7. Operasi
Bilangan
β’ Operasi-operasi pada bilangan
β’ FPB dan KPK
β’ Urutan Prioritas dan Tanda Kurung
Pecahan,
Desimal &
Persentase
β’ Pecahan
β’ Rasio dan Proporsi
β’ Desimal
β’ Persentase
Pangkat &
Bentuk Standar
β’ Perpangkatan
β’ Contoh Soal Perpangkatan
β’ Bentuk Standar
β’ Contoh Soal Bentuk Standar
Operasi Dasar Bilangan
9. Operasi-operasi Bilangan
Seluruh bilangan yang tidak disertai pecahan
disebut bilangan bulat (integer).
Bilangan +4, +6, +75 disebut bilangan bulat positif;
Bilangan -14, -5, -53 disebut bilangan bulat negatif.
Di antara bilangan bulat negatif terdapat bilangan 0 (nol),
yang bukan bilangan positif ataupun bilangan negatif.
Ada empat operator operasi bilangan yaitu ; penambahan
(+), pengurangan ( - ), perkalian ( x ) dan pembagian ( : )
10. Ketika tanda-tanda yang tidak
sama berada bersama-sama
dalam suatu perhitungan, tanda
akhirnya adalah negatif. Dengan
demikian, 4 ditambah minus 5
adalah 4 + β 5 sehingga menjadi
4 β 5 = β1
Sedangkan tanda-tanda yang
sama akan menghasilkan tanda
akhir yang positif. Jadi 4
dikurang minus 5 adalah 4 β β
5 sehingga menjadi 4 +5 = 9
Untuk penambahan
dan pengurangan
Ketika bilangan-bilangan yang
terlibat memiliki tanda-tanda
yang tidak sama, jawabannya
akan memiliki tanda negatif.
Tetapi apabila bilangan-
bilangan yang terlibat memiliki
tanda yang sama, jawabannya
akan memiliki tanda positif.
Jadi, 3 x β 4 = β12,
sedangkan β3 x β 4 = +12.
Demikian pula
4
β3
= β
4
3
dan
β4
β3
= +
4
3
Untuk perkalian
dan pembagian
12. β’ Suatu kelipatan adalah suatu
bilangan yang terdiri dari bilangan
lain tepat beberapa kali. Bilangan
terkecil yang dapat tepat dibagi
dengan masing-masing dari dua
atau lebih bilangan disebut
sebagai Kelipatan Persekutuan
terKecil (KPK).
KPK
β’ Ketika kita mengalikan dua atau
lebih bilangan, masing-masing
bilangan tadi disebut faktor-faktor.
Jadi suatu faktor adalah suatu
bilangan yang dapat tepat membagi
(tanpa sisa) suatu bilangan lain.
β’ Faktor Persekutuan terBesar
(FPB) adalah bilangan terbesar yang
dapat tepat membagi dua atau lebih
bilangan.
FPB
13. Tentukanlah KPK dari bilangan-bilangan 12, 42, dan 90.
Penyelesaian :
KPK diperoleh dengan menentukan faktor-faktor terkecil dari
masing-masing bilangan, dan kemudian memilih kelompok
terbesar manapun dari faktor yang ada. Jadi
12 = 2 x 2 x 3
42 = 2 x 3 x x 7
90 = 2 x 3 x 3 x 5
Kelompok terbesar dari faktor manapun yang ada ditunjukkan oleh
garis putus-putus dan kelompok tsb adalah 2 x 2 pada 12, 3 x 3
pada 90, 5 pada 90 dan 7 pada 42.
Oleh karena itu, KPK-nya adalah 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7 = 1260, dan
ini merupakan bilangan terkecil yang dapat tepat dibagi dengan 12,
42, dan 90
2 x 2
Contoh KPK
3 x 3
7
5
14. Tentukanlah FPB dari bilangan-bilangan 12, 30, dan 42.
Penyelesaian :
Masing-Masing bilangan dinyatakan dalam bentuk fakktor-faktor
terkecilnya. Ini diperoleh dengan cara membagi bilangan tersebut
dengan bilangan-bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11, 13, β¦ (jika
mungkin) secara berurutan. Jadi,
12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
42 = 2 x 3 x 7
Faktor-faktor persekutuan dari bilangan tersebut adalah 2 pada
kolom 1 dan 3 pada kolom 3, yang ditunjukkan dengan gaaris
putus-putus. Oleh karena itu, FPB-nya adalah 2 x 3 yaitu 6. jadi 6
adalah bilangan terbesar yang dapat membagi 12, 30 dan 42
2
2
2
Contoh FPB
3
3
3
15. 1. Tentukanlah FPB dari bilangan-bilangan 30, 105,
210, dan 1155.
2. Tentukanlah KPK dari bilangan-bilangan 150,
210, 735, dan 1365.
Cobalah !
16. Urutan Prioritas dan Tanda Kurung
Ketika suatu operasi aritmetika tertentu harus dikerjakan terlebih
dahulu,maka bilangan-bilangan dan tanda-tanda operasinya diletakkan di
antara tanda kurung. Misal, 3 dikalikan dengan hasil dari 6 dikurangi 2
ditulis sebagai ππ±(π β π).
Dalam operasi aritmetika, urutan operasi yang dilakukan adalah
sebagai berikut:
i) menentukan nilai-nilai operasi yang ada dalam tanda kurung;
ii) perkalian dan pembagian; dan
iii) Penjumlahan dan pengurangan
Urutan Prioritas dalam operasi aritmetika adalah kurung,
pembagian, perkalian, penjumlahan, dan pengurangan
19. PECAHAN
ο±Ketika 3 dibagi dengan 4, kita dapat menulisnya
sebagai
3
4
atau 3/4.
3
4
disebut suatu pecahan.
Bilangan di atas garis, yaitu 3 disebut sebagai
pembilang dan bilangan di bawah garis, yaitu 4
disebut sebagai penyebut.
ο±Jika nilai pembilang lebih kecil daripada nilai
penyebut, pecahan itu disebut sebagai pecahan
wajar (proper fraction); jadi
3
4
adalah bilangan
pecahan wajar (pecahan biasa).
20. PECAHAN
ο±Jika nilai pembilang lebih besar daripada nilai penyebut,
pecahan itu disebut sebagai pecahan tak wajar (improper
fraction); jadi
11
3
adalah suatu pecahan tak wajar dan dapat
juga dinyatakan sebagai suatu bilangan campuran, yaitu
sebuah bilangan yang terdiri dari bilangan bulat dan sebuah
bilangan pecahan biasa. Dengan demikian, bilangan pecahan
tak wajar
11
3
sama dengan bilangan 3
2
3
.
ο±Ketika suatu pecahan disederhanakan dengan membagi
pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama,
cara ini disebut dengan penyederhanaan. Penyederhaan
dengan bilangan 0 (nol) tidak diperbolehkan.
21. CONTOH
β’Sederhanakanlah
π
π
+
π
π
.
β’Penyelesaian :
β’Menyamakan penyebut dengan menggunakan KPK
KPK dari kedua penyebut adalah π π π = ππ
dengan menyatakan setiap pecahan dengan
bilangan penyebut 21, menghasilkan:
π
π
+
π
π
=
π+π
ππ
=
ππ
ππ
atau
β’Perkalian Silang
β’
π
π
+
π
π
=
π π π +(π π π)
ππ
=
π+π
ππ
=
ππ
ππ
23. RASIO dan PROPORSI
Jika suatu kuantitas berbanding terbalik dengan kuantitas lain,
maka ketika kuantitas tersebut berlipat ganda, kuantitas yang
satunya menjadi setengahnya (menjadi lebih sedikit dari semula).
Jika satu kuantitas berbanding lurus dengan kuantitas lain, maka
ketika kuantitas itu berlipat ganda, kuantitas yang satunya juga
berlipat ganda.
Rasio dari satu kuantitas terhadap kuantitas lain adalah suatu
pecahan, dan menunjukkan berapa kali suatu kuantitas terdapat di
dalam kuantitas lain yang sejenis.
24. CONTOH 1
1) Sepotong kayu dengan panjang 273 cm dipotong
menjadi 3 bagian dengan rasio 3 banding 7 banding
11. Tentukanlah panjang dari ketiga bagian tersebut.
Penyelesaian :
Jumlah total bagian adalah 3 + 7 + 11 yaitu 21, oleh
karena itu 21 bagian setara dengan 273 cm.
Sehingga
1 bagian setara dengan
πππ
ππ
= ππ cm
3 bagian setara dengan 3 x 13 = 39 cm
7 bagian setara dengan 7 x 13 = 91 cm
11 bagian setara dengan 3 x 13 = 143 cm
Maka panjang dari ketiga bagian itu adalah 39 cm, 91
cm dan 143 cm
(periksa : 39 + 91 + 143 = 273)
25. CONTOH 2
1) Jika 3 orang dapat menyelesaikan sebuah tugas dalam
waktu 4 jam, hitunglah berapa lama waktu yang
dibutuhkan oleh 5 orang untuk menyelesaikan tugas yang
sama, dengan mengasumsikan bahwa kecepatan kerjanya
tetap konstan.
Penyelesaian :
Semakin banyak jumlah orang, semakin cepat tugas dapat
diselesaikan, jadi terdapat perbandingan terbalik.
Sehingga
3 orang menyelesaikan tugas dalam 4 jam,
1 orang membutuhkan waktu tiga kali lebih lama, yaitu
4 x 3 = 12 jam
5 orang dapat melakukannya dalam waktu seperlima
waktu yang dibutuhkan oleh satu orang, yaitu
ππ
π
jam atau 2 jam 24 menit.
26. TEST
1) Bagilah 312 mm dengan rasio 7 banding 17.
2) Tentukanlah berapa banyak tembaga dan seng
yang dibutuhkan untuk membuat 99 kg
batangan kuningan jika proporsi massa
tembaga : seng = 8 : 3.
3) Dibutuhkan 3 jam 15 menit untuk terbang dari
kota A ke kota B pada suatu kecepatan
konstan. Hitunglah berapa lama perjalanannya
jika
a. kecepatannya π
π
π
kali kecepatan asalnya
b. Kecepatannya
π
π
dari kecepatan asalnya.
27. Sistem bilangan desimal didasarkan pada
bilangan 0 hingga 9. bilangan seperti 53,17
disebut pecahan desimal, sebuah koma
desimal memisahkan bagian bilangan bulat,
yaitu 53, dari bagian pecahan, yaitu 0,17
Suatu bilangan yang dapat dinyatakan
dengan tepat sebagai suatu pecahan desimal
disebut bilangan desimal terhingga, dan
bilangan yang tidak dapat dinyatakan tepat
sebagai suatu pecahan desimal disebut
bilangan desimal tak-terhingga.
DESIMAL
28. DESIMAL
β’ Sebagai contoh,
3
2
= 1,5 adalah bilangan desimal
terhingga, tetapi
4
3
= 1,333333 β¦ disebut sebagai
bilangan desimal tak hingga, 1,333333 β¦ dapat ditulis
sebagai 1,3, disebut βsatu koma tiga yang terus berlanjutβ.
β’ Jawaban untuk suatu bilangan desimal tak-terhingga
dapat dinyatakan dalam dua cara, tergantung pada
keakuratan yang dibutuhkan.
i. Benar hingga sejumlah angka penting, yaitu
sejumlah angka yang menunjukkan sesuatu, dan
ii. Benar hingga sejumlah angka desimal, yaitu
sejumlah angka di belakang koma desimal.
29. Angka terakhir di dalam jawaban tidak
diubah jika angka berikutnya di sebelah
kanan adalah dari kelompok bilangan 0,
1, 2, 3, atau 4,
Tetapi dinaikkan 1 jika angka berikutnya
di sebelah kanan adalah dari kelompok
bilangan 5, 6, 7, 8, atau 9.
Jadi, bilangan desimal tanpa akhir
7,6183β¦ menjadi 7,62 adalah benar
hingga 3 angka penting, karena angka
berikutnya di sebelah kanan adalah 8,
Selain itu, 7,6183 β¦ menjadi 7,618
adalah benar hingga 3 angka desimal,
karena angka berikutnya di sebelah
kanan adalah 3
Ketentuan Pembulatan Desimal
30. CONTOH 1
Hitunglah ππ, π + π, ππ + π, π + π, ππ.
Penyelesaian :
Bilangan-bilangan tsb ditulis sedemikian rupa sehingga posisi tanda
komanya segaris lurus. Setiap kolom di jumlahkan, mulai dari yang
paling kanan.
Jadi, ππ, π + π, ππ + π, π + π, ππ = ππ, ππ
ππ, π
π, ππ
π, π
π, ππ
54, ππ
31. CONTOH 2
Hitunglah ππ, ππ βΆ π, π, benar hingga (i) empat angka penting dan
(ii) empat angka desimal.
Penyelesaian :
ππ, ππ: π, π =
ππ, ππ
π, π
Penyebutnya diubah menjadi sebuah bilangan bulat dengan mengalikannya
dengan 10. pembilangnya juga dikalikan dengan 10 agar pecahan tetap bernilai
sama, maka
ππ, ππ: π, π =
ππ, ππ π ππ
π, π π ππ
=
πππ, π
ππ
Pembagian panjang disini sama dengan pembagian panajng pada bilangan bulat
dan empat langkah pertamanya ditunjukkan sebagai berikut.
378, 100000
34
38
34
41
34
70
68
20
22, 24117 β¦
17
(i) ππ, ππ: π, π = ππ, ππ benar hingga
empat angka penting, dan
(ii) ππ, ππ: π, π = ππ, ππππ benar hingga
empat angka desimal.
32. PERSENTASE
β’ Persentase digunakan untuk menyatakan suatu standar
yang umum dan merupakan pecahan dengan penyebut
100. sebagai contoh, 25 persen berarti
25
100
atau
1
4
dan
ditulis sebagai 25%
33. CONTOH
1. Nyatakanlah sebagai persentase (a) 1,875 dan (b) 0,0125
Penyelesaian :
Suatu pecahan desimal diubah menjadi persen dengan mengalikannya
dengan 100. Jadi
a) 1,875 setara dengan 1,875 x 100%, yaitu 187,5%
b) 0,0125 setara dengan 0,0125 x 100%, yaitu 1,25%
2. Dibutuhkan waktu 50 menit untuk membuat sebuah barang, dengan
menggunakan peralatan jenis baru, waktu yang dibutuhkan dapat
dikurangi hingga 15%. Hitunglah waktu baru yang dibutuhkan.
Penyelesaian :
15% dari 50 menit =
ππ
πππ
π ππ =
πππ
πππ
= π, π menit.
Sehingga waktu baru yang dibutuhkan adalah ππ β π, π = ππ, π menit.
Sebagai alternatif, jika waktu berkurang 15%, maka sekarang
dibuthkan 85% dari waktu aslinya, yaitu 85% dari ππ =
ππ
πππ
π ππ =
ππππ
πππ
= ππ, π menit, sama seperti jawaban sebelumnya.
34. Perpangkatan
dan Bentuk Dasar
β’ KEBALIKAN
β’ AKAR KUADRAT
β’ HUKUM
PERPANGKATAN
β’ CONTOH
PERPANGKATAN
β’ KARAKTERISTIK
β’ CONTOH
BENTUK
STANDAR
35. Faktor-faktor terkecil dari 2000 adl 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x
5. faktor-faktor ini ditulis sebagai 24 π₯ 53, dimana 2 dan 5
disebut bilangan pokok dan bilangan 4 dan 3 disebut
indeks.
Jika suatu indeks adl bilangan bulat maka indeks itu disebut
pangkat. Jadi, 24
disebut βdua pangkat empatβ dan memiliki
bilangan pokok 2 dan indeks 4. Demikian juga, 53 disebut βlima
pangkat tigaβ dan memiliki bilangan pokok 5 dan indeks 3.
Sebutan-sebutan khusus mungkin digunakan untuk pangkat 2 dan
3, yang disebut βkuadratβ dan βkubikβ. Jadi, 72
disebut βtujuh
kuadratβ dan 93
disebut βsembilan kubikβ. Jika tidak ada pangkat
yang ditunjukkan, maka pangkatnya adalah 1, sehingga 2 berarti
21
.
PERPANGKATAN
36. β’ Kebalikan (resiprocal) dari suatu bilangan
adalah ketika indeksnya adalah βπ dan
nilainya diperoleh dari 1 dibagi dengan
bilangan pokok tersebut. Jadi, kebalikan dari
2 adalah πβπ
dan nilainya adalah
π
π
atau 0,5.
kebalikan
AkarKuadrat
Akar kuadrat
dari suatu
bilangan adl
ketika
pangkatnya
adalah
π
π
, dan
akar kuadrat
dari 2 ditulis
sebagai π
π
π atau
π.
Nilai dari akar
kuadrat adalah nilai
dari bilangan pokok
yang mana jika
dikalikan dengan
dirinya sendiri akan
menghasilkan
bilangan tersebut.
Karena 3 x 3 = 9
maka π = π, tetapi
βπ π βπ = π
maka π = π
Selalu terdapat
dua jawaban
ketika mencari
akar kudrat dari
sebuah bilangan
dan ini
ditunjukkan
dengan memberi-
kan tanda + dan
β di depan
jawaban dari soal
akar kuadrat.
Jadi π = Β±π
37. HukumPerpangkatan Ketika penyederhanaan perhitungangan melibat-
kan pangkat, beberapa aturan atau hukum dasar
tertentu dapat diterapkan, disebut hukum-
hukum perpangkatan. Hukum-hukum tersebut
adalah :
i) Ketika mengalikan dua atau lebih bilangan
dengan bilangan pokok yang sama, maka pangkat-
pangkatnya dijumlahkan. Sebagai contoh :
32
π₯ 34
= 32+4
= 36
ii) Ketika suatu bilangan dibagi dengan suatu bilangan
yang memiliki bilangan pokok yang sama, maka
pangkat-pangkatnya dikurangkan. Sebagai contoh :
35
32 = 35β2
= 33
38. HukumPerpangkatan iii) Ketika suatu bilangan yang dipangkatkan kemudian
dipangkatkan lagi, maka pangkat-pangkatnya dikalikan.
Sebagai contoh :
π π π
= π πππ = π ππ
iv) Ketika suatu bilangan memiliki pangkat 0, maka nilainya
adalah 1.
Sebagai contoh :
π π = π
v) Suatu bilangan yang dipangkatkan dengan pangkat negatif adalah
kebalikan dari bilangan itu dipangkatkan dengan pangkat positif.
Sebagai contoh :
πβπ
=
π
π π demikian juga,
π
πβπ = π π
vi) Ketika suatu bilangan dipangkatkan dengan suatu pangkat pecahan, penyebut
dari pecahan adalah akar dari bilangan tersebut, dan pembilangnya adalah
pangkatnya. Sebagai contoh :
π
π
π =
π
π π = π π
= π dan ππ
π
π =
π
ππ π = ππ = Β±π
[Catat bahwa β‘
π
]
41. Test
1. Hitunglah
ππ π π
ππ π π ππ π
2. Sederhanakanlah
ππ π π πβπ
π π π π β πβπ π π π , dan nyatakanlah jawabanya
dalam bentuk pangkat positif.
3. Sederhanakanlah
π
π
π
π
π
π
βπ
π
π
βπ , dan nyatakanlah jawabanya
dalam bentuk pangkat positif.
42. BENTUK STANDAR
Sebuah bilangan yang dtulis dengan satu angka
disebelah kiri koma desimal dan dikalikan
dengan perpangkatan dari bilangan 10 disebut
suatu bilangan yang ditulis dalam bentuk
standar.
Sebagai contoh :
β’ 5837 dalam bentuk standar ditulis sebagai
5,837 π₯ 103
β’ 0,0415 dalam bentuk standar ditulis sebagai
4,15 π₯ 10β2
Ketika sebuah bilangan ditulis dalam bentuk
standar, faktor pertama disebut mantissa dan
faktor kedua disebut eksponen. Jadi, bilangan
5,8 π₯ 102
memiliki mantissa 5,8 dan eksponen
102
.
43. Ketentuan Bentuk Standar
Bilangan-bilangan yang memiliki eksponen yang sama dapat
dijumlahkan atau dikurangkan dalam bentuk standar dengan
menjumlahkan atau mengurangkan mantissa-nya dan memperta-
hankan eksponennya tetap sama.
Ketika bilangan-bilangan memilki eksponen yang berbeda, salah
satu cara untuk menjumlahkannya atau mengurangkan bilangan-
bilangan tersebut adalah dengan menyatakan salah satu dari
bilangan tersebut dalam bentuk bukan standar, sehingga kedua
bilangan memiliki eksponen yang sama.
Hukum-hukum perpangkatan digunakan ketika kita mengalikan
atau membagi bilangan-bilangan dalam bentuk standar.
44. Contoh 1
Nyatakanlah dalam bentuk standar :
a) 83,17 b) 7364 c) 0,0214
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan suatu bilangan dalam bentuk
standar, bilangan itu ditulis dengan hanya satu angka
disebelah kiri koma desimal, sehingga bentuk
standarnya
οΌ ππ, ππ =
ππ,ππ
ππ
π± ππ = π, πππ π± ππ
οΌ ππππ =
ππππ
ππππ
π± ππππ = π, πππ π± ππ π
οΌ π, ππππ = π, ππππ π±
πππ
πππ
=
π,ππ
πππ
= π, ππ π± ππβπ
45. Contoh 2
Nyatakanlah dalam bentuk standar, benar hingga 3
angka penting
a)
π
π
b) ππ
π
π
Penyelesaian :
a)
π
π
= π, πππ, dan dengan menyatakannya dalam
bentuk standar, maka diperoleh
π, πππ = π, ππ π± ππβπ
b) ππ
π
π
= ππ + π, ππ = ππ, ππ = ππ, π π± ππ,
dalam bentuk standar, benar hingga 3 angka
penting.
46. Contoh 3
Nyatakanlah dalam bentuk standar, benar hingga 3
angka penting
a)
π
π
b) ππ
π
π
Penyelesaian :
a)
π
π
= π, πππ, dan dengan menyatakannya dalam
bentuk standar, maka diperoleh
π, πππ = π, ππ π± ππβπ
b) ππ
π
π
= ππ + π, ππ = ππ, ππ = ππ, π π± ππ,
dalam bentuk standar, benar hingga 3 angka
penting.