Persamaan Diferensial

1. 1
PERSAMAAN DIFFERENSIAL
BIASA
Persamaan Differensial (PD) :
Persamaan yang mengandung
variabel x, y serta turunan-turunan
dari y terhadap
Tingkat dan derajat PD :
PD tingkat n jika turunan tertinggi
pada PD adalah ke-n
PD derajat n jika pangkat tertinggi
dari turunan tertinggi adalah n
0,...),,,( 2
2
=
dx
yd
dx
dy
yxF

2. 2
1derajat3tingkat
sin')2(y"'3.y"
1derajat2tingkat
0232.
1derajat1tingkat
2.1
:
2
2
2
3
PD
xy
PD
y
dx
dy
dx
yd
PD
xy
dx
dy
Contoh
→
=++
→
=++
→
=+

3. 3
JENIS – JENIS PD :
I. I. PD dengan variabel yang dapat
dipisahkan
Bentuk Umum :
kan.diintegralKemudian
0
)(
)(
)(
)(
)()((*)
:
....(*)0)()()()(
1
2
2
1
12
2211
=+
⋅
=⋅+⋅
dy
yg
yg
dx
xf
xf
diperolehsehingga
ygxfdenganBagilah
anPenyelesai
dyygxfdxygxf

4. 4
Contoh soal :
yx
yxC
Ce
y
x
e
y
x
yxC
y
x
yyxx
dy
y
y
dx
x
x
dy
y
y
dx
x
x
xyDibagi
dyxydxyx
+−
+−
=
=
+−=
=−−+
=
+
−
+
=
+
−
+
⋅
=+−+
∫∫ ∫
ln
0lnln
0
11
0
11
dengan
0)1()1.(1

5. 5
Cxyxy
Cxyxy
C
yx
dyydxx
y
dy
x
dx
xyDibagi
dyxdxy
−=
=+−
=+−
=−
=−
⋅
=−
∫∫∫
−−
11
0
0
dengan
0.2
22
22
22
22

6. 6
II. PD Homogen
Definisi fungsi homogen :
f(x,y) disebut homogen derajat n jika
sama.derajatdenganhomogenyang
fungsi2merupakan),(dan),(
0),(),(
:HomogenPDmBentuk Umu
homogen3),(.2
3derajathomogen2),(.1
:
),(),(
22
23
yxNyxMdengan
dyyxNdxyxM
tidakxyxyxf
yxxyxf
Contoh
yxfyxf n
=+
→−=
→−=
= λλλ

7. 7
Penyelesaian PD Homogen
0)(2)1(
0)(2)1(
0)(2)(
dangantilah
2derajathomogen2),(
2derajathomogen),(
02)(
2
222
222
22
22
=+−+
=+⋅−+
=+⋅−+
→−=
→+=
=−+
+=
=→=
dvxdxvvdxv
dvxdxvvxdxvx
dvxdxvvxxdxxvx
dyy
xyyxN
yxyxM
dyxydxyx
Soal :Contoh
dvxdxvdy
x
y
vvxyMisalkan

8. 8
Cxyx
C
x
y
x
C
x
y
x
Cvx
dv
v
v
x
dx
xvDibagi
dvxvdxv
=−
=−
=−
=−+
=
−
−
⋅−
=−−
∫ ∫ ∫
22
2
2
2
2
2
2
2
2
)1(
)1(ln
)1ln(ln
0
1
2
)1(dengan
02)1(

9. 9
III. PD EKSAK
Bentuk umum
(**)(*)
))......(**,(
.....(*)),(:
),(),(
:
),(darieksakaldifferensiadalah(1)
syarat
)1.(..........0),(),(
ataudaridicaridapateksakPDdariSolusi
yxN
y
yxM
x
maka
dyyxNdxyxMdy
y
dx
x
yaitu
CyxJika
x
N
y
M
dengan
dyyxNdxyxM
=
∂
∂
=
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=+
µ
µ
µµ
µ

10. 10
Cyx
x
yxMxdyyxM
yx
xmencariuntuk
xdyyxMyxM
y
dari
Cyx
y
yxNydxyxM
yy
ymencariuntuk
ydxyxMdiperolehyxM
x
x
x
x
=
=+










=
∂
∂
+==
∂
∂
−
=
=+










=
∂
∂
+==
∂
∂
−
∫
∫
∫
∫
),(adalahPDanPenyelesai
dicaribisa)(
),()('),(
2
2
xapterhadfungsiturunkan)(
)(),(diperoleh),(
),(adalahPDanPenyelesai
dicaribisa)(
),()('),(
2
2
yapterhadfungsiturunkan)(
)(),(),(dari
µ
φ
φ
µ
µφ
φµ
µ
µ
φ
φ
µ
µφ
φµ
µ

11. 11
Contoh soal :
Cyxyxatau
Cyxyx
CyxanPenyelesai
ydyyy
yy
xyyx
yxNyx
y
yxyx
ydxyx
ydxyxMyx
PD
x
N
y
M
dyxydxyx
x
x
=++
=++
=∴
==
=
+=+=
=+=
∂
∂
++=
++=
+=
→=
∂
∂
=
∂
∂
=+++
∫
∫
∫
43
43
43
3
3
3
2
32
3244
4
1
2
3
1
),(PD
4
1
)(
)('
2)('2
),()('2
)(2
3
1
)(2
)(),(),(
Eksak2dan2
0)2()2.(1
µ
φ
φ
φ
φ
µ
φ
φ
φµ

12. 12
Cara Langsung
23
23
2433
43
43
32
32
32
32
12
EksakPD
12
0)
1
3()
1
4.(2
3424
4
1
3
1
2
0)(2
0)(2
0)(2
0)2()2.(1
)(
yx
x
N
yx
y
M
dy
y
yxdx
x
yx
Cyxxy
Cyxxy
dyydxxxyd
dyydxxxyd
dyydxxdyxdxy
dyxydxyxSoal
dyxdxyxydIngat
=
∂
∂
⇒
=
∂
∂
=−++
=++
=++
=++
=++
=+++
=+++
+=
∫ ∫∫∫

13. 13
Penyelesaian
C
y
x
yx
Cyxyx
Cyxanpenyelesai
ydy
y
y
y
y
y
yxyyx
y
yxyx
ydx
x
yx
x
=+
=−+
=
−=−=
−=
−=+=
∂
∂
++=
++=
∫
∫
ln
lnln
),(
ln
1
)(
1
)('
1
3)('3
)(ln
)(
1
4
34
34
2424
34
33
µ
φ
φ
φ
µ
φ
φµ

14. 14
Cara Langsung:
∫ ∫∫∫ =−+
=−+
=−++
=−++
+=
0
11
)(
0
11
)(
0
11
34
0)
1
3()
1
4(2.
34)(
34
34
2433
2433
243334
dy
y
dx
x
yxd
dy
y
dx
x
yxd
dy
y
dx
x
dyyxdxyx
dy
y
yxdx
x
yxSoal
dyyxdxyxyxdIngat

15. 15
Jika PD non eksak dapat dibuat
eksak dengan cara mencari faktor
integrasi (F.I)
)(
)(1
b.
)(
1
a.
EksakalDifferensiF.IBentuk
:Ingat
lidikancoba/penye-coba.3
F.Imaka
sajadari)(.2
F.Imaka
sajadari)(.1
22
22
)(
)(
y
x
d
y
dyxdxy
y
dxydyx
x
y
d
x
dxydyx
x
dxydyx
Dengan
e
yfungsiyg
M
x
N
y
M
Jika
e
xfungsixf
N
x
N
y
M
Jika
dyyg
dxxf
−=
−
−−
=
−
−
∫=
→−=
∂
∂
−
∂
∂
∫=
→=
∂
∂
−
∂
∂

16. 16
( )
)(
112
eksaknonPD12
0)32(1.
:Contoh
lain-laindanf.
ln
2
11
e.
1
1
d.
ln
1
c.
EksakalDifferensiF.I.Bentuk
22
2222
2
2
22
xf
xxN
x
N
y
M
x
N
y
M
dyxdxxy
yxd
yx
dyydxx
yx
dyydxx
x
y
tgarcd
x
y
x
dxydyx
yx
dxydyx
x
y
d
x
dx
y
dy
xy
dxydyx
==
−
=
∂
∂
−
∂
∂
→=
∂
∂
=
∂
∂
=+−






+=
+
+
+
+






=






+
−
+
−






=−−

17. 17
yx
x
N
yx
y
M
dyyxdxyx
dydyyxdxyx
Cxyx
dxxyxd
dxxyxd
dxxdyxdxxy
dyxdxxxy
xPD
xeeeIF x
dx
x
dxxf
2
2
322
322
32
22
22
22
22
ln
1
)(
12
eksaknonPD
6
0)124(3
01243.2
03)(
03)(
032(
eksakmenjadiPD0)32(
F.Idengandikalikan
.
=
∂
∂
⇒
=
∂
∂
=−+
=−+
=−
=−
=−
=−+
=+−→
=→
==
∫
=∫=
∫ ∫ ∫

18. 18
Cyyx
dyyyxd
dyyyxd
dyydyyxdxyx
dyyyxdxyx
yPD
yeeIF
yg
yyx
yxyx
M
x
N
y
M
dy
ydyyg
=−
=−
=−
=−+
=−+
=→
=
∫
=∫=
−=−=
−
=
∂
∂
−
∂
∂
∫ ∫ ∫
343
243
243
23342
23342
2
2
2
)(
22
22
4
012)(
012)(
01243
0)124(3
F.Idengandikalikan
.
)(
2
3
126

19. 19
Cxxy
Cx
x
y
dx
x
y
d
dx
x
y
d
dx
x
dxydyx
x
Suku
dxxdxydyx
CobaCobadyxdxyx
=+
=+
=+





=+





=+
−
=
=+−
→=+−
∫ ∫ ∫
2
2
2
2
2
2
2
02
02
0
)(2
1
F.Inmenyaranka3-ke
0)(2
-02)2(3.

20. 20
( )
( )
( )
( )
x
Ceyx
xCyx
Cxyx
Cxyx
dxyxd
dx
yx
dyydxx
yx
IF
dxyxdyydxx
222
22
22
22
22
22
22
22
2ln
2ln
ln
2
1
ln
2
1
1
.
)(.4
=+
+=+
=−+
=−+
=



+
=
+
+
+
=→
+=+

21. 21
0
02
02
02
)(
02
1
.
2.5
2
2
2
2
2
2
2
=++
=−−
=−−
=−





−
=−





−
=−
−
−
=−
−
=
=−
∫ ∫ ∫
Cyxyxatau
Cyxx
Cx
y
x
dxx
y
x
d
dxx
y
x
d
dxx
y
dyxdxy
dxx
y
dxydyx
y
IF
dxxydxydyx

22. 22
IV. PD LINIER DAN
PERSAMAAN BERNOULLI
A. PD LINIER
Bentuk Umum :
Turunan maupun variabel tidak
bebas berpangkat 1/linier
Penyelesaian
)()( xQxPy
dx
dy
=+
∫
∫
+∫⋅∫=
+∫⋅=∫
−
CexQeyatau
CdxexQey
dxxPdxxP
dxxPdxxP
)()(
)()(
)(
)(

23. 23
Contoh Soal PD Linier
x
x
xx
xxx
x
xx
dxdx
e
C
xy
Cexy
Cxee
Cexee
Cdxexdxeey
Cdxexey
anPenyelesai
xxQ
xP
xy
dx
dy
+−=
+−=
+−=
+−−=
+−=
+∫⋅−=∫
−=
=
−=+
−
∫ ∫
∫
58
58
58
)(53
53
)53(
:
53)(
1)(
53.1
11

24. 24
2
2
332
32
22
2
2
)(
22
2
)
2
1(
)
2
1()(
2
)(
denganLinier
)
2
1(
2
)2(2
)2(22.
Cxey
Cex
Cdxexdxexex
Cdxexdxex
Cdxxe
x
xy
xee
e
x
xQ
x
xP
PD
e
x
y
xdx
dy
exy
dx
dy
x
dxexdxydyx
x
x
xxx
xx-
x
dx
x
dxxP
x
x
x
x
+=
+=
+−+=
+−=
+⋅−=→
=
∫
=∫
−=
−=
−=−
−=−
−=−
−
−−−
−
−−
−
−
∫ ∫
∫
∫

25. 25
B. Persamaan Bernoulli
Bentuk Umum :
dx
dv
dx
dy
y
dx
dy
y
dx
dv
yyvMisalkan
xy
dx
dy
y
xxQxPndengan
BernoulliPersamaan
xyy
dx
dy
PDyvMisalkan
anPenyelesai
xQxPy
dx
dy
yatau
xQyxPy
dx
dy
n
n
nn
n
4
1
4
)(,1)(,5
:Contoh
LinierPDmenjadi
:
)()(
)()(
5-
5
41
45
5
1
1
−=
−=
==
=−
=−==
=−
→=
=+
=+
−
−+−
−−
+−
+−−

26. 26
x
x
xx
xx
x
xx
xdxxP
Cex
y
Cexv
Ceex
Ceex
Cdxex
Cdxexev
xxQ
eexP
PDxv
dx
dv
xv
dx
dv
4
4
4
44
44
4
44
4)(
4
11
4
1
4
1
16
1
4
1
4
4
4
4)(
4)(
Linier44
4
1
−
−
++−=
++−=
++⋅−=
+





−⋅−=
+⋅−=
+⋅−=⋅⇒
−=
=∫→=
→−=+
=−−
∫
∫

27. 27
PERSAMAAN
DIFFERENSIAL LINIER
tingkat n (PDL tingkat n)
Bentuk Umum :
variabelkoefisiendengan
ntingkatPDLdisebut
variabelmengandung.,,.........Jika
konstantakoefisiendengan
ntingkatPDLdisebut
konstantaberupa.,,.........Jika
0)(jikahomogentak
0)(jikahomogen
)(.....
0
0
11
1
10
n
n
nnn
n
n
n
PP
PP
xR
xR
xRyP
dx
dy
P
dx
yd
P
dx
yd
P
≠
=
=++++ −−
−

28. 28
I. PDL HOMOGEN dengan
Koefisien Konstanta
Penyelesaiannya disebut
Penyelesaian homogen/
penyelesaian komplementer/ yc
tanpa
operator
2 cara mencari yc
dengan
operator

29. 29
1. Tanpa Operator
misalkan
PDerkomplementanpenyelesai
adalah
2
3
06
0)6(
06
06
:
2
2
3
1
2
22
3
11
2
2
2
2
2
2
2
2
xx
x
x
mx
mxmxmx
mx
mx
mx
mx
eCeCyc
eym
eym
mm
emm
emeemPD
em
dx
yd
me
dx
dy
eyMisal
y
dx
dy
dx
yd
Contoh
ey
+=
=→=
=→−=
=−+
=−+
=−+→
=
=
=
=−+
=
−
−

30. 30
2. Dengan Operator
operatordengan
carapakaikitaaSelanjutny
erkomplementanpenyelesai
3-dan2akar-akar
dengantikkarakterispersamaan
disebut)3)(2(
0)3)(2(
0)6(
06
ditulis
06
3
2
2
1
2
2
2
2
xx
eCeCyc
DD
yDD
yDD
yDyyD
bisa
y
dx
dy
dx
yd
dx
d
D
−
+=
⇒
+−
=+−
=−+
=−+
=−+
=→

31. 31
Jenis Akar-akar Persamaan
Karakteristik
-Riil berbeda
-Riil berulang
-Kompleks
a). Akar Riil Berbeda
lihat contoh 2. di atas
(Dengan Operator).
b). Akar Riil Berulang
Contoh :
xx
xeCeCyc
berulangakarnyaAkar
DD
yDD
2
2
2
1
2
2,2
0)2)(2(
0)44(
−−
+=
→−−=−
=++
=++

32. 32
c). Akar Kompleks
Jika akar-akarnya a ± bi maka
)3sin3cos(
32
0)134(
:
)sincos(
21
2
2
21
xCxCeyc
iakarnyaakar
yDD
Contoh
bxCbxCeyc
x
ax
+=
±−
=+−
+=

33. 33
II. PD TAK HOMOGEN dengan
Koefisien Konstanta
Bentuk Umum :
khususanpenyelesai
mplementerhomogen/koanpenyelesai
:anPenyelesai
konstanta.adalah.,,.........
0)(
)()(
)()..........(
0
1
1
10
=
=
+=
≠
=
=++++ −
−
yp
yc
ypycy
PP
xQdengan
xQyDFatau
xQyPDPDPDP
n
nn
nn

34. 34
Mencari Penyelesaian Khusus/yP
1). Teknik Operator Invers (Rumus
Integral Lipat)
( )( )
( )
x
dxexee
dxexeey
mm
x
DD
y
yPxyDD
Contoh
dxexQe
eeey
xQ
mDmDmD
xQ
DF
y
xQyDFPD
xxx
xxx
n
xm
xmm
xmmxmmxm
n
n
nn
2
1
8
11
.........)23(
)()23(
4dan1
23
41
1
cari,23)45(
:
)()(..........
..........
)(
1
.....
11
)(
)(
1
)()(
243
2)4())1(4(
21
2
)(
)()(
21
1
23121
−=
=−=
−=
−=−=
−
++
=
−=++
⋅⋅
=
−
⋅
−
⋅
−
=
=
=⇒
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
−−
−−−−−−
−
−
−−
−

35. 35
2). Teknik Operator Invers
bagian.pecahan2dari
jumlahsebagaidinyatakan
)(
1
4
3
1
1
3
1
4)1)(D(D
1
atasdiSoal:
.....
)(.....
)(
)(
1
bagianpecahanndari
jumlahsebagaidinyatakan
)(
1
2
211
21
2
2
1
1
DF
DD
Contoh
dxQeeN
dxQeeNdxQeeN
xQ
mD
N
mD
N
mD
N
xQ
DF
y
DF
xmxm
n
xm
xmxmxm
n
n
nn
+
−
+
+
=
++
+++=






−
++
−
+
−
=
=










∫
∫ ∫
−
−
−

36. 36
( )
xeCeC
ypycy
dan
xyp
eCeCyc
xyDD
x
dxexedxexe
x
DD
x
DD
y
xx
xx
xxxx
2
1
8
11
2
1
8
11
23)45(:PDJadi
2
1
8
11
........
)23(
3
1
)23(
3
1
23
4
3
1
1
3
1
)23(
)4)(1(
1
4
21
4
21
2
44
−++=
+=
−=
+=
−=++
−=
=
−−−=
−










+
−
+
=
−
++
=
−−
−−
−−
∫∫

37. 37
Metoda Koefisien Tak Tentu Dan
Metoda Variasi Parameter
Adalah 2 metoda lain untuk mencari
penyelesaian khusus/yp
A. Metoda Koefisien Tak Tentu
DCxBxAxypatau
KxKxKxKyp
xyDF
Contoh
wtBwtAwtk
wtBwtAwtk
KxKxKxKnkx
Aeke
ypxQ
n
n
n
n
n
xx
+++=
+++=
=
+
+
++++= −
−
23
01
2
2
3
3
3
01
1
1
)().1
:
sincossin
sincoscos
...,...)2,1,0(
Pemisalan)(Bentuk
αα

38. 38
diperolehsoalke
cossin2
sincos2
cossin
sin)(
sin)22(
:SoalContoh
3cos3sin
3sin)().3
)().2
22
2
2
22
53
53
kanSubstitusi
xExDAyDypD
xExDBAxDyDypmaka
xExDCBxAxypMisalkan
xxxQkarena
xxyDD
CexBxAyp
exyDF
BeAeyp
eeyDF
x
x
xx
xx
−−==
−++==
++++=
+=
+=++
++=
+=
+=
+=

39. 39xx
xxxCxCe
ypycy
anPenyelesai
xCxCeyc
xxxxyp
ED
ED
ED
CCBA
BBA
AA
xxxED
xEDCBAxBAAx
x
x
cos
5
2
sin
5
1
2
1
2
1
)sincos(
adalahPD
)sincos(
cos
5
2
sin
5
1
2
1
2
1
02
5
2
dan
5
1
12
2
1
0222
1024
2
1
12
sincos)2(
sin)2(222)24(2
2
21
21
2
2
2
−+
+−++=
+=
+=
−++−=
=+
−==→
=−
=→=++
−=→=+
=→=⇒
+=++
−++++++
−
−

40. 40
B. Metode Variasi Parameter
Langkah-langkah menentukan yp :
1. Tulis fungsi komplementernya/yc
2. Ganti semua konstanta C
dengan L yaitu fungsi dari x
)(.........)()( 2211 xyCxyCxyCyc nn+++=
)()(
.....)()()()( 2211
xyxL
xyxLxyxLyp
nn
++=→

41. 41
Lanjutan Metoda Variasi Parameter
3. Turunkan yp sebanyak order dari
PDnya.
Setelah diturunkan :
- Semua bagian yang mengandung
turunan dari L=0
- Pada turunan yang Terakhir,
semua bagian yang mengandung
turunan dari L=Q
4. Hitunglah
5. Tentukan
',,.........',' 21 nLLL
integrasi.dengan,,........., 21 nLLL

42. 42
Contoh Soal Metoda Variasi
Parameter :
0turunanmengandungyang
cossinsincos
anturunksincos
diperoleh
dandengandanganti
sincos
akarnya-akar
0)1(Homogennya
sec)1(
sec
21
'
2
'
1
21
2121
21
2
2
2
2
=
+−+=
+=
+=→
±
⇓
=+
=+
=+
xLxLxLxLDyp
xLxLyp
yp
LLCC
xCxCyc
i
yDPDL
xyD
xy
dx
yd

43. 43
1'(4))3(
)4...(1cos'cossin'cosdikali(2)
...(3)0sin'cossin'sindikali)1(
)2........(seccos'sin'
Qturunanmengandungyang
sincoscos'sin'
.(terakhir)lagiturunkan
cossinsehingga
)1(..........0sin'cos'
2
2
21
2
21
21
2121
2
21
21
=→+
=+−⇒
=+⇒
=+−
=
−−+−=
+−=
=+
L
xLxxLx
xLxxLx
xxLxL
xLxLxLxLypD
xLxLDyp
xLxL

44. 44
xxCxxC
xxxxxCxCy
ypycy
xxxx
xLxLyp
xdxL
xdxxtgL
xtg
x
xL
Ldari
sin)(cos)secln(
sinseclncossincos
PDumumanpenyelesai
sinseclncos
sincos
:PDkhususanpenyelesai
1
secln
cos
sin'
')1(
21
21
21
2
1
2
1
++−=
+−+=
+=→
+−=
+=
==
−=−=
−=−=
∫
∫

45. 45
Metoda Sederhana mencari
penyelesaian khusus/yp untuk Q(x)
tertentu
mnxD
D
axDaDaDaa
x
DF
y
xxQ
aF
bax
aF
bax
DF
y
aF
bax
aF
bax
DF
y
baxbaxxQ
aFe
aF
e
DF
y
exQ
mn
m
mm
m
m
m
axax
ax
>=
→
≠++++=
=→
=
≠−
+
−
=+=
≠−
+
−
=+=→
++=
≠==→
=
jika0karena
ndihilangkaatasdisukusemua
0,).....(
)(
1
)(Bentuk3.
0)(
),cos(
)(
1
)cos(
)(
1
0)(
),sin(
)(
1
)sin(
)(
1
)cos(atau)sin()(Bentuk2.
0)(,
)(
1
)(
1
)(Bentuk1.
0
2
210
2
22
2
22

46. 46
[ ]
[ ]
xx
xx
x
ax
ax
ax
e
DD
e
DD
ee
DD
yp
eyDD
v
Df
DF
v
DF
x
vx
DF
y
xvxxQ
v
aDF
e
ve
DF
y
xvexQ
05
05
52
2
3
)1)(2(
1
)1)(2(
1
3
)1)(2(
1
3)2(1).
:SoalContoh
)(
)('
)(
1
)(
1
)()(Bentuk5.
)(
1
)(
1
)()(Bentuk4.
−+
+
−+
=
+
−+
=
+=−+
⋅−⋅⋅=
⋅=→
⋅=
⋅
+
⋅=
⋅=→
⋅=

47. 47
ypycy
xe
dxeeee
D
e
D
e
DD
e
DD
yp
eyDD
ypycy
e
eeyp
x
xxxx
xx
x
x
x
xx
+=
=
⋅=
−
⋅=






−
=





+−
=
−+
=
=−+
+=
−=
++
+
−+
=
∫
−
3
1
3
1
1
1
3
1
3
1
1
1
2
1
1
1
)1)(2(
1
)2(2).
2
3
28
1
3
)20)(10(
1
)15)(25(
1
2
5
05

48. 48
[ ]
[ ]xx
xD
-
x
D
D
x
D
x
D
x
DD
yp
xyDD
ypycy
x
xx
D
yp
xyD
2cos62sin2
40
1
2cos)6(
40
1
2cos
36
6
2cos
6
1
2cos
22
1
2cos
2
1
2cos)2(4).
4sin
7
1
4sin
94
1
4sin
9
1
4sin)9(3).
2
22
2
22
2
+−−=
+=
−
+
=
−
=
−+−
=
−+
=
=−+
+=
−=
+−
=
+
=
=+

49. 49
[ ]
( )
2
2
3
2
2
332
2
322
2
22
2
2
22
56
1
4)3(
1
4
1
)4(6).
12
2
1
........
)35)(
8
3
4
1
2
1
(
35
2
1
35)2(5).
2cos62sin2
40
1
x
DD
e
x
D
eex
D
yp
exyD
ypycy
xx
xxDD
xx
DD
yp
xxyDD
ypycy
xxyp
x
xx
x
++
=
−+
=
−
=
=−
+=
−+−=
=
+−−−−=
+−
−+
=
+−=−+
+=
−=

50. 50
xxx
x
D
xx
x
D
D
x
D
x
xx
D
yp
xxyD
ypycy
xxe
xDDeyp
x
x
2cos
25
4
2sin
5
1
2sin
25
2
2sin
5
1
2sin
)1(
2
2sin
1
1
2sin
1
1
2sin)1(7).
125
62
25
12
5
1
125
31
25
6
5
1
222
2
2
23
223
−−=
−−=
−
−
−
=
−
=
=−
+=






+−=






+−=

51. 51
Persamaan Differensial
Linier Dengan Koefisien
Variabel
Persamaan Cauchy
Bentuk Umum :
)1()2)(1(
(**)
)1(
:makadanMisalkan
:anPenyelesai
...(*)).........(
.........
22
1
1
1
1
10
yrvvvvyDx
yvvyDx
vyxDy
dz
d
vex
xQyP
dx
dy
xP
dx
yd
xP
dx
yd
xP
rr
z
nn
n
n
n
n
n
n
+−−−=
⇒
−=
=
==
=++
++
−
−
−
−







52. 52
Substitusikan (**) ke (*) sehingga
diperoleh PD Linier dengan
Koefisien Konstan.
Contoh Soal :
[ ]
2
3
21
2
321
2233
ln
0)2)(1)(1(
022)1(3)2)(1(
:
0)223(
x
C
xxCxC
eCzeCeCyc
yvvv
yvvvvvv
anPenyelesai
xDDxDx
zzz
++=
++=
=+−−
=+−−+−−
=+−+
−

53. 53
PD SIMULTAN
Ketentuan :
- Lebih dari 1 persamaan
- Jumlah persamaan = jumlah
variabel tidak bebas
- Jumlah variabel bebas = 1
Bentuk Umum :
Penyelesaian PD Simultan :
1. Cara Eliminasi
2. Cara dengan Determinan
)()()(
)()()(
222
111
thyDgxDf
thyDgxDf
=+
=+

54. 54
Catatan : Banyaknya konstanta
sembarang (yang bebas) yang
muncul pada
penyelesaian umum =
derajat D dalam Δ di mana
Ctty
tx
Jawab
tDyxD
tDyxD
DgDf
DgDf
++=
−−=
=++
+=+−
=∆
3
4
2
1
3
2
:
2)12(
12)1(
:SoalContoh
)()(
)()(
2
22
11

55. 55
TRANSFORMASI LAPLACE
(TL)
0sin5
1
4
03
0
1
2
0
1
11
LAPLACESITRANSFORMATABEL
:Definisi
22
1
2
0
>
+
>
>
>
>
⋅==
+
∞
∫
,s
as
a
at.
a,s
s-a
e.
,s
s
n!
t.
,s
s
t.
,s
s
.
F(s)f(t)
f(t)dteF(s){f(t)}
at
n
n
-st
L

56. 56
Lanjutan Tabel Transformasi Laplace
1
222
3
222
22
22
1
22
22
22
)1(
1,.14
2
cos13
2
sin12
cos11
sin10
9
cosh8
sinh7
0cos6
+
+
+Γ
−>
+
+
+
⋅
+
⋅
⋅
>
−
>
−
>
+
p
p
at
at
n
nat
s
p
pt
)a(s
a
at. t
)a(s
as
at. t
b(s-a)
s-a
bt. e
b(s-a)
b
bt. e
(s-a)
n!
t. e
a,s
as
s
at.
a,s
as
a
at.
,s
as
s
at.
F(s)f(t)

57. 57
Contoh Transformasi Laplace
t
-
t
at
t
e
ssss
tt
s
t
ss
s
s
s
e
s
f(t){F(s)}
ss
te
ss
tt
ss
e
2
2
1
12
1
11
2
1
2
1
2
1
2
1
31
1
312
2
22
3
2
1
2
1
2)2(
1
.3
2sin
2
3
2cos4
4
2
2
3
2cos4
4
3
4
4
4
34
.2
7}
3
7
{1.
:Contoh
LAPLACESITRANSFORMAINVERS
)2(
2
)2(
!2
}{.3
4
6
4
2
3}2{sin3}2sin3{.2
3
5
)3(
5
}5{.1
−
−−
−
−−−
−
−
+
−
−=






+
−






=






+
−=






+
−=






+
−
+






+
=






+
−
=
−
=
−
=
−
=⋅
+
=
+
==
+
=
−−
=
LLL
L
LLL
L
L
L
LL
L

58. 58
TRANSFORMASI LAPLACE
DARI FUNGSI TURUNAN
2
12
63
2
3
)0(')0()}({)}("{
2
6
3
2
3
)0()}({)}('{
3)(
:
)0(
)0(')0()}({)}({
)0()}({)}('
2
2
2
1
21
−
=−⋅−
−
⋅=
−−=
−
=−
−
⋅=−=
=
−
−−−=
−=
−
−−
s
s
s
s
ffstfstf
ss
sftfstf
etf
Contoh
f
fsfstfstf
ftfst{f
t
n
nnnn
LL
LL
LL
LL



59. 59
FUNGSI TANGGA SATUAN
Definisi :
U (t-a) = 0, t<a
1, t>a
Grafiknya:
U(t-a)
1
t
a

60. 60s
e
s
ttf
t
, t
, t
, t-
, t
tf
Jawab
tf
t,
t,
tf
Contoh
at
s
e
s
s
e
at
s
as
as
2
1
2
8
)}2(28{)}({
)2(28
21
20
28
22
20
8)(
:
)}({andan tentuk
satuantanggafungsisuku-sukudalam
26
28
)(Nyatakan
:
)(
0,)}({
−
−
−
−
−=
−−=
−−=



>
<
−=



>
<
+=



>
<
=
−=






>=−
ULL
U
L
UL
UL

61. 61
Beberapa Teorema Khusus
I. Teorema Translasi Pertama
II. Teorema Translasi Kedua
)()}({
jikadan)()}({
maka)()}({Jika
1
tfsF
asFtfe
sFtf
at
=
−=
=
−
L
L
L
)()()}({
maka)()}({jikadan
)}()({
maka)()}({Jika
1
1
atfatsFe
tfsF
F(s)eatfat
sFtf
as
as
−−=
=
=−−
=
−−
−
−
UL
L
UL
L

62. 62
Lanjutan Beberapa Teorema Khusus
tete
ss
s
ss
s
s
s
sFtt
e
ssss
tf
πtt,
πt, t
tf
s
te
Soal
sF
ds
Fd
tft
,,,nsFtf
tt
s
t
nn
n
n
nn
2sin
2
3
2cos3
4)1(
1
3
4)1(
1
3
52
63
4).
III)(teorema
)4(
1612
)()1(}2sin{3).
II)(teorema
1
11
1
1
)}({maka
sin
)(Jika2).
I)(teorema
)4(
6
}{1).
:
)()1()1()}({
321untukmaka)()}({JikaIII.
2
1
2
1
2
1
32
2
)2(22
222
4
34
)(
⋅+⋅=






++
+






++
+
=






++
+
+
−
=−=⋅






+
+++
+
=



>
<
=
−
=⋅
−=−=
==
−−
−−
−
−
LL
L
L
L
L
L
L
ππ


63. 63
TRANSFORMASI LAPLACE
DALAM PENYELESAIAN PD
Contoh:
Selesaikan PD berikut
ttt
t
t
eeeYty
ssssss
ss
Y
s
sYss
s
YyYsyysYs
eyyy
YsYty
Jawab
yyeyyy
4
3
7
3
1
)()(
1
4
21)1)(2)(1(
552
1
2
612)23(
1
2
2)}0({3)0(')0(
}{2}{2}'{3}"{
)()}({
:
1)0(',2)0(,22'3"
21
3
7
3
12
2
2
+−==∴
−
+
−
−
+
+
=
−−+
−−
=
+
=++−+−
+
=+−⋅−−⋅−
=+−
==
−===+−
−−
−
−
L
LLLL
L

64. 64
PERSAMAAN
DIFFERENSIAL PARSIAL
(PDP)
Definisi dari PDP :
Persamaan-persamaan yang
mengandung satu atau lebih turunan-
turunan parsial.
Persamaan itu haruslah melibatkan
paling sedikit 2 variabel bebas.
Tingkat Persamaan Differensial
Parsial Tingkat turunan
tertinggi pada
persamaan itu.
Contoh :
Pandanglah z sebagai variabel terikat
dan x,y sebagai variabel bebas

65. 65
sebarang.variabelfungsiEliminasi-
variabelantaradidiketahuiyanghubungan
darikonstanta-konstantaEliminasi-
:denganditurunkandapatPDP
,
y
,,,
x
z
standarnotasi
digunakan).2'dan).1'menuliskanUntuk
duatingkatdari
03).2'atau032).
satutingkatdari
).1'atau).1
2
22
2
2
2
22
2
2
y
z
t
x
z
s
x
z
r
y
z
qp
tsr
y
z
yx
z
x
z
zyqxpz
y
z
y
x
z
x
∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
→
=++=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
→
=+=
∂
∂
+
∂
∂

66. 66
Eliminasi Konstanta-konstanta
Sebarang
Pandang z sebagai fungsi 2 variabel
bebas x dan y yang didefinisikan
oleh
3). g(x,y,z,a,b)=0
a dan b 2 konstanta
sebarang
3). Diturunkan secara parsial
terhadap x dan y diperoleh
05).
dan
04).
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
z
g
q
y
g
y
z
z
g
y
g
z
g
p
x
g
x
z
z
g
x
g

67. 67
Konstanta-konstanta sebarang
Dapat dieliminasikan dari 3)., 4)., 5).
yang menghasilkan PDP tingkat 1.
6). f(x,y,z,p,q)=0
Contoh :
Eliminasikan konstanta-konstanta
sebarang a dan b dari
(*)22
abbyaxz ++=

68. 68
1tingkatPDP
422
atau
2
1
2
1
2
1
2
1
diperoleh(*)persamaankesikandisubstitu
2
1
dan
2
1
,2dan2
x
z
diperoleh
,danterhadapparsialDiturunkan
:
22
22
→
=++












+





+





=
==
==
∂
∂
==
∂
∂
xyzqxyypxpq
y
q
x
p
y
y
q
x
x
p
z
y
q
b
x
p
a
byq
y
z
axp
yx
Jawab

69. 69
Eliminasi Fungsi - fungsi
Sebarang
Misalkan u=u(x,y,z) dan v=v(x,y,z)
adalah fungsi-fungsi bebas dari
variabel x,y,z, dan misalkan
7). Ф(u,v)=0
adalah suatu hubungan sebarang
dari variabel-variabel.
Pandang z sebagai variabel terikat
dan diturunkan parsial terhadap x dan
y, diperoleh
08). =





∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
z
v
p
x
v
vz
u
p
x
u
u
φφ

70. 70
0
diperoleh9).dan8).daridanEliminasi
09).
=





∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+






∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=






∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
+
∂
∂
−





∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
x
v
z
u
z
v
x
u
q
z
v
y
u
y
v
z
u
p
x
v
y
u
y
v
x
u
z
v
p
x
v
z
u
q
y
u
z
v
q
y
v
z
u
p
x
u
z
v
q
y
v
z
u
q
y
u
z
v
p
x
v
z
u
p
x
u
v
φ
u
φ
z
v
q
y
v
vz
u
q
y
u
u
dan
φφ

71. 710
1
u
,0
3
u
diperolehdankeparsialDiturunkan
.dandan0(:Jawab
argumen-argumen
darisebarangfungsiadalahmanadi
,0daritimbulyangPDCarilah
:Contoh
).sebarangfungsimempunyaidan tak
dandalamLinierPDPsuatu
,bentukmengambilIni
,
Ditulis
3
243
3
3
=





∂
∂
+





∂
∂
=





−
∂
∂
+





−
∂
∂
===
=





→
=+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
xvx
q
x
y
vx
z
x
p
yx
x
y
v
x
z
uu,v)
x
y
,
x
z
(u,v
qp
RQqPp
x
v
y
u
y
v
x
u
, λ
z
v
x
u
x
v
z
u
λq
,
y
v
z
u
z
v
y
u
λp
φφ
φφ
φ
φ
φ
φ

72. 72
rqypxatau
x
qy
x
z
x
p
xx
q
x
y
x
z
x
p
vu
3
0
3
1
3
anmenghasilkdanEliminasi
334
3
243
=+
=+−=
−−
∂
∂
∂
∂ φφ

73. 73
PERSAMAAN
DIFFERENSIAL PARSIAL
LINIER TINGKAT 1
PDP tingkat 1
PDP Linier tingkat 1
linier.kdisebut ta
.2ln)2dan1)2
.riabelderajat vapadabatasanadatakPDPPada
:Catatan
.dandalamsatuberderajatPDP
nmenunjukkauntukdisebut
)1dan3)1
3
2
22
1
32
21
xqpqp
z
qp
linier
zqypxzqypx
=+=+
→
=+=+
)1umumanPenyelesai
aekivalennyatau
0,)3
1
3
3
→






=
=





annyaPenyelesai
x
y
f
x
z
x
y
x
z
φ

74. 74
,danbebasvariabel2dan,terikatvariabel
melibatkanyang1,gkatLinier tinPDP
UMUMANPENYELESAI
gilebih tinggkatlinier tintakPDP
sebarangkonstanta2
darilebihmelibatkanyangPersamaan
1gkatlinier tintakPDP
sebarangkonstanta2melibatkanyangPersamaan
)4
daridan)4
darisebarang
konstanta-konstantaasimengelimin
dengandiperolehjugadapatPD
4
223
2
33
1
berbentuk
yxz
x
dy
cxyybxaxz
byaxz
→
→
+++=
+=

75. 75
bebas.salingyang6)anpenyelesai2adalah
),,(dan),,(
asalkan5)umumanpenyelesai
sebarang),(0),(7)
bahwanmenunjukkadengan
6)
biasa.PDpembantusistem
yaituLagrangesistemdenganandiselesaik
5)an UmumPenyelesaimendapatkUntu
sebarangfungsiadalahmanadi),(3
anpenyelesaimempunyai32PDJadi,
mudah.denganandiselesaikdapat5)
,0dan0Jika
.,,fungsi-fungsiadalah,,manadi
)5
2
bzyxvvazyxuu
vu
R
dz
Q
dy
P
dx
yxyxz
yx
x
z
QP
zyxRQP
RQqPp
====
→
=
==
++=
+=
∂
∂
==
=+
φφ
φφ

76. 76
,
3
Dari
sebarang.manadi
0,umumnyaanpenyelesaiJadi,
.Dari
3
Dari
.
3
apembantunysistem
.31).
umumanpenyelesaiCarilah
:
.memuatharus
yang,dari1sedikitpalingdansebarang
konstanta-konstantaadalahdansiniDi
3
3
3
c
y
z
z
dz
y
dy
x
y
x
z
b
x
y
v
y
dy
x
dx
a
x
z
u
z
dz
x
dx
z
dz
y
dy
x
dx
zqypx
Contoh
z
vu
ba
=→=
=





==→=
==→=
==
=+
φ
φ

77. 77linier.asebarangny
konstantakarenaselubungmempunyai
tidakyang2,erberparametyangpermukaan
keluargamewakili8)lengkapanPenyelesai
lengkap.anpenyelesai
atasdi1).contohpadapersamaanJadi,
5).lengkapanpenyelesai
8)
sebaran,konstanta
-konstantaadalah,jikadanbebas,yang6)
anpenyelesai2adalahdanJika
LENGKAPANPENYELESAI
umum.anpenyelesaiantaranyadi
satusalahdanekivalenSemuanya
sebarang.adalahdanmanadi
,0,atau0,
ditulisdapatdan
3
333
→
+





=
→
+=
==
→
=





=





βα
βα
βα
λψ
λψ
x
y
x
z
vu
bvau
x
y
y
z
y
z
x
z

78. 78
PDP HOMOGEN TINGKAT
TINGGI DENGAN KOEFISIEN-
KOEFISIEN KONSTAN
PERSAMAAN SEJENIS
yang linier pada variabel terikat z dan
turunan-turunan parsialnya
PDP linier tingkat 1)
adalah 3 tingkat turunan
tertinggi
( )
yx
eyz
y
z
x
x
z
x
yx
z
xy
x
z
y
z
yx
z
x
x
z
yx
+
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+
3
2
2
2
3
3
2
3
3
3
22
5
2)1

79. 79
PDP Linier Sejenis
di mana turunan-turunannya
bertingkat sama homogen
PDP Linier Homogen Dengan
Koefisien-koefisien Konstan
,
2
y
2)
32
3
3
2
2
2
3
3
3
2
yx
y
z
yx
z
x
z
xy
x
z
x
+=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
0)3 =
∂
∂
+
∂
∂
y
z
B
x
z
A

80. 80
,2)(),()'5
,0)(),()'4
,0)(),()3'
sehingga,dan
.manadi)()(
biasa.PD
dengansama5)s/d3)PDPkanmenyelesaiCara
riil.konstanta-konstantaadalah,,manadi
,2
y
)5
,0
y
)4
22
22
2
22
2
2
2
22
2
2
yxzCDDBDADzDDf
zCDDBDADzDDf
zBDADzDDf
y
D
x
D
dx
d
DxQyDf
CBA
yx
y
z
C
x
z
B
x
z
A
y
z
C
x
z
B
x
z
A
yyxyx
yxyx
yxyx
yx
x
yx
+=++=
=++=
=+=
∂
∂
=
∂
∂
=
==
+=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂

81. 81
( )
berlainan.yang)4'anpenyelesai
-anPenyelesai
(
)(
Jika
.0dari
akar-akardarisatusalah
;0sebarangkarena
0
dapatdi)4'dalam
,
substitusi);4'anpenyelesai
sebarang),()(Misalkan
sebarang.
,umumnyaanpenyelesai
dan1bertingkat)3'Persamaan
22
11
21
2
21
2
2
2
2
2
xmyz
xmyz
mm
CBmAmmmm
m
du
d
CBmAm
du
d
du
d
y
u
du
d
y
z
zD
du
d
m
x
u
du
d
x
z
zD
umxyz
x
A
B
yz
y
x
+=
+=
≠
=++⋅=
→
≠
=++
=
∂
∂
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
∂
∂
=
→
=+=






−=→
φ
φ
φ
φ
φ
φφ
φφ
φφφ
φ
φ

82. 82
.0)3)(2(
)6(Selesaikan
:Contoh
.0),(umumanpenyelesai
)()()(7)
maka,jikadan
0)(
))(()()6
)()(
:umumanPenyelesaiJadi
22
2211
21
21
2211
=−+
=−−
=→
+++++=
≠≠≠
=−
−−=
+++=
zDDDD
zDDDD
zDDf
xmyxmyxmyz
mmm
zDmD
DmDDmDzDDf
Jika
xmyxmyz
yxyx
yyxx
yx
nn
n
ynx
yxyxyx
φφφ
φφ




83. 83
),(
)()()(
adalahsamayangfaktordengan
diketahuiyangumumanpenyelesaibagian
,0)(
)()(),()6'
menjadi6)Persamaan
,Jika
).3()2(
umumnyaanpenyelesai
3,2
:
1
1
13
2
1211
11
121
21
21
xmyx
xmyxxmyxxmy
k
zDmD
DmDDmDzDDf
mmmmm
xyxyy
mm
Jawab
k
k
ynx
ykx
k
yxyx
nkk
++
++++++
=−
−−=
≠≠≠===
++−=
=−=
−
+
+
φ
φφφ
φφ




84. 84
[ ][ ]
[ ]
riil)fungsi-fungsisebarang,,(
,)()(
)()(
adalahpertamafaktor2
olehdiberikanyangumumanpenyelesaiBagian
.0)()(
)()(),()6"
menjadi6)sehinggadan
Misalkan.dengansekawanmisalkandankhayal
adalah6)dari,misalkansatu,salahJika
sebarang.fungsi-fungsi,,manadi
),()()(
)()()(
adalah)6'umumanpenyelesai
21
22
11
3
21
12
1
21
111
1
13
2
1211
φφ
φφ
φφ
φφφ
φφφ
φφφ
ibxaxyibxaxyi
ibxaxyibxaxy
zDmDDmD
DbiaDDbiaDzDDf
biambiam
mm
m
xmyxmyxmyx
xmyxxmyxxmyz
ynxyx
yxyxyx
n
nnkkk
k
−+−++
+−++++
=−−
⋅−−+−=
−=+=
+++++++
++++++=
++
−





85. 85
[ ]
),,()(
))((),(8)
khususintegralnmendapatkauntukCara
)5'komplemenfungsi)4'umumanPenyelesai
).5'khususintegralsetiapditambah
0)(),()4'
andireduksiktelahyang
persamaanumumanpenyelesaidariterdiri
2)(),()5'
an UmumPenyelesai
).()(
)()(
)()(
adalah)6"umumanpenyelesai
21
22
22
33
22
11
yxFzDmD
DmDDmDzDDf
zCDDBDADzDDf
yxzCDDBDADzDDf
xmyxmy
ibxaxyibxaxyi
ibxaxyibxaxyz
ynx
yxyxyx
yyxxyx
yyxxyx
nn
=−
−−=
→
=++=
+=++=
+++++
−+−++
+−++++=

 φφ
φφ
φφ

86. 86
an.penyelesai1hanyadiperlukandan
),(10)
berbentuk9)persamaanmasing-Masing
,
1
,
,
1
),,(
1
9)
1.tingkatpersamaan
kanmenyelesaidengandiperoleh,dapat
),,(
)())((
1
),(
1
olehnditunjukkakhusus,Integral
),,(),(
1
identitasdengan
1
operatorkanDidefinisi
1
1
1
1
21
21
yxgmqp
u
DmD
uz
u
DmD
uyxF
DmD
u
n
yxF
DmDDmDDmD
yxF
),Df(D
z
yxFyxF
),Df(D
),Df(D
),Df(D
n
yx
n
ynxynx
ynxyxyx
yx
yx
yx
yx
=−
−
==
−
=
−
=
−−−
=
=
=
−
−



87. 87
.2,3diganti
dan,)3(dapatDi
.)3(
khususintegraldidapatdan
)(
3
1
)
;)(
3
1
2
1
olehdinyatakan
khususintegralmemperolehuntuk
).3()2(
adalahyakomplemennfungsi
atas,dicontohDari
:Jawab
.)3)(2(
)6(Selesaikan
:Contoh
2
2
21
22
xxyuxya
xaxdxxaxu
yxuDD
yx
DD
ua
yx
DDDD
z
xyxyz
yxzDDDD
zDDDD
yx
yx
yxyx
yxyx
yyxx
+=+
−=−+=
+=−
+
−
=








+
−+
=
++−=
+=−+
=−−
∫
φφ

88. 88
[ ]
.cosatausin
meliputijikadigunakandapat
tak tentukoefisien-koefisienMetode
.
3
1
2
1
)3()2(
umumnyaanpenyelesai
.
3
1
2
1
,2dengandiganti
3
4
2
1
2)2(
Maka
.2)2(
khususintegraldapatkanDan
)2(
2
1
2
1
)
32
21
32
322
2
2
by)(ax(ax-by)
F(x,y)
xyxxyxyz
xyxzxya
xaxdxxxaxz
xxyzDD
xxy
DD
u
DD
zb
yx
yxyx
+
++++−=
+=−
+=++=
+=+
+
+
=
+
=
∫
φφ

89. 89
dan)(sin
),,(
1
)(sin
),,(
1
)
.
!),(
11
),(
1
),(
11
;0),(manadi
),(),(
0),(Jika
.0),(asalkan
,
),(
1
),(
1
a)
khususintegral
nmendapatkauntuksingkatmetode-Metode
22
22
byax
babaf
byax
DDDDf
b
e
r
x
bag
e
D
b
a
D
bag
e
DDg
D
b
a
D
Makabag
DDgD
b
a
DDDf
baf
baf
e
baf
e
DDf
yyxx
byax
r
byax
r
yx
byax
yx
r
yx
yx
r
yxyx
byaxbyax
yx
+
−−−
=+
=






−
=






−
≠






−=→
=
≠
=
++
+
++

90. 90
( )
( )
∫
∑
==+
+=+=++
=





++=






+





++
=+
−−
=+
−−
+=−−
=
≠−−−+
−−−
=+
.
1
dan1)(:Catatan
.
2
1
3
1
y2x
1
)(
1
11
1
1
)(
61
11
)(
6
1
khususIntegral
:
6Selesaikan
:Contoh
konstanta.-konstantaadalahdannolataupositif
bulatbilangan-bilanganmanadi,
yaitupolinom,adalahJika)
.0),,(),(cos
),,(
1
)(cos
),,(
1
23
2
22
2
22
22
22
22
22
22
dx
D
yxD
yxx
D
xyx
D
D
yx
D
yx
D
D
D
yx
D
D
D
DD
yx
DDDD
Jawab
yx)zDDD(D
p
i,jyxp
F(x,y)F(x,y)c
babafbyax
babaf
byax
DDDDf
x
y
xx
xxx
y
x
x
y
x
yx
yyxx
yyxx
ij
ii
ij
yyxx


91. 91
PDP LINIER TAK-
HOMOGEN DENGAN
KOEFISIEN-KOEFISIEN
KONSTAN
PDP LINIER TAK-HOMOGEN
Dengan Koefisien-koefisien Konstan,
seperti
diuraikan.dapattidakkarena
direduksi,dapattidak
)2cos()2(
)2(),(
,dalam1berderajat
yangfaktor,-faktordalamdiuraikandapat
kirinyaruaskarenaan,direduksikdapat
)2)(1(
)23(),(
2
3
2
22
→
−=+
=+=
→
+=+−++
=+++−=
yxzDDD
zDDDzDDf
DD
xyxzDDDD
zDDDDzDDf
yxy
yyxyx
yx
yxyx
yxyxyx

92. 92
)3'dan3)tipesebarang
fungsi-fungsinjumlah1)umumanpenyelesai
lain),yangkelipatan
merupakanyangfaktoradatakjika(yaitu
linierbebas1)faktor2adatakjikaJadi,
sebarang.yang
argumennyafungsi-fungsidanmanadi
,0),()3'
atau,0),(3)
adalah2)umumanpenyelesai
1)
0)(2)
konstanta.-konstantaadalahmanadi
0)(
))((),(1)
ANDIREDUKSIKDAPATYANG
HOMOGEN-TAKLINIERPDP
222111
→
≠−=
≠−=
→
=++
=++
++++=
−
−
ψφ
ψ
φ
iii
b
yc
iii
a
xc
iyixi
iii
nynxn
yxyxyx
bxbyaez
axbyaez
anpenyelesai
zcDbDa
,c,ba
zcDbDa
cDbDacDbDazDDf
i
i
i
i


93. 93
Contoh PDP LINIER TAK-
HOMOGEN Yang dapat Direduksikan
( )( )
n,ditunjukkayangsepertikecuali
linierbebasyangitufaktordari2adatakmanadi
,0)()(
)(),(4)
Jika
)3(dengankeduayangdan
)2(
digantidapatkananruaspadapertamasuku
)3()2(
umumnyaanPenyelesai
:Jawab
02312Selesaikan
111
111
2
3
2
1
2
2
2
1
x
n
zcDbDacDbDa
cDbDazDDf
xye
xye
xyexyez
zDDDD
nynxnkykxk
k
yxyx
y
x
xy
yxy
=++++
⋅++=
−
−
−+−=
=+−++
+++
−
−−

ψ
ψ
φφ

94. 94
( )( )
[ ]
5),komplemenfungsi
1)umumanpenyelesaijumlah
),()()(
)(),(5)
UMUMANPENYELESAI
.)2()2()2(
:umumnyaanPenyelesai
:
01252Selesaikan
:
)].(
)()([
adalahkaliberlipatyangfaktordengan
sesuaiyangumumanpenyelesaibagian
222
111
3121
5
2
11
`1
112111
1
1
⇒
→
=++++
⋅++=
++++−=
=+−++
−
−+−
−−
+
−
yxFzcDbDacDbDa
cDbDazDDf
xyxxyexyez
Jawab
zDDDD
Contoh
xbyax
xbyaxxbyae
k
nynxnyx
yxyx
xy
yxyx
k
k
a
xc


φφφ
φ
φφ

95. 95
),(
,
),(
1
),(
1
7)
formulaPemakaian
).,(khususbentuk-bentukuntukdipakai
dapatyangsingkatmetodehalnyaseperti
6)menghitunguntukumumCara
),(
),(
1
6)
5)khususintegraldan
1
yxVV
V
bDaDf
e
Ve
DDf
yxF
yxF
DDf
z
yx
byax
byax
yx
yx
=
++
=
=
+
+

96. 96
PDP LINIER TAK-HOMOGEN yang
Tak Dapat Direduksikan dengan
Koefisien-Koefisien Konstan
10).memenuhiyang)(bilangan
pasanganbanyaknyahinggatakterdapatJadi,
10).jalandengandiperoleh
yang)(ataunilai-nilailebihatausatu)atau(
nilaipemilihansetiapUntuksebarang.dengan
,0),(10)
asalkan8)anpenyelesai9)Jadi
0),(adalah8)dalam
9)
nyasubstitusihasil
konstanta,-konstantaadalah,,manadi
,)(karena
.0),()8
33
ii
byax
byax
byaxrbyax
y
r
x
yx
,ba
abb
ac
baf
ebafc
cez
cba
ebcaceDD
zDDf
=
→
=
=
=
=
+
+
++

97. 97
atas.didigunakansebarang),(
).,(dari
)(linierfaktordengan
nbersesuaiayang8)anpenyelesai
11),Karena).,(),(
10).memenuhi0manadi
pasangsetiapmaka
,),()(),(Jika
8)anpenyelesai
,0manadi,'11)
lanjutLebih
1
)(
1
)(
1
φφ hxye
DDf
kDhD
eceecz
bkhbba
khba
(a,b)
zDDgkhDDzDDf
),bf(aecz
kx
yx
yx
i
hxyb
i
kx
i
ybxkhb
i
iiii
yxyxyx
ii
i
ybxa
i
iii
ii
−
++
→
==
−−=
=++
++=
→
==
−
∞
=
−−
∞
=
++−
∞
=
+
∑∑
∑

98. 98).1(,
setiapuntuksehingga
,),(
direduksi.dapattakiniLinierPDP
:
0)(),(
Selesaikan
:Contoh
sebarang.konstanta
-konstantamelibatkanyangsisanyadan
linier)faktor-faktordengannbersesuaia(yang
sebarangfungsi-fungsimelibatkanyang
anpenyelesaibagianditulislinier,faktor
-faktormempunyai),(Jika
8);anpenyelesai11)
linier,faktormempunyaitidak),(Jika
2
2
+−==
++=
=++=
<
→
iii
yxxyx
yx
yx
aabaa
baabaf
Jawab
zDDDzDDf
nmDDf
DDf

99. 99
konstankoefisien-koefisien
denganLinierPDPkediubahyang
konstanta
),,(),(
berbentukyangPDsuatu
PDP,denganhalnyaSama
.substitusimelaluikonstan
koefisien-koefisiendenganLinierPDke
masikanditransfor)(
CAUCHY(BIASA)
AL(PD)DIFFERENSIPERSAMAAN
sebarang.kontantadanmanadi
adalahannyaPenyelesai
,
1
)1(
1
=
==
=
=
==
∑
∑∑
∞
=
+−
∞
=
+
rs
sr
s
y
r
x
sr
rsyx
z
ii
i
yaaxa
i
i
ybxa
i
c
yxFzDDyxczyDxDf
ex
FxyxDf
ac
ececz iiiii

100. 100
.
9
1
)(
atau
9
1
)(ln)(ln
awalnya)variabel
dalamn(dinyatakaumumnyaanPenyelesai
,Substitusi
:
.)2(Selesaikan
:
.,
substitusidengan
2
3
22
2
1
2
3
22
2
1
2
3
22
y
x
x
y
xyz
y
x
x
y
xyz
eyex
Jawab
y
x
zxDDxyDDx
Contoh
eyex
vu
xyxx
vu
−





+=
−+=
==
=−+
==
ψψ
φφ
