Ilmu ukur bidang (geometri)

1. Ilmu Ukur Bidang
[Geometri]
Pertemuan ke-7
Ummu Salamah

2. Ilmu ukur bidang
1.1 Elemen geometri
1.2 Sudut
1.3 Segitiga
1.4 Lingkaran
1.5 Luas
1.6 Konstruksi segitiga dan segiempat

3. 1.1 Elemen geometri
Geometri adalah bagian dari matematika yang membahas mengenai
titik, garis, bidang, dan ruang.
• Titik adalah
Benda pikiran yang tidak mempunyai ukuran, tidak memiliki
panjang, lebar atau tebal (ukuran kecil yg tidak bisa dibagi dan
tidak ada bagian).
• Garis adalah
Himpunan titik tertentu yg mempunyai panjang tak berhingga
tetapi tidak memiliki lebar atau tebal. Panjangnya tak terbatas,
lurus, tidak mempunyai ketebalan, dan tidak mempunyai
ujung.
• Bidang adalah
Himpunan titik tertentu yg mempunyai luas tak terhingga dan
tidak memiliki ketebalan.
• Ruang adalah
Kumpulan himpunan semua titik.

4. Kedudukan Dua Garis
• Sejajar
Garis-garis lurus yang terletak pada satu bidang dan tidak
pernah berpotongan.
• Garis Transversal
Sebuah garis yang memotong dua garis sejajar.
• Berpotongan
Garis- garis lurus yg terletak pada satu bidang dan
berpotongan di satu titik.

5. • Berimpit
Garis- garis lurus yg terletak pada satu bidang dan
memiliki paling sedikit dua titik perpotongan (dua titik
persekutuan).
• Bersilangan
Garis- garis lurus yg terletak pada bidang berbeda dan
tidak berpotongan.

6. 1.2 Sudut
• Sebuah Sudut adalah besarnya rotasi antara dua buah sinar garis
lurus.
• Sudut dapat dinyatakan dalam satuan derajat maupun radian.
Nilai pendekatan 𝝅 ≈ 𝟑, 𝟏𝟒 atau 𝝅 =
𝟐𝟐
𝟕
𝟏° ≈
𝟐𝝅
𝟑𝟔𝟎
𝐫𝐚𝐝𝐢𝐚𝐧 ≈
𝟔,𝟐𝟖
𝟑𝟔𝟎
𝐫𝐚𝐝𝐢𝐚𝐧 ≈ 𝟎, 𝟎𝟏𝟕 𝐫𝐚𝐝𝐢𝐚𝐧
1 radian =
𝟏𝟖𝟎°
𝝅
≈
𝟏𝟖𝟎°
𝟑,𝟏𝟒
≈ 𝟓𝟕, 𝟑° atau 57°18’
Rumus untuk mengubah satuan derajat ke radian dan sebaliknya
𝛂° = 𝜶 .
𝜋
𝟏𝟖𝟎
radian 𝒑 𝐫𝐚𝐝𝐢𝐚𝐧 = 𝒑 .
𝟏𝟖𝟎
𝝅
°

7. • 1 putaran penuh = 360 derajat
• 1 derajat =
1
360
dari 1 putaran penuh
• 1 menit =
1
60
dari 1 derajat
• 1 detik =
1
60
dari 1 menit
• 1 detik =
1
3600
dari 1 derajat
1 menit dapat ditulis sebagai 1’
1 detik dapat ditulis sebagai 1”
Maka
𝟏° = 𝟔𝟎′ dan 𝟏′ = 𝟔𝟎′′

8. 1) Jumlahkanlah 14°53′ dan 37°19′
2) Kurangkanlah 15°47′ dari 28°13′
3) Tentukanlah
a. 13°42′51′′ + 48°22′17“
b. 37°12′
8′′ − 21°17′
25“
4) Ubahlah (a) 24°42′, (b) 78°15′26“ ke
bentuk derajat dan desimal derajat, benar
hingga 4 angka desimal.
5) Ubahlah 45,371° ke bentuk derajat, menit
dan detik.

9. Latihan Soal
1. Jumlahkanlah sudut-sudut berikut ini
a) 𝟑𝟐°𝟏𝟗′ 𝐝𝐚𝐧 𝟒𝟗°𝟓𝟐′ b) 𝟐𝟗°𝟒𝟐′ , 𝟓𝟔°𝟑𝟕′ 𝐝𝐚𝐧 𝟔𝟑°𝟓𝟒′
c) 𝟐𝟏°𝟑𝟑′ 𝟐𝟕′′ 𝐝𝐚𝐧 𝟕𝟖°𝟒𝟐′ 𝟑𝟔“ d) 𝟒𝟖°𝟏𝟏′
𝟏𝟗′′
, 𝟑𝟏°𝟒𝟏′
𝟐𝟕′′
𝐝𝐚𝐧 𝟗°𝟗′
𝟑𝟕′′
2. Tentukanlah :
a) 17° − 𝟗°𝟒𝟗′ b) 𝟒𝟑°𝟑𝟕′
− 𝟏𝟓°𝟒𝟗′
c) 𝟕𝟖°𝟐𝟗′
𝟒𝟏′′
− 𝟓𝟗°𝟒𝟏′
𝟓𝟐“ d) 1𝟏𝟒° − 𝟒𝟕°𝟓𝟐′
𝟑𝟕′′
3. Ubahlah sudut-sudut berikut ini ke dalam bentuk derajat dan
desimal derajat, benar hingga 3 angka desimal.
a) 1𝟓°𝟏𝟏′ b) 29°𝟓𝟑′
c) 𝟒𝟗°𝟒𝟐′
𝟏𝟕′′ d) 𝟏𝟑𝟓°𝟕′
𝟏𝟗′′
4. Ubahlah sudut-sudut berikut ini menjadi bentuk derajat, menit,
dan detik.
a) 𝟐𝟓, 𝟒° b) 𝟓𝟓, 𝟕𝟐𝟒°
c) 𝟑𝟔, 𝟒𝟖° d) 𝟐𝟑𝟏, 𝟎𝟐𝟓°

10. Jenis – jenis Sudut
• sudut antara 0° hingga 90° disebut
sudut Lancip.
• sudut 90° disebut
sudut Siku-siku.
• sudut antara 90° dan 180° disebut
sudut Tumpul.
• sudut yang lebih besar dari 180° dan kurang dari 360° disebut
sudut Refleks.
• sudut 180° terletak pada garis lurus (sudut Lurus).
• Jika dua buah sudut membentuk sudut 90° disebut sudut
penyiku.
• Jika dua buah sudut membentuk sudut 180° disebut sudut
pelurus.

11. Sifat – sifat Sudut
Perhatikan gambar !
Sudut-sudut yg terbentuk oleh dua garis sejajar yg dipotong
oleh sebuah garis lurus.
1. Sudut yang bertolak belakang (besar sudutnya sama),
yaitu a = c, b = d, e = g, dan f=h
2. Sudut sehadap (besar sudutnya sama),
yaitu a = e, c = g, d = h, dan f = b.
3. Sudut yang berseberangan (besar sudutnya sama),
yaitu e = c, h = b, f = d dan g = a
4. Sudut interior (besar sudutnya berjumlah 180°),
yaitu b + e = 180° dan c + h = 180°

12. Contoh Soal
1. Tentukanlah nama untuk sudut-sudut berikut.
a) 159° b) 63 ° c) 90° d) 227°
2. Tentukanlah sudut penyiku dari
a) 47° b) 58°39’
3. Tentukanlah sudut pelurus dari
a) 27° b) 111°𝟏𝟏′
4. Dua buah garis lurus 𝑨𝑩 dan 𝑪𝑫 berpotongan di 𝑶. jika ∠𝑨𝑶𝑪 =
𝟒𝟑°, tentukanlah ∠𝑨𝑶𝑫, ∠𝑫𝑶𝑩, ∠𝑩𝑶𝑪.
5. Tentukanlah besarnya sudut 𝜷 pada gambar!

13. 6. Tentukanlah besarnya sudut 𝜽 pada gambar!
7. Tentukanlah nilai sudut 𝒄 dan 𝒅 pada gambar (papan tulis)!

14. Latihan Soal/Tugas
1. Tentukan sudut penyiku dari sudut-sudut berikut
a) 69° b) 27°37′ c) 41°3′
43′′
2. Tentukan sudut pelurus dari sudut-sudut berikut
a) 78° b) 15° c) 169°41′11′′
3. Berdasarkan gambar (papan tulis) sebutkan nama
untuk garis 𝑿𝒀. Berikanlah contoh dari masing-
masing sudut berikut.
a) sudut-sudut yg bertolak belakang
b) Sudut-sudut pelurus
c) Sudut-sudut sehadap
d) Sudut-sudut yg berseberangan

15. 4. Pada gambar tentukanlah sudut 𝜶.
5. Pada gambar (papan tulis) tentukanlah sudut 𝒂, 𝒃 dan 𝒄.
6. Pada gambar (papan tulis) tentukanlah sudut 𝜷.

16. Terima kasih

17. SEGITIGA
Pertemuan ke-8

18. Segitiga
Adalah suatu bangun datar yang dibentuk oleh tiga titik yg tidak
segaris dan tiga ruas garis yg menghubungkan ketiga titik tsb sehingga
membentuk tiga sudut. Sebuah segitiga biasanya notasikan dengan
“∆” dan Jumlah ketiga sudut segitiga sama dengan 180°.

19. Bagian- bagian segitiga
• Sisi segitiga
𝑎 = 𝐵𝐶, 𝑏 = 𝐴𝐶, dan 𝑐 = 𝐴𝐵
• Alas dan kaki segitiga
𝑐 = 𝐴𝐵 adl alas ∆ABC dan 𝑎 =
𝐵𝐶, dan 𝑏 = 𝐴𝐶 adl kaki ∆ABC
• Titik sudut segitiga
Titik A, B dan C adl titik sudut
∆ABC
• Sudut segitiga
∠𝐴, ∠𝐵, dan ∠𝐶 adl sudut-sudut
∆ABC
• Tinggi segitiga
DC merupakan tinggi ∆ABC

20. Jenis – jenis Segitiga
Ditinjau dari panjang sisi-sisinya
• Segitiga Sama Kaki
• Segitiga Sama Sisi
Adalah segitiga yg memiliki dua sisi yg sama
panjang dan dua sudut yg sama besar.
Segitiga sama kaki terbentuk dari dua
segitiga siku-siku yg sama panjang
Adalah segitiga yg semua sisi dan sudutnya
adalah sama besar (yaitu setiap sudutnya
60°)

21. • Segitiga Tumpul
Adalah segitiga yg salah satu sudutnya
adalah sudut tumpul, yaitu sudut yg berada
antara 90° dan 180°.

22. Segitiga Sembarang
Adalah segitiga yg sudut-sudutnya tidak
sama besar sehingga memiliki sisi-sisi yg
tidak sama besar pula.

23. Lanjutan
Ditinjau dari sudut-sudutnya
• Segitiga Lancip
• Segitiga Siku-siku
Adalah segitiga yg semua sudutnya adalah
sudut lancip, yaitu semua sudutnya kurang
dari 90°
Adalah segitiga yg salah satu sudutnya
adalah sudut siku-siku.

24. HubunganSudutInteriordanSudutEksteriorSegitiga
Perhatikan Gambar !
• Sudut 𝐴1, 𝐵1 dan 𝐶1 disebut sudut Interior segitiga.
• Sudut 𝐴2, 𝐵2 dan 𝐶2 disebut sudut eksterior segitiga.
• Sudut eksterior segitiga adalah sudut pelurus dari sudut Interior
segitiga tsb.
∠𝐴2 adalah sudut pelurus dari ∠𝐴1, maka ∠𝐴2 + ∠𝐴1 = 180°.
∠𝐴2 adalah sudut pelurus dari ∠𝐴1, maka ∠𝐴2 + ∠𝐴1 = 180°.
∠𝐴2 adalah sudut pelurus dari ∠𝐴1, maka ∠𝐴2 + ∠𝐴1 = 180°.

25. Lanjutan
• Ukuran sudut eksterior dari salah satu sudut dalam segitiga
sama dengan dua sudut dalam yang lainnya.
∠𝐴2 = ∠𝐵1 + ∠𝐶1
∠𝐵2 = ∠𝐴1 + ∠𝐶1
∠𝐶2 = ∠𝐴1 + ∠𝐵1

26. Latihan
1. Sebutkanlah jenis-jenis seitiga pada gambar berikut.

27. 2. Tentukanlah besarnya 𝜃 dan 𝛼 pada gambar
3. ABC adalah sebuah segitiga sama kaki dimana sudut yg tidak
sama adalah sudut 𝐵𝐴𝐶 = 56°. AB diperpanjang ke D
seperti pada gambar. Tentukan nilai dari sudut DBC.

28. 4. Pada gambar (i) dan (ii), tentukanlah nilai dari sudut w, x, y,
dan z. apakah nama segitiga yg ditunjukkan pada gambar
tsb?

29. Keliling dan Luas Daerah Segitiga
• Keliling Segitiga
• Luas Segitiga
Adalah jumlah panjang sisi-sisi segitiga atau
jumlah ketiga panjang sisinya
Keliling ∆ABC =AB + BC +CA
Adalah setengah dari hasil kali alas dan
tingginya
Luas ∆ABC =
1
2
𝑥 𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑥 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
=
1
2
𝑥 𝑎 𝑥 𝑡

30. Dalil Pythagoras
Dalil Pythagoras
Pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama
dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya.
Dalil Pythagoras untuk ∆ABC dirumuskan :
𝐵𝐶 2
= (𝐴𝐶)2
+(𝐴𝐵)2
atau
𝐵𝐶 = (𝐴𝐶)2+(𝐴𝐵)2
Catatan :
Rumus diatas digunakan untuk menghitung panjang sisi ∆ siku-siku 𝐴𝐵𝐶
jika panjang hipotenusa dan sisi yg lain diketahui. Hipotenusa adalah sisi
miring dalam ∆ siku-siku
Dalam Dalil Pythagoras kita sering menggunakan
istilah tripel pythagoras, yaitu tiga buah bilangan
asli yg memenuhi sisi-sisi segitiga siku-siku.
Misalkan ∆ siku-siku pada gambar disamping,
berdasarkan dalil pythagoras, maka
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2

31. Lanjutan
Contoh Tripel Pythagoras (Tripel ini berlaku untuk kelipatannya)
𝒂 𝒃 𝒄
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
11 60 61
… … …
Pada ∆ABC di samping,
• Jika 𝒂 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 maka ∠𝑨 Adalah segitiga siku-siku
• Jika 𝒂 𝟐
> 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
maka ∠𝑨 Adalah segitiga tumpul
• Jika 𝒂 𝟐 < 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 maka ∠𝑨 Adalah segitiga lancip

32. Latihan
1. Jika diketahui keliling ∆𝑨𝑩𝑪 adalah 120 cm, dan perbandingan
𝑷𝑸: 𝑸𝑹: 𝑷𝑹 = 𝟑: 𝟒: 𝟓. Tentukan panjang 𝑷𝑸!
2. Luas sebuah segitiga 54 𝒄𝒎 𝟐
, sedangkan panjang alasnya 18 cm.
Tentukan tinggi segitiga tersebut !
3. Tentukan Luas daerah segitiga 𝑨𝑩𝑪 pada gambar di bawah ini.

33. • Kongruen berarti sama dan sebangun. Sama dalam hal sebangun
dan dalam hal bentuk.
• Kongruen dilambangkan dengan " ≅ ".
Syarat dua segitiga yg kongruen
a. Sisi yg bersesuaian sama panjang (dalil sisi sisi sisi) (Gambar 1).

34. b. Dua pasang sisi yg bersesuaian sama panjang dan sudut yg
diapitnya sama besar (dalil sisi sudut sisi). (Gambar 2).
c. Dua pasang sudut yg bersesuaian sama besar dan sepasang
sisi yg diapit sudut itu sama panjang (dalil sudut sisi sudut)
(Gambar 3).

35. Lanjutan Kongruen
Sifat-sifat dua segitiga yg Kongruen sbb.
a. Sifat Refleksif, yaitu suatu segitiga kognruen
dengan dirinya sendiri. (∆ABC ≅ ∆ABC )
b. Sifat Simetris, yaitu jika ∆ABC ≅ ∆DEF, maka
sebaliknya ∆DEF ≅ ∆ABC
c. Sifat Transitif, yaitu jika ∆ABC ≅ ∆DEF dan
∆DEF ≅ ∆GHI maka ∆ABC ≅ ∆GHI

36. Latihan
1. Sebutkanlah pasangan-pasangan segitiga pada gambar
berikut yg kongruen dan sebutkanlah urutan persamaannya.
2. Pada segitiga ABC, AB=BC dan D dan E adl titik pada sisi AB
dan BC, sedemikina rupa sehingga AD = CE. Buktikanlah
bahwa segitiga AEB dan CDB adalah kongruen.

37. Segitiga-segitiga yang Sebangun
Syarat dua segitiga sebangun
• Sisi-sisi yg bersesuaian sebanding.
• Sudut-sudut yg bersesuaian sama besar.
∠𝑨 = ∠𝑷
∠𝑪 = ∠𝑹
∠𝑩 = ∠𝑸
∆ABC dan ∆𝑷𝑸𝑹 sebangun, maka
𝑨𝑩
𝑷𝑸
=
𝑨𝑪
𝑷𝑹
=
𝑩𝑪
𝑸𝑹

38. Sifat-sifat dua segitiga sebangun adl sbb.
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
dan
𝑎
𝑎 + 𝑏
=
𝑐
𝑐 + 𝑑
=
𝑚
𝑛
𝑎2
= 𝑐 𝑥 𝑝
𝑏2 = 𝑐 𝑥 𝑞
𝑟2 = 𝑝 𝑥 𝑞

39. 𝑐 =
𝑎 𝑥 𝑚 + (𝑏 𝑥 𝑛)
𝑚 + 𝑛

40. 1. Pada gambar, tentukanlah panjang sisi 𝑎.
2. Tentukanlah panjang r dan p pada gambar berikut.

41. 3. Sebuah gudang berbentuk persegi panjang dengan ukuran lebar
2 m dan tinggi 3 m, bersandar tegak lurus pada sebuah gedung
yg tingginya 5,5 m. sebuah tangga dipergunakan untuk
mencapai atap gedung. Tentukanlah jarak minimum antara
bagian bawah tangga dengan gudang.

42. Terima kasih

43. LINGKARAN
Pertemuan ke-9

44. Adalah suatu bidang sederhana yg dibatasi oleh suatu
garis melingkar. Setiap titik yg terletak pada garis tsb
memiliki jarak ygsama (yg disebut jari-jari) terhadap satu
titikditengahlingkaranyangdisebutpusatlingkaran.
LINGKARAN

45. Bagian-bagian Lingkaran
i. Jarak dari pusat lingkaran ke garis lingkaran disebut jari-
jari (𝒓) lingkaran (lihat 𝑂𝑃, 𝑂𝑅, 𝑂𝐵, 𝑂𝑄 pada Gambar)
ii. Batas suatu lingkaran disebut keliling lingkaran (𝒄).
iii. Setiap garis lurus yg melewati pusat lingkaran dan kedua
ujungnya terletak pada keliling disebut diameter (𝒅),
(lihat 𝑄𝑅 pada Gambar). Jadi 𝒅 = 𝟐𝒓
iv. Rasio untuk
𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔
𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟
=
𝑐
𝑑
adalah konstanta untuk setiap
lingkaran. Konstanta ini ditulis dengan huruf Yunani 𝜋 (pi)
dimana 𝜋 = 3,14.
Sehingga
𝒄
𝒅
= 𝝅 atau 𝒄 = 𝝅𝐝
atau 𝒄 = 𝟐𝝅r.

46. v. Setengah Lingkaran adalah setengah dari satu lingkaran
penuh.
vi. Kuadran adalah seperempat dari satu lingkaran.
vii. Garis singgung suatu lingkaran adalah sebuah garis lurus yg
menyentuh lingkaran hanya di satu titik tertentu dan tidak
memotong lingkaran.
Garis 𝐴𝐶 pada Gambar di samping adalah sebuah
Garis singgung lingkaran, karena 𝐴𝐶 menyentuh
Lingkaran hanya pada titik 𝐵. jika jari-jari 𝑂𝐵
digambar, maka sudut 𝐴𝐵𝑂 adl sudut siku-siku.
viii.Sektor suatu lingkaran adalah bagian dari lingkaran
yg berada diantara dua jari-jari. Pada gambar di
samping bagian 𝑋𝑂𝑌 adalah sebuah sektor. Jika
sebuah sektor lebih kecil daripada setengah
lingkaran, maka sektor itu disebut sektor minor,
dan jika lebih besar daripada setengah lingkaran
disebut sektor mayor.

47. ix. Tali Busur suatu lingkaran adalah sebarang garis lurus yg
membagi lingkaran menjadi dua bagian dan kedua ujungnya
terletak pada keliling lingkaran. (pada Gambar adalah garis 𝑆𝑇).
x. Tembereng adalah nama yg diberikan untuk bagian-bagian yg
yg diperoleh apabila sebuah lingkaran dibagi dua oleh tali
busur. Jika tembereng tsb lebih kecil daripada setengah
lingkaran disebut tembereng minor (Pada Gambar bagian yg
diarsir), dan jika suatu tembereng lebih besar daripada
setengah lingkaran disebut tembereng mayor (Pada Gambar
bagian yg tidak diarsir),
xi. Busur adalah sebagian dari keliling sebuah lingkaran. 𝑆𝑅𝑇 pada
Gambar disebut busur minor dan 𝑆𝑋𝑌𝑇 disebut busur mayor.

48. xii. Sudut pada pusat lingkaran, yg berhadapan dengan
suatu busur, adalah dua kali dari sudut pada keliling
lingkaran yg berhadapan dengan busur yg sama. Pada
gambar di samping,
Sudut 𝑨𝑶𝑪 = 𝟐 x sudut 𝑨𝑩𝑪.
xiii. Sudut pada setengah lingkaran
adalah sudut siku-siku.
(lihat sudut 𝑩𝑸𝑷 pada gambar).

49. Latihan
A. Hitunglah panjang keliling lingkaran dengan jari-jari
7,2 cm.
B. Jika diameter sebuah lingkaran adalah 82,6 mm.
Hitunglah keliling lingkaran.
C. Tentukan jari-jari lingkaran yg kelilingnya 16,52 cm.
D. Tentukan diameter lingkaran yg kelilingnya 149,8 cm.
E. Pada gambar di bawah, 𝑨𝑩 adalah garis singgung
lingkaran pada titik 𝑩. Jika jari-jari lingkaran 40 mm
dan 𝑨𝑩 = 𝟏𝟓𝟎 mm, hitunglah panjang 𝑨𝑶.

50. Panjang Busur
satu radian didefinisikan sebagai besar sudut (pada titik pusat
lingkaran) yg berhadapan dengan sebuah busur yg panjangnya
sama dengan panjang jari-jari. Perhatikan gambar berikut.
Luas Sektor
Luas Sektor =
𝜋
360
𝜋𝑟2 → (Jika 𝜃 dalam derajat)
Luas Sektor =
𝜋
2𝜋
𝜋𝑟2
=
1
2
𝑟2
𝜃 → (Jika 𝜃 dalam radian)
Untuk panjang busur 𝑠,
𝜃 radian =
𝑠
𝑟
atau panjang busur, maka 𝐬 = 𝒓. 𝜽
(dimana 𝜃 dalam radian)
Jika 𝑠 = keliling lingkaran (= 2𝜋𝑟) maka
𝜽 =
𝒔
𝒓
=
𝟐𝝅𝒓
𝒓
= 𝟐𝝅
Sehingga 2𝜋 radian = 360° atau 𝝅 radian = 𝟏𝟖𝟎°

51. Latihan
1. Tentukanlah diameter dan keliling suatu lingkaran jika
busur yg panjangnya 4,75 cm membentuk sudut 0,91
radian.
2. Jika suatu sudut sebesar 125° dibentuk oleh busur pada
suatu lingkaran berjari-jari 8,4 cm, tentukanlah panjang
dari (a) busur minor dan (b) busur mayor, benar hingga 3
angka penting.
3. Tentukanlah besar sudut (dalam derajat dan menit) pada
pusat suatu lingkaran berdiameter 42 mm. Jika panjang
busur yg dibentuknya adalah 36 mm, maka hitunglah juga
luas dari sektor minor yg terbentuk.
4. Lampu sorot sebuah stadion sepakbola dapat
memancarkan cahayanya dengan sudut 45° hingga jarak
55 m. Tentukanlah luas maksimum dari daerah yg disinari
oleh lampu sorot tsb.

52. 5. Perhatian pada gambar di samping.
Tentukanlah
a) Luas daerah yang diarsir
b) Persentase daerah yg diarsir terhadap
seluruh sektor.
6. Sebuah lubang berujung runcing
50° diperiksa dengan menggunakan
bola sebagaimana tampak pada
gambar. Tentukanlah panjang 𝒙.

53. • Persamaan lingkaran yg paling sederhana, dengan titik
pusat pada titik asal O(0, 0) dan jari-jari 𝑟 adalah :
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
• Sebagai contoh, gambar berikut menampilkan lingkaran
𝑥2 + 𝑦2 = 9

54. • Secara lebih umum persamaan lingkaran, dengan titik
pusat pada 𝑎, 𝑏 dan jari-jari 𝑟 adalah :
… pers. (1)
Gambar berikut memperlihatkan sebuah lingkaran
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 4
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2

55. Persamaan umum lingkaran adalah :
√ … pers. (2)
Dengan mengalikan suku-suku dalam kurung pada pers. (1),
kita peroleh :
√
Membandingkan ini dengan pers. (2) menghasilkan
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑒𝑥 + 2𝑓𝑦 + 𝑐 = 0
𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2 = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + (𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2) = 0
𝟐𝒆 = −𝟐𝒂, 𝐉𝐚𝐝𝐢, 𝒂 = −
𝟐𝒆
𝟐
𝟐𝒇 = −𝟐𝒃, 𝐉𝐚𝐝𝐢, 𝒃 = −
𝟐𝒇
𝟐
dan 𝒄 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 − 𝒓 𝟐 maka 𝒓 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 − 𝒄

56. Sebagai contoh, persamaan 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟗 = 𝟎 menyatakan
suatu persamaan lingkaran. Tentukan
a. Pusat lingkaran (𝒂, 𝒃)
b. Jari-jari lingkaran (𝒓)
Penyelesaian :
a. Pusat lingkaran
𝒂 = −
𝟐𝒆
𝟐
= −
−𝟒
𝟐
= 𝟐
𝒃 = −
𝟐𝒇
𝟐
= −
−𝟔
𝟐
= 𝟑
Jadi pusat lingkaran 𝒂, 𝒃 = (𝟐, 𝟑)
b. Jari-jari lingkaran
𝒓 = 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 − 𝟗
= 𝟒 + 𝟗 − 𝟗
= 𝟒
= 𝟐 Jadi, jari-jari lingkaran 𝒓 = 𝟐
Sehingga persamaan lingkaran tsb dapat ditulis dalam bentuk :
𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝒚 − 𝟑 𝟐 = 𝟒

57. Contoh
1. Tentukanlah (a) jari-jari lingkaran dan (b) koordinat
titik pusat dari gambar berikut.
2. Buatlah sketsa lingkaran dengan persamaan
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟑 = 𝟎
3. Tentukan persamaan lingkaran
a) Berpusat di titik (3, 4) dan berjari-jari 6 cm.
b) Berpusat di titik (2, 3) dan melalui titik (5, -1)

58. Latihan
A. Tentukanlah (a) jari-jari dan (b) koordinat titik
pusat lingkaran melalui persamaan
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟖 = 𝟎
B. Buatlah sketsa lingkaran yg persamaanya
1. 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟒𝐲 − 𝟑 = 𝟎
2. 𝒙 𝟐 + (𝒚 − 𝟏) 𝟐−𝟐𝟓 = 𝟎
C. Diketahui persamaan lingkaran 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟒𝒙 +
𝟐𝒚 + 𝒄 melalui titik (5, -1). Tentukan jari-jarinya.

59. Terima kasih