Garis Lurus Dalam Ruang Mata Kuliah: Geometri Analitik Ruang

1. Garis Lurus Dalam
Ruang
Mata kuliah: Geometri Analitik Ruang
Dosen pengampu: Aziz Muslim, M.Pd
By: Hana Nisrina
NIM: 180101040644

2. Persamaan Garis Lurus
a) Persamaan
Vektoris
01
a) Persamaan
Parameter
02
a) Persamaan
Simetris
03

3. Persamaan
Vektoris
01

4. Persamaan
vektoris
Diketahui bahwa 𝑂𝑃 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 dnn 𝑂𝑄 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 sertaa 𝑃𝑄
= 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1 .Jika diambil sebarang titik X(x, y, z)
maka akan berlaku 𝑃𝑋 = λ𝑃𝑄 dengan (−∞ < λ < ∞).
Sehingga dengan penjumlahan vektor diperoleh vektor 𝑂𝑋 = 𝑂𝑃
+ 𝑂𝑋
Persamaannnya menjadi:
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝜆 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1 .

5. Persamaan
Parameter
02

6. Persamaan Parameter
Jika suatu garis lurus melalui titik 𝑃(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan diketahui vektor arahnya
𝑎 = 𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎 maka kita dapat menuliskan persamaan garis tersebut menjadi:
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + λ 𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎
Dari persamaan tersebut dapat ditulis menjadi:
𝑥 = 𝑥1 + 𝜆𝑥 𝑎
𝑦 = 𝑦1 + 𝜆𝑦𝑎
𝑧 = 𝑧1 + 𝜆𝑧 𝑎

7. Persamaan
Simetris
03

8. Persamaan Simetris
𝜆 =
𝑥 − 𝑥1
𝑥 𝑎
, 𝜆 =
𝑦 − 𝑦1
𝑦𝑎
, 𝑑𝑎𝑛 𝜆 =
𝑧 − 𝑧1
𝑧 𝑎
Persamaan tersebut dapat ditulis dengan:
𝑥 − 𝑥1
𝑥 𝑎
=
𝑦 − 𝑦1
𝑦𝑎
=
𝑧 − 𝑧1
𝑧 𝑎

9. Contoh:
Tentukan persamaan vektoris, parameter dan simetris dari
garis lurus yang melalui titik (4,-3,2) dan (6,9,-4)
Jawab:
a. Persamaan vektoris
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝜆 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4, −3,2 + 𝜆 6 − 4,9 − −3 , −4 − 2
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4, −3,2 + 𝜆[2,12, −6]
b. Persamaan parameter
𝑥 = 𝑥1 + 𝜆𝑥 𝑎 = 4 + 2𝜆
𝑦 = 𝑦1 + 𝜆𝑦𝑎 = −3 + 12𝜆
𝑧 = 𝑧1 + 𝜆𝑧 𝑎 = 2 − 6𝜆
c. Persamaan simetris
𝑥 − 𝑥1
𝑥 𝑎
=
𝑦 − 𝑦1
𝑦𝑎
=
𝑧 − 𝑧1
𝑧 𝑎
𝑥 − 4
2
=
𝑦 + 3
12
=
𝑧 − 2
−6

10. Misalkan diketahui suatu titik yang terletak di
luar garis pada dimensi ruang. Maka untuk
menentukan jarak titik terssebut tersebut
terhadap garis dapat dilakukan dengan sebuah
bidang bantu yang menghubungkan keduanya
Jarak Titik Ke Garis
Lurus

11. Langkah-langkah menentukan jarak titik kegaris:
1. Buat bidang V yang melalui titik T dan memotong tegak lurus garis g.
2. Tentukan titik U sebagai titik tembus garis g dengan bidang V.
3. Garis TU yang terbentuk adalah garis yang melalui titik T dan tegak
lurus garis g, sehingga jarak titik T ke garis g adalah panjang |TU|.
4. Hitung panjang |TU| dengan menggunkaan rumus jarak antara dua titik.

12. Contoh:
Tentukan jarak titik T(1,0,2) ke garis g dengan persaman x = y = z.
Penyelesaian:
Persamaan garis x = y = z dapat ditulis menjadi:
𝑥 − 0
1
=
𝑦 − 0
1
=
𝑧 − 0
1
sehingga diperoleh vektor arahnya 𝑎 = 𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎 = 1,1,1 . Selanjutnya buat
bidang V yang melalui titik T(1,0,2), dengan mengasumsikan bidang V tegak
lurus dengan garis g maka vektor normal V sebanding dengan vektor arah g
yaitu [A, B, C] = [1, 1, 1].

13. Sehingga persamaan bidang V yaitu:
𝑉 ≡ 𝐴 𝑥 − 𝑥1 + 𝐵 𝑦 − 𝑦1 + 𝐶 𝑧 − 𝑧1 = 0
1 𝑥 − 1 + 1 𝑦 + 1 𝑧 − 2 = 0
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0
Titik potong bidang V dengan g diperoleh dengan mensubstitusi persamaan parameter dari garis g.
Persamaan parameternya yaitu:
𝑥 = 0 + 𝜆 = 𝜆
y = 0 + 𝜆 = 𝜆
z = 0 + 𝜆 = 𝜆
substitusikan kepersamaan bidang V:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0
𝜆 + 𝜆 + 𝜆 − 3 = 0
3𝜆 = 3
𝜆 = 1
Dengan diperoleh nilai λ substitusikan kembali ke persamaan parameter garis g sehingga diperoleh titik
potong U(1, 1, 1). Jadi jarak titik P ke garis g adalah jarak antara titik P ke titik Q yaitu:
𝑃𝑄 = 1 − 1 1 + 1 − 0 2 + 1 − 2 2 = 2

14. Jarak Dua Garis Saling
Sejajar
Jika dua buah garis saling sejajar,
maka terdapt jarak tetap diantara
keduanya yang dapat kita tentukan.
Dua garis akan sejajar juga jika kedua
vektor arahnya sejajar, yaitu
𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎 = 𝑡[𝑥 𝑏, 𝑦 𝑏, 𝑧 𝑏] dengan 𝑡 𝜖 ℝ

15. Langkah-langkah untuk menghitung jarak antara kedua
garis (g dan h) yang sejajar:
1. Pilih sebarang titik pada garis g, misal titik R.
2. Buat bidang rata V yang melalui titik P dan tegak lurus garis g, maka jelas juga bahwa bidang
V juga tegak lurus garis h.
3. Tentukan titik tembus garis h dengan bidang V, misalkan titik S.
4. Panjang |RS| yang terbentuk adalah jarak antara dua garis g dan h yang saling sejajar

16. Contoh:
Tentukan jarak garis lurus g dengan persamaan
𝑥−2
2
=
𝑦
3
=
𝑧−2
1
dengan garis lurus h yang persamaannya
𝑥
2
=
𝑦−4
3
=
𝑧−8
1
Penyelesaian Dari kedua persamaan g dan h dapat diketahui
bahwa kedua garis sejajar dengan vektor arah yang sama yaitu (2,
3, 1). Untuk menentukan jarak antar kedua garis sebagai berikut:
1. Pilih sebarang titik pada garis g, misalkan titik P(2, 0, 2)
2. Buat bidang rata V yang melalui titik P dan tegak lurus garis g
𝑉 ≡ 2 𝑥 − 2 + 3 𝑦 + 1 𝑧 − 2 = 0
𝑉 ≡ 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 6 = 0
3. Tentukan titik tembus garis h dengan bidang V, misalkan titik
S. Persamaan parameter garis h:
𝑥 = 2𝜆
𝑦 = 4 + 3𝜆
𝑧 = 8 + 𝜆

17. Substitusikan persamaan parameter kepersamaan bidang V:
𝑉 ≡ 2 𝑥 − 2 + 3 𝑦 + 1 𝑧 − 2 = 0
2 2𝜆 + 3 4 + 3𝜆 + 8 + 𝜆 − 6 = 0
14𝜆 + 14 = 0
𝜆 = −1
Substitusikan kembali 𝜆 = −1 ke persamaan garis h sehingga
diperoleh 𝑄(−2,1,7)
4. Panjang 𝑃𝑄 yang terbentuk:
𝑃𝑄 = (−2 − 2)2+(1 − 0)2+(7 − 2)2= 42

18. Terima
Kasih