Bch codes final slide
•
1 like•621 views
BCH code slide merupakan revisi dari BCD Code sebelumnya dengan penambahan animasi yang ada .
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Viewers also liked (20)
Similar to Bch codes final slide
Similar to Bch codes final slide (20)
More from Hirwanto Iwan
More from Hirwanto Iwan (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Bch codes final slide
- 1. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan BCH Codes (Bose -Chaudhuri- Hocquenghem Codes) Wawin1 Qori Maryamah1 Aliyah1 Hirwanto1 1Universitas Gadjah Mada,Yogyakarta, Indonesia Presentasi Paper BCH Codes, 2013 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 2. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Motivasi 3 Dasar Teori Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 4 Pembahasan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code 5 Kesimpulan Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 3. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan BCH Codes BCH codes merupakan salah satu kelas yang sangat penting dari kode siklik yang mulai dikembangkan pada tahun 1960 oleh R.C. Bose dan D.Ray-Cahudhuri kemudian dilanjutkan oleh A. Hocquenghem sehingga biasa disebut BCH codes (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codes) dan merupakan generalisasi dari Hamming code untuk mengoreksi kesalahan ganda( multiple error correction). BCH code didefinisikan oleh kelipatan persekutuan terkecil (f1(x), f2(x), ..., ft (x)) suku banyak yang diberikan. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 4. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Motivasi Secara khusus, kode siklik didapat dari generator suku banyaknya. Bagaimanapun, umumnya kita kesulitan dalam mendapatkan informasi pada jarak minimum(minimum distance) kode siklik dari generator suku banyaknya, meskipun kita dapat melengkapi hasilnya. Dengan kata lain, kita perlu memilih beberapa generator khusus suku banyaknya sehingga kita bisa mendapatkan informasi dengan algoritma yang lebih sederhana dan lebih efisien. Kita selanjutnya akan mendiskusikan salah satu generator khusus yang kita pilih yaitu BCH-code, dan juga bagaimana kita membentuk algoritma untuk BCH- codes. Untuk generator khusus yang lain seperti Reed Solomon, Quadratic-Residus Code. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 5. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Finite Field Definisi 3.1 Field dengan | F |< ∞ disebut lapangan hingga(finite field) dan F∗ sebagai himpunan F {0}. Definisi 3.2 Misalkan F lapangan. Karakteristik F adalah bilangan bulat positif terkecil m dengan demikian bahwa m i=1 1 = 1 + 1 + . . . + 1 = 0 dimana 1 ∈ F. Jika m tidak ada maka karakteristiknya 0. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 6. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Finite Field Definisi 3.1 Field dengan | F |< ∞ disebut lapangan hingga(finite field) dan F∗ sebagai himpunan F {0}. Definisi 3.2 Misalkan F lapangan. Karakteristik F adalah bilangan bulat positif terkecil m dengan demikian bahwa m i=1 1 = 1 + 1 + . . . + 1 = 0 dimana 1 ∈ F. Jika m tidak ada maka karakteristiknya 0. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 7. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Lemma 3.3 dan Definisi 3.4 Lemma 3.3 Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka (α + β)p = αp + βp Definisi 3.4 Anggota α ∈ F lapangan hingga dikatakan generator F∗ atau elemen primitif jika {αi : i ≥ 0} = F∗ Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 8. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Lemma 3.3 dan Definisi 3.4 Lemma 3.3 Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka (α + β)p = αp + βp Definisi 3.4 Anggota α ∈ F lapangan hingga dikatakan generator F∗ atau elemen primitif jika {αi : i ≥ 0} = F∗ Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 9. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Lemma 3.3 dan Definisi 3.4 Lemma 3.3 Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka (α + β)p = αp + βp Definisi 3.4 Anggota α ∈ F lapangan hingga dikatakan generator F∗ atau elemen primitif jika {αi : i ≥ 0} = F∗ Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 10. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Contoh 3.5 Contoh 3.5 Diberikan GF(9) yang dikontruksikan menggunakan polynomial yang irreducible f(x) = x2 + 1 ∈ Z3[x]. Carilah elemen primitif. Kita akan mencoba bahwa α = x + 1 merupakan elemen primitif maka (1 + x)0 = 1 (1 + x)4 = 2 (1 + x)1 = 1 + x (1 + x)5 = 2 + 2x (1 + x)2 = 2x (1 + x)6 = x (1 + x)3 = 1 + 2x (1 + x)7 = 2 + x Jadi α = 1 + x merupakan elemen primitif untuk GF(9) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 11. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Ring Polynomial Definisi 3.6 Misalkan F merupakan lapangan. Himpunan F[x] = { n i=0 aixi : ai ∈ F, n ≥ 0} disebut sebagai ring polynomial atas F. Teorema 3.7 Misalkan f(x) suku banyak atas F dengan derajat(degree) ≥ 1. Maka F[x]/(f(x)) bersama dengan operasi penjumlahan dan perkalian berbentuk gelanggang. Lebih jauh, F[x]/(f(x)) adalah lapangan jika dan hanya jika irreducible. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 12. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Lemma 3.8 dan Lemma 3.9 Lemma 3.8 Untuk setiap anggota tak nol α ∈ GF(q), αq−1 = 1. Selanjutnya, α ∈ GF(qm) jika hanya jika αq = α. Lemma 3.9 Untuk setiap elemen β dari finite field F dengan q elemen, kita mempunyai βq = β Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 13. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Minimal Polynomial Definisi 3.10 Misalkan F lapangan dengan karakteristik p dan misalkan α ∈ F∗. Suku banyak minimal α terhadap GF(p) merupakan suku banyak monic m(x) derajat terkecil di GF(p)[x] dengan demikian m(α) = 0. Teorema 3.11 Suku banyak minimal anggota α tunggal. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 14. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 1. Bukti Teorema 3.2 Andaikan F = GF(q) dan F mempunyai karakteristik p. Mengikuti Lemma 3.8 bahwa α memenuhi suku banyak xq−1 − 1 ∈ GF(p)[x]. Ketika terdapat suatu suku banyak GF(p)[x] dengan α akarnya maka ada salah satu dari akarnya dengan derajat terkecil. Ini mengatakan bahwa ada suku banyak minimal yaitu m(x). Andaikan ada dua suku banyak monic m1(x) dan m2(x) dengan derajat terkecil mempunyai akar α. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 15. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 1. Bukti Teorema 3.2 Andaikan F = GF(q) dan F mempunyai karakteristik p. Mengikuti Lemma 3.8 bahwa α memenuhi suku banyak xq−1 − 1 ∈ GF(p)[x]. Ketika terdapat suatu suku banyak GF(p)[x] dengan α akarnya maka ada salah satu dari akarnya dengan derajat terkecil. Ini mengatakan bahwa ada suku banyak minimal yaitu m(x). Andaikan ada dua suku banyak monic m1(x) dan m2(x) dengan derajat terkecil mempunyai akar α. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 16. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 2. Lanjutan Bukti Teorema 3.2 Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat m1(x) = l(x)m2(x) + r(x), dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0 dan m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x) mempunyai derajat terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x) membagi m1(x). Dengan cara yang sama, m1(x) membagi m2(x) dan ketika keduanya merupakan suku banyak monic, maka m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal. Teorema 3.12 Untuk α ∈ F∗, suku banyak minimal α, maka m(α)(x) adalah suku banyak yang irreducible. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 17. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 2. Lanjutan Bukti Teorema 3.2 Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat m1(x) = l(x)m2(x) + r(x), dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0 dan m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x) mempunyai derajat terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x) membagi m1(x). Dengan cara yang sama, m1(x) membagi m2(x) dan ketika keduanya merupakan suku banyak monic, maka m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal. Teorema 3.12 Untuk α ∈ F∗, suku banyak minimal α, maka m(α)(x) adalah suku banyak yang irreducible. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 18. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 2. Lanjutan Bukti Teorema 3.2 Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat m1(x) = l(x)m2(x) + r(x), dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0 dan m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x) mempunyai derajat terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x) membagi m1(x). Dengan cara yang sama, m1(x) membagi m2(x) dan ketika keduanya merupakan suku banyak monic, maka m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal. Teorema 3.12 Untuk α ∈ F∗, suku banyak minimal α, maka m(α)(x) adalah suku banyak yang irreducible. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 19. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Definisi 3.13 Untuk α ∈ F, misalkan t bilangan bulat positif terkecil dengan demikian αpt = α, maka himpunan conjugates dari α(terhadap GF(p)) adalah C(α) = {α, αp , αp2 , αp3 , . . . , αpt−1 } C(α) = C(αpi ), ∀i ∈ F lapangan dengan karakteristik p Lemma 3.14 Misalkan F lapangan hingga dengan karakteristik p, misalkan α ∈ F∗, dan C(α) himpunan konjugat α terhadap GF(q), maka m(x) = β∈C(α) (x − β) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 20. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Bukti Lemma 3.14 Misalkan m(x) = t i=0 mixi dengan koefisien mi ∈ F, kita catatan bahwa m(x)p = β∈C(α)(xβ)p = β∈C(α)(xp − βp) = β∈C(α)(xp − β) = m(xp) = t i=1 xip Dengan mengikuti Lemma 3.3 didapat bahwa {β : β ∈ C(α)} = {βp : β ∈ C(α)} Dilain pihak, kita dapatkan bahwa m(x)p = t i=1 (mixi )p = t i=1 mp i xip Jadi, mi = mp i dan dengan menggunakan Lemma 3.8 sehingga terbukti bahwa mi ∈ GF(p), 0 ≤ i ≤ t. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 21. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Teorema 3.15 Untuk α ∈ F, suku banyak minimal α diberikan oleh mα(x) = β∈C(α) (x − β) Contoh 3.16 Kontruksikan lapangan F = GF(23). Hal pertama yang diperlukan adalah suku banyak pangkat tiga atas Z2. Misalkan kita mengambil f(x) = x3 + x + 1 dan anggota-anggota F adalah {0, 1, x, x + 1, x + x2 , x2 , 1 + x2 , 1 + x + x2 }. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 22. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 1. Penyelesaian Contoh 3.7 Ketika x3 + x + 1 = 0 mod f(x), maka kita mempunyai x3 ≡ −x − 1 = x + 1(mod(f(x))), dan 1 = −1 ∈ Z2. Selanjutnya kita tuliskan anggota lapangan dengan a0 + a1x + a2x2, maka didapatkan 0 = (000) x2 = (001) 1 = (100) 1 + x2 = (101) x = (010) x + x2 = (011) 1 + x = (110) 1 + x + x2 = (111) Jika kita mengambil α, maka dengan mudah kita dapatkan bahwa α merupakan generator F. Andaikan kita mengambil β = (101) dan kita akan dicari mβ(x). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 23. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 2. Lanjutan Penyelesaian Contoh 3.7 Dengan menggunakan Teorema 3.15 diatas mβ(y) = δ∈C(β) (y − β)(y − β2 )(y − β4 ) dan ketika β8 = β dan kita akan menghitung (y − β)(y − β2)(y − β3)= y3 + (β + β2 + β4)y2 + (ββ2 + ββ4 + β2β4)y + ββ2β4 Dengan menggunakan representasi setiap anggota tak nol sebagai akar dari generator α, dengan mengambil α = x, kita dapatkan α0 = (100) α4 = (011) α1 = (010) α5 = (111) α2 = (001) α6 = (101) α3 = (110) α7 = (100) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 24. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 3. Lanjutan Penyelesaian Contoh 3.7 Ketika β = α6, maka β2 = α12 = α5 = dan β4 = α24 = α3, diperoleh β + β2 + β4 = α6 + α5 + α3 = (101) + (111) + (110) = 100 ββ2 + ββ4 + β2β4 = β3 + β5 + β6 = α18 + α30 + α36 = α4 + α2 + α = 0 ββ2β4 = β7 = α42 = 1 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 25. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset 4. Lanjutan Penyelesaian Contoh 3.7 Jadi, didapat suku banyak minimal β2 dan β4 yaitu mβ(y) = y3 + y2 + 1 Sedangkan suku banyak minimal α juga merupakan suku banyak minimal α2 dan α4 yaitu mα(y) = y3 + y + 1 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 26. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Definisi Cyclotomic Coset Definisi 3.17 Diberikan q dan n dan bilangan bulat i, 0 ≤ i ≤ n − 1, cyclotomic coset (q modulo n) memuat i didefinisikan oleh Ci = {i, iq, iq2 , . . . , iqn−1 } dimana anggota-anggota himpuna mengambil modulo n, dan s bilangan bulat terkecil dengan demikian iqs ≡ i(modn). C = {Ci : 0 ≤ i ≤ n − 1} disebut himpunan cyclotomic coset q modulo n Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 27. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Finite Field Ring Polynomial Minimal Polynomial Cyclotomic Coset Contoh 3.18 Untuk n = 9 dan q = 2, didapat C1 = [1, 2, 4, 8, 7, 5] = C2 = C4 = C8 = C7 = C5 C − 3 = [3, 6] = C6 C − 0 = [0] Teorema 3.19 Misalkan f(x) = xn − 1 suku banyak atas GF(q). Banyaknya faktor irreducible dari f(x) adalah sama dengan banyak cyclotomic coset q modulo n. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 28. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Pengantar Suku banyak monic g(x) ∈ GF(q)[x] dikatakan sebagai split didalam perluasan field GF(qm) dari GF(q) jika g(x) bisa difaktorkan sebagai hasil kali suku banyak linear di GF(qm), kita bisa menuliskannya ; g(x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αn) dimana αi ∈ GF(qm) dan GF(qm) disebut sebagai splitting field dari g(x). Secara umum, dapat didefinisikan bahwa splitting field dari g(x) ∈ GF(qm) sebagai lapangan terkecil GF(qm), dengan kata lain lapangan terkecil yang memuat semua akar -akar dari g(x). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 29. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Splitting field g(x) bisa didapatkan dari derajat faktor irreducible atas GF(q). Catatan bahwa g(x) boleh irreducible atas GF(q), tetapi selalu faktor- faktornya sebagai hasil kali suku banyak linear yang berbeda di splitting field. Untuk contoh, g(x) = x2 + x + 1 adalah merupakan irreducible atas GF(2) dan tidak mempunyai akar di GF(2), tetapi atas GF(4), g(x) = (x + α)(x + α2 ) dan mempunyai akar-akarnya adalah α dan α2, dimana GF(4) = {0, 1, α, α2} dengan α2 + α + 1 = 0 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 30. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.1 Diberikan suku banyak dibawah ini g(x) = 1 + x3 + x5 + x6 + x8 + x9 + x1 0 atas GF(2), dapat dicek bahwa g(x) tidak mempunyai akar di GF(2), ataupun GF(22), GF(23), dan GF(24), tetapi menggunakan GF(5) didapat akar -akar α dari h(x) = 1 + x2 + x5 yaitu α, α3, dan anggota kojugatenya adalah α, α2, α4, α8, α16 dan α3, α6, α12, α24, α17 adalah merupakan akar -akar dari g(x), dan semua akar dari g(x) di GF(25) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 31. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.2 Diberikan suku banyak dibawah ini : g(x) = 2 + 2x + x4 + 2x5 + x6 + x7 atas GF(3) dan hanya memiliki satu akar dengan yaitu 1, dan tidak ada akar dari persamaan tersebut di GF(32), sedangkan dengan mengggunakan GF(33) didapat akar α dari h(x) = 1 + 2x2 + x3 yaitu; 1, α2 , α6 , α18 , α4 , α12 , α10 Akar -akar diatas merupakan akar α dari g(x). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 32. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.3 Diberikan g(x) = 1 + x + x3 yang merupakan generates dari kode biner (7, 4) − codeC. Ketika g(x) membagi x7 − 1 atas GF(2),dan 23 ≡ 1(mod 7) yang merupaka semua akar dari g(x) di GF(23). Jika kita misalkan α ∈ GF(23), dengan akar -akarnya dari g(x) adalah α, α2, dan α4. Kita cukup mengatakan bahwa α merupakan akarnya ketika α2 dan α4 elemen konjugate dari α sehingga parity check matrix nya adalah 1 α α2 α3 α4 α5 α6 = 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 33. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Definisi 4.4 Definisi 4.4 Misalkan kita mempunyai sebanyak t suku banyak f1(x), f2(x), . . . , ft (x) ∈ F[x], maka kelipatan persekutuan terkecil dari f1(x), f2(x), . . . , ft (x) adalah suku banyak monic dengan derajat terkecil dan merupakan perkalian dari semua suku banyak f1(x), f2(x), . . . , ft (x). Selanjutnya, dinotasikan sebagai lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft (x)). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 34. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Penjeleasan lebih lanjut Jika f1(x), f2(x), ..., ft (x) ∈ Fq[x] dapat difaktorisasi menjadi f1(x) = a1.p1(x)e1,1 . . . pn(x)e1,n f2(x) = a2.p1(x)e2,1 . . . pn(x)e2,n ... ... ft (x) = at .p1(x)et,1 . . . pn(x)et,n dimana pi(x) merupakan suku banyak monic yang irreducible atas Fq maka lcm(f1(x), f2(x), ..., ft (x)) = p1(x)max{e1,1,...,et,1} ...pn(x)max{e1,n,...,et,n} Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 35. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.5 dan Lemma 4.6 Contoh 4.5 Diberikan polinomial biner, f1(x) = (1 + x)2(1 + x + x4)3 f2(x) = (1 + x)(1 + x + x2)2 f3(x) = x2(1 + x + x4) sehingga, lcm(f1(x), f2(x), f3(x)) = x2(1 + x)2(1 + x + x2)2(1 + x + x4)3 Lemma 4.6 Diberikan f1(x),f2(x), . . ., ft (x) suku banyak atas Fq. Jika f(x) habis dibagi oleh semua suku banyak fi(x), ∀i = 1, 2, . . . , t maka f(x) habis dibagi oleh lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft (x)) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 36. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Lemma 4.6 Bukti. Ambil g(x) = lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft (x)). Menggunakan algoritma pembagian maka ada dua suku banyak u(x) dan r(x) atas Fq dengan demikian deg(r(x)) < deg(g(x)) dan f(x) = u(x)g(x) + r(x). Jadi, r(x) = f(x) − u(x)g(x), dan selanjutnya r(x) juga habis dibagi oleh semua fi(x). Ketika g(x) mempunyai derajat terkecil,dengan jelas bahwa r(x) = 0. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 37. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.7 Contoh 4.7 Suku banyak f(x) = x15 − 1 ∈ F2[x] dibagi oleh f1(x) = 1 + x + x2 ∈ F2[x] habis dibagi oleh f1(x) = 1 + x + x2 ∈ F2[x], f2(x) = 1 + x + x4 ∈ F2[x], dan f3(x) = (1 + x + x2)(1 + x3 + x4) ∈ F2[x]. Maka f(x) habis dibagi oleh lcm(f1(x), f2(x), f3(x)) = (1 + x + x2)(1 + x + x4)(1 + x3 + x4). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 38. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Definisi 4.8 Definisi 4.8 Misalkan α elemen primitif dari Fqm dan dinotasikan oleh Mi(x) merupakan polynomial minimal dari αi terhadap Fq. Sebuah primitif BCH code atas Fq dengan panjang n = qm − 1 didesain dengan distance δ adalah q-ary cyclic code yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(a)(x), M(a+1)(x), . . . , M(a+δ−2)(x)) untuk suatu bilangan bulat a. Lebih jauh, code ini disebut sebagai narrow sense jika a = 1. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 39. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.9 Contoh 4.9 Misalkan β merupakan akar dari 1 + x + x2 ∈ F2[x], maka F4 = F2[β]. Misalkan α menjadi akar dari β + x + x2 ∈ F4[x]. Maka α elemen primitif dari F16. Diberikan narrow-sense 4−ary BCH code dengan panjang 15 didesain dengan distance 4, maka generator polynomialnya adalah g(x) = lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x)) = 1 + βx + βx2 + x3 + x4 + β2x5 + x6. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 40. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.9 Contoh 4.9 Misalkan β merupakan akar dari 1 + x + x2 ∈ F2[x], maka F4 = F2[β]. Misalkan α menjadi akar dari β + x + x2 ∈ F4[x]. Maka α elemen primitif dari F16. Diberikan narrow-sense 4−ary BCH code dengan panjang 15 didesain dengan distance 4, maka generator polynomialnya adalah g(x) = lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x)) = 1 + βx + βx2 + x3 + x4 + β2x5 + x6. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 41. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Parameter BCH Code Teorema 4.10 Diketahui panjang dari BCH code adalah qm − 1. Dimensi dari q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(α) (x), M(α+1) (x), ..., M(α+δ−2) (x) tidak tergantung dari pemilihan elemen primitif α q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang didesain dengan distance δ memiliki dimensi setidaknya qm − 1 − m(δ − 1) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 42. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Parameter BCH Code Teorema 4.10 Diketahui panjang dari BCH code adalah qm − 1. Dimensi dari q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(α) (x), M(α+1) (x), ..., M(α+δ−2) (x) tidak tergantung dari pemilihan elemen primitif α q − ary BCH code dengan panjang qm − 1 yang didesain dengan distance δ memiliki dimensi setidaknya qm − 1 − m(δ − 1) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 43. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh dari Teorema 4.10 Contoh 4.11 (i) Diberikan cyclotomic cosets 2 modulo 15 dibawah ini : C2 = {1, 2, 4, 8} C3 = {3, 6, 12, 9}. Maka dimensi dari binary BCH Codes dengan panjang 15 dan didesign dengan distance 3 yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(2), M(3)(x)) adalah 15− | C2 ∪ C3 |= 15 − 8 = 7 (ii) Cyclotomic cosets dari 3 modulo 26 yaitu, C1 = C3 = {1, 3, 9} C2 = {2, 6, 18} C4 = {4, 10, 12} Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 44. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Contoh 4.11 dan Proposisi 4.12 Kemudian dimensi dari ternary BCH codes dengan panjang 26 dan didesain dengan distance 5 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x), M(4)(x)) adalah 26 − |C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4| = 26 − 9 = 17 Proposisi 4.12 Narrow sense binary BCH code dengan panjang n = 2m − 1 dan didesain dengan distance δ = 2t + 1 mempunyai dimensi sedikitnya n − m(δ − 1)/2. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 45. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Contoh 4.11 dan Proposisi 4.12 Kemudian dimensi dari ternary BCH codes dengan panjang 26 dan didesain dengan distance 5 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(1)(x), M(2)(x), M(3)(x), M(4)(x)) adalah 26 − |C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4| = 26 − 9 = 17 Proposisi 4.12 Narrow sense binary BCH code dengan panjang n = 2m − 1 dan didesain dengan distance δ = 2t + 1 mempunyai dimensi sedikitnya n − m(δ − 1)/2. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 46. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Proposisi 4.12 Bukti. Sebagaimana cyclotomic cosets Ci dan C2i adalah sama, maka dimensi k memenuhi k = 2m − 1− | 2t i=1 Ci | = 2m − 1− | t i=1 C2i−1 | ≤ 2m − 1 − t i=t | C2i−1 | ≤ 2m − 1 − tm = 2m − 1 − m(δ − 1)/2 Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 47. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.13 Narrow sense binary BCH code dengan panjang 63 didesain dengan distance δ = 5 mempunyai dimensi 51 = 63 − 6(5 − 1)/2. Bagiamanapun, narrow sense binary BCH code dengan panjang 31 didesain dengan distance δ = 11 mempunyai dimensi 11 yang lebih besar daripada 31 − 5(11 − 2)/2. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 48. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lemma 4.14 Misalkan C q-ary cyclic code dengan panjang n dan generator polynomial g(x). Andaikan α1, . . . , αr akar -akar dari g(x) dan polynomial g(x) tidak mempunyai akar ganda. Maka elemen c(x) ∈ Fq[x]/(xn − 1) adalah codeword C jika hanya jika c(αi) = 0, untuk setiap i = 1, . . . , r. Bukti. Jika c(x) codeword C, maka ada polynomial f(x) dengan demikian c(x) = g(x)f(x). Jadi kita mempunyai c(αi) = g(αi)f(αi) = 0 untuk semua i = 1, . . . , r. Secara konvers, jika c(αi) = 0 untuk i = 1, . . . , r maka c(x) habis dibagi oleh g(x) ketika g(x) tidak mempunyai akar ganda. Ini mengartikan bahwa c(x) adalah codeword C. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 49. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.15 Diberikan binary [7, 4]−Hamming code dengan generator polynomial g(x) = 1 + +x + x3. Semua elemen dari F8{0, 1} adalah akar-akar c(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = (x7 − 1)/(x − 1), semua akar dari g(x) adalah akar-akar c(x). Jadi, 1111111 adalah codeword. Teorema 4.16 BCH code didesain dengan distance(designed distance) δ mempunyai minimum distance sedikitnya δ. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 50. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.15 Diberikan binary [7, 4]−Hamming code dengan generator polynomial g(x) = 1 + +x + x3. Semua elemen dari F8{0, 1} adalah akar-akar c(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = (x7 − 1)/(x − 1), semua akar dari g(x) adalah akar-akar c(x). Jadi, 1111111 adalah codeword. Teorema 4.16 BCH code didesain dengan distance(designed distance) δ mempunyai minimum distance sedikitnya δ. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 51. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Bukti Teorema 4.16 Misalkan α merupakan elemen primitif dari Fqm dan misalkan C adalah BCH code yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(a)(x), M(a+1)(x), . . . , M(a+δ−2)(x)). Dengan jelas bahwa elemen αa, . . . , αa+δ−2 adalah akar-akarnya g(x). Andaikan bahwa minimum distance d dari C lebih kecil daripada δ. Maka ada codeword tak nol c(x) = c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1 dengan demikian wt(c(x)) = d < δ. Menggunakan Lemma 4.14, kita mempunyai c(αi) = 0 untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2; Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 52. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Bukti Teorema 4.16 Andaikan bahwa minimum distance d dari C lebih kecil daripada δ. Maka ada codeword tak nol c(x) = c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1 dengan demikian wt(c(x)) = d < δ. Menggunakan Lemma 4.14, kita mempunyai c(αi) = 0 untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2; 1 αa (αa)2 . . . (αa)n−1 1 αa+1 (αa+1)2 . . . (αa+1)n−1 1 αa+2 (αa+2)2 . . . (αa+2)n−1 ... ... ... . . . ... 1 αa+δ−2 (αa+δ−2)2 . . . (αa+δ−2)n−1 c0 c1 c2 ... cn−1 = 0. (1) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 53. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Bukti Teorema 4.16 Andaikan bahwa minimum distance d dari C lebih kecil daripada δ. Maka ada codeword tak nol c(x) = c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1 dengan demikian wt(c(x)) = d < δ. Menggunakan Lemma 4.14, kita mempunyai c(αi) = 0 untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2; 1 αa (αa)2 . . . (αa)n−1 1 αa+1 (αa+1)2 . . . (αa+1)n−1 1 αa+2 (αa+2)2 . . . (αa+2)n−1 ... ... ... . . . ... 1 αa+δ−2 (αa+δ−2)2 . . . (αa+δ−2)n−1 c0 c1 c2 ... cn−1 = 0. (1) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 54. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id }, cj = 0 jika hanya jika j ∈ R. Maka persamaan (1) menjadi (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... ... ... (αa+δ−2)i1 (αa+δ−2)i2 (αa+δ−2)i3 . . . (αa+δ−2)id ci1 ci2 ci3 ... cid = 0. (2) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 55. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id }, cj = 0 jika hanya jika j ∈ R. Maka persamaan (1) menjadi (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... ... ... (αa+δ−2)i1 (αa+δ−2)i2 (αa+δ−2)i3 . . . (αa+δ−2)id ci1 ci2 ci3 ... cid = 0. (2) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 56. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id }, cj = 0 jika hanya jika j ∈ R. Maka persamaan (1) menjadi (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... ... ... (αa+δ−2)i1 (αa+δ−2)i2 (αa+δ−2)i3 . . . (αa+δ−2)id ci1 ci2 ci3 ... cid = 0. (2) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 57. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Bukti Teorema 4.16 Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga didapatkan : (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... . . . ... (αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id ci1 ci2 ci3 ... cid = 0. (3) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 58. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Bukti Teorema 4.16 Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga didapatkan : (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... . . . ... (αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id ci1 ci2 ci3 ... cid = 0. (3) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 59. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Bukti Teorema 4.16 Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga didapatkan : (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... . . . ... (αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id ci1 ci2 ci3 ... cid = 0. (3) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 60. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Bukti Teorema 4.16 Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga didapatkan : (αa)i1 (αa)i2 (αa)i3 . . . (αa)id (αa+1)i1 (αa+1)i2 (αa+1)i3 . . . (αa+1)id (αa+2)i1 (αa+2)i2 (αa+2)i3 . . . (αa+2)id ... ... ... . . . ... (αa+d−1)i1 (αa+d−1)i2 (αa+d−1)i3 . . . (αa+d−1)id ci1 ci2 ci3 ... cid = 0. (3) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 61. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Determinan D koefisien matriks persamaan diatas adalah sama dengan D = d j=1 (αa )ij det 1 1 1 . . . 1 αi1 αi2 αi3 . . . αid (α2)i1 (α2)i2 (α2)i3 . . . (α2)id ... ... ... . . . ... (αd−1)i1 (αd−1)i2 (αd−1)i3 . . . (αd−1)id (4) = d j=1 (αa )ij k>l (αik − αil ) = 0. Dengan mengkombinasikan persamaan (44) dan (4), kita mendapatkan (ci1 , . . . , cid ) = 0 sehingga kontradiksi. Jadi terbukti Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 62. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Determinan D koefisien matriks persamaan diatas adalah sama dengan D = d j=1 (αa )ij det 1 1 1 . . . 1 αi1 αi2 αi3 . . . αid (α2)i1 (α2)i2 (α2)i3 . . . (α2)id ... ... ... . . . ... (αd−1)i1 (αd−1)i2 (αd−1)i3 . . . (αd−1)id (4) = d j=1 (αa )ij k>l (αik − αil ) = 0. Dengan mengkombinasikan persamaan (44) dan (4), kita mendapatkan (ci1 , . . . , cid ) = 0 sehingga kontradiksi. Jadi terbukti Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 63. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh Contoh 4.17 Misalkan α akar dari 1 + x + x3 ∈ F2[x], dan misalkan C binary BCH code dengan panjang 7 didesain dengan distance 4 yang dibangun oleh g(x) = lcm(M(0) (x), M(1) (x), M(2) (x)) = 1 + x2 + x3 + x4 Maka d(C) ≤ wt(g(x)) = 4. Disisi lain dengan menggunakan teorema 4.16 didapat d(C) ≥ 4. Jadi, d(C) = 4. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 64. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH Codes Pada bagian akan diberikan algoritma dalam decoding BCH code yang dibagi menjadi 3 yaitu : Menghitung syndrome Menemukan error locator polynomial Menemukan semua akar dari error locator polynomial Untuk menyederhanakannya, kita hanya akan mendiskusikan decoding narrow sense binary BCH codes. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 65. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH Codes Pada bagian akan diberikan algoritma dalam decoding BCH code yang dibagi menjadi 3 yaitu : Menghitung syndrome Menemukan error locator polynomial Menemukan semua akar dari error locator polynomial Untuk menyederhanakannya, kita hanya akan mendiskusikan decoding narrow sense binary BCH codes. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 66. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH Codes Pada bagian akan diberikan algoritma dalam decoding BCH code yang dibagi menjadi 3 yaitu : Menghitung syndrome Menemukan error locator polynomial Menemukan semua akar dari error locator polynomial Untuk menyederhanakannya, kita hanya akan mendiskusikan decoding narrow sense binary BCH codes. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 67. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Decoding BCH Codes Misalkan C narrow sense binary BCH codes dengan panjang n = 2m − 1 dan design distance δ = 2t + 1 yang dibangun oleh g(x) := lcm(M(1)(x), M(2)(x), . . . , M(δ−1)(x)), dimana M(i)(x) adalah polynomial minimal dari αi terhadap F2 untuk elemen primitif α ∈ F2m . Ambil H = 1 α (α)2 . . . (α)n−1 1 α2 (α2)2 . . . (α2)n−1 1 α3 (α3)2 . . . (α3)n−1 ... ... ... . . . ... 1 αδ−1 (αδ−1)2 . . . (αδ−1)n−1 (5) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 68. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Decoding BCH codes Maka bisa ditunjukkan bahwa word c ∈ Fn 2 adalah codeword C jika hanya jika cHT = 0. Selanjutnya, kita bisa mendefinisikan sindrome SH(w) dari w ∈ Fn 2 terhadap H adalah wHT . Andaikan bahwa w(x) = w0 + w1x + . . . + wn−1xn−1 word yang diterima dengan error polynomial e(x) memenuhi wt(e(x)) ≤ t. Ambil c(x) = w(x) − e(x) maka c(x) adalah codeword. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 69. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Decoding BCH codes Maka bisa ditunjukkan bahwa word c ∈ Fn 2 adalah codeword C jika hanya jika cHT = 0. Selanjutnya, kita bisa mendefinisikan sindrome SH(w) dari w ∈ Fn 2 terhadap H adalah wHT . Andaikan bahwa w(x) = w0 + w1x + . . . + wn−1xn−1 word yang diterima dengan error polynomial e(x) memenuhi wt(e(x)) ≤ t. Ambil c(x) = w(x) − e(x) maka c(x) adalah codeword. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 70. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Tahap 1. Menghitung Sindrome Sindrome w(x) adalah (s0, s1, . . . , sδ−2) := (w0, w1, . . . , wn−1)HT sehingga si = w(αi+1) = e(αi+1) untuk setiap i = 0, 1, . . . , δ − 2, ketika αi+1 adalah akar-akar dari g(x). Asumsikan bahwa error diambil di posisi i0, i1, . . . , il−1 dengan l ≤ t didapat e(x) = xi0 + xi1 + · · · + xil−1 (6) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 71. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Tahap 1.Menghitung Sindrome Maka kita mendapatkan sistem persamaan αi0 + αi1 + · · · + αil−1 = s0=w(α), (αi0 )2 + (αi1 )2 + · · · + (αil−1 )2 = s1 =w(α2), ... ... ... (αi0 )δ−1 + (αi1 )δ−1 + · · · + (αil−1 )δ−1 = sδ−2=w(αδ−1). (7) sebarang metode diatas untuk menyelesaikan sistem persamaan diatas merupakan algoritma decoding untuk BCH codes. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 72. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Tahap 2. Menemukan error locator polynomial Untuk e(x) = xi0 + xi1 + · · · + xil−1 , didefinisikan error locator polynomial oleh σ(z) := l−1 j=0 (1 − αij z). Ini dapat ditemukan bahwa posisi error ij sejauh semua akar-akar σ(z) yang diketahui. Untuk tahap ini, kita harus menentukan error locator polynomial σ(z). Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 73. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Teorema Teorema 4.18 Andaikan polynomial sindrome s(z) = δ−2 j=0 sjzj adalah bukan polynomial nol. Maka terdapat polynomial tak nol r(z) ∈ F2m [z] dengan demikian deg(r(z)) ≤ t − 1, gcd(r(z), σ(z)) = 1 dan r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod zδ−1 ) (8) Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 74. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Lanjutan Teorema 4.18 Lebih jauh, untuk sebarang pasangan (u(z), v(z)) polynomial tak nol atas F2m memenuhi deg(u(z)) ≤ t − 1, deg(v(z)) ≤ t dan u(z) ≡ s(z)v(z) (mod zδ−1 ) (9) Kita mempunyai σ(z) = βv(z), r(z) = βu(z), (10) untuk elemen tak nol β ∈ F2m . Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 75. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Tahap 3. Menemukan akar -akar error locator polynomial Untuk melakukannya, kita bisa mencari semua kemungkinan akar -akar dengan menggunakan σ(z) di αi, untuk semua i = 1, 2, . . . . . Setelah semua akar -akarnya αi1 , . . . , αil dari σ(z) ditemukan, kita mendapatkan error polynomial persamaan Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 76. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.18 Contoh 4.19 Misalkan α akar dari g(x) = 1 + x + x3 ∈ F2[x]. Maka Hamming code yang dibangun oleh g(x) =lcm(M(1)(x), M(2)(x)) mempunyai design distance δ = 3. Andaikan bahwa w(x) = 1 + x + x2 + x3 word yang diterima. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 77. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.18 Menghitung sindrome : (s0, s1) = (w(α), w(α2 )) = (α2 , α4 ) Menemukan error locator polynomial : Selesaikan kongruensi polynomial r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod z2 ) dengan deg(r(z)) = 0 dan deg(σ(z)) ≤ 1, dan s(z) = α2 + α4 z. Kita mempunyai σ(z) = 1 + α2z dan r(z) = α2. Selanjutnya didapat error di tempat ketiga. Jadi, kita bisa memperbaiki(decode) w(x) ke w(x) − x2 = 1 + x + x3 = 1101000. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 78. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.18 Menghitung sindrome : (s0, s1) = (w(α), w(α2 )) = (α2 , α4 ) Menemukan error locator polynomial : Selesaikan kongruensi polynomial r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod z2 ) dengan deg(r(z)) = 0 dan deg(σ(z)) ≤ 1, dan s(z) = α2 + α4 z. Kita mempunyai σ(z) = 1 + α2z dan r(z) = α2. Selanjutnya didapat error di tempat ketiga. Jadi, kita bisa memperbaiki(decode) w(x) ke w(x) − x2 = 1 + x + x3 = 1101000. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 79. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Pengantar BCH Codes Parameter BCH Code Decoding BCH Code Contoh 4.18 Menghitung sindrome : (s0, s1) = (w(α), w(α2 )) = (α2 , α4 ) Menemukan error locator polynomial : Selesaikan kongruensi polynomial r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod z2 ) dengan deg(r(z)) = 0 dan deg(σ(z)) ≤ 1, dan s(z) = α2 + α4 z. Kita mempunyai σ(z) = 1 + α2z dan r(z) = α2. Selanjutnya didapat error di tempat ketiga. Jadi, kita bisa memperbaiki(decode) w(x) ke w(x) − x2 = 1 + x + x3 = 1101000. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 80. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Kesimpulan BCH Code merupakan generalisasi dari Hamming code dan didefinisikan dari kelipatan persekutuaan terkecil dari suku banyak monic dengan derajat terkecil atau lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft (x)) Didalam pembahasan paper ini hanya dibahas BCH code sebagai suku banyak. Adapun penerapan dari BCH codes sendiri adalah sistem komunikasi via satelit, pemutar CD(compact disk), DVD, disk drivers, dan barcode dua dimensi. Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 81. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 82. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 83. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes
- 84. Pendahuluan Motivasi Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Wawin,Qori, Aliyah, Hirwanto BCH Codes