Tulisan ini membahas sistem linear atas ring komutatif dan sifat feedback siklisasi dari ring. Sistem linear atas ring komutatif merupakan abstraksi dari sistem linear klasik atas bilangan real. Tulisan ini mendefinisikan ketercapaian sistem linear atas ring komutatif dan vektor siklik, serta menyatakan bahwa ring memiliki sifat feedback siklisasi jika setiap sistem tercapainya memiliki sistem siklisasi.

1. MAKALAH
LINEAR SYSTEMS OVER COMMUTATIVE RINGS
( SISTEM LINEAR ATAS RING KOMUTATIF )
JEROL VIDEL LIOW
12/340197/PPA/04060
PROGRAM STUDI S2 MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
YOGYAKARTA
2014

2. DAFTAR ISI
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
I Linear Systems Over Commutative Rings . . . . . . . . . . 1
1.1. Sistem Linear atas Ring Komutatif . . . . . . . . . . . . . . . . 1
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ii

3. I
Linear Systems Over Commutative Rings
Tulisan ini membahas topik mengenai siklisasi ketercapaian sistem li-
near atas ring komutatif dalam kaitannya dengan ring regular von Neumann.
Oleh karena itu, perlu untuk dibahas mengenai ketercapaian dari sistem line-
ar atas ring komutatif serta sifat feedback siklisasi. Kemudian akan diberikan
beberapa karakteristik utama dari ring regular von Neumann.
1.1. Sistem Linear atas Ring Komutatif
Konsep pertama yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah sistem li-
near atas ring. Sistem linear atas ring komutatif merupakan abstraksi dari
sistem linear time-invariant atas bilangan real, yang dikenal juga sebagai sis-
tem linear klasik. Sebagaimana dalam sistem klasik, maka dalam pembahasan
sistem linear atas ring komutatif diberikan ide mengenai ketercapaian. Da-
lam sistem klasik berlaku bahwa sistem (A;B) atas lapangan R berdimensi
n tercapai jika dan hanya jika pemetaan L : Rnm ! Rn dide

4. nisikan dengan
L = [BjABj jAn1B] surjektif. Hasil yang tidak melibatkan elemen invers
dari lapangan R ini memotivasi untuk mende

5. nisikan ketercapaian dari sistem
linear atas ring komutatif.
De

6. nisi 1.1.1 (Brewer,1986) Misal ring komutatif R dan sistem berdimensi
n dengan m input atas R, dengan A 2 Rnn dan B 2 Rnm. Diberikan
homomor

7. sma Rmodul
:
1
i=0
Rm ! Rn;
yaitu
((x1; x2 ))
def
= Bx1 + ABx2 + ; 8(x1; x2; ) 2
1
i=0
Rm:
1

8. 2
Sistem = (A;B); dikatakan tercapai jika dan hanya jika homomor

9. sma
Rmodul surjektif.
Matriks ketercapaian dari sistem , dinotasikan dengan A B, dide

10. nisikan
sebagai A B = [BjABj jAn1B].
De

11. nisi 1.1.1 memunculkan pertanyaan apakah sistem yang tercapai
akan mengkarakterisasi Rn melalui matriks ketercapaiannya. Diperhatikan
bahwa kolom-kolom dari matriks ketercapaian membangun suatu submodul
dari Rn dan dituliskan dengan N
n (Hermida-Alonso, et al, 1996). Sebelumnya
perlu diberikan lemma bahwa kolom-kolom dari [BjABjA2Bj ] membangun
Rn merupakan syarat perlu agar sistem = (A;B); tercapai.
Lemma 1.1.2 (Brewer,1986) Jika sistem = (A;B) tercapai maka kolom-
kolom dari [BjABjA2Bj ] membangun Rn.
Bukti. Diketahui sistem = (A;B) tercapai, yaitu :
1
i=0
Rm ! Rn
surjektif. Diambil sebarang y 2 Rn. Karena surjektif, maka terdapat
x = (x1; x2; ) 2
1
i=0
Rm, sedemikian hingga (
x) = y. Karena
x 2
1
i=0
Rm,
maka 9n 2 N sehingga
x = (x1; x2; ; xn; 0; ). Akibatnya,
y = (
x) = Bx1 + ABx2 + + An1Bxn:
Misal xj = (x1j; x2j; ; xmj); (AjB)i = kolom ke-i dari AjB., maka:
y =
Xm
i=1
xi1(B)i +
Xm
i=1
xi2(AB)i + +
Xm
i=1
xi2(An1B)i:
Diperoleh: y merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom [BjABjA2Bj ].
Dengan demikian, kolom-kolom dari [BjABjA2Bj ] membangun Rn.
Lemma berikut menyatakan bahwa sistem yang tercapai menjadi sya-
rat cukup sekaligus syarat perlu agar kolom-kolom matriks ketercapaiannya
membangun Rn.
Lemma 1.1.3 (Brewer,1986) Diberikan sistem = (A;B), maka pernyataan-
pernyataan berikut ekuivalen:

12. 3
(i) Sistem = (A;B) tercapai.
(ii) Kolom-kolom dari [BjABj jAn1B] membangun Rn.
Bukti. ())Diketahui sistem = (A;B) tercapai, maka berdasarkan 1.1.2,
kolom-kolom dari [BjABjA2Bj ] membangun Rn. Akan ditunjukkan kolom-
kolom dari [BjABj jAn1B] membangun Rn. Karena A matriks berukuran
n n, maka A memenuhi persamaan karakteristiknya, yaitu: jika
jI Aj = n + a1n1 + + an1 + an = 0;
untuk a1; ; an 2 R, maka
An + a1An1 + + an1A + anI = 0:
Dari sini diperoleh:
An = a1An1 an1A anI;
sehingga kolom-kolom dari An merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom
I; A;A2; ;An2;An1: Diperhatikan:
An+1 = A(An)
21
= A(a1An1 an1A anI)
= a1An a2An1 an1A2 anA
= a1(a1An1 an1A anI) a2An1 an1A2 anA
= (a a2)An1 + + (a1an1 an)A + a1anI:
Jadi, kolom-kolom dari An+1 merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom
dari I; A; ;An1: Secara umum, untuk k n, kolom-kolom Ak merupakan
kombinasi linear dari kolom-kolom I; A; ;An1: Akibatnya, untuk k 0,
kolom-kolom AkG merupakan kombinasi linear dari [B;AB; ;An1B] :
Diambil sebarang y 2 Rn. Karena kolom-kolom dari [BjABjA2Bj ] mem-
bangun Rn, maka y merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom matriks
[BjABjA2Bj ]. Karena setiap kolom dari AkG untuk k 0 merupakan

13. 4
kombinasi linear dari kolom-kolom [B;AB; ;An1B] ; maka y merupakan
kombinasi linear dari kolom-kolom [B;AB; ;An1B] : Jadi, kolom-kolom
matriks [BjABj jAn1B] membangun Rn.
(() Diketahui kolom-kolom dari [BjABj jAn1B] membangun Rn. Akan
ditunjukkan :
1
i=0
Rm ! Rn; surjektif.
Diambil sebarang y 2 Rn. Karena kolom-kolom dari [BjABj jAn1B] mem-
bangun Rn, maka
y =
Xm
i=1
xi1(B)i +
Xm
i=1
xi2(AB)i + +
Xm
i=1
xi2(An1B)i:
Misalkan xi = (x1i; x2i; ; xmi) untuk i = 1; 2; ; n, maka diperoleh xi 2
Rm; i = 1; 2; ; n, sehingga
x = (x1; x2; ; xn; 0; ) 2
1
i=0
Rm, dan
(
x) = Bx1 + ABx2 + + An1Bxn
=
Xm
i=1
xi1(B)i +
Xm
i=1
xi2(AB)i + +
Xm
i=1
xi2(An1B)i = y:
Jadi, surjektif, yang berarti sistem = (A;B) tercapai.
Diperhatikan sistem yang diberikan dalam De

14. nisi 1.1.1 merupakan sis-
tem berdimensi n dengan minput. Untuk kasus single input, yaitu matriks
G hanya terdiri dengan 1 kolom, maka sistem yang diberikan dinamakan sis-
tem single input, ditulis dengan (A; g). Karena g berukuran n 1, maka g
dapat dipandang sebagai vektor dalam Rn. Dari sini muncul motivasi untuk
mende

15. nisikan vektor siklik, seperti halnya dalam sistem klasik atas lapangan.
De

16. nisi 1.1.4 (Brewer,1986) Suatu vektor v 2 Rn disebut vektor siklik untuk
A jika fv; Av; ;An1vg basis untuk Rn.
Berikut diberikan lemma mengenai ketercapaian sistem single input de-
ngan vektor input g.
Lemma 1.1.5 (Brewer,1986) Diberikan (A; g) sistem single input berdimensi
n atas ring komutatif R, maka sistem (A; g) tercapai jika dan hanya jika g
vektor siklik untuk A.

17. 5
Bukti.
Sistem (A; g) tercapai , kolom-kolom dari [gjAgj jAn1g] membangun
Rn dan Det([gjAgj jAn1g]) 2 U(R)
, fg;Ag; ;An1gg basis di Rn
, g vektor siklik untuk A:
Sekarang akan diberikan karakterisasi penting dari ring dalam kaitannya
dengan sistem tercapai. Misalkan = (A;B); atas R, jika terdapat matriks K
dan vektor u sedemikian hingga Bu vektor siklik untuk ABK, maka sistem
baru (ABK;Bu) dinamakan siklisasi sistem . Tidak semua ring komutatif
memiliki sifat bahwa setiap sistem tercapainya memiliki sistem siklisasi, mi-
salnya ring bilangan bulat Z dan ring polinomial R[x](Brewer, 1986). Hal ini
menimbulkan motivasi untuk mende

18. nisikan sifat dari ring yang setiap sistem
tercapainya memiliki siklisasi, yaitu sifat feedback siklisasi.
De

19. nisi 1.1.6 (Brewer,1986) Suatu ring R dikatakan mempunyai sifat fee-
dback siklisasi jika memenuhi kondisi: apabila sistem = (A;B) tercapai atas
R, maka terdapat matriks K dan vektor u sedemikian hingga Bu vektor siklik
untuk A BK.
Contoh 1.1.7 (Brewer,1986) Setiap lapangan F mempunyai sifat feedback si-
klisasi.
Untuk menjelaskan Contoh 1.1.7, dimisalkan F lapangan dan (A;B) sis-
tem tercapai atas F. Dari sini, maka ruang kolom dari ([BjABj jAn1B])
adalah Fn. Misalkan g1 kolom tak nol dari B dan ditinjau kolom-kolom
g1; Ag1; ;An11g1, dengan n1 bilangan bulat positif pertama sedemikian
hingga An1g1 merupakan kombinasi linear dari fg1; Ag1; ;An11g1g. Misalk-
an g2 kolom dari B sedemikian hingga g2 bukan merupakan kombinasi linear
dari fg1; Ag1; ;An11g1; g2; Ag2; ;An21g2g: Ditinjau g2; Ag2; ;An21g2

20. 6
dengan n2 bilangan bulat positif pertama sedemikian hingga An2g2 merupak-
an kombinasi linear dari fg1; Ag1; ;An11g1; g2; Ag2; ;An21g2g: Proses
dilanjutkan dan karena F merupakan lapangan,diperoleh basis:
fg1; Ag1; ;An11g1; ; gr; Agr; ;Anr1grg;
dengan r 2 N. Selanjutnya, dide

21. nisikan
K : Fn ! Fm;
dengan aturan:
K(Aigj) = 0 jika i nj 1;
K(Anj1gj) = c(gj+1) jika j r;
K(Anr1gj) = 0 jika j r;
dengan c(gi) menotasikan nomor kolom dari B, k vektor ke k dari basis ele-
menter.
Akan ditunjukkan sistem baru (A+BK;Bc(g1)) tercapai. Diperhatikan bahwa
Bc(g1) = g1. Dari sini, diperoleh:
Jika n1 = 1, maka (A + BK)g1 = Ag1 + BKg1 = Ag1 + B 0 = Ag1.
Jika n16= 1, maka (A + BK)g1 = Ag1 + BKg1 = Ag1 + Bc(g2) = Ag1 + g2.
Dari penentuan n1 diperoleh: jika n1 = 1, maka Ag1 merupakan kelipatan dari
g1. Akibatnya,
(A + BK)2g1 = (A + BK)Ag1 = A2g1 jika n16= 2
(A + BK)3g1 = A3g1 jika n16= 3
...
(A + BK)n1g1 = (A + BK)An11g1 = An1g1 + g2
Dengan demikian, An1g1 merupakan kombinasi linear dari fg1; Ag1; ;An11g1g.
Diperhatikan:
(A + BK)n1+1g1 = (A + BK)(A + BK)n1g1
= (A + BK)(An1g1 + g2)
= (A + BK)An1g1 + (A + BK)g2:

22. 7
Diperoleh: (A + BK)An1g1 merupakan kombinasi linear dari
fg1; Ag1; ;An11g1; g2g:
Proses perhitungan dilanjutkan, sehingga terlihat bahwa
fg1; (A + BK)g1; ; (A + BK)n11g1g
merupakan basis untuk Fn. Demikian diperoleh bahwa g1 merupakan vektor
siklik untuk (A + BK), sehingga menurut Lemma 1.1.5, sistem (A + BK; g1)
tercapai atas F.
Lemma 1.1.8 . (Brewer,1986) Jika R mempunyai sifat feedback siklisasi,
maka untuk sebarang sistem = (A;B) tercapai atas R, terdapat matriks K
dan vektor u sedemikian hingga sistem baru 0 = (A + BK;Bu) tercapai atas
R.
Bukti. Diketahui R mempunyai sifat feedback siklisasi dan diberikan seba-
rang sistem = (A;B) tercapai atas R. Dari De

23. nisi 1.1.6, maka terdapat
matriks K dan vektor u sedemikian hingga Bu vektor siklik untuk A BK.
Berdasarkan 1.1.5, diperoleh sistem 0 = (A + BK;Bu) tercapai atas R.
Berdasarkan Contoh 1.1.7 dan Lemma 1.1.8, diperoleh bahwa jika R
merupakan lapangan, maka untuk sebarang sistem = (A;B) tercapai atas
R, terdapat matriks K dan vektor u sedemikian hingga sistem baru 0 =
(A + BK;Bu) tercapai atas R. Untuk kasus sebarang ring komutatif, jelas
syarat perlu dalam Lemma 1.1.8 tidak dipenuhi. Seperti diuraikan dalam
bagian pendahuluan, diduga bahwa jika R dalam syarat cukup Lemma 1.1.8
merupakan ring regular, maka syarat perlu tersebut dipenuhi.
Lemma 1.1.9 Misal R ring komutatif. Jika R memiliki sifat feedback siklisasi,
maka untuk a; b 2 R dengan ha; bi = R, terdapat c; d 2 R dengan d elemen
satuan, sedemikian hingga
bc2 d(mod a):

24. 8
Contoh 1.1.10 Ring R[x] tidak mempunyai sifat feedback siklisasi.
Untuk menjelaskan hal ini, diandaikan R[x] mempunyai sifat feedback
siklisasi. Diambil a; b 2 R[x], dengan a = x21 dan b = x. Karena x21 dan
x relatif prima, maka hx2 1; xi = R[x]. Dari sini, maka terdapat h(x) 2 R[x]
dan d6= 0 2 R sedemikian hingga
x (h2(x) d(mod (x2 1));
yaitu
g(x) (x2 1) = (h2(x) x) d;
dengan g(x) 2 R[x]: Untuk x = 1; maka d = h2(1) 0; dan untuk x = 1;
maka d = h2(1) 0: Dari sini diperoleh d adalah bilangan real yang seka-
ligus positif dan negatif. Kontradiksi ini mengakibatkan pengandaian ditolak,
sehingga terbukti R[x] tidak mempunyai sifat feedback siklisasi.
Contoh 1.1.11 Ring Z tidak mempunyai sifat feedback siklisasi.
Diandaikan Z tidak mempunyai sifat feedback siklisasi. Diambil a = 5
dan b = 2 di dalam Z: Karena 2 dan 5 relatif prima, maka h2; 5i = Z: Dari sini,
maka terdapat c dan d = 1 di dalam Z sedemikian hingga bc2 d(mod 5),
yaitu
2c2 1(mod 5)
2c2 5k 1
dengan k 2 Z: Untuk c = 0; maka 5k1 = 0; dan untuk c = 1, maka 5k1 = 2.
Jelas tidak ada k 2 Z yang memenuhi. Hal ini berarti 2c26= 5k 1; 8k 2 Z;
yaitu 2c26= 1(mod 5). Kontradiksi ini mengakibatkan pengandaian ditolak,
sehingga terbukti ring Z tidak mempunyai sifat feedback siklisasi.

25. DAFTAR PUSTAKA
Anderson, D. F., Badawi, A., 2010, Von Neumann Regular Rings and Related
Elements in Commutative Rings, AMSS CAS and Suzhou Univ.
Brewer, J. W., 1986, Linear Systems Over Commutative Rings, Marcel Dekker,
Inc., New York and Basel.
Cohn, P. M. , 1967, Bezout Rings and their Subrings, Queen Mary College,
London.
Gillman, L., Henriksen, M. , 1956, Rings of Continuous Functions in Which
Every Finitely Generated Ideal is Principal, Claremont Colleges, Claremont.
||||, 1956, Some Remarks about Elementary Divisor Rings, Claremont
Colleges, Claremont.
Goodearl, K. R., 1979, Von Neumann Regular Rings, Pitman, California.
Hermida-Alonso, J. A., Perez, M. P., Sanchez-Giralda, T., 1996, Brunovsky's
Canonical Form for Linear Dynamical Systems over Commutative Rings,
Journal Algebra and Discrete Mathematics Number 1. pp.151-165.
Kaplansky, I., 1948, Elementary Divisors and Modules, Trans. Amer. Math.
Soc., 66. 464-491. MR0031470(11,155b).
Saez-Schwedt, A., 2010, Cyclic Accessibility of Reachable States Characterizes
von Neumann Regular Rings, Elsevier Inc.
Zabavsky, B., 2005, Diagonalizability Theorems for Matrices over Rings with
Finite Stable Range, Pitman, California.
9