Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Viewers also liked (20)
Similar to Analisis vektor
Similar to Analisis vektor (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Analisis vektor
- 1. 1 MATA KULIAH LISTRIK MAGNET •Dr. DARSIKIN, M.Si. •GUSTINA, S.Pd., M.Pd.
- 2. 2 MATA KULIAH : LISTRIK MAGNET KODE MATA KULIAH : FIS 215 JUMLAH KREDIT : 3 SKS (3-0) SEMESTER : IV PJ MATAKULIAH : Dr. Darsikin, M.Si. /Gustina, S.Pd., M.Pd. . GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP) DESKRIPSI SINGKAT: Listrik Magnet membahas mengenai medan elektrostatik dan penggunaannya dalam berbagai kasus fisika. Hukum-hukum elektrostatik yang dipelajari merupakan dasar bagi beberapa materi fisika lainnya. STANDAR KOMPETENSI: Setelah mengikuti perkuliahan Listrik Magnet mahasiswa mampu memahami dasar-dasar elektrostatika dan dapat menggunakan teori dasar tersebut untuk memecahkan persoalan elektrostatika
- 3. 3 Pert Kompetensi Dasar Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Waktu Referensi 1 Memahami sifat-sifat vektor Analisis Vektor 1. Vektor Operator 2. Aljabar Vektor 3. Triple Produk 4. Bagaimana mentransformasi vektor 5. Turunan biasa 6. Gradien 7. Operator 8. Divergnensi 9. Aturan perkalian 10. Turunan kedua 3x50 menit 2, 3 Mengidentifikas i sifat-sifat interaksi muatan listrik (muatan titik dan muatan kontinu) Elektrosta tika 1. Muatan Titik 2. Hukun Coulomb 3. Sistem Muatan Kontinu 6 x 50 menit
- 4. 4 4 Mengidentifikasi medan listrik oleh muatan titik dan muatan kontinu Medan Listrik 1. Pengertian Medan Listrik 2. Medan Listrik oleh Muatan Titik 3. Medan Listrik oleh Muatan Kontinu 3 x 50 menit 5, 6, Menerapkan Hukum Gauss untuk menentukan medan listrik oleh muatan kontinu Hukum Gauss 1. Fluks dan Rapat Fluks Listrik 2. Hukum Gauss 3. Penerapan Hukum Gauss 6 x 50 menit 7, 8 Menganalisis hubungan antara potensial listrik oleh muatan titik dan muatan kontinu, dengan medan listrik Energi dan Potensial Listrik 1. Potensial Listrik dari Muatan Titik 2. Potensial Listrik dari Muatan Kontinu 3. Potensial Listrik dan Energi 4. Kapasitor dan Kapasitansi 5. Energi dalam Kapasitor dan Rapat Energi 6 x 50 menit U T S
- 5. 5 9, 10 Mengidentifikasi monopole, dipole dan quadrupole dari potansial skalar dan menghitung medan listrik oleh dipole listrik Multipole 1. Ekspansi Multipole dari Potensial Skalar 2. Medan Diopole Listrik 6 x 50 menit 11, 12 Mengidentifikasi distribusi potensial listrik melalui persamaan Laplace dan metode pemisahan variabel Metode Khusus dalam Penentuan Potensial Listrik 1. Persamaan Laplace dalam satu dimensi 2. Persamaan Laplace dalam dua dimensi 3. Persamaan Laplace dalam tiga dimensi 4. Syarat Batas dan Teorema Keunikan 5. Metode Pemisahan Variabel 6 x 50 menit 13, 14 Setelah mengikuti pokok bahasan mengenai dipol listrik mahasiswa dapat menghitung potensial dan medan listrik akibat adanya dipol sebagai sumber medan. Dipol Listrik 1. Medan akibat dua muatan berlawanan tanda pada jarak jauh 2. Dipol listrik dan momen dipol 3. Potensial dan medan akibat keberadaan dipol listrik 6 x 50 menit
- 6. 6 15 Setelah mengikuti pokok bahasan medan listrik pada bahan dielektrik mahasiswa dapat menjelaskan bagaimana pengaruh medan listrik pada bahan konduktor, menentukan medan/potensial listrik dari 2 medium yang dipisahkan oleh bahan dielektrik. Medan Listrik Pada Bahan Dielektrik 1. Respon bahan pada medan listrik 2. Polarisasi bahan dielektrik 3. Vektor perpindahan listrik 4. Suseptibilitas dan permeabilitas listrik 5. Hukum Gauss pada bahan dielektrik 6. Syarat batas medan pada bahan 6 x 50 menit
- 7. 7 16 Setelah mengikuti pokok bahasan mengenai energi elektrostatik mahasiswa dapat menghitung energi potensial dan menentukan kapasitansi dari bahan dielektrik. Energi Elektrost atik 1. Energi potensial listrik 2. Energi potensial listrik akibat berbagai distribusi muatan 3. Kapasitor 4. Pengaruh bahan dielektrik pada kapasitor 3 x 50 menit U A S
- 9. 9 Dasar-dasar Vektor zzyyxx az,y,xAaz,y,xAaz,y,xAz,y,xA Konvensi: Vektor ditulis dengan anak panah diatas atau cetak tebal Vektor biasanya fungsi dari koordinat spasial Konvensi: vektor satuan dilambangkan dengan topi diatasnya magnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x,y,z) ke arah sumbu-y A A aˆora 2 1 2 z 2 y 2 x AAAA
- 10. 10 Penjumlahan vektor zzzyyyxxx a)BA(a)BA(aBAC Pengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dari B: D = A – B = A + (-B)
- 11. 11 Vektor posisi dan vektor jarak z2y2x22 z1y1x11 azayaxR azayaxR Vektor R12 adalah vektor dari P1 ke P2 dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d: z12y12x12 1212 azzayyaxx RRR 212 12 2 12 2 12 12 zzyyxx Rd
- 12. 12 Vektor posisi dan vektor jarak Contoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1) Vektor posisi OP = rP = ax + 2ay + 3 az Vektor posisi OQ = rQ = 2ax - 2ay + az Vektor jarak RPQ = rQ - rP = ax - 4ay - 2 az
- 13. 13 Perkalian titik (perkalian skalar) ABBABA cos • Selalu menghasilkan bilangan skalar • A cos(AB) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B. • Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar nol: • A·A=|A|2=A2 0ˆˆ yx
- 14. 14 Perkalian titik (perkalian skalar) 332211 z3y2x1 z3y2x1 AB BABABABA aBaBaBB aAaAaAA θcosBABA
- 15. 15 Perkalian silang (perkalian vektor) Aturan sekrup putar bisa dipakai: Pemutaran A ke B menggerakkan sekrup ke arah vektor hasil Perhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal. !!!!PENTING!!!
- 16. 16 Perkalian silang (ljt) Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif. xa yaza yzx yxz zyx aaa aaa aaa zyx zyx zyx BBB AAA aaa BA
- 17. 17 Triple Products Hasil operasi lain yang penting: BACACBCBA Scalar triple product Vector triple product (aturan bac-cab) BACCABCBA Menghasilkan skalar Menghasilkan vektor
- 18. 18 VECTOR REPRESENTATION 3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS: • RECTANGULAR • CYLINDRICAL • SPHERICAL Choice is based on symmetry of problem Examples: Sheets - RECTANGULAR Wires/Cables - CYLINDRICAL Spheres - SPHERICAL
- 19. 19 Sistem Koord. Kartesian x y z (x, y, z) Kuantitas diferensial: dV, dS and d! yxz zyx aˆdzdxaˆdzdyaˆdydxsd aˆdzaˆdyaˆdxld dzdydxdv xaˆ yaˆ zaˆ
- 21. 21 Sistem Koord. Tabung atau Silindris z y x (, , z) Perhatikan kuantitas diferensial: dV, dS and d! dzdddv aˆdzdsd aˆdzaˆdaˆdld z zaˆ aˆ aˆ
- 22. 22 Sistem Koord. Tabung atau Silindris dzdddv aˆdzdsd aˆdzaˆdaˆdld z
- 23. 23 Sistem Koordinat Bola z y x r (r, , nb : harga adalah 0 sampai , bukan 0 sampai 2 Lihat lagi kuantitas diferensial: dV, dS and d! ddθdrsinθr aˆddθsinθr aˆdsinθraˆdθraˆdrld 2 r 2 θr dv sd aˆ aˆ raˆ
- 24. 24 Sistem Koordinat Bola ddθdrsinθrdv aˆddθsinθrsd aˆdsinθraˆdθraˆdrld 2 r 2 θr
- 25. 25 Transformasi Koordinat Kadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola : cosAsinAA sinAsincosAcoscosAA cosAsinsinAcossinAA yx zyx zyxr Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan
- 26. 26 Soal2 1. Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3) Cari : – Vektor dari A ke C – Vektor satuan dari B ke A – Jarak dari B ke C •-ax+8ay-4az •0,762ax-0,127ay-0,635az •12,45
- 27. 27 Soal2 2. Sebuah medan vektor dinyatakan oleh W=4x2y ax – (7x+2z) ay + (4xy+2z2) az Cari : – Besar medan di P(2,-3,4) – Vektor satuan yg menyatakan arah medan di P – Titik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan • 53,4 • -0,899ax-0,412ay+0,150az • +- 0,455
- 28. 28 Soal2 3. Diketahui F = 2ax -5ay-4az ; G = 3ax +5ay+2az Cari : – F.G – Sudut antara F dan G – Panjang proyeksi F pada G – Proyeksi vektor F pada G • -27,0 • 130,8 o • -4,38 • -2,13ax-3,55ay-1,42az
- 29. 29 Soal2 4. Diketahui F = -45ax +70ay+25az ; G = 4ax -3ay+2az Cari : – F x G – ax (ay x F) – (ay x ax ) x F – Vektor satuan yang tegak lurus F pada G • 215ax+190ay-145az • -45ay • -70ax-45ay • +- (0,669ax+0,591ay-0,451az)
- 30. 30 Soal2 5. Diketahui P(ρ=6,φ=1250, z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4) Cari : – Jarak dari P ke titik asal – Q tegak lurus pada sumbu z – P ke Q • 6,71 • 3,16 • 11,20
- 31. 31 Soal2 6. a. Nyatakan T=240+z2 -2xy dalam koordinat tabung b. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika kerapatannya 23 cos2 2 z e • 240+z2 –ρ2 sin 2φ • 8,66
- 32. 32 Soal2 7. a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)ay dalam koordinat tabung b. Cari medan F dalam koord cartesian jika F= ρ cosφ aρ • ρ(cos φ- sin φ)(sin φ aρ+cos φ aφ • yx yaxa yx x 22
- 33. 33 Operator Del = Bolaa sinr a r a r Tabunga z aa Cartesiana z a y a x r z zyx
- 34. 34 Grad, Div dan Curl an vektormenghasilkuntukvektorpadaberoperasi:Curl AAA zyx aaa ACurlA skalaranmenghasilkuntukvektorpadaberoperasi:Div z A y A x A ADivergensiA an vektormenghasilkuntukskalarfungsipadaberoperasi:Grad a z a y a x Gradien EMmedanteoridalammendasarsangatyang halmerupakandanldiferensiaoperatoradalahKetiganya zyx zyx zyx zyx
- 35. 35 Gradien dari medan skalar Jika (x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari , dinyatakan sbg grad atau Adalah vektor menurut aturan berikut: dibaca “del phi” Gradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permu- kaan yang digambarkan oleh (x,y,z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu. Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor. a z a y a x Grad zyx
- 36. 36 Contoh gradien 2 2 , , ˆ ˆ ˆMaka 2 z z z x y z x y xe x e x x y xe z Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkan ˆ ˆ ˆ5 4 2P x y z Jika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan muncul pada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya adalah 28 21 P turunan berarah
- 37. 37 Rapat fluks Operator divergensi dinyatakan sbg dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg “del” yg beroperasi titik thd vektor ! Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumber Arah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor). Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya). medan seragam medan tak seragam
- 38. 38 Divergensi Divergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasan Mendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya: Secara matematika: Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar. z E y E x E EDivergensiE zyx
- 39. 39 Contoh divergensi x6x x0x6E zˆzxyˆz2xˆx3E 2 2 22 Di titik (2,-2,0) 16 0,2,2 E Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya <0, ini menandakan fluks netto kedalam volume dan menandakan adanya sink.
- 40. 40 Curl (Rotasi=Pusaran) Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai pusarannya. Medan B seragam, curl-nya nol. medan tak-seragam, Curl-nya tidak nol.
- 42. 42 Operator penting lainnya 2 2 2 2 2 2 2 z 2 y 2 x 22 2 z V y V x V V AAA 0 0 A A AAA Dua rumus ini sangat bermanfaat pd pembaha- san mendatang. Operator Laplacian
- 43. 43 Operator Laplacian (1) Ingat: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y z x y z x y z A x A y A z Sekarang 2 2 2 2 2 2 yx z AA A x y z x y y Untuk praktisnya ditulis: 2 baca “del kuadrat”
- 44. 44 Laplacian (2) Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektor ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE r Jika Maka, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆx y z E E x y y x E y E z E r r Dapat juga ditunjukkan bahwa: 2 E E E r r r “curl curl dari E”
- 45. 45 Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl zyx zyx AAA zyx zyx z A y A x A z z y y x x ˆˆˆ ˆˆˆ A A
- 46. 46 Teorema integral (teorema divergensi) v S E dv E dS rr r Ñ Hubungan ini berguna untuk mengubah integral volume menjadi integral permukaan. (teorema Stokes) S C B dS B dl rrr r Ñ Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaan menjadi integral garis. permukaan atau lintasan tertutup
- 47. 47 Integral garis/permukaan Contoh: teorema Stoke rn ˆˆ (teorema Stoke) S C B dS B dl rrr r Ñ Hitung integral ini ke-seluruh segmen permukaan. Hitung integral ini sepanjang garis-batas dari segmen.
- 48. 48 Permasalahan nilai batas Karena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial) yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang (dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh jika diberikan sekumpulansyarat batas. Secara umum ada tiga jenis syarat batas: •Syarat batas jenis Dirichlet •Syarat batas jenis Neumann •Syarat batas jenis campuran (kombinasi dari Dirichlet & Neumann)
- 49. 49 Syarat batas jenis Dirichlet S Daerah S dibatasi oleh kurva . Misalkan kita ingin menentukan suatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam daerah S, sedemikian hingga V = g pada . gV Persyaratan V = g pada disebut sbg syarat batas Dirichlet.
- 50. 50 Syarat batas jenis Neumann Untuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas diberikan pada batasnya, mis, pada .f dn dV S f dn dV Ini dikenal sebagai syarat batas Neumann.
- 51. 51 Contoh (1) batas bidang (planar) Hi EiEr Hr x r i tHt Et 22 11 Kita perlu pernyataan mengenai medan normal dan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat batas. Hal ini memungkinkan kita menerus- kan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yang lainnya (y<0). y incidentreflected transmitted
- 52. 52 Contoh (2): bumbung gelombang 0y,xEk yx z 2 c2 2 2 2 02 2 2 2 2 yxHk yx zc , X Y a b , Perlu Ez=0 pada semua dinding syarat batas Dirichlet perlu pada dinding. syarat batas Neumann dan 0z zH H x y
- 53. 53 Syarat batas dalam EM Et1 n111 222 Et2 E tangensial kontinyu n111 222 Ht2 Ht1 n × (H1-H2)=Js n111 222 Bn1 Bn2 B normal kontinyu n111 222 D2n D1n n·(D1-D2)=s Ekivalen
- 54. 54 Lihat contoh berikut Et1 n111 222 Et2 E tangensial kontinyu Hal ini menyatakan bahwa medan (listrik) tangensial dalam daerah-1 adalah sama dengan medan (listrik) tangensial pada daerah-2. Ini tdk menyatakan apapun mengenai kompenen lain dr E. Jika kita punya: ˆ ˆ ˆx y zE xE yE zE r Maka, secara otomatis memilih komponen tangensial!ˆn E r
- 55. 55 Dan satu contoh lagi n111 222 Ht2 Ht1 n × (H1-H2) = Js Hal ini menyatakan bahwa medan magnetik pada kedua sisi tidak kontinyu oleh adanya arus. Hal ini umum terjadi. Jika medium kedua konduktif sempurna, σ2→∞. Maka, sama sekali tidak ada medan didalam daerah-2, dan persamaan menjadi: 1 ˆ sn H J r rIni berarti bahwa komponen tangensial dari medan H adalah arus permukaan. “permukaan”
- 56. 56 Contoh: 0 0 2 2 0 2 2 ˆ memenuhi 0 ˆ ˆ memenuhi 0d j z i i j z r r j z t t d E xE e E E xE e E xE e E r r r r r z0 d Ei atau Er Et Kini pada batas kita terapkan syarat batas yg menyatakan bahwa (pada z=0), medan tangensial E dan H kontinyu. 0 1 i r t t i r d E E E E E E Z Z
Editor's Notes
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8