dadadadddsss

1. PERSAMAAN
DIFFERENSIAL
1

2. Persamaan Differensial
• PD adalah suatu persamaan yg melibatkan
1 atau lebih turunan fungsi yg belum
diketahui, dan atau persamaan itu juga
melibatkan
fungsi
itu
sendiri
dan
konstanta.
• Sebuah pers yg merupakan hubungan
antara turunan (derivatif) dari 1 variable
tak bebas terhadap 1 / lebih variable
bebas.
2

3. Klasifikasi PD
• 1. PD Biasa (PDB)
Adalah pers. yg terdiri dr 1 variable bebas,
1 variable tak bebas
cont : dy + 2 xy = 2 x 2 + 1
dx
• 2. PD Parsial
Adalah pers. yg terdiri dr 2 atau lebih
variable bebas, 1 variable tak bebas
cont : ∂ 2 z
∂x∂y
= 2 xy
3

4. Tingkat dan Derajat PD
• PD tingkat n adalah jika turunan tertinggi
yg terdapat dlm persamaan adalah
tingkat n
• Derajat PD adalah pangkat dari turunan
tertinggi dalam pers yg seluruhnya
rasional dan bulat dalam turunan-turunan
itu.
• Cont : y"− y '−6 y = e 2 x : PD tk 2, derajat 1
( y ') 2 − y' = 0 : PD tk 1, derajat 2
4

5. Orde PD
• PD berorde – n adalah bila persamaannya
memuat turunan ke-n dari fungsi yg tak
diketahui, yg merupakan orde tertinggi pd
persamaan tsb.
• Contoh :
dy
2x
xy '+2 y = 0 dan + (1 − x ) y = 4 xe
– PD Orde satu :
dx
– PD Orde dua :
x 2 y"+3 xy '+8 y = 0 dan
y"−4 y '+4 y = 4 xe 2 x
– PD orde n :
y ( n ) + an −1 y ( n −1) +  + a2 y"+ a1 y '+ a0 y = 0
x n y ( n ) + an −1 x ( n −1) y ( n −1) +  + a2 x 2 y"+ a1 xy '+ a0 y = r ( x5)

6. 1. PD Biasa (PDB)
Berdasar jml var. bebas / tak bebas,
fungsi turunan dan pangkat dari fungsi
turunan, PD dikelompokkan mjd :
1.1. PDB Linear
adl pers. yg terdiri dr 1 variable bebas, 1
variable tak bebas, dan pangkat tertinggi
dari fungsi turunan dlm pers. = 1
6

7. 1.1.1 PDB linear homogen
Contoh :
y '+ y = 0
x
1+ x
2
dx +
3y
2 + 3y
2
dy = 0
1.1.1.1 PDB linear homogen koefisien konstan
Contoh :
y '+ y = 0
dan
y" '+4 y = 0
1.1.1.2 PDB linear homogen koefisien variable
Contoh :
2
x y"+4 xy '+8 y = 0
dan
x 3 y" '−2 x 2 y"+4 xy '+8 y = 0
7

8. 1.1.2 PDB linear non homogen
Contoh :
y"+4 y '+8 y = x sin 2 x
(D
3
)
− 6 D 2 + 11D − 6 y = e 2 x cos x
1.1.21.1 PDB linear non homogen koefisien konstan
Contoh : spt diatas
1.1.12.2 PDB linear non homogen koefisien variable
Contoh :
2
x y"+3 xy '+8 y = x ln x
x 3 y ' "−2 x 2 y"+4 xy '+8 y = 3 x
8

9. 1.2. PDB Non Linear
adl pers. yg terdiri dr 1 variable bebas, 1
variable tak bebas, dan pangkat tertinggi
dari fungsi turunan dlm pers. > 1
1.2.1 PDB non linear homogen
Contoh :
( y")
4
+ 3( y ') − 4 y = 0
2
(koef. Konstan)
x 2 y"+4 xy '+8 y = 0
(koef. variable)
1.2.2 PDB non linear non homogen
Contoh :
( y") 4 + 3( y ') 2 − 4 y = x 2 cos 2 x
x 2 y"+4 xy '+8 y = x 2 ln x
(koef. Konstan)
(koef. variable)
9

10. 2. PD Parsial (PDP)
contoh :
∂2 y
∂x 2
∂ 2u
∂x
2
∂ 2u
∂x
2
=k
+
+
∂y
∂t
∂ 2u
∂y
2
∂ 2u
∂y
2
=0
+
∂ 2u
∂z
2
=0
10

11. Penyelesaian PD
• Adalah suatu fungsi tanpa turunanturunan dan yang memenuhi PD itu
– PUPD (Penyelesaian Umum Pers Differensial)
• Penyelesaian PD yg memuat konstanta-konstanta
sembarang yg banyaknya sampai tingkat dari PD itu
– PPPD (Penyelesaian Partikulir Pers Differensial)
• Penyelesaian PD yg didapat dari PUPD jika pada
knstanta-konstanta sembarang diberi nilai tertentu
11

12. • Contoh : tiap titik (x,y) dari berkas kurva
datar punya koefisien garis singgung = 2
kali absisnya. Tentukan pers yg melalui
(1,2)
• Penyelesaian :
melalui titik (1,2) :
dy
PD :
= 2x
dx
2 = 12 + c ⇒ c = 1
shg pers kurva mell (1,2) adl :
dy = 2 x dx
y = x 2 + 1 : PPPD
dy = 2 x dx
∫
∫
PUPD : y = x 2 + c
12

13. Penyelesaian PD
1. PD : y"−4 y '+4 y = 0 Selidiki apakah y = e
merupakan penyelesaian PD diatas?
• Penyelesaian :
2x
substitusi ke PD :
y=e
2x
4e 2 x − 4( 2e 2 x ) + 4( e 2 x ) = 0
y ' = 2e
0=0
2x
y" = 4e
2x
Krn dihasilkan kesamaan identitas, maka y = e
merupakan penyelesaian PD y"−4 y '+4 y = 0
2x
13

14. dy
2. Cari penyelesaian PD orde satu = x 3 + cos 2 x
dx
• Penyelesaian :
dy
= x 3 + cos 2 x
dx
dy = x 3 + cos 2 x dx
(
(
)
)
dy = ∫ x 3 + cos 2 x dx
∫
1 4 1
y = x + sin 2 x + c (PUPD)
4
2
14

15. PD Variable Terpisah
• Contoh :
g ( y ) y ' = f ( x ) (PD
g ( y ) dy = f ( x ) dx
var.terpisah)
∫ g ( y )dy = ∫ f ( x ) dx + c (PUPD var.terpisah)
Atau
xf1 ( x ) g1 ( y ) dx + f 2 ( x ) g 2 ( y ) dy = 0 (PD var.terpisah)
f1 ( x )
g2 ( y)
dx +
dy = 0
f2 ( x)
g1 ( y )
f1 ( x )
g2 ( y)
∫ f 2 ( x ) dx + ∫ g1 ( y ) = c (PUPD var.terpisah) 15

16. PD var terpisah
• Cari PUPD :
• Penyelesaian :
4 yy ' = 9 x 2
4 yy ' = 9 x 2
4 ydy = 9 x dx
2
∫ 4 ydy = ∫ 9 x dx
2
2 y = 3x + c
2
2
16

17. PD var terpisah
• Model matematika PD Var terpisah
adalah
–Hukum pendinginan Newton
–Laju perubahan zat
–Pelenturan batang
Contoh :
17

18. PD Homogen
dy g ( x, y )
: dx = h( x, y )
• Bentuk
atau g ( x, y ) dx + h( x, y ) dy = 0
• Dimana f dan g adalah fungsi-fungsi
homogen berderajad sama
( xy + x 2 )dx + ( 2 xy + y 2 )dy = 0
• Contoh :
• Penyelesaian
:
PD
homogen
direduksi
menjadi
PD
variable
terpisah, dengan subsitusi y = ux
atau x = vy
18

19. PD Homogen
• Cari PUPD ( 4 x 2 − 3 y 2 ) dx + 4 xydy = 0
• Penyelesaian :
g ( x, y ) = ( 4 x 2 − 3 y 2 )
h( x, y ) = 4 xy
subsitusi y = ux
dy = udx + xdu
(
)
x 2 4 − 3u 2 dx + x 2 4u ( udx + xdu ) = 0
ke persamaan, sehingga ( 4 − 3u 2 ) dx + 4u ( udx + xdu ) = 0
( 4 + u ) dx + 4 xudu = 0
2
1
4u
dx +
du = 0
2
x
4+ u
19

20. • Integralkan :
1
4u
∫ x dx + ∫ 4 + u 2 du = c
(
)
2 2
x 4+u = c
• Krn u = y
maka
x
 y 
x 4 + 
  x


(4x
2
+y
)
2 2
2
2

 =c


= cx
3
20

21. PD Eksak
• PD : M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0
adalah EKSAK jika ∂M = ∂N
∂y
∂x
PUPD Eksak : F ( x, y ) = c
• Contoh : selesaikan PD 2 xydx + ( x 2 + 1) dy = 0
• Penyelesaian : M = 2 xy → ∂M = 2 x
∂y
∂N
2
N = x +1 →
= 2x
∂x
∂M ∂N
karena
=
= 2 x ⇒ PD
∂y
∂x
Eksak
21

22. • PUPD Eksak berbentuk F(x,y)=c
x
F ( x, y ) = ∫ Mdx + R( y )
x
= ∫ 2 xy dx + R( y ) = x 2 y + R( y )
∂F
dR
= x2 +
=N
∂y
dy
dR
dR
x2 +
= x2 +1 ⇒
=1⇒ R = y
dy
dy
∴ PUPD : x 2 y + y = c
22

23. PD linear orde satu
• Model matematika PD linear orde
satu adalah
–Model campuran kimia
–Rangkaian R-L
Contoh :
23