Himpunan ortonormal,
Proses Gram Schmidt
By Yuwono MD
Himpunan Ortonormal
 Ruang Hasil Kali Dalam
 Jk u = (u1, u2, u3, …, un) dan v = (v1, v2, v3, …,vn)
adalah vektor-vektor ...
Teorema :
 Jk u,v, dan w adalah vektor-vektor dalam suatu
ruang hasil kali dalam real, dan k adalah
sebarang skalar, maka...
Sifat :
1. <u,v> = <v,u>
2. <u+v,w> = <u,w> + <v,w>
3. <ku,v> = k <u,v>
4. <v,v> 0
5. ||u|| = <u,u>
Suatu hasil kali dalam...
contoh
 Anggap u=(u1,u2) dan v= (v1,v2) adalah vektor
dalam R2
. Tunjukkanlah bahwa hasil kali
dalam Euclidean : <u,v> = ...
Jawaban :
 Sifat 1
 <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 = 3v1u1 + 2v2u2 = <u,v>
 Sifat 2 <u+v,w> = <u,w> + <v,w>, jika w = < w1,w2 >,...
Jawaban
 Sifat 3 : <ku,v> = k <u,v>
 <ku,v> = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2
 = k (3u1v1+ 2u2v2)
 = k <u,v>
 Sifat 4 : <v,v> 0
...
Himpunan Orthogonal dan
himpunan Orthonormal
 Orthogonal
 Dua vektor u dan v dalam suatu ruang hasil kali
dalam < u,v > ...
Contoh :
 Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1)
tentukan apakah himpunan S = {u,v,w}
merupakan himpunan orthogona...
 Definisi 2: Suatu himpunan orthogonal
dimana masing-masing anggotanya
mempunyai norma = 1, di sebut ortonormal.
 Exampl...
Soal
 u = v = dan w =
 Tentukan apakah himpunan S = {u,v,w}
merupakan himpunan ortonormal !
Teorema
 Jika S={v1, v2, v3,…. vn} adalah suatu basis
ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam
V, dan u adalah sebar...
Contoh :
 Jika S={v1, v2, v3}, dimana v1= (0,1,0),
v2 = (-4/5,0,3/5), v3 = (3/5,0,4/5) merupakan
himpunan orthonormal (bu...
Proses Gram Schmidt - PGS
 Suatu himpunan yang bukan ortonormal,
dapat diubah menjadi himpunan ortonormal
dengan mengguna...
Soal
 Diketahui : himpunan vektor S={u1, u2, u3}
dimana u1= (1,-1,1) u2= (1,0,1) u3= (1,1,2).
 Tentukan :
 Apakah merup...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

03. matrik-dan-transformasi-linear-ortonormal-dan-gram-schmidt

4,074 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
4,074
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
71
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

03. matrik-dan-transformasi-linear-ortonormal-dan-gram-schmidt

  1. 1. Himpunan ortonormal, Proses Gram Schmidt By Yuwono MD
  2. 2. Himpunan Ortonormal  Ruang Hasil Kali Dalam  Jk u = (u1, u2, u3, …, un) dan v = (v1, v2, v3, …,vn) adalah vektor-vektor dalam Rn , maka rumus : <u,v> = u.v = u1v1+ u2v2+ … unvn  Mendefinisikan <u,v> sebagai hasil kali dalam Eucledian pada Rn .
  3. 3. Teorema :  Jk u,v, dan w adalah vektor-vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam real, dan k adalah sebarang skalar, maka : 1. <0,v> = <v,0> = 0 2. <u,v+w> = <u,v> + <u,w> 3. <u,kv>= k <u,v> 4. <u-v,w> = <u,w> - <v,w> 5. <u,v-w> = <u,v> - <u,w>
  4. 4. Sifat : 1. <u,v> = <v,u> 2. <u+v,w> = <u,w> + <v,w> 3. <ku,v> = k <u,v> 4. <v,v> 0 5. ||u|| = <u,u> Suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor real V adalah suatu fungsi yang menghubungkan suatu bilangan real <u,v> dengan setiap pasangan vektor u dan v dalam V dengan cara sedemikian sehingga sifat-sifat berikut ini dipenuhi untuk semua vektor u,v dan w dalam V dan semua skalar k: 1/2
  5. 5. contoh  Anggap u=(u1,u2) dan v= (v1,v2) adalah vektor dalam R2 . Tunjukkanlah bahwa hasil kali dalam Euclidean : <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 memenuhi keempat sifat hasil kali dalam.
  6. 6. Jawaban :  Sifat 1  <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 = 3v1u1 + 2v2u2 = <u,v>  Sifat 2 <u+v,w> = <u,w> + <v,w>, jika w = < w1,w2 >, maka :  <u+v,w> = 3(u1+v1)w1 + 2(u2+v2)w2  = (3u1w1+3v1w1) + (2u2w2+2v2w2)  = (3u1w1+2u2w2) + (3v1w1+2v2w2)  = <u,w> + <v,w>
  7. 7. Jawaban  Sifat 3 : <ku,v> = k <u,v>  <ku,v> = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2  = k (3u1v1+ 2u2v2)  = k <u,v>  Sifat 4 : <v,v> 0  <v,v> = (3v1v1+ 2v2v2) = 3v1 2 + 2v2 2  Jelas < v,v > = 3v1 2 + 2v2 2 0  Jadi terbukti bahwa <u,v> = 3u1v1 + 2u2v2 memenuhi ke 4 sifat hasil kali dalam
  8. 8. Himpunan Orthogonal dan himpunan Orthonormal  Orthogonal  Dua vektor u dan v dalam suatu ruang hasil kali dalam < u,v > = 0  Definisi 1 : suatu himpunan vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam di sebut suatu himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan ortogonal tersebut.
  9. 9. Contoh :  Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1) tentukan apakah himpunan S = {u,v,w} merupakan himpunan orthogonal !
  10. 10.  Definisi 2: Suatu himpunan orthogonal dimana masing-masing anggotanya mempunyai norma = 1, di sebut ortonormal.  Example :  Diketahui : u=(0,1,0), v =(1,0,1),w =(1,0,-1) tentukan apakah himpunan S = {u,v,w} merupakan himpunan ortonormal !  Langkah :  A. selidiki apakah S = {u,v,w} merupakan himpunan ortogonal  B. selidiki norma tiap vektor yang ada, apakah = 1
  11. 11. Soal  u = v = dan w =  Tentukan apakah himpunan S = {u,v,w} merupakan himpunan ortonormal !
  12. 12. Teorema  Jika S={v1, v2, v3,…. vn} adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka akan membentuk suatu kombinasi linear sbb :  u = <u, v1 >v1 + <u, v2 >v2 + ….+ <u, vn >vn
  13. 13. Contoh :  Jika S={v1, v2, v3}, dimana v1= (0,1,0), v2 = (-4/5,0,3/5), v3 = (3/5,0,4/5) merupakan himpunan orthonormal (buktikan) Nyatakan vektor u = (1,1,1) sebagai suatu kombinasi linear dari vektor dalam S.
  14. 14. Proses Gram Schmidt - PGS  Suatu himpunan yang bukan ortonormal, dapat diubah menjadi himpunan ortonormal dengan menggunakan Proses Gram Schmidt  Langkah PGS :  Langkah 1 : v1 =  Langkah 2 : v2 =  Langkah 3 : v3 =  Dst….
  15. 15. Soal  Diketahui : himpunan vektor S={u1, u2, u3} dimana u1= (1,-1,1) u2= (1,0,1) u3= (1,1,2).  Tentukan :  Apakah merupakan himpunan orthonormal?  Jika tidak, gunakan PGS untuk mengubah menjadi himpunan orthonormal.

×