Teks tersebut membahas tentang persamaan diferensial orde dua dan penyelesaiannya. Persamaan diferensial orde dua umumnya berbentuk a(d2y/dx2) + b(dy/dx) + cy = f(x), dan penyelesaiannya tergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya. Jika akar-akarnya real dan berbeda, penyelesaiannya adalah y = Ae^{m_1x} + Be^{m_2x}. Jika sama, penye

1. 2. Persamaan Differensial Orde Dua
Bentuk umum persamaan Differensial Orde Dua adalah :
d2y dy
a +b + cy = f(x) (1)
dx 2
dx
di mana, a, b, dan c adalah koefisien konstanta dan f(x) adalah suatu fungsi x yang
diketahui.
Misalkan diketahui f(x) = 0, maka persamaannya menjadi :
d2y dy
a 2 +b + cy = 0 (2)
dx dx
dan misalkan y = u dan y = v (di mana u dan v adalah fungsi dari x) adalah dua
penyelesaian dari persamaan maka :
d 2u du d 2v dv
a +b + cu = 0 dan a 2 + b + cv = 0
dx 2
dx dx dx
Dengan menjumlahkan kedua persamaan, maka :
 d 2u d 2v   du dv 
a 2 + 2  + b
 dx +  + c(u+v) = 0 (3)
 dx    dx dx 
d du dv d2 d 2u d 2v
di mana (u + v) = + dan (u + v) = + , sehingga persamaan itu
dx dx dx dx 2 dx 2 dx 2
dapat ditulis kembali sebagai :
d 2u d
a (u + v) + b (u + v) + c(u + v) = 0 (4)
dx 2 dx
yang merupakan persamaan awal (2), dengan variabel y diganti (u + v), dengan
pengertian jika y = u dan y = v adalah penyelesaian dari persamaan :
d2y dy
a +b + cy = 0, maka berlaku juga untuk y = u + v.
dx 2
dx
Jika diketahui a = 0, maka persamaan (2) menjadi :
dy dy c
b + cy = 0 atau + ky = 0, k =
dx dx b
Dengan metode pemisahan variabel, maka :
dy dy
dx
= – ky ⇒ ∫ y
= – ∫ k dx ⇒ ln y = – kx + c
∴ y = e – k x + c = e – kx.e c = A.e – k x (dengan A = e c)
∴ y = Ae m x (jika – k = m) (5)
46

2. Untuk membuktikan bahwa penyelesaian y = Aemx dari persamaan orde dua (2), sehingga
persamaan akan menjadi,
y = Ae m x
dy
= Ame m x
dx
d2y
= Am2e m x
dx 2
dengan mensubtitusi ke persamaan (2) maka,
aAm2e m x + bAme m x + cAe m x = 0
Jika dibagi kedua sisinya dengan Ae m x, akan diperoleh :
am2 + bm + c = 0 (6)
Yang merupakan sebuah persamaan kuadrtaik yang menghasilkan dua nilai m. Nilai –
nilai ini katakan :
m = m1 dan m = m2
sehingga y = A e m1 x dan y = B e m 2 x merupakan penyelesaian dari persamaan itu. Dapat
disimpulkan bahwa penyelesaian persamaan (2), berlaku juga untuk y = A e m1 x + B e m 2 x .
Persamaan kuadratik (6) disebut persamaan karakteristik yang diperoleh dari persamaan
d2y dy
(2) dengan m2 untuk , m untuk dan 1 untuk y.
dx 2
dx
Contoh 30
d2y dy
Selesaikanlah +5 + 6y = 0
dx 2 dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 5m + 6 = 0
(m1 + 3)(m2 + 2) = 0
∴ m1 = – 3 dan m2 = – 2
∴Penyelesaiaannya adalah y = A e -3x + B e -2x
2. 1 Penyelesaian Persamaan Karakteristik untuk Akar – akar real yang berbeda
Beberapa tipe penyelesaian dari persamaan karakteristik dengan akar–akar real yang
berbeda.
Contoh 31
d2y dy
Selesaikanlah +3 + 2y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
47

3. Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 3m + 2 = 0
(m1 + 2)(m2 + 1) = 0
∴ m1 = – 2 dan m2 = – 1
∴Penyelesaiaannya adalah y = A e -2x + B e -x
Contoh 32
d2y dy
Selesaikanlah –7 + 12y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 – 7m + 12 = 0
(m1 – 3)(m2 – 4) = 0
∴ m1 = 3 dan m2 = 4
∴Penyelesaiaannya adalah y = A e 4x + B e 3x
2. 2 Penyelesaian Persamaan Karakteristik untuk Akar – akar real yang sama
Tinjau Persamaan :
d2y dy
+6 + 9y = 0
dx 2
dx
Persamaan karakteristiknya adalah : m2 + 6m + 9 = 0, sehingga,
∴(m + 3)(m + 3) = 0
∴m = – 3 dan m = – 3
∴Penyelesaiaannya adalah y = A e -3x + B e -3x atau y = C e -3x ,
Pada kasus yang lebih umum dapat ditunjukkan bahwa penyelesaian persamaan
differensial orde dua dengan akar riel yang sama dapat ditulis sebagai :
y = A e -3x + Bx e -3x atau y = e m1 x (A + Bx)
Contoh 33
d2y dy
Selesaikanlah +4 + 4y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 4m + 4 = 0
(m1 + 2)(m2 +2) = 0
∴ m1 = – 2 dan m2 = – 2
∴Penyelesaiaannya adalah y = e -2x (A + Bx)
48

4. Contoh 34
d2y dy
Selesaikanlah + 10 + 25y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 10m + 25 = 0
(m1 + 5)(m2 +5) = 0 atau (m1 + 5)2 = 0
∴ m1 = – 2 dan m2 = – 2
∴Penyelesaiaannya adalah y = e -5x (A + Bx)
Contoh 35
d2y dy
Selesaikanlah +8 + 16y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 10m + 25 = 0
(m1 + 4)(m2 + 4) = 0 atau (m1 + 4)2 = 0
∴ m1 = – 4 dan m2 = – 4
∴Penyelesaiaannya adalah y = e -4x (A + Bx)
2. 3 Penyelesaian Persamaan Karakteristik untuk Akar – akar kompleks
Jika persamaan memiliki akar-akar kompleks, misalkan :
m = α ± jβ yaitu m1 = α ± jβ dan m2 = α – jβ
maka penyelesaiaannya akan berbentuk :
y = C e ( α + jβ ) x + D e ( α − jβ ) x = Ceαx.e jβx + Deαx.e -jβx
= eαx{ Ce jβ x + De -jβ x}
Diketahui bahwa :
e jx= cos x + j sin x e jβ x= cos βx + j sin βx
e -jx= cos x – j sin x e -jβ x= cos βx – j sin βx
sehingga penyelesaian di atas dapat ditulis :
y = eαx{C(cos βx + j sin βx) + D(cos βx – j sin βx)}
= eαx{(C + D) cos βx + j(C –D) sin βx}
y = eαx{A cos βx + jB sin βx}
dengan A = C + D dan B = j(C – D)
Jika m = α ± jβ, penyelesaiannya dapat ditulis dalam bentuk :
y = eαx{A cos βx + B sin βx}
Berikut ini sebuah contoh lagi : m = - 2 ± 3j maka y = e -2x{A cos 3x + B sin 3x}
49

5. Contoh 36
d2y dy
Selesaikanlah +4 + 9y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 4m + 9 = 0
-4± 16 - 36 - 4 ± - 20 - 4 ± 2j 5
∴m = = = =-2± 5j
2 2 2
untuk α = - 2 dan β = 5
Penyelesaiaannya adalah
y = e-2x{A cos 5 x + B sin 5 x}
Contoh 37
d2y dy
Selesaikanlah –2 + 10y = 0
dx 2
dx
Penyelesaian
Persamaan karakteristiknya adalah m2 – 2m + 10 = 0
-2± 4 - 40 - 4 ± - 36
∴m = = =1±3j
2 2
untuk α = 1 dan β = 3
Penyelesaiaannya adalah
y = e-2x{A cos 3x + B sin 3x}
Kesimpulan :
d2y dy
Jika a +b + cy = 0
dx 2
dx
Dengan persamaan karaktersitiknya : am2 + bm + c = 0
1. Akar-akar riil yang berbeda m = m1 dan m = m2
Penyelesaiannya adalah y = A e m1 x + B e m 2 x .
2. Akar-akar riil yang sama m = m1 dan m = m1
Penyelesaiannya adalah y = e m1 x (A + Bx).
3. Akar-akar kompleks m = α ± jβ
Penyelesaiannya adalah y = eαx{A cos βx + B sin βx}
50

6. Misalkan persamaan berbentuk :
d2y
± n2y = 0, (7)
dx 2
yang merupakan kasus khusus dari persamaan :
d2y dy
a 2 +b + cy = 0, dimana b = 0
dx dx
maka
d2y d2y c
a + cy = 0, atau a 2 + y = 0
dx 2
dx a
2
d y
dapat ditulis sebagai 2
± n2 y = 0, yang mencakup nilai positif dan negatif.
dx
2
d y
(a) Jika 2
+ n2 y = 0, ⇒ m2 + n2 = 0 ⇒ m2 = – n2 ∴ m2 = ± jn
dx
(sama seperti m = α ± jβ, dengan α = 0 dan β = n)
∴ y = A cos nx + B sin nx
d2y
(b) Jika – n2 y = 0, ⇒ m2 – n2 = 0 ⇒ m2 = n2 ∴ m2 = ± n
dx 2
∴ y = C e nx + D e –nx
dengan,
e nx + e − nx
cosh nx = ⇒ e nx + e –nx = 2 cosh nx
2
e − e − nx
nx
sinh nx = ⇒ e nx – e –nx = 2 sinh nx
2
Dengan penjumlahan kedua persamaan menjadi :
2enx = 2 cosh nx + 2 sinh nx
∴enx = cosh nx + sinh nx
Jika dikurangkan kedua persamaan menjadi
∴e -nx = cosh nx – sinh nx
Sehingga, penyelesaian, dari persamaan (7), dapat ditulis kembali :
∴ y = C e nx + D e –nx
∴y = (C + D) cosh nx + (C – D) sinh nx atau y = A cosh nx + B sinh nx
Catatan :
d2y
+ n2 y = 0 ⇒ ∴ y = A cos nx + B sin nx
dx 2
d2y
2
– n2 y = 0 ⇒ ∴ y = A cosh nx + B sinh nx
dx
51

7. Contoh 38 :
d2y
Selesaikanlah + 16 y = 0
dx 2
Penyelesaian
Diketahui m2 + 16 = 0
⇒ ∴ m2 = – 16 atau m = ± j4
∴ y = A cos 4x + B sin 4x
Contoh 39 :
d2y
Selesaikanlah – 3y = 0
dx 2
Penyelesaian
Diketahui m2 – 3y = 0
⇒ ∴ m2 = 3 atau m = ± 3
∴ y = A cosh 3 x + B sinh 3x
Contoh 40 :
d2y
Selesaikanlah + 5y = 0
dx 2
Penyelesaian
Diketahui m2 + 5y = 0
⇒ ∴ m2 = – 5 atau m = ± j 5
∴ y = A cos 5 x + B sin 5 x
Contoh 41 :
d2y
Selesaikanlah – 4y = 0
dx 2
Penyelesaian
Diketahui m2 – 4y = 0
⇒ ∴ m2 = 4 atau m = ± 2
∴ y = A cosh 2x + B sinh 2x
52

8. I. Latihan
Selesaikanlah :
d2y dy d2y
1. – 12 + 36y = 0 2. + 7y = 0
dx 2
dx dx 2
d2y dy d2y dy
3. +2 – 3y = 0 4. 2 2 + 4 + 3y = 0
dx 2 dx dx dx
d2y
5. – 9y = 0 6. y′′ – y′ – 2y = 0
dx 2
7. y′′ – 7y′ = 0 8. y′′ – 5 y = 0
d2x d 2r
9. – 16x = 0 10. 2 – φ2 x = 0
dt 2 dt
Jawaban :
1. y = e6x(A + Bx) 2. y = A cos 7 x + B sin 7 x
 x x 
3. y = Aex + Be-3x 4. y = e-x  Acos + Bsin 
 2 2
5. y = A cosh 3x + B sinh 3x 6. y = Ae-x + Be2x
7. y = A + Be7x 8. y = Ae√5 x + Be-√5 x
9. x(t) = Ae4t + Be-4t 10. r(t) = Aeφ t + Be- φ t
Tugas V (Dikumpulkan Sebelum UTS)
II. Selesaikanlah :
d y2
dy
1. –4 +y=0 11. y′′ – 9
2 y′ + 2y = 0
dt 2
dt
d2I dI
2. + 60 + 500I = 0 12. y′′ – 1
4 y′ + 1
8 y=0
dt 2 dt
3. x + 128 x + 96x = 0
  13.  - 2 y + 1 y = 0
y  2
d y2
dy 2
d y dy
4. + – 6y = 0 14. –6 + 25y = 0
dx 2
dx dx 2
dx
d2x dx d2y dy
5. +9 + 14x = 0 15. –10 + 29y = 0
dt 2 dt dx 2 dx
d2y
6. 2y′′ – 5y′ + 2y = 0 16. + 9y = 0
dx 2
d2x dx
7. q + 1000 q + 96q = 0
  17. +8 + 25x = 0
dt 2
dt
d 2Q dQ d 2Q dQ
8. + 1000 +160.000Q = 0 18. +8 + 52Q = 0
dt 2
dt dt 2
dt
d2x dx
9. +k =0 29. x + 16 x = 0
 
dt 2 dt
d2x g
10. – x=0 20. x + 3k x = 0

dt 2
10
53