1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
(เนื้อหาตอนที่ 4)
ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
โดย
อาจารย์ ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
สื่อการสอน เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 9 ตอน ซึ่ง
ประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การให้เหตุผล
- การให้เหตุผลแบบอุปนัย
- การให้เหตุผลแบบนิรนัย
3. เนื้อหาตอนที่ 2 ประพจน์และการสมมูล
- ประพจน์และค่าความจริง
- ตัวเชื่อมประพจน์
- การสมมูล
4. เนื้อหาตอนที่ 3 สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
- เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์
- สัจนิรันดร์
- การอ้างเหตุผล
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
- ประโยคเปิด
- วลีบ่งปริมาณ
6. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
7. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
8. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง หอคอยฮานอย
9. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ตารางค่าความจริง
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู
และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง การให้เหตุผลและ
ตรรกศาสตร์ นอกจากนี้ ห ากท่ า นสนใจสื่ อ การสอนวิ ช าคณิ ต ศาสตร์ ใ นเรื่ อ งอื่ น ๆที่ ค ณะผู้ จั ด ท าได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดใน
ตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ (ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 4 (4/4)
หัวข้อย่อย 1. ประโยคเปิด
2. วลีบ่งปริมาณ
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจความหมายและความแตกต่างของประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
2. หาค่าความจริงของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณได้
3. นาความรู้เรื่องสมมูลและนิเสธไปใช้ในการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณได้
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. บอกความแตกต่างระหว่างประพจน์และประโยคเปิดได้
2. บอกความหมายของวลีบ่งปริมาณได้
3. บอกความหมายของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณทั้งแบบหนึ่งตัวและสองตัวได้
4. บอกวิธีการหาและหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณทั้งแบบหนึ่งตัวและสองตัวได้
5. เขียนแสดงประพจน์ที่เป็นนิเสธของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณที่กาหนดให้ได้
6. นาความรู้เรื่องสมมูลและนิเสธไปใช้ในการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณได้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ประโยคเปิด
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ประโยคเปิด
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ทราบถึงความหมายของประโยคเปิด และความแตกต่างระหว่างประโยค
เปิดและประพจน์
เนื้อหาในสื่อเริ่มต้นด้วยให้สังเกตข้อความที่คล้ายประพจน์ แต่ไม่เป็นประพจน์ ทั้งที่เป็นข้อความทั่วไป
และข้อความที่อยู่รูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์
ในที่นี้ผู้สอนอาจยกตัวอย่างข้อความเพิ่มเติม และควรชี้ให้ผู้เรียนเห็นถึงสิ่งที่เป็นประเด็นสาคัญที่ทาให้
ข้อความดังกล่าวเหล่านั้นไม่เป็นประพจน์
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อผู้เรียนเริ่มเข้าใจถึงความแตกต่าง ผู้สอนจึงให้ความหมายของประโยคเปิด โดยอาจให้ผู้เรียน
ยกตัวอย่างประโยคเปิดอื่นๆ
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. วลีบ่งปริมาณ
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. วลีบ่งปริมาณ
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับความหมายของวลีบ่งปริมาณ และการนาวลีบ่งปริมาณไปใช้
ประกอบกับประโยคเปิดเพื่อสร้างเป็นประพจน์
หลังจากที่เข้าใจความหมายของวลีบ่งปริมาณแล้ว จึงแสดงวิธีการสร้างประพจน์โดยใช้วลีบ่ง
ปริมาณและประโยคเปิด ซึ่งเป็นประโยคเปิดเดียวกับที่เคยได้เรียนมาก่อนหน้า
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ทั้งนี้ควรเน้นย้าให้ผู้เรียนเห็นว่า เมื่อนาวลีบ่งปริมาณมาใช้ร่วมกับประโยคเปิดแล้ว จะทาให้
ประโยคเปิดนั้นกลายเป็นประพจน์
นอกจากนี้ผสอนควรให้ความสาคัญกับการแปลความหมายของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณ หรือ
ู้
การเขียนแทนประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณที่อยู่ในรูปประโยคข้อความด้วยรูปประโยคสัญลักษณ์ โดยอาจ
ยกตัวอย่างเช่น
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 1 จงเขียนประโยคข้อความต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
1. สาหรับจานวนจริง x ทุกตัว x + 3x = 4x  x[x + 3x = 4x]
2. มีจานวนจริง x ซึ่ง x + 0 = 2x  x[x + 0 = 2x]
3. สาหรับจานวนจริง x บางตัว ถ้า x = 0 แล้ว x2 > 0 2
 x[(x = 0)  ( x > 0)]
4. จานวนเต็มทุกจานวนเป็นจานวนตรรกยะ  x[x  I  x  Q]
5. จานวนเต็มตรรกยะแต่ละจานวนคูณกับ 1 แล้ว เท่ากับจานวนนั้น  x[x  Q  x(1) = x = (1)x]
ตัวอย่าง 2 จงเขียนประโยคสัญลักษณ์ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปของประโยคข้อความ
1.  x [x + 3 = 6] มีจานวนจริงบางจานวนที่ทาให้ x + 3 = 6
2.  x [x  I  x  2] มีจานวนเต็มบางจานวนเป็นจานวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2
3.  x [x  I  x < 5] สาหรับจานวนเต็มทุกจานวนเป็นจานวนน้อยกว่า 5
4.  x [x < 2  x2 < 4] สาหรับจานวนจริง x ทุกตัว ถ้า x < 2 แล้ว x2 < 4
5.  y [y2 – 4 = (y - 2)(y + 2)] สาหรับทุก y ที่อยู่ในจานวนจริง y2 – 4 = (y - 2)(y + 2)
ในลาดับถัดไปจะเป็นการนาเข้าสู่เนื้อหาเกี่ยวกับการตรวจสอบค่าความจริงของประพจน์ที่มีวลีบ่ง
ปริมาณ โดยเริ่มต้นจากการแนะนาสัญลักษณ์แทนประโยคเปิด และการตรวจสอบค่าความจริงของ
ประพจน์ในรูปข้อความทั่วไป และจึงตามด้วยประพจน์ในรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ทั้งนี้ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมดังนี้
ตัวอย่าง 3 x[x 2  0] เมื่อ U = {-3,-2,-1} มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา แทนค่า x ด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ พบว่า
( 3) 2  0 ซึ่งคือ 9  0 เป็นจริง
( 2) 2  0 ซึ่งคือ 4  0 เป็นจริง
( 1) 2  0 ซึ่งคือ 1  0 เป็นจริง
เนื่องจากเป็นจริงทุกกรณี
ดังนั้น x[x 2  0] เมื่อ U = {-3,-2,-1} มีค่าความจริงเป็นจริง
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 4 x[x 3  0] เมื่อ U = {-1,0,1}มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา แทนค่า x ด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ U พบว่า
( 1) 3  0 ซึ่งคือ 1  0 เป็นเท็จ
0 0
3
ซึ่งคือ 0  0 เป็นจริง
13  0 ซึ่งคือ 1  0 เป็นจริง
เนื่องจากมีกรณีที่เป็นเท็จเกิดขึ้น
ดังนั้น x[x 2  0] เมื่อ U = {-1,0,1} มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ทั้งนี้ในการแสดงเฉพาะกรณีแรกได้ว่าเป็นเท็จ ก็เพียงพอที่สรุปว่าประพจน์ x [ x 3  0]
มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ตัวอย่าง 5 x[x 2  1  0] เมื่อ U = {-1,0,1}มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา แทนค่า x ด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ U พบว่า
( 1) 2  1  0 ซึ่งคือ 0  0 เป็นจริง
02 1  0 ซึ่งคือ 0  0 เป็นเท็จ
1 1  0
2
ซึ่งคือ 0  0 เป็นจริง
เนื่องจากมีกรณีที่เป็นจริงเกิดขึ้น
ดังนั้น x[x 2  1  0] เมื่อ U = {-1,0,1} มีค่าความจริงเป็นจริง
ทั้งนี้ในการแสดงเฉพาะกรณีแรก หรือกรณีที่สาม เพียงกรณีเดียวก็เพียงพอที่จะแสดงได้ว่า
ประพจน์ x[x 2  1  0] มีค่าความจริงเป็นจริง
x
ตัวอย่าง 6 x[  1  0] เมื่อ U = {4,6,-4} มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
2
วิธีทา แทนค่า x ด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ U พบว่า
4
1  0 ซึ่งคือ 1  0 เป็นเท็จ
2
6
1  0 ซึ่งคือ 2  0 เป็นเท็จ
2
4
 1  0 ซึ่งคือ 3  0 เป็นเท็จ
2
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื่องจากไม่มีกรณีใดที่เป็นจริงเลย
x
ดังนั้น x[  1  0] เมื่อ U = {4,6,-4} มีค่าความจริงเป็นเท็จ
2
ตัวอย่าง 7 x[x(x 2  9)  0] เมื่อ U = {-3,0,3}มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา แทนค่า x ด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ U พบว่า
3(( 3) 2  9)  0 เป็นจริง
0((0) 2  9)  0 เป็นจริง
3((3)  9)  0
2
เป็นจริง
เนื่องจากเป็นจริงทุกกรณี
ดังนั้น x[x(x 2  9)  0] เมื่อ U = {-3,0,3}มีค่าความจริงเป็นจริง
หลังจากที่ผู้เรียนสามารถตรวจสอบค่าความจริงของประพจน์ได้แล้ว ผู้สอนควรเปิดโอกาสให้
นักเรียนได้สังเกต และอภิปรายถึงปัจจัยที่มีผลต่อความความจริงของประพจน์ จากนั้นจึงสรุปหลักการ
ตรวจสอบค่าความจริงของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณทั้งสองแบบอีกครั้ง
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในลาดับถัดไปเป็นการนาเสนอเรื่องวลีบ่งปริมาณสองตัว ซึ่งเป็นการขยายความคิดจากความรู้เก่า
ที่เคยได้เรียนมาก่อนหน้า โดยผู้สอนควรให้ความสาคัญกับการแปลความหมายของประพจน์ที่มีวลีบ่ง
ปริมาณสองตัว หรือการเขียนแทนประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณสองตัวอยู่ในรูปประโยคข้อความด้วยรูป
ประโยคสัญลักษณ์ โดยอาจยกตัวอย่างเช่น
ตัวอย่าง 8 จงเขียนประโยคข้อความต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
1. มีจานวนจริง x และ y บางตัว รวมกันได้ 5  x  y [x + y = 5]
2. สาหรับจานวนจริง x และ y ทุกตัว x2 + y = y + x2 2 2
 x  y [x + y = y + x ]
3. สาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน มีจานวนจริง y บางจานวน ซึ่ง x2y = x2  x  y [x2y = x2]
4. มีจานวนจริง x บางจานวน สาหรับจานวนจริง y ทุกจานวน xy = 0  x  y [xy = 0]
5. ไม่ว่า x และ y จะเป็นจานวนจริงใดๆก็ตาม จะได้ว่า x + y < 3  x  y [x + y < 3]
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 9 จงเขียนประโยคสัญลักษณ์ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปของประโยคข้อความ
1.  x  y [xy = yx] สาหรับจานวนจริง x และ y ทุกตัว xy = yx
2.  x  y [x + y = 0] สาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน มีจานวนจริง y ที่ x + y = 0
3.  x  y [xy = 0] มีจานวนจริง x บางจานวน สาหรับจานวน y ทุกจานวน xy = 0
4.  x  y [x + y = -1] มีจานวนจริง x และ y บางจานวนที่ทาให้ x + y = -1
5.  x  R  y  N [xy > 0  x > 0  y > 0] สาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน มีจานวนนับ y
บางจานวน ถ้า xy > 0 แล้ว x > 0 และ y > 0
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในขั้นตอนของการหาค่าความจริงของประพจน์ ผู้สอนควรเริ่มต้นการหาค่าความจริงของ
ประพจน์ที่มีจานวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ในปริมาณน้อย จากนั้นจึงค่อยขยายแนวคิดไปสู่ประพจน์ที่มี
จานวนสมาชิกใน เอกภพสัมพัทธ์ในปริมาณมาก หรือเอกภพสัมพันธ์ที่มีจานวนสมาชิกเป็นเซตอนันต์
ทั้งนี้ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับการตรวจสอบค่าความจริงของประพจน์ที่มีวลีบ่ง
ปริมาณสองตัว ดังนี้
ตัวอย่าง 8 xy[(xy)2  0] เมื่อ U = มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา เห็นได้ชัดว่า ไม่ว่าจะแทน x หรือ y ด้วยจานวนจริงใดๆ ก็ตาม เมื่อนาผลคูณของ x และ y
มายกกาลังสอง ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นย่อมมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เสมอ
ดังนั้น xy[(xy) 2  0] เมื่อ U = มีค่าความจริงเป็นจริง
ตัวอย่าง 9 xy[x 2 y  0] เมื่อ U = มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา เลือก x  0 จะได้ว่า 0 2 y  0 เสมอ สาหรับจานวนจริง y ใดๆ ซึ่งมากกว่าหรือเท่ากับ 0
ดังนั้น xy[x 2 y  0] เมื่อ U = มีค่าความจริงเป็นจริง
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 10 x  y   [x 3 y  0] มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา สาหรับจานวนเต็มลบ x ใดๆ จะได้ว่า x 3  0 ซึ่งสาหรับจานวนเต็มบวก y ใดๆ
ย่อมได้ว่า x 3 y  0
ดังนั้น x I y I  [x 3 y  0] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ตัวอย่าง 11 xy[(x  3y)3  0] เมื่อ U = มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา เลือก x = 0 และ y = -1 ซึ่งเป็นจานวนเต็ม จะได้ว่า
(0  3( 1)) 3  0
( 3) 3  0
27  0 ซึ่งเป็นจริง
ดังนั้น xy[( x  3 y )3  0] เมื่อU = มีค่าความจริงเป็นจริง
จากนั้นผู้สอนนาเข้าสู่หัวข้อสุดท้าย คือ สมมูลและนิเสธของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณ โดยเมื่อ
สามารถเปลี่ยนประโยคเปิดให้กลายเป็นประพจน์โดยอาศัยวลีบ่งปริมาณ ประพจน์นั้นก็ย่อมที่จะหานิเสธ
และประพจน์ที่สมมูลกับประพจน์นั้นได้
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ทั้งนี้ผู้สอนควรเปิดโอกาสให้นักเรียนได้สรุปหลักการในการหาประพจน์ที่เป็นนิเสธของประพจน์
ที่มีวลีบ่งปริมาณที่กาหนดให้ และอาจยกตัวอย่างเสริมเพิ่มเติม
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง วลีบ่งปริมาณ
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง วลีบ่งปริมาณ
1. จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1.1 x[( x  2)( x  3)  0] เมื่อ U = {-2,3}
1.2 x [ x 2 ( x  2) 2  0] เมื่อ U = {0,2,4}
1.3 x [ x ( x ) 2  0] เมื่อ U =
1.4 x[ x 2  1  0] เมื่อ U = 

1.5 x [ x 3  3 x 2  3 x  9  0] เมื่อ U =
1.6 xy[ x 2  y 2  0] เมื่อ U =
1.7 xy[ x 2  y ] เมื่อ U = 
1.8 xy[ x 2  7  y  3] U = {5,6}
2. จงหานิเสธประพจน์ต่อไปนี้
2.1 x [ x 2  1  0]
2.2 x [( x  5) 2  0  ( x 3  27)  0]
2.3 xy[8 x 3  y  7  y  2]
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
จงเลือกข้อที่ถูกต้อง
1. ให้ U = {0,-3,2} ประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเป็นจริง
ก. x[x 2  x  6  0] ข. x[x(x 2  x  6)  0]
ค. x[(x  3)(x  2)  0] ง. x[x 3  x 2  6x  0]
2. ให้ U = พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้
1) x[ x 3  9x 4  0]
2) x[ 3 x 2  4]
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ข้อ 1) และ 2) มีค่าความจริงเป็นจริง
ข. ข้อ 1) มีค่าความจริงเป็นจริง ข้อ 2) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ค. ข้อ 1) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ข้อ 2) มีค่าความจริงเป็นจริง
ง. ข้อ 1) และ ข้อ 2) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3. เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใดต่อไปนี้ ที่ทาให้ x[2x 3  7x 2  46x  21  0] มีค่าความจริงเป็นจริง
1 1
ก. ( , 3] {  }  [7,  ) ข. [ 3,  ]  [7,  )
2 2
1 1
ค. (  , 3]  [  ,7] ง. {3,  ,7}
2 2
4. กาหนด U = {x  x  0} ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ก. x[x 4  4 x ] ข. x[4 x  2  3]
3
ค. x[ x 3  x 3 ] ง. x[  x 2 ]
x
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5. กาหนด U =  ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง
ก. xy[x 2 y  7x  y 3  0] ข. xy[ x  y  y  x ]
x2
ค. xy[x  0]
y
ง. xy[  0]
y
6. กาหนด U = พิจารณาข้อความต่อไปนี้
1) xy[ x  y  x  y  x  y  x  y  x  y ]
2) xy[ x  y  x  y  x  y 2  x 2  y 2 ]
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ข้อ 1) และ 2) มีค่าความจริงเป็นจริง
ข. ข้อ 1) มีค่าความจริงเป็นจริง ข้อ 2) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ค. ข้อ 1) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ข้อ 2) มีค่าความจริงเป็นจริง
ง. ข้อ 1) และ ข้อ 2) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
7. ข้อใดเป็นนิเสธของ x[ 2x  3  1]
ก. x[ 2x  3  1] ข. x[ 2x  3  1]
ค. x[ 2x  3  1] ง. x[ 2x  3  1]
8. ข้อใดเป็นนิเสธของ x[ 2x  3  1  x 2  x  0]
ก. ~ x[ 2x  3  1  x 2  x  0] ข. x[x 2  x  0  1  2x  3 ]
ค. x[ 2x  3  1  x 2  x  0] ง. x[ 2x  3  1  x 2  x  0]
9. ข้อใดคือนิเสธของ xy[(x  y  1)  (x  1  y )]
ก. ~ xy[(x  y  1)  (x  1  y )]
ข. xy[(x  y  1)  (x  1  y )]
ค. xy[(x  y  1)  (x  1  y )]
ง. xy[(x  1  y )  (x  y  1)]
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
10. กาหนด U = พิจารณาข้อความต่อไปนี้
1) xyz[x  y  x  z  y  z  zx  zy]
2) xy[(x 1) 2 y  0]
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ข้อ 1) และ 2) มีค่าความจริงเป็นจริง
ข. ข้อ 1) มีค่าความจริงเป็นจริง ข้อ 2) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ค. ข้อ 1) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ข้อ 2) มีค่าความจริงเป็นจริง
ง. ข้อ 1) และ ข้อ 2) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
11. กาหนด U = นิเสธของประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง
x(1  x)
ก. x[  x] ข. x[0  x  1  0  x 2  x]
1 x
x
ค. yx[ x 4 y  x 2 ] ง. xy[  x 2 ]
y
12. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. ทุกประพจน์ย่อมมีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
ข. บางประพจน์เป็นประโยคเปิด
ค. บางประโยคเปิดเป็นประพจน์
ง. ประโยคเปิดย่อมมีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่าหนึ่ง
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง วลีบ่งปริมาณ
1. จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้
1.1 x[(x  2)(x  3)  0] เมื่อ U = {-2,3} มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา แทน x = -2 จะได้ว่า ( 2  2)( 2  3)  0
แทน x = 3 จะได้ว่า (3  2)(3  3)  0
ดังนั้น x[(x  2)(x  3)  0] เมื่อ U = {-2,3} มีค่าความจริงเป็นจริง
1.2 x[x 2 (x  2) 2  0] เมื่อ U = {0,2,4} มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา เลือกแทน x = 4 จะได้ว่า 4 2 (4  2) 2  0
นั่นคือมีสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทาให้ข้อความเป็นเท็จ
ดังนั้น x[x 2 (x  2) 2  0] เมื่อ U = {0,2,4} มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1.3 x[x(x) 2  0] เมื่อ U = มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา เลือกแทน x = 1 จะได้ว่า 1(1) 2  0
นั่นคือมีสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทาให้ข้อความเป็นเท็จ
ดังนั้น x[x(x) 2  0] เมื่อ U = มีค่าความจริงเป็นเท็จ

1.4 x[ x 2  1  0] เมื่อ U = มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา เนื่องจากสาหรับจานวนจริงลบ x ใดๆ จะได้ว่า x 2  x ซึ่งมีค่ามากกว่า 0 เสมอ

ดังนั้น x[ x 2  1  0] เมื่อ U = มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1.5 x[x 3  3x 2  3x  9  0] เมื่อ U =  มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา เลือก x   3 จะได้ว่า (  3)3  3(  3) 2  3(  3)  9  0
ดังนั้น x[x 3  3x 2  3x  9  0] เมื่อ U =  มีค่าความจริงเป็นจริง
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1.6 xy[x 2  y 2  0] เมื่อ U = มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา เพราะว่าสาหรับจานวนตรรกยะ a ใดๆ a 2  0
ดังนั้น xy[x 2  y 2  0] เมื่อ U = มีค่าความจริงเป็นจริง
1.7 xy[x 2  y] เมื่อ U =  มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา เลือก x = -1 จะได้ว่า ( 1) 2  1 เนื่องจากไม่มีจานวนจริงลบที่มากกว่า 1
ดังนั้น xy[ x 2  y ] เมื่อ U =  มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1.8 xy[x 2  7  y  3] U = {5,6} มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ
วิธีทา แทน x = 5 เลือก y = 5 จะได้ว่า (5) 2  7  5  3
แทน x = 6 เลือก y = 5 จะได้ว่า (6) 2  7  5  3
ดังนั้น xy[x 2  7  y  3] U = {5,6} มีค่าความจริงเป็นจริง
2. จงหานิเสธประพจน์ต่อไปนี้
2.1 x[x 2  1  0]
นิเสธของ x[x 2  1  0] คือ ~ x[x 2  1  0] หรือ x[x 2  1  0]
2.2 x[(x  5) 2  0  (x 3  27)  0]
นิเสธของ x[(x  5) 2  0  (x 3  27)  0] คือ ~ x[(x  5) 2  0  (x 3  27)  0]
หรือ x[(x  5) 2  0  (x 3  27)  0]
2.3 xy[8x 3  y  7  y  2]
นิเสธของ xy[8x 3  y  7  y  2] คือ ~ xy[8x 3  y  7  y  2]
หรือ xy[8x 3  y  7  y  2]
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. ง
2. ค
3. ค
4. ข
5. ข
6. ง
7. ก
8. ค
9. ง
10. ข
11. ก
12. ก
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
38