4. Suku banyak dalam x berderajat n
dinyatakan dengan :
P( x) an x n an 1 x n 1 ... a2 x 2 a1 x1 a0 Syarat :
n bilangan cacah dan an , an 1..., a1 disebut koefisien-
koefisien suku banyak, a0 disebut suku tetap dimanaan 0
dan a , a , a ...a
0 1 2 n
5. Akar Suatu
Polinomial
Teorema
Setiap polinomial
p ( x) an x n an 1 x n 1
... a 2 x 2 a1 x1 a0 0, n 1
, sedikitnya memiliki satu akar kompleks.
6. Teorema
Setiap polinomial
p ( x) an x n an 1 x n 1 ... a2 x 2 a1 x1 a0 0, n 1
paling banyak memiliki buah akar yang
berlainan.
7. Bukti Teorema:
Bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai
a bi ; a, b,
P( x) ax b
Akar-akarnya :
0 ax b
b
x C
a
b
x 0i (1 akar kompleks)
a
ax2 bx c P( x) berderajat 2
8. Jika D 0 akar-akarnya adalah 2 bilangan kompleks
berbeda yang dinyatakan oleh:
b D
x1, 2
2a
b ki
x1, 2
2a
k D
Jika D 0
b D
x1, 2
2a
b 0
x1, 2
2a
b
x1, 2
2a
b
x1, 2 0i (akar kompleksnya kembar) sehingga ada 1 akar
2a
kompleks).
9. Jika
D 0
b D
x1, 2
2a
b D
x1 0i
2a
b D
x2 0i ; x1, 2 memiliki 2 akar kompleks.
2a
10. Untuk P( x) ax3 bx2 cx d
Memenuhi : x b
1 x2 x3
a
c
x1 x2 x2 x3 x1 x3
a
d
x1 .x2 .x3
a
Minimal terdiri atas 1 buah akar (dalam kondisi x1 x2 x3 )
Kompleks.
Maksimum terdiri atas 3 buah akar yang berbeda (dalam
kondisi x1 x2 x3 ) kompleks dan seterusnya.
11. Teorema Akar
Rasional
p( x) an x n an 1 x n 1
... a 2 x 2 a1 x1 a0 suatu
polinomial dengan a0 , a1 ,..., an bilangan bulat. Jika p q
adalah bilangan rasional dalam bentuk yang paling sederhana
dengan sifat f ( p q) 0 , maka p merupakan faktor dari
a q
n dan merupakan faktor daria 0 .
12. Bukti :
p( x) an x n an 1 x n 1
... a 2 x 2 a1 x1 a0
p pn pn 1 p2 p
P an an 1 ... a2 a1 a0 0
q qn qn 1 q2 q
n n 1 2
p p p p p
P an an 1 ... a2 a1 a0 0
q q q q q
n
Kalikan kedua ruas dengan q sehingga diperoleh
an pn an 1 p n 1 .q ... a2 p 2 q n 2
a1 pq n 1
a0 q n 0
p an p n 1
an 1 p n 2 q ... a2 pq n 2
a1q n 1
a0 q n
13. Karena p dan q adalah dua bilangan yang
menyebabkan q merupakan bentuk yang
p
paling sederhana; artinya p dan q saling
relatif prima, akibatnya p tidak habis
membagi q dan artinya p tidak habis
membagi q n . Dalam pihak ruas di kiri
terjadi operasi perkalian. Dari sana dapat
disimpulkan bahwa p merupakan faktor
dari -a 0 q n . Karena p q akibatnya a
p
0
