Matematika keuangan

1. BUNGA MAJEMUK

2.  Bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke nilai pokok pada
akhir setiap periode compound atau periode perhitungan
bunga untuk mendapatkan pokok yang baru (bunga
berbunga).
 Periode perhitungan bunga dapat dinyatakan dalam harian
(j365), mingguan (j52), bulanan (j12), triwulanan (j4),
semesteran (j2) atau tahunan (j1).
Contoh 3.1
Hitunglah bunga dari Rp 1.000.000 selama 2 tahun
dengan tingkat bunga 10% p.a. apabila bunga dihitung
semesteran, dan bandingkan dengan bunga sederhana
yang dihasilkan.
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
2

3. Periode
Pokok
Pinjaman
Perhitungan Bunga Majemuk
Nilai Pada
Akhir Periode
1 1.000.000 1.000.000 x 0,05 = 50.000 1.050.000
2 1.050.000 1.050.000 x 0,05 = 52.500 1.102.500
3 1.102.500 1.102.500 x 0,05 = 55.125 1.157.625
4 1.157.625 1.157.625 x 0,05 = 57.881 1.215.506,25
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
3
Total bunga majemuk selama 2 tahun adalah Rp
215.506,25; sedangkan bila menggunakan bunga
sederhana, total bunganya adalah Rp 200.000 (Rp
1.000.000 x 10% x 2).

4. m
J
i m

Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
4
S = P (1 + i)n dengan
dengan
P = Nilai pokok awal (principal)
S = Nilai akhir
n = Jumlah periode perhitungan bunga
m = Frekuensi perhitungan bunga dalam setahun,
yaitu 2 utk semesteran, 4 untuk triwulanan, dst.
Jm = Tingkat bunga nominal tahunan dengan
periode perhitungan m kali per tahun
i = Tingkat bunga per periode perhitungan bunga

5. Berapakah nilai S dari P sebesar Rp 10.000.000 jika j12 =
12% selama:
a. 5 tahun
b. 25 tahun
967
.
166
.
18
Rp
)
01
,
0
1
(
000
.
000
.
10
Rp
)
i
1
(
P
S
bulan
60
12
tahun
5
n
01
,
0
%
1
12
%
12
i
000
.
000
.
10
Rp
P
.
a
60
n












6
,
662
.
884
.
197
Rp
)
01
,
0
1
(
000
.
000
.
10
Rp
)
i
1
(
P
S
bulan
300
12
tahun
25
n
01
,
0
%
1
i
000
.
000
.
10
Rp
P
.
b
300
n











Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
5

6.  Bunga Nominal  tingkat bunga tahunan yang
dinyatakan, dan tidak terpengaruh periode
perhitungan bunga
 Bunga Efektif  tingkat bunga tahunan j1 yang
ekuivalen, tingkat bunga sebenarnya atau yang akan
diperoleh
j1 = (1 + i)m – 1
atau
1 + j1 = (1 + i) m
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
6

7. %
25
,
10
efektif
bunga
Tingkat
%
25
,
10
1025
,
0
j
1
)
05
,
1
(
j
1
2
1
,
0
1
j
.
a
1
2
1
2
1













 %
68
,
12
efektif
bunga
Tingkat
%
68
,
12
126825
,
0
j
1
)
01
,
1
(
j
1
12
12
,
0
1
j
.
b
1
12
1
12
1














%
17
,
14
efektif
bunga
Tingkat
%
17
,
14
14165
,
0
j
1
)
14165
,
1
(
j
1
365
1325
,
0
1
j
.
c
1
365
1
365
1














Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
7
Hitunglah tingkat bunga efektif j1 yang ekuivalen dengan:
a. j2 = 10%
b. j12 = 12%
c. j365 = 13,25%

8. Berapa tingkat bunga sederhana yang
ekuivalen dengan j2 = 9%, jika uang
disimpan selama 3 tahun?
Jawab:
1+3r = (1+(0,09/2))6
1+3r = 1,3022601
r = 0,1007533
r = 10,08%
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
8

9. Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
9
n
n
)
i
1
(
S
)
i
1
(
S
P 




Proses mencari P dari S atau PV dari FV disebut
pendiskontoan (discounting) dan faktor (1+i)-n disebut
faktor diskonto (discount factor).
Contoh 3.7
Dengan menggunakan j12 = 12%, hitunglah nilai diskonto
dari uang sejumlah Rp 100.000.000 yang jatuh tempo:
a. 10 tahun lagi
b. 25 tahun lagi
n
n
)
i
1
(
FV
)
i
1
(
FV
PV 





10. 97
,
477
.
299
.
30
Rp
P
)
01
,
0
1
(
000
.
000
.
100
Rp
P
)
i
1
(
S
P
01
,
0
%
1
12
%
12
i
120
12
10
n
000
.
000
.
100
Rp
S
.
a
120
n












75
,
448
.
053
.
5
Rp
P
)
01
,
0
1
(
000
.
000
.
100
Rp
P
)
i
1
(
S
P
01
,
0
%
1
12
%
12
i
300
12
25
n
000
.
000
.
100
Rp
S
.
b
300
n












Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
10

11. Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
11
1
P
S
i
n
1








)
i
1
(
log
P
S
log
n


Contoh 3.9
Berapa tingkat bunga j12 yang dapat membuat
sejumlah uang menjadi tiga kali lipat dalam 12 tahun?

12. Kita asumsikan uang tersebut sebagai x.
n = 12 x 12 = 144
Maka:
x (1+i)144 = 3x
(1+i) = (3)1/144
i = (3)1/144 – 1
i = 0,00765843
j12 = 12 x i
j12 = 12 x 0,00765843 = 0,09190114
j12 = 9,19%
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
12

13. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk membuat
uang sebesar Rp 5.000.000 menjadi Rp 8.500.000
dengan j12 = 12%?
Jawab:
P = Rp 5.000.000
S = Rp 8.500.000
i =
01
,
0
%
1
12
%
12


Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
13

14. bulan
6
tahun
4
hari
10
bulan
5
tahun
4
n
atau
bulan
3277
,
53
n
01
,
1
log
7
,
1
log
n
)
01
,
0
1
(
log
000
.
000
.
5
Rp
000
.
500
.
8
Rp
log
n
)
i
1
(
log
P
S
log
n








Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
14

15. Hasil kali return tahunan dan jumlah tahun
untuk membuat nilai awal menjadi dua kali
lipat adalah selalu 72.
 P menjadi 2P jika dan hanya jika i * n= 72
 P menjadi 2P i * n= 72
n =
atau
i =
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
15
i
72
n
72

16.  Jika diketahui tingkat bunga bersih
deposito adalah 8%, maka diperlukan
waktu 9 tahun untuk membuat nilai awal P
menjadi 2P.
 Jika investor ingin portofolionya berlipat
dua dalam 6 tahun, return tahunan yang
diperolehnya adalah 12%.
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
16

17.  Digunakan untuk kasus-kasus yang memiliki tingkat
pertumbuhan yang sangat cepat (continuous
compounding), misalnya per detik.
S = P er t atau FV = PV er t
Contoh 3.11
Berapakah jumlah penduduk Indonesia pada tahun
2010 apabila diketahui tahun 2004 Indonesia
memiliki penduduk 220.000.000 jiwa dengan tingkat
pertumbuhan penduduk per tahun 1,7%?
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
17

18. P2004 = 220.000.000
r = 1,7%
t = 6
P2010 = P2004 er t
P2010 = 220.000.000 e(1,7%)(6)
P2010 = 220.000.000 e(10,2%)
P2010 = 243.624.364 jiwa
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
18

19. Sebuah deposito sebesar Rp 10.000.000
dapat memberikan pendapatan bunga Rp
5.600.000 selama 36 bulan. Hitunglah
tingkat bunga nominal tahunannya apabila
:
a. Perhitungan bunga tahunan
b. Continuous compounding
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
19

20. a. S = Rp 15.600.000
P = Rp 10.000.000
t = 3
S =P (1 + i)n
Rp 15.600.000 =Rp 10.000.000 (1 + i)3
15,6 =(1 + i)3
i = 0,159778 = 15,98%
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
20

21. b. S = Rp 15.600.000
P = Rp 10.000.000
t = 3
S = Pert
Rp 15.600.000 = Rp 10.000.000 ert
ln 1,56 = ln ert
r = 0,148228607 = 14,82%
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
21

22.  Menjadi miliarder itu mudah
Dengan uang hanya Rp1 juta hari ini, Anda dapat menjadi seorang
miliarder. Hanya ada 2 syarat ringan yaitu sabar dan mampu
mencari alternatif investasi yang memberikan return tahunan 20%
secara terus-menerus setiap tahunnya.
 Mengapa harus sabar? Karena Anda baru dapat mewujudkan impian
itu dalam 38 tahun.
 Periode yang diperlukan menjadi lebih pendek jika Anda
memperoleh return tahunan yang lebih besar. Waktu untuk menjadi
miliarder pun lebih cepat jika Anda memulainya dengan dana lebih
besar dari Rp1 juta.
 Hanya investasi saham, baik langsung maupun melalui reksa dana,
yang dapat memberikan return tahunan 20%.
Bab 3 Matematika Keuangan Edisi 3 - 2010
22