAL DAN KARTU SOAL BAHASA INGGRIS.docx
KISI-KISI SOAL DAN KARTU SOAL BAHASA INGGRIS.docx
 
MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 3 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
Aksi Nyata profil pelajar pancasila.pptx
Aksi Nyata profil pelajar pancasila.pptxAksi Nyata profil pelajar pancasila.pptx
Aksi Nyata profil pelajar pancasila.pptx
 
AKSI NYATA DISIPLIN POSITIF MEMBUAT KEYAKINAN KELAS_11zon.pptx
AKSI NYATA DISIPLIN POSITIF MEMBUAT KEYAKINAN KELAS_11zon.pptxAKSI NYATA DISIPLIN POSITIF MEMBUAT KEYAKINAN KELAS_11zon.pptx
AKSI NYATA DISIPLIN POSITIF MEMBUAT KEYAKINAN KELAS_11zon.pptx
 
IPS - karakteristik geografis, sosial, budaya, dan ekonomi di ASEAN
IPS - karakteristik geografis, sosial, budaya, dan ekonomi di ASEANIPS - karakteristik geografis, sosial, budaya, dan ekonomi di ASEAN
IPS - karakteristik geografis, sosial, budaya, dan ekonomi di ASEAN
 
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
PPT kerajaan islam Maluku Utara PPT sejarah kelas XI
PPT kerajaan islam Maluku Utara PPT sejarah kelas XIPPT kerajaan islam Maluku Utara PPT sejarah kelas XI
PPT kerajaan islam Maluku Utara PPT sejarah kelas XI
 
konsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatan
konsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatankonsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatan
konsep pidato Bahaya Merokok bagi kesehatan
 
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx
 
Laporan RHK PMM Observasi Target Perilaku.docx
Laporan RHK PMM Observasi Target Perilaku.docxLaporan RHK PMM Observasi Target Perilaku.docx
Laporan RHK PMM Observasi Target Perilaku.docx
 
Detik-Detik Proklamasi Indonesia pada Tahun 1945
Detik-Detik Proklamasi Indonesia pada Tahun 1945Detik-Detik Proklamasi Indonesia pada Tahun 1945
Detik-Detik Proklamasi Indonesia pada Tahun 1945
 
Materi Bab 6 Algoritma dan bahasa Pemrograman
Materi Bab 6 Algoritma dan bahasa PemrogramanMateri Bab 6 Algoritma dan bahasa Pemrograman
Materi Bab 6 Algoritma dan bahasa Pemrograman
 

Presentasi Coding versi Beta(belum final)

  • 1. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan BCH Codes (Bose -Chaudhuri- Hocquenghem Codes) Wawin1 Qori Maryamah1 Aliyah1 Hirwanto1 1Universitas Gadjah Mada,Yogyakarta, Indonesia Presentasi Paper BCH Codes, 2013 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 2. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Motivasi 3 Dasar Teori Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 4 Pembahasan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code 5 Kesimpulan Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 3. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan BCH Codes BCH codes merupakan salah satu kelas yang sangat penting dari kode siklik yang mulai dikembangkan pada tahun 1960 oleh R.C. Bose dan D.Ray-Cahudhuri kemudian dilanjutkan oleh A. Hocquenghem sehingga biasa disebut BCH codes (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codes) dan merupakan generalisasi dari Hamming code untuk mengoreksi kesalahan ganda( multiple error correction). BCH code didefinisikan oleh kelipatan persekutuan terkecil (f1(x), f2(x), ..., ft (x)) suku banyak yang diberikan. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 4. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Motivasi Secara khusus, kode siklik didapat dari generator suku banyaknya. Bagaimanapun, umumnya kita kesulitan dalam mendapatkan informasi pada jarak minimum(minimum distance) kode siklik dari generator suku banyaknya, meskipun kita dapat melengkapi hasilnya. Dengan kata lain, kita perlu memilih beberapa generator khusus suku banyaknya sehingga kita bisa mendapatkan informasi dengan algoritma yang lebih sederhana dan lebih efisien. Kita selanjutnya akan mendiskusikan salah satu generator khusus yang kita pilih yaitu BCH-code, dan juga bagaimana kita membentuk algoritma untuk BCH- codes. Untuk generator khusus yang lain seperti Reed Solomon, Quadratic-Residus Code. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 5. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Finite Field Definisi 3.1 Field dengan | F |< ∞ disebut lapangan hingga(finite field) dan F∗ sebagai himpunan F {0}. Definisi 3.2 Misalkan F lapangan. Karakteristik F adalah bilangan bulat positif terkecil m dengan demikian bahwa m i=1 1 = 1 + 1 + . . . + 1 = 0 dimana 1 ∈ F. Jika m tidak ada maka karakteristiknya 0. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 6. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Finite Field Definisi 3.1 Field dengan | F |< ∞ disebut lapangan hingga(finite field) dan F∗ sebagai himpunan F {0}. Definisi 3.2 Misalkan F lapangan. Karakteristik F adalah bilangan bulat positif terkecil m dengan demikian bahwa m i=1 1 = 1 + 1 + . . . + 1 = 0 dimana 1 ∈ F. Jika m tidak ada maka karakteristiknya 0. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 7. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Lemma Lemma 3.3 Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka (α + β)p = αp + βp Definisi 3.4 Anggota α ∈ F lapangan hingga dikatakan generator F∗ atau elemen primitif jika {αi : i ≥ 0} = F∗ Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 8. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Lemma Lemma 3.3 Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka (α + β)p = αp + βp Definisi 3.4 Anggota α ∈ F lapangan hingga dikatakan generator F∗ atau elemen primitif jika {αi : i ≥ 0} = F∗ Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 9. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Lemma Lemma 3.3 Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka (α + β)p = αp + βp Definisi 3.4 Anggota α ∈ F lapangan hingga dikatakan generator F∗ atau elemen primitif jika {αi : i ≥ 0} = F∗ Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 10. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Contoh Contoh 3.5 Diberikan GF(9) yang dikontruksikan menggunakan polynomial yang irreducible f(x) = x2 + 1 ∈ Z3[x]. Carilah elemen primitif. Kita akan mencoba bahwa α = x + 1 merupakan elemen primitif maka (1 + x)0 = 1 (1 + x)4 = 2 (1 + x)1 = 1 + x (1 + x)5 = 2 + 2x (1 + x)2 = 2x (1 + x)6 = x (1 + x)3 = 1 + 2x (1 + x)7 = 2 + x Jadi α = 1 + x merupakan elemen primitif untuk GF(9) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 11. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Ring Polynomial Definisi 3.6 Misalkan F merupakan lapangan. Himpunan F[x] = { n i=0 aixi : ai ∈ F, n ≥ 0} disebut sebagai ring polynomial atas F. Teorema 3.7 Misalkan f(x) suku banyak atas F dengan derajat(degree) ≥ 1. Maka F[x]/(f(x)) bersama dengan operasi penjumlahan dan perkalian berbentuk gelanggang. Lebih jauh, F[x]/(f(x)) adalah lapangan jika dan hanya jika irreducible. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 12. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Lemma Lemma 3.8 Untuk setiap anggota tak nol α ∈ GF(q), αq−1 = 1. Selanjutnya, α ∈ GF(qm) jika hanya jika αq = α. Lemma 3.9 Untuk setiap elemen β dari finite field F dengan q elemen, kita mempunyai βq = β Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 13. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Minimal Polynomial Definisi 3.10 Misalkan F lapangan dengan karakteristik p dan misalkan α ∈ F∗. Suku banyak minimal α terhadap GF(p) merupakan suku banyak monic m(x) derajat terkecil di GF(p)[x] dengan demikian m(α) = 0. Teorema 3.11 Suku banyak minimal anggota α tunggal. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 14. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 1. Bukti Teorema 3.2 Andaikan F = GF(q) dan F mempunyai karakteristik p. Mengikuti Lemma 3.8 bahwa α memenuhi suku banyak xq−1 − 1 ∈ GF(p)[x]. Ketika terdapat suatu suku banyak GF(p)[x] dengan α akarnya maka ada salah satu dari akarnya dengan derajat terkecil. Ini mengatakan bahwa ada suku banyak minimal yaitu m(x). Andaikan ada dua suku banyak monic m1(x) dan m2(x) dengan derajat terkecil mempunyai akar α. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 15. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 1. Bukti Teorema 3.2 Andaikan F = GF(q) dan F mempunyai karakteristik p. Mengikuti Lemma 3.8 bahwa α memenuhi suku banyak xq−1 − 1 ∈ GF(p)[x]. Ketika terdapat suatu suku banyak GF(p)[x] dengan α akarnya maka ada salah satu dari akarnya dengan derajat terkecil. Ini mengatakan bahwa ada suku banyak minimal yaitu m(x). Andaikan ada dua suku banyak monic m1(x) dan m2(x) dengan derajat terkecil mempunyai akar α. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 16. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 2. Lanjutan Bukti Teorema 3.2 Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat m1(x) = l(x)m2(x) + r(x), dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0 dan m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x) mempunyai derajat terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x) membagi m1(x). Dengan cara yang sama, m1(x) membagi m2(x) dan ketika keduanya merupakan suku banyak monic, maka m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal. Teorema 3.12 Untuk α ∈ F∗, suku banyak minimal α, maka m(α)(x) adalah suku banyak yang irreducible. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 17. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 2. Lanjutan Bukti Teorema 3.2 Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat m1(x) = l(x)m2(x) + r(x), dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0 dan m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x) mempunyai derajat terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x) membagi m1(x). Dengan cara yang sama, m1(x) membagi m2(x) dan ketika keduanya merupakan suku banyak monic, maka m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal. Teorema 3.12 Untuk α ∈ F∗, suku banyak minimal α, maka m(α)(x) adalah suku banyak yang irreducible. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 18. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 2. Lanjutan Bukti Teorema 3.2 Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat m1(x) = l(x)m2(x) + r(x), dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0 dan m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x) mempunyai derajat terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x) membagi m1(x). Dengan cara yang sama, m1(x) membagi m2(x) dan ketika keduanya merupakan suku banyak monic, maka m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal. Teorema 3.12 Untuk α ∈ F∗, suku banyak minimal α, maka m(α)(x) adalah suku banyak yang irreducible. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 19. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Definisi 3.13 Untuk α ∈ F, misalkan t bilangan bulat positif terkecil dengan demikian αpt = α, maka himpunan conjugates dari α(terhadap GF(p)) adalah C(α) = {α, αp , αp2 , αp3 , . . . , αpt−1 } C(α) = C(αpi ), ∀i ∈ F lapangan dengan karakteristik p Lemma 3.14 Misalkan F lapangan hingga dengan karakteristik p, misalkan α ∈ F∗, dan C(α) himpunan konjugat α terhadap GF(q), maka m(x) = β∈C(α) (x − β) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 20. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Bukti Lemma 3.5 Misalkan m(x) = t i=0 mixi dengan koefisien mi ∈ F, kita catatan bahwa m(x)p = β∈C(α)(xβ)p = β∈C(α)(xp − βp) = β∈C(α)(xp − β) = m(xp) = t i=1 xip Dengan mengikuti Lemma 3.3 didapat bahwa {β : β ∈ C(α)} = {βp : β ∈ C(α)} Dilain pihak, kita dapatkan bahwa m(x)p = t i=1 (mixi )p = t i=1 mp i xip Jadi, mi = mp i dan dengan menggunakan Lemma 3.8 sehingga terbukti bahwa mi ∈ GF(p), 0 ≤ i ≤ t. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 21. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Teorema 3.15 Untuk α ∈ F, suku banyak minimal α diberikan oleh mα(x) = β∈C(α) (x − β) Contoh 3.16 Kontruksikan lapangan F = GF(23). Hal pertama yang diperlukan adalah suku banyak pangkat tiga atas Z2. Misalkan kita mengambil f(x) = x3 + x + 1 dan anggota-anggota F adalah {0, 1, x, x + 1, x + x2 , x2 , 1 + x2 , 1 + x + x2 }. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 22. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 1. Penyelesaian Contoh 3.7 Ketika x3 + x + 1 = 0 mod f(x), maka kita mempunyai x3 ≡ −x − 1 = x + 1(mod(f(x))), dan 1 = −1 ∈ Z2. Selanjutnya kita tuliskan anggota lapangan dengan a0 + a1x + a2x2, maka didapatkan 0 = (000) x2 = (001) 1 = (100) 1 + x2 = (101) x = (010) x + x2 = (011) 1 + x = (110) 1 + x + x2 = (111) Jika kita mengambil α, maka dengan mudah kita dapatkan bahwa α merupakan generator F. Andaikan kita mengambil β = (101) dan kita akan dicari mβ(x). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 23. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 2. Lanjutan Penyelesaian Contoh 3.7 Dengan menggunakan Teorema 3.15 diatas mβ(y) = δ∈C(β) (y − β)(y − β2 )(y − β4 ) dan ketika β8 = β dan kita akan menghitung (y − β)(y − β2)(y − β3)= y3 + (β + β2 + β4)y2 + (ββ2 + ββ4 + β2β4)y + ββ2β4 Dengan menggunakan representasi setiap anggota tak nol sebagai akar dari generator α, dengan mengambil α = x, kita dapatkan α0 = (100) α4 = (011) α1 = (010) α5 = (111) α2 = (001) α6 = (101) α3 = (110) α7 = (100) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 24. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 3. Lanjutan Penyelesaian Contoh 3.7 Ketika β = α6, maka β2 = α12 = α5 = dan β4 = α24 = α3, diperoleh β + β2 + β4 = α6 + α5 + α3 = (101) + (111) + (110) = 100 ββ2 + ββ4 + β2β4 = β3 + β5 + β6 = α18 + α30 + α36 = α4 + α2 + α = 0 ββ2β4 = β7 = α42 = 1 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 25. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 4. Lanjutan Penyelesaian Contoh 3.7 Jadi, didapat suku banyak minimal β2 dan β4 yaitu mβ(y) = y3 + y2 + 1 Sedangkan suku banyak minimal α juga merupakan suku banyak minimal α2 dan α4 yaitu mα(y) = y3 + y + 1 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 26. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Definisi Cyclotomic Coset Definisi 3.17 Diberikan q dan n dan bilangan bulat i, 0 ≤ i ≤ n − 1, cyclotomic coset (q modulo n) memuat i didefinisikan oleh Ci = {i, iq, iq2 , . . . , iqn−1 } dimana anggota-anggota himpuna mengambil modulo n, dan s bilangan bulat terkecil dengan demikian iqs ≡ i(modn). C = {Ci : 0 ≤ i ≤ n − 1} disebut himpunan cyclotomic coset q modulo n Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 27. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Contoh 3.18 Untuk n = 9 dan q = 2, didapat C1 = [1, 2, 4, 8, 7, 5] = C2 = C4 = C8 = C7 = C5 C − 3 = [3, 6] = C6 C − 0 = [0] Teorema 3.19 Misalkan f(x) = xn − 1 suku banyak atas GF(q). Banyaknya faktor irreducible dari f(x) adalah sama dengan banyak cyclotomic coset q modulo n. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 28. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Pengantar Suku banyak monic g(x) ∈ GF(q)[x] dikatakan sebagai split didalam perluasan field GF(qm) dari GF(q) jika g(x) bisa difaktorkan sebagai hasil kali suku banyak linear di GF(qm), kita bisa menuliskannya ; g(x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αn) dimana αi ∈ GF(qm) dan GF(qm) disebut sebagai splitting field dari g(x). Secara umum, dapat didefinisikan bahwa splitting field dari g(x) ∈ GF(qm) sebagai lapangan terkecil GF(qm), dengan kata lain lapangan terkecil yang memuat semua akar -akar dari g(x). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 29. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Splitting field g(x) bisa didapatkan dari derajat faktor irreducible atas GF(q). Catatan bahwa g(x) boleh irreducible atas GF(q), tetapi selalu faktor- faktornya sebagai hasil kali suku banyak linear yang berbeda di splitting field. Untuk contoh, g(x) = x2 + x + 1 adalah merupakan irreducible atas GF(2) dan tidak mempunyai akar di GF(2), tetapi atas GF(4), g(x) = (x + α)(x + α2 ) dan mempunyai akar-akarnya adalah α dan α2, dimana GF(4) = {0, 1, α, α2} dengan α2 + α + 1 = 0 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 30. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.1 Diberikan suku banyak dibawah ini g(x) = 1 + x3 + x5 + x6 + x8 + x9 + x1 0 atas GF(2), dapat dicek bahwa g(x) tidak mempunyai akar di GF(2), ataupun GF(22), GF(23), dan GF(24), tetapi menggunakan GF(5) didapat akar -akar α dari h(x) = 1 + x2 + x5 yaitu α, α3, dan anggota kojugatenya adalah α, α2, α4, α8, α16 dan α3, α6, α12, α24, α17 adalah merupakan akar -akar dari g(x), dan semua akar dari g(x) di GF(25) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 31. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.2 Diberikan suku banyak dibawah ini : g(x) = 2 + 2x + x4 + 2x5 + x6 + x7 atas GF(3) dan hanya memiliki satu akar dengan yaitu 1, dan tidak ada akar dari persamaan tersebut di GF(32), sedangkan dengan mengggunakan GF(33) didapat akar α dari h(x) = 1 + 2x2 + x3 yaitu; 1, α2 , α6 , α18 , α4 , α12 , α10 Akar -akar diatas merupakan akar α dari g(x). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 32. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.3 Diberikan g(x) = 1 + x + x3 yang merupakan generates dari kode biner (7, 4) − codeC. Ketika g(x) membagi x7 − 1 atas GF(2),dan 23 ≡ 1(mod 7) yang merupaka semua akar dari g(x) di GF(23). Jika kita misalkan α ∈ GF(23), dengan akar -akarnya dari g(x) adalah α, α2, dan α4. Kita cukup mengatakan bahwa α merupakan akarnya ketika α2 dan α4 elemen konjugate dari α sehingga parity check matrix nya adalah 1 α α2 α3 α4 α5 α6 =   1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1   Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 33. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code BCH Codes Definisi 4.4 Misalkan kita mempunyai sebanyak t suku banyak f1(x), f2(x), . . . , ft (x) ∈ F[x], maka kelipatan persekutuan terkecil dari f1(x), f2(x), . . . , ft (x) adalah suku banyak monic dengan derajat terkecil dan merupakan perkalian dari semua suku banyak f1(x), f2(x), . . . , ft (x). Selanjutnya, dinotasikan sebagai lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft (x)). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 34. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code BCH Codes Jika f1(x), f2(x), ..., ft (x) ∈ Fq[x] dapat difaktorisasi menjadi f1(x) = a1.p1(x)e1,1 . . . pn(x)e1,n f2(x) = a2.p1(x)e2,1 . . . pn(x)e2,n ... ... ft (x) = at .p1(x)et,1 . . . pn(x)et,n dimana pi(x) merupakan suku banyak monic yang irreducible atas Fq maka lcm(f1(x), f2(x), ..., ft (x)) = p1(x)max{e1,1,...,et,1} ...pn(x)max{e1,n,...,et,n} Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 35. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.5 Diberikan polinomial biner, f1(x) = (1 + x)2(1 + x + x4)3 f2(x) = (1 + x)(1 + x + x2)2 f3(x) = x2(1 + x + x4) sehingga, lcm(f1(x), f2(x), f3(x)) = x2(1 + x)2(1 + x + x2)2(1 + x + x4)3 Lemma 4.6 Diberikan f1(x),f2(x), . . ., ft (x) suku banyak atas Fq. Jika f(x) habis dibagi oleh semua suku banyak fi(x), ∀i = 1, 2, . . . , t maka f(x) habis dibagi oleh lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft (x)) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 36. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Lemma 4.6 Bukti. Ambil g(x) = lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft (x)). Menggunakan algoritma pembagian maka ada dua suku banyak u(x) dan r(x) atas Fq dengan demikian deg(r(x)) < deg(g(x)) dan f(x) = u(x)g(x) + r(x). Jadi, r(x) = f(x) − u(x)g(x), dan selanjutnya r(x) juga habis dibagi oleh semua fi(x). Ketika g(x) mempunyai derajat terkecil,dengan jelas bahwa r(x) = 0. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 37. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.7 Suku banyak f(x) = x15 − 1 ∈ F2[x] dibagi oleh f1(x) = 1 + x + x2 ∈ F2[x] habis dibagi oleh f1(x) = 1 + x + x2 ∈ F2[x], f2(x) = 1 + x + x4 ∈ F2[x], dan f3(x) = (1 + x + x2)(1 + x3 + x4) ∈ F2[x]. Maka f(x) habis dibagi oleh lcm(f1(x), f2(x), f3(x)) = (1 + x + x2)(1 + x + x4)(1 + x3 + x4). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 38. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Definisi 4.8 Misalkan α elemen primitif dari Fqm dan dinotasikan oleh Mi(x) merupakan polynomial minimal dari αi terhadap Fq. Sebuah primitif BCH code atas Fq dengan panjang n = qm − 1 didesain dengan distance δ adalah q-ary cyclic code yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(a)(x), M(a+1)(x), . . . , M(a+δ−2)(x)) untuk suatu bilangan bulat a. Lebih jauh, code ini disebut sebagai narrow sense jika a = 1. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 39. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.9 Misalkan β merupakan akar dari 1 + x + x2 ∈ F2[x], maka F4 = F2[β]. Misalkan α menjadi akar dari β + x + x2 ∈ F4[x]. Maka α elemen primitif dari F16. Diberikan narrow-sense 4−ary BCH code dengan panjang 15 didesain dengan distance 4, maka generator polynomialnya adalah g(x) = lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x)) = 1 + βx + βx2 + x3 + x4 + β2x5 + x6. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 40. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.9 Misalkan β merupakan akar dari 1 + x + x2 ∈ F2[x], maka F4 = F2[β]. Misalkan α menjadi akar dari β + x + x2 ∈ F4[x]. Maka α elemen primitif dari F16. Diberikan narrow-sense 4−ary BCH code dengan panjang 15 didesain dengan distance 4, maka generator polynomialnya adalah g(x) = lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x)) = 1 + βx + βx2 + x3 + x4 + β2x5 + x6. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 41. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Parameter BCH Code Teorema 4.10 Diketahui panjang dari BCH code adalah qm − 1. Dimensi dari q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(α) (x), M(α+1) (x), ..., M(α+δ−2) (x) tidak tergantung dari pemilihan elemen primitif α q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang didesain dengan distance δ memiliki dimensi setidaknya qm − 1 − m(δ − 1) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 42. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Parameter BCH Code Teorema 4.10 Diketahui panjang dari BCH code adalah qm − 1. Dimensi dari q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(α) (x), M(α+1) (x), ..., M(α+δ−2) (x) tidak tergantung dari pemilihan elemen primitif α q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang didesain dengan distance δ memiliki dimensi setidaknya qm − 1 − m(δ − 1) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 43. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh dari Teorema 4.10 Contoh 4.11 (i) Diberikan cyclotomic cosets 2 modulo 15 dibawah ini : C2 = {1, 2, 4, 8} C3 = {3, 6, 12, 9}. Maka dimensi dari binary BCH Codes dengan panjang 15 dan didesign dengan distance 3 yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(2), M(3)(x)) adalah 15− | C2 ∪ C3 |= 15 − 8 = 7 (ii) Cyclotomic cosets dari 3 modulo 26 yaitu, C1 = C3 = {1, 3, 9} C2 = {2, 6, 18} C4 = {4, 10, 12} Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 44. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Contoh 4.11 Kemudian dimensi dari ternary BCH codes dengan panjang 26 dan didesain dengan distance 5 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x), M(4)(x)) adalah 26 − |C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4| = 26 − 9 = 17 Proposisi 4.12 Narrow sense binary BCH code dengan panjang n = 2m − 1 dan didesain dengan distance δ = 2t + 1 mempunyai dimensi sedikitnya n − m(δ − 1)/2. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 45. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Contoh 4.11 Kemudian dimensi dari ternary BCH codes dengan panjang 26 dan didesain dengan distance 5 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x), M(4)(x)) adalah 26 − |C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4| = 26 − 9 = 17 Proposisi 4.12 Narrow sense binary BCH code dengan panjang n = 2m − 1 dan didesain dengan distance δ = 2t + 1 mempunyai dimensi sedikitnya n − m(δ − 1)/2. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 46. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Proposisi 4.12 Bukti. Sebagaimana cyclotomic cosets Ci dan C2i adalah sama, maka dimensi k memenuhi k = 2m − 1− | 2t i=1 Ci | = 2m − 1− | t i=1 C2i−1 | ≤ 2m − 1 − t i=t | C2i−1 | ≤ 2m − 1 − tm = 2m − 1 − m(δ − 1)/2 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 47. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.13 Narrow sense binary BCH code dengan panjang 63 didesain dengan distance δ = 5 mempunyai dimensi 51 = 63 − 6(5 − 1)/2. Bagiamanapun, narrow sense binary BCH code dengan panjang 31 didesain dengan distance δ = 11 mempunyai dimensi 11 yang lebih besar daripada 31 − 5(11 − 2)/2. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 48. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lemma 4.14 Misalkan C q-ary cyclic code dengan panjang n dan generator polynomial g(x). Andaikan α1, . . . , αr akar -akar dari g(x) dan polynomial g(x) tidak mempunyai akar ganda. Maka elemen c(x) ∈ Fq[x]/(xn − 1) adalah codeword C jika hanya jika c(αi) = 0, untuk setiap i = 1, . . . , r. Bukti. Jika c(x) codeword C, maka ada polynomial f(x) dengan demikian c(x) = g(x)f(x). Jadi kita mempunyai c(αi) = g(αi)f(αi) = 0 untuk semua i = 1, . . . , r. Secara konvers, jika c(αi) = 0 untuk i = 1, . . . , r maka c(x) habis dibagi oleh g(x) ketika g(x) tidak mempunyai akar ganda. Ini mengartikan bahwa c(x) adalah codeword C. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 49. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.15 Diberikan binary [7, 4]−Hamming code dengan generator polynomial g(x) = 1 + +x + x3. Semua elemen dari F8{0, 1} adalah akar-akar c(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = (x7 − 1)/(x − 1), semua akar dari g(x) adalah akar-akar c(x). Jadi, 1111111 adalah codeword. Teorema 4.16 BCH code didesain dengan distance(designed distance) δ mempunyai minimum distance sedikitnya δ. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 50. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.15 Diberikan binary [7, 4]−Hamming code dengan generator polynomial g(x) = 1 + +x + x3. Semua elemen dari F8{0, 1} adalah akar-akar c(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = (x7 − 1)/(x − 1), semua akar dari g(x) adalah akar-akar c(x). Jadi, 1111111 adalah codeword. Teorema 4.16 BCH code didesain dengan distance(designed distance) δ mempunyai minimum distance sedikitnya δ. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 51. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Misalkan α merupakan elemen primitif dari Fqm dan misalkan C adalah BCH code yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(a)(x), M(a+1)(x), . . . , M(a+δ−2)(x)). Dengan jelas bahwa elemen αa, . . . , αa+δ−2 adalah akar-akarnya g(x). Andaikan bahwa minimum distance d dari C lebih kecil daripada δ. Maka ada codeword tak nol c(x) = c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1 dengan demikian wt(c(x)) = d < δ. Menggunakan Lemma 4.14, kita mempunyai c(αi) = 0 untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2; Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 52. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Andaikan bahwa minimum distance d dari C lebih kecil daripada δ. Maka ada codeword tak nol c(x) = c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1 dengan demikian wt(c(x)) = d < δ. Menggunakan Lemma 4.14, kita mempunyai c(αi) = 0 untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2;        1 αa (αa)2 . . . (αa)n−1 1 αa+1 (αa+1)2 . . . (αa+1)n−1 1 αa+2 (αa+2)2 . . . (αa+2)n−1 ... ... ... . . . ... 1 αa+δ−2 (αa+δ−2)2 . . . (αa+δ−2)n−1               c0 c1 c2 ... cn−1        = 0. (1) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 53. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Andaikan bahwa minimum distance d dari C lebih kecil daripada δ. Maka ada codeword tak nol c(x) = c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1 dengan demikian wt(c(x)) = d < δ. Menggunakan Lemma 4.14, kita mempunyai c(αi) = 0 untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2;        1 αa (αa)2 . . . (αa)n−1 1 αa+1 (αa+1)2 . . . (αa+1)n−1 1 αa+2 (αa+2)2 . . . (αa+2)n−1 ... ... ... . . . ... 1 αa+δ−2 (αa+δ−2)2 . . . (αa+δ−2)n−1               c0 c1 c2 ... cn−1        = 0. (1) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 54. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id }, cj = 0 jika hanya jika j ∈ R. Maka persamaan (1) menjadi        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... ... ... (αa+δ−2)i1 (αa+δ−2)i2 (αa+δ−2)i3 . . . (αa+δ−2)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (2) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 55. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id }, cj = 0 jika hanya jika j ∈ R. Maka persamaan (1) menjadi        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... ... ... (αa+δ−2)i1 (αa+δ−2)i2 (αa+δ−2)i3 . . . (αa+δ−2)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (2) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 56. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id }, cj = 0 jika hanya jika j ∈ R. Maka persamaan (1) menjadi        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... ... ... (αa+δ−2)i1 (αa+δ−2)i2 (αa+δ−2)i3 . . . (αa+δ−2)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (2) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 57. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga didapatkan :        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... . . . ... (αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (3) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 58. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga didapatkan :        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... . . . ... (αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (3) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 59. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga didapatkan :        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... . . . ... (αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (3) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 60. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga didapatkan :        (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... . . . ... (αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id               ci1 ci2 ci3 ... cid        = 0. (3) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 61. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Determinan D koefisien matriks persamaan diatas adalah sama dengan D = d j=1 (αa )ij det        1 1 1 . . . 1 αi1 αi2 αi3 . . . αid (α2)i1 (α2)i2 (α2)i3 . . . (α2)id ... ... ... . . . ... (αd−1)i1 (αd−1)i2 (αd−1)i3 . . . (αd−1)id        (4) = d j=1 (αa )ij k>l (αik − αil ) = 0. Dengan mengkombinasikan persamaan (44) dan (4), kita mendapatkan (ci1 , . . . , cid ) = 0 sehingga kontradiksi. Jadi terbukti Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 62. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Determinan D koefisien matriks persamaan diatas adalah sama dengan D = d j=1 (αa )ij det        1 1 1 . . . 1 αi1 αi2 αi3 . . . αid (α2)i1 (α2)i2 (α2)i3 . . . (α2)id ... ... ... . . . ... (αd−1)i1 (αd−1)i2 (αd−1)i3 . . . (αd−1)id        (4) = d j=1 (αa )ij k>l (αik − αil ) = 0. Dengan mengkombinasikan persamaan (44) dan (4), kita mendapatkan (ci1 , . . . , cid ) = 0 sehingga kontradiksi. Jadi terbukti Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 63. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.17 Misalkan α akar dari 1 + x + x3 ∈ F2[x], dan misalkan C binary BCH code dengan panjang 7 didesain dengan distance 4 yang dibangun oleh g(x) = lcm(M(0) (x), M(1) (x), M(2) (x)) = 1 + x2 + x3 + x4 Maka d(C) ≤ wt(g(x)) = 4. Disisi lain dengan menggunakan teorema 4.16 didapat d(C) ≥ 4. Jadi, d(C) = 4. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 64. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH Codes Pada bagian akan diberikan algoritma dalam decoding BCH code yang dibagi menjadi 3 yaitu : Menghitung syndrome Menemukan error locator polynomial Menemukan semua akar dari error locator polynomial Untuk menyederhanakannya, kita hanya akan mendiskusikan decoding narrow sense binary BCH codes. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 65. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH Codes Pada bagian akan diberikan algoritma dalam decoding BCH code yang dibagi menjadi 3 yaitu : Menghitung syndrome Menemukan error locator polynomial Menemukan semua akar dari error locator polynomial Untuk menyederhanakannya, kita hanya akan mendiskusikan decoding narrow sense binary BCH codes. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 66. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH Codes Pada bagian akan diberikan algoritma dalam decoding BCH code yang dibagi menjadi 3 yaitu : Menghitung syndrome Menemukan error locator polynomial Menemukan semua akar dari error locator polynomial Untuk menyederhanakannya, kita hanya akan mendiskusikan decoding narrow sense binary BCH codes. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 67. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH Codes Misalkan C narrow sense binary BCH codes dengan panjang n = 2m − 1 dan design distance δ = 2t + 1 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(1)(x), M(2)(x), . . . , M(δ−1)(x)), dimana M(i)(x) adalah polynomial minimal dari αi terhadap F2 untuk elemen primitif α ∈ F2m . Ambil H =        1 α (α)2 . . . (α)n−1 1 α2 (α2)2 . . . (α2)n−1 1 α3 (α3)2 . . . (α3)n−1 ... ... ... . . . ... 1 αδ−1 (αδ−1)2 . . . (αδ−1)n−1        (5) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 68. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH codes Maka bisa ditunjukkan bahwa word c ∈ Fn 2 adalah codeword C jika hanya jika cHT = 0. Selanjutnya, kita bisa mendefinisikan sindrome SH(w) dari w ∈ Fn 2 terhadap H adalah wHT . Andaikan bahwa w(x) = w0 + w1x + . . . + wn−1xn−1 word yang diterima dengan error polynomial e(x) memenuhi wt(e(x)) ≤ t. Ambil c(x) = w(x) − e(x) maka c(x) adalah codeword. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 69. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH codes Maka bisa ditunjukkan bahwa word c ∈ Fn 2 adalah codeword C jika hanya jika cHT = 0. Selanjutnya, kita bisa mendefinisikan sindrome SH(w) dari w ∈ Fn 2 terhadap H adalah wHT . Andaikan bahwa w(x) = w0 + w1x + . . . + wn−1xn−1 word yang diterima dengan error polynomial e(x) memenuhi wt(e(x)) ≤ t. Ambil c(x) = w(x) − e(x) maka c(x) adalah codeword. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 70. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Tahap 1. Menghitung Sindrome Sindrome w(x) adalah (s0, s1, . . . , sδ−2) := (w0, w1, . . . , wn−1)HT sehingga si = w(αi+1) = e(αi+1) untuk setiap i = 0, 1, . . . , δ − 2, ketika αi+1 adalah akar-akar dari g(x). Asumsikan bahwa error diambil di posisi i0, i1, . . . , il−1 dengan l ≤ t didapat e(x) = xi0 + xi1 + · · · + xil−1 (6) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 71. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Maka kita mendapatkan sistem persamaan αi0 + αi1 + · · · + αil−1 = s0=w(α), (αi0 )2 + (αi1 )2 + · · · + (αil−1 )2 = s1 =w(α2), ... ... ... (αi0 )δ−1 + (αi1 )δ−1 + · · · + (αil−1 )δ−1 = sδ−2=w(αδ−1). (7) sebarang metode diatas untuk menyelesaikan sistem persamaan diatas merupakan algoritma decoding untuk BCH codes. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 72. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Tahap 2. Menemukan error locator polynomial Untuk e(x) = xi0 + xi1 + · · · + xil−1 , didefinisikan error locator polynomial oleh σ(z) := l−1 j=0 (1 − αij z). Ini dapat ditemukan bahwa posisi error ij sejauh semua akar-akar σ(z) yang diketahui. Untuk tahap ini, kita harus menentukan error locator polynomial σ(z). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 73. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Teorema Andaikan polynomial sindrome s(z) = δ−2 j=0 sjzj adalah bukan polynomial nol. Maka terdapat polynomial tak nol r(z) ∈ F2m [z] dengan demikian deg(r(z)) ≤ t − 1, gcd(r(z), σ(z)) = 1 dan r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod zδ−1 ) (8) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 74. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lebih jauh, untuk sebarang pasangan (u(z), v(z)) polynomial tak nol atas F2m memenuhi deg(u(z)) ≤ t − 1, deg(v(z)) ≤ t dan u(z) ≡ s(z)v(z) (mod zδ−1 ) (9) Kita mempunyai σ(z) = βv(z), r(z) = βu(z), (10) untuk elemen tak nol β ∈ F2m . Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 75. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Tahap 3. Menemukan akar -akar error locator polynomial Untuk melakukannya, kita bisa mencari semua kemungkinan akar -akar dengan menggunakan σ(z) di αi, untuk semua i = 1, 2, . . . . . Setelah semua akar -akarnya αi1 , . . . , αil dari σ(z) ditemukan, kita mendapatkan error polynomial persamaan (??) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 76. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.18 Misalkan α akar dari g(x) = 1 + x + x3 ∈ F2[x]. Maka Hamming code yang dibangun oleh g(x) =lcm(M(1)(x), M(2)(x)) mempunyai design distance δ = 3. Andaikan bahwa w(x) = 1 + x + x2 + x3 word yang diterima. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 77. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Menghitung sindrome : (s0, s1) = (w(α), w(α2 )) = (α2 , α4 ) Menemukan error locator polynomial : Selesaikan kongruensi polynomial r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod z2 ) dengan deg(r(z)) = 0 dan deg(σ(z)) ≤ 1, dan s(z) = α2 + α4 z. Kita mempunyai σ(z) = 1 + α2z dan r(z) = α2. Selanjutnya didapat error di tempat ketiga. Jadi, kita bisa memperbaiki(decode) w(x) ke w(x) − x2 = 1 + x + x3 = 1101000. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 78. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Kesimpulan BCH Code merupakan generalisasi dari Hamming code dan didefinisikan dari kelipatan persekutuaan terkecil dari suku banyak monic dengan derajat terkecil atau lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft (x)) Didalam pembahasan paper ini hanya dibahas BCH code sebagai suku banyak. Adapun penerapan dari BCH codes sendiri adalah sistem komunikasi via satelit, pemutar CD(compact disk), DVD, disk drivers, dan barcode dua dimensi. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 79. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 80. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 81. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
  • 82. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes